【人教版】初中数学九年级知识点总结：25概率
最新人教版初中九年级上册数学【第二十五章 25章单元复习】教学课件
例题精讲
例3.如图所示是四张质地相同的卡片．将卡片洗匀后，背面朝上放置在 桌面上．
小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为 这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由．
2236
游戏规则 随机抽取一张卡片，记下数字 放回，洗匀后再抽一张．将抽取的 第一张、第二张卡片上的数字分别 作为十位数字和个位数字，若组成 的两位数不超过 32，则小贝胜， 反之小晶胜．
通过规律性来确定随机事件发生的可能性大小.
问题4.用什么来刻画随机事件发生的可能性大小？
概率 概率表示事件发生的可能性大小，事件发生的可能性 越大，它的概率越接近于1，反之事件发生的可能性越小， 则它的概率越接近于0．
知识梳理
事件
确定事件 不确定事件
必然事件 不可能事件
随机事件
概率为1 概率为0 概率在0到1之间
故摸出一个球是红球的概率为三分之二，摸出一个球是白球的 概率则为三分之一，摸出白球和摸出红球可能性不同.
例如4:一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜
色外都相同,搅匀后从中任意摸出两个球,问:两次都摸出红球的
概率是多少?
“不放回”
解：记“两次都摸出红球”为事件A，列表如下：
白
红1
红2
白
红1
红2
“不能重复”
白
（红1，白） （红2，白）
红1
（白，红1）
（红2，红1） P( A) 2 1
63
红2
（白，红2） （红1，红2）
谢谢观看
解：可以用列表法表示出所有可能出现的结果．
第1张 第2张
2
2
3
6
2 （2，2） （2，2） （2，3） （2，6）
概率初中知识点总结
概率初中知识点总结概率是数学中的一个重要分支，它用于研究随机事件发生的可能性。
在初中阶段，概率是数学课程的一个重要内容，它是培养学生逻辑思维和推理能力的重要工具。
下面将对初中知识点进行总结，以帮助读者更好地理解概率的概念和应用。
一、基本概念概率是指某个事件发生的可能性，通常用一个介于0和1之间的数来表示。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
概率的取值范围在0和1之间，概率越大，事件发生的可能性就越大。
二、概率的计算1. 事件的概率计算公式：事件的概率等于有利结果的个数除以总的可能结果的个数。
2. 等可能事件的概率计算公式：等可能事件的概率等于事件的个数除以总的可能结果的个数。
三、概率的性质1. 互斥事件的概率：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
互斥事件的概率等于两个事件概率之和。
2. 对立事件的概率：对立事件是指两个事件中只能发生一个的情况。
对立事件的概率等于1减去另一个事件的概率。
四、概率的应用1. 抽样与事件发生概率：在抽样问题中，通过对样本空间和事件的分析，可以计算出事件发生的概率。
2. 生日悖论：生日悖论是指在一群人中，至少有两个人生日相同的概率远远大于我们的直觉。
这个问题可以通过概率的方法进行解答。
3. 游戏中的概率：在游戏中，概率也有很大的应用。
比如掷骰子，扑克牌游戏等，概率可以帮助我们计算出不同结果的可能性。
4. 事件的独立性：事件的独立性是指一个事件的发生不会对另一个事件的发生产生影响。
在计算复杂问题的概率时，可以根据事件的独立性将问题简化。
五、概率与统计概率与统计是紧密相关的两个学科。
统计学中的概念和方法往往需要概率知识的支持。
比如抽样调查、数据分析等都需要用到概率的方法。
同时，概率也可以通过统计学的方法进行验证和应用。
六、概率与现实生活概率在现实生活中有广泛的应用。
比如购买彩票、天气预报、金融投资等都与概率有关。
了解概率的知识可以帮助人们做出更明智的决策。
概率是数学中的重要分支，它可以帮助我们理解和计算随机事件发生的可能性。
人教版九年级数学上册25.概率教学课件优秀公开课
第二十五章 概率初步 25.1.2 概率
学习目标：
1.在具体情境中理解概率的定义，体会事件产生的可能性 大 小与概率的关系。
2.理解概率的计算公式，明确概率的取值范围，能求简单 的 等可能性事件的概率。
在一定条件下: 必然会产生的事件叫必然事件; 必然不会产生的事件叫不可能事件; 可能会产生，也可能不产生的事件叫不确定事件或随机事件.
把这个例中的（1），（3）两问及答案联系起来，你有什么发现？
1. 当A是必然产生的事件时，P（A）= 1 。 当B是不可能产生的事件时，P（B）= 0 。 当C是随机事件时，P（C）的范围是 0 ≦ P（C）≦ 1 。
2．投掷一枚骰子，出现点数是4的概率约是 1/6 。
3．一次抽奖活动中，印发奖券10 000张，其中一等奖一名 奖金5000元，那么第一位抽奖者，（仅买一张）中奖概率 为 1/10000 。
实验2：掷一枚骰子，向上的一面的点数有6种可能，即1， 2，3，4，5，6。由于骰子形状规则、质地均匀，又是随机掷 出，所以出现每种结果的可能性大小相等，都是全部可能结果 总数的1/6。
上述数值1/5和1/6反应了实验中相应随机事件产生的可能 性大小。
概率的定义：
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其产生可能性大小的数值， 称为随机事件A产生的概率，记作P（A）。
必然事件的概率和不可能事件的概率分别是多少呢？ P(必然事件)＝1 P(不可能事件)＝0
在上述类型的实验中，通过对实验结果以及事件本身的分析，我
m
们就可以求出相应事件的概率，在P（A）= n 中，由m和n的含 义可知0≤m≤n,进而 0≤m/n≤1。因此
0≤P(A) ≤1.
