1.3复合函数与反函数

数 zn x 在 R + 上严格增, 故对任意有理数 n r r , y x 在 R + 上亦为严格增. m
1/ n
例2
求函数 y e x 1 的反函数 .
x 2 解: e y 1
x ln( y 2 1) y e x 1 1 ，即原函数的值域为(1 , ) 反函数为 y ln( x 2 1) D f 1 (1 , )
( x)
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x 对称.
定理1
设 y f ( x ), x D为严格增函数, 则 f 必
有反函数 f 1 , 且 f 1在其定义域 f ( D)上也是严格
增函数 .
类似地, 严格减函数 f 必有反函数 f , 且 f 在其
二、反函数(inverse function)
设函数 f : D f ( D) 是单射，则它存在逆映 射
f
1
: f ( D ) D , 称此映射f 为函数f的 反函数.
y
1
函数 y f ( x )
y0
y
反函数 x ( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
x0
x
D
D
y 反函数y f
1
x2
二、应用图形的“叠加 ”作函数 y x sin x 的图形 .
三、火车站行李收费规定如下：20千克以下不计费， 20~50千克每千克收费0.20元，超出50千克超出部 分每千克0.30元，试建立行李收费f(x)(元)与行李质 量x(千克)之间的函数关系，并作出图形
练习题答案
一、1.基本初等函数； 2.[e , e 3 ] ； 3.[-1,1],[ 2k , 2k ],[ a ,1 a ] , 1 [a ,1 a ] 0 a 2 . 1 a 2
定义域上也是严格减函数.
1
1
证 设 f 在 D 上严格增, 则 y f ( D) 只有一个
x D, 使 f ( x ) y .
事实上,若 x1 x2 , 使 f ( x1 ) y f ( x2 ), 则与 f
的严格增性质相矛盾 . 再证 f 1必是严格增的 :
y1 , y2 f ( D),
y csc x
2. 反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
四、初等函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数. 由常数和基本 初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函 数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函 数，称为初等函数.
2
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数.
例如 y arcsinu, u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
x x 例如 y cot , y u , u cot v , v . 2 2
3. f g g f .
1
y1 y2 ,
1
x1 f ( y1 ), x2 f ( y2 ),
由于 y1 y2 及 f 的严格增性, 必有 x1 x2 , 即
f 1 ( y1 ) f 1 ( y2 ), 因此 f 1也是严格增函数.
重要例题 y sin x在 , 严格增，则y sin x 2 2 在 , 具有反函数y arcsin x .根据原函数定义 2 2
复合函数 其中
( f g )(x) f ( g ( x))
x 自变量, u 中间变量, y 因变量
例1 u g ( x ) 2 x
2
, y f ( u) ln u ,
则 Rg [2, ) D f ,
因此能够形成复合函数
( f g )( x) ln( 2 x )
f ( x ) g( x ) h( x ) f ( x ) g( x ) h( x ) g( x ) h( x )
证明:
1 g ( x ) [ f ( x ) f ( x )] 2 设 h( x ) 1 [ f ( x ) f ( x )] 2
注 函数的严格单调性是它存在反函数的充分条 件，而不是必要条件。例如，函数
x 1, -1 x 0 y ｘ， ０ｘ１
三、函数的运算
设函数 f ( x ) , g( x ) 的定义域分别是D1 、D2 , D D1 D2 ，则我们可以定义这两 个函数
a
三、三角函数与反三角函数
1. 三角函数 正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
y sec x
余割函数
y csc x
练 习 题
练习题答案
2、 y sin u, u ln v , v 2 x ； e , x 1 1, x 0 3、 f [ g ( x )] 0, x 0 ； g[ f ( x )] 1, x 1 . 1, x 0 1 , x 1 e 1、 y e ；
x 20 0 三、 y 0.2 x ,20 x 50 10 0.3( x 50), x 50
1. 指数函数
1 x y( ) a
y a x (a 0 且 a 1 )
y ax
(a 1)

(0,1)
2. 对数函数 (logarithmic function)
y loga x (a 0, a 1)
y ln x
y log a x
(1,0)

(a 1)
y log 1 x
五、小结 思考题
1.基本初等函数： 幂函数、指数与对数函数、 三角函数与反三角函数的图象与简单性质. 2.初等函数的定义：
思考题
已知 f (tan x ) sec 2 x 1 , 求 f ( x )
2 解: f (tan x ) (tan x 1) 1
f ( x ) ( x 2 1) 1 x 2 2
是反函数的值域，原函数值域是反函数定义域， 因此，y arcsin x定义域为 -1,1 , 值域为 , . 2 2 类比求出 y arccos x, y arctan x, y arccot x, 定义域和值域.
例6 由于 yn x n 在 R + 上严格增,因此 yn 的反函
y = arctan x, y = arc cot x
初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四 则运算及有限次的复合所构成并且可以用一个 式子表示的函数。
一、幂函数(power functions )
幂函数
y x
(是常数)
y
y
1
(1,1)
y x
y x
o
1 y x
1
x
二、指数和对数函数
第三节 复合函数与反函数
一、复合函数 二、反函数 三、函数的运算
四、初等函数
五、小结 思考题
一、复合函数(compound function)
设 y u, u 1 x ,
2
y 1 x2
定义:设有函数 f 和 g ，D f Rg ，则称
定义在 {x | x Dg , g ( x) D f } 上的函数 f g 为 f 和 g 的
思考题
分段函数一定不是初等函数吗？
解答 不一定
x 考察函数 y x
x0 x0
它是一个分段函数，
但是 ，y x
x2
根据定义，它是一个初等函数.
练 习 题
x 1 1， 3、设 f ( x ) 0， x 1 ，g ( x ) e x ， 1， x 1 求 f [ g( x )] ，g[ f ( x )] ，并作出它们的 图形 .
( f g )( x ) f ( x ) g( x ) ，x D 函数的积 f g ( f g )( x ) f ( x ) g( x ) ，x D f f f ( x) 函数的商 ( )( x ) g g g( x ) x D \ { x | g( x ) 0}
显然 f ( x ) g( x ) h( x ) . 1 g ( x ) [ f ( x ) f ( x )] g ( x ) 是偶函数 ， 2 1 h( x ) [ f ( x ) f ( x )] h( x ) 是奇函数 . 2
四、初等函数
基本初等函数 幂函数 y x ( 是常数) x y a (a是常数, a>0, a 1) 指数函数 对数函数 y loga x(a是常数, a>0, a 1) 三角函数 y= sin x, y= cos x, y= tan x, y= cot x y = arcsin x, y = arccos x, 反三角函数
的下列运算： 函数的和（差） f g
例3
设函数 f ( x ) 的定义域为( l , l )，证明必 定存在 ( l , l ) 上的偶函数 g( x ) 及奇函数 h( x ) , 使得 f ( x ) g( x ) h( x ) .