特别地： 必然事件的概率是1，记作：P(必然事件)＝1； 不可能事件的概率是0，记作： P(不可能事件)＝0
25.1.2 概率课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
随堂练习
2. 任意掷一枚质地均匀的骰子.
(1) 掷出的点数大于4的概率是多少？
(2) 掷出的点数是偶数的概率是多少？
解：任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数可能是1，2，3，4，
5，6，即所有可能的结果有6种.因为骰子是质地均匀的，所以每种
结果出现的可能性相等.
随堂练习
2. 任意掷一枚质地均匀的骰子.
(1) 掷出的点数大于4的概率是多少？
（1）掷出的点数大于4的结果只有2种，即
掷出的点数分别是5，6.
所以P(掷出的点数大于4)=
= .
随堂练习
2. 任意掷一枚质地均匀的骰子.
(2) 掷出的点数是偶数的概率是多少？
（2）掷出的点数是偶数的结果有3种，即掷
出的点数分别是2，4，6.
所以P(掷出的点数是偶数)=
知识点2 简单随机事件的概率的求法
【例 4】一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停
在地板上阴影部分的概率是( A )
A.
B.
C.
D.
解析：观察这个图可知，阴影区域(3块)的面积占
总面积(9块)的
，故其概率为 .
知识讲解
知识点2 简单随机事件的概率的求法
【例 5】如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转盘分成7个大小相
1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出
现如图所示的情况.我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区
域(画线部分)，A区域外的部分记为B区域．数字3表示在A区域
有3颗地雷．下一步应该点击A区域还是B区域？
第二十五章概率初步知识点(人教版数学九年级上册)
第二十五章概率初步
一、本章知识结构图
二、本章知识点
25.1随机事件与概率
25.1.1随机事件
1. 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件。
2. 不可能事件：在一定条件下，不可能会发生的事件。
3. 确定性事件：必然事件和不可能事件统称确定性事件。
4. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
注：一般地，随机事件发生的可能性是有大小的。
25.1.2概率
1. 概率：
一般地，对于一个随机事件A ，我们吧刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率（probability ），记为P （A ）.
归纳：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可
能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率n
m =）（A P . 随机事件概率：1)(0<<A P .
必然事件概率：1)(=A P .
不可能事件概率：0)(=A P .
25.2用列举法求概率
1. 列举法：
① 列表：不重不漏的列出所有可能的结果，再从中选出符合要求的事件.
②树状图：选择一个元素与其他元素分别组合，依次列出像树枝形式，最末端
的个数就是事件总数.
树状图列举的结果一目了然，当事件要经过三步或三步以上的步骤时，用画树状图法比较有效.
25.3用频率估计概率
1.频率估计概率
大量重复试验时，事件发生的频率会在某个固定值左右摆动.摆动的幅度越小概率越稳定.可以用这个固定值来估计这个事件的概率.（试验次数越多，概率越精确）。
人教版九年级数学上册25章章末复习课件
是 ___9__ .
解析：网格格点除A，B外共有18个， 使△ABC的面积为1的格点有4个.
4.在一个不透明的袋中装有5个白色小球，n个红
色小球，小球除颜色外其他完全相同.若从中随机 摸出一个小球，恰为红色小球的概率是 4 ，则
5
n＝ __2_0___.
5.同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数和小于5的概率.
解：列表法
1
2
3
4
1
（2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2）
（3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3）
（4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4）
∴共有4中可能，抽取数字之和为5的概率是 4 = 1 .
12 3
考点四：用列表法或画树状图法求概率
7.有四张仅正面分别标有1，2，3，4的不透明纸片，除所标 数字不同外，其余都完全相同，将四张纸片洗匀后背面向上 放在桌上，现一次性从中随机抽取两张，用画树状图法或列 表法，求所抽取数字之和为5的概率.
知识梳理
2.概率的意义 （1）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结 果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包m含其中 的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝ n .
（2）事件A发生的概率的取值范围是_0__≤P(A)≤ _1__， 当A为必然事件时，P(A)=_1__； 当A为不可能事件时，P(A)=_0__.
4.用频率估计概率
一般地，在大量重复试验中，事件A发
生的频率 m
n
稳定于__某__个__常__数__P__，那么事件
A发生的频率P(A)=__P__.
考点一：生活中的事件
1.白居易在《赋得古原草送别》中写道“离离原上草， 一岁一枯荣”，从数学的观点看，诗句中描述的事件为 （A） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 不属于上述任何一种
人教版九年级数学上册25章概率初步小结课件
用频率估计概率时，必须做足够多的实验才能使频率趋于稳定，并且
每次实验必须在相同条件下进行，实验次数越多，得到的频率值就越
接近概率，规律就越明显，此时可以用频率的稳定值估计事件产生的
概率.
知识梳理
频率与概率的区分和联系
区分
频率
概率
实验值或使用时的统计值
理论值
与实验次数的变化有关
将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片
标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机
抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b．
(1) 写出k为负数的概率；
(2) 求一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象限的概率.
(2) 画树状图如图：
第一次
-1
(1) 请你用列表或画树状图的方法，表出所有可能出现的结果；解：(1) 列表或画树状图如下：
卡片
6
7
8
2
4
(2，6)
(4，6)
(2，7)
(4，7)
(2，8)
(4，8)
6
(6，6)
(6，7)
(6，8)
小球
2
6
7
所以共有9种等可能结果.
4
8
6
7
6
8
6
7
8
重点解析
5
在一个不透明的口袋里有分别标注2、4、6的3个小球（小球除数字外，其余
B.种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”
C.种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树不成活”
D.种植 n 棵幼树，当 n 越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9
初中数学概率知识点总结
初中数学概率知识点总结概率是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们预测事件发生的可能性。
在初中数学中，我们学习了许多与概率相关的知识点。
本文将对初中数学概率知识点进行总结，包括样本空间、事件、概率计算、互斥事件和独立事件等方面。
首先，我们来介绍样本空间和事件的概念。
在概率中，我们将所有可能结果的集合称为样本空间。
通常用大写字母S表示。
例如，掷一枚硬币的样本空间可以表示为S = {正面，反面}。
事件是样本空间中的一个或多个结果的子集。
事件用大写字母表示，通常用A、B、C等表示。
接下来，我们来讨论概率的计算方法。
概率可以用数字来表示某个事件发生的可能性大小。
在初中数学中，我们学习了两种概率计算方法：古典概率和统计概率。
古典概率是利用相同条件下，事件发生的可能性相等的情况下计算概率。
例如，掷一枚骰子，投掷结果是1的可能性为1/6。
统计概率是通过统计实验的结果来计算概率。
例如，通过多次投掷骰子，记录各个结果出现的次数，用结果出现的次数除以总投掷次数，可以得到每个结果的概率。
接下来，我们来介绍互斥事件和独立事件的概念。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生。
例如，掷一枚骰子，事件A为出现偶数点数，事件B为出现奇数点数，事件A和事件B是互斥事件。
独立事件是指一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
例如，连续投掷两枚硬币，事件A为第一枚硬币正面，事件B为第二枚硬币正面，事件A和事件B是独立事件。
在计算互斥事件和独立事件的概率时，我们可以使用相应的公式来计算。
此外，还有一些其他的概率知识点需要了解。
例如，计算多个事件同时发生的概率时，我们可以将这些事件按照“与”或“或”的关系进行计算。
使用“与”的关系时，我们可以使用乘法原理计算概率。
即将每个事件的概率相乘得到最终概率。
例如，从一副扑克牌中抽取一张黑桃牌且为红色的牌的概率为1/26。
使用“或”的关系时，我们可以使用加法原理计算概率。
即将每个事件的概率相加并减去同时发生的概率，得到最终概率。
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【人教版】初中数学九年级知识点总结：25概率
【编者按】概率是初中数学的常考知识点，但考题难度不大。本章内容要求学生了解事件的
可能性，在探究交流中学习体验概率在生活中的乐趣和实用性，学会计算概率。由浅入深，
层层递进，解决问题以学生为主，发挥学生的集体智慧，利用所学知识解决问题，突现应用
意识，进一步巩固所学知识。
一、知识框架
二、知识点
1. 随机事件： 在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规
律性的事件，简称事件。随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。
2. 特殊的事件
必然事件记作Ω，样本空间Ω也是其自身的一个子集，Ω也是一个“随机”事件，
每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现，必然发生。
不可能事件记作Φ，空集Φ也是样本空间的一个子集，Φ也是一个特殊的“随机”
事件，不包含任何样本点，不可能发生。
3. 随机事件的关系和运算
（1）交换律：A∪B=B∪A、AB=BA
（2）结合律：( A∪B )∪C=A∪( B∪C )
（3）分配律：A∪( BC )=( A∪B )( A∪C )
A( B∪C )=( AB )∪( AC )
（4）摩根律：A B=A∪B、A ∪ B=A B
4.概率：表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。它是随机事件出
现的可能性的量度，同时也是概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少
的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。但如果一
件事情发生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次发生该事件，而是指此事件发
生的频率接近于1/n这个数值。
5. 列举法：一种借助对一具体事物的特定对象(如特点、优缺点等)从逻辑上进行分
析并将其本质内容全面地一一地罗列出来的手段，再针对列出的项目一一提出改进的
方法。
6.频率估计概率：
在直角坐标系中，纵轴表示频数，横轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中各组
频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图。
频率分布直方图几个比较重要的数据求法
平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积*底边中点横坐标之和
中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标
众 数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标
补充：在图中，各个长方形的面积等于：相应各组的频率
（参考教材：初中数学九年级人教版）