简单复合函数求导
2.5简单复合函数的求导法则（讲义+典型例题+小练）（原卷版）
2.5简单复合函数的求导法则（讲义+典型例题+小练）复合函数(())y f g x =的导数求法： ①换元，令()u g x =（内函数），则()y f u =（外函数） ②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅ ③回代()u g x =规律：复合函数的导数=内函数的导数乘以外函数的导数例：1．设()()2ln 333f x x x =+-，则()1f '=（ ）A ．112-B ．356-C ．0D ．3562．设()0sin 2cos2f x x x =+，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n N ∈，则()2022f x =（ ） A ．()20212cos2sin 2x x - B ．()20222cos2sin 2x x -- C ．()20212cos2sin 2x x +D ．()20222cos2sin 2x x -+3．函数()2cos 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其导函数为函数()'f x ，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭__________．4．函数212e ()x f x x -=在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程是_________． 5．求下列函数的导数： (1)()cos 34y x =+； (2)214x y -=； (3)()521y x =-； (4)()3log 51y x =-.举一反三：1．已知函数()cos 2f x x =，那么()6f π'的值为（ ）A ．32-B ．32C ．3D ．3-2．已知函数()f x 及其导函数()f x '，若存在0x 使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是( )A ．()2f x x = B ．()ln f x x = C ．()e xf x -= D ．()cos f x x =3．已知函数()()()2e 0ln 4xf f x x '=++，则()0f '=______．4．求下列函数的导数：(1)222e e x x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)22x y a x =+； (3)43sin 3cos 4y x x =⋅； (4)()ln ln 11x xy x x =-++． 5．如图，一个物体挂在铅直的弹簧下面，已知其位移sin y A t ω=，其中t 为时间，A 为振幅，ω为常数.(1)求物体的速度与加速度关于时间的函数； (2)试讨论物体的位移、速度与加速度的关系.巩固提升一、单选题1．已知()21x f x x e -+，则()0f '=（ ） A ．0B ．2C ．32D ．12-2．下列关于函数()21ny x =-的复合过程与导数运算正确的是（ ）A ．()1n y u =-，2u x =，()21ny nx u '=- B ．n y t =，()21nt x =-，()121n y nx t -'=-C ．n y u =，21u x =-，()1221n y nx x -'=-D ．n y u =，21u x =-，()121n y n x -'=-3．已知1y x =-与曲线ln()y x a =-相切，则a 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．24．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系()2402tN t N -=，其中0N 为0=t 时钍234的含量.已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，则()96N =（ ） A ．12B ．12ln2C ．24D ．24ln25．已知0a b >>，函数axy e =在0x =处的切线与直线20x by -=平行，则22a ba b+-的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数()()ln e f x x x =+，()()2131a g x x -=--，若直线2y x b =+与曲线()y f x =，()y g x =都相切，则实数a 的值为（ ）A ．54B ．1716C ．178D ．17e8二、多选题7．下列各式正确是（ ） A ．sin cos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()()1ln x x'-=C ．()222x x e e '=D ．()12x x '=-8．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数()()()1*7sin 212N 1i i x f x i i =-⎡⎤⎣⎦=∈-∑的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）为周期函数，且最小正周期为π B ．函数f （x ）为奇函数C ．函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝2π对称 D ．函数()'f x 有最大值为7三、填空题9．函数()e cos2xf x x =的导函数()f x '=___________.10．某个弹簧振子在振动过程中的位移y （单位：mm ）与时间t （单位：s ）之间的关系516sin 62y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则该振子在6s t =时的瞬时速度为___________mm/s .四、解答题11．求下列函数的导数： (1)()()521f x x =+；(2)()2sin f x x =；(3)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(4)()()ln 1f x x =+．12．某港口在一天24h 内潮水的高度S （单位：m ）随时间t （单位：h ，024t ≤≤）的变化近似满足关系式π5π()3sin 126S t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求18点时潮水起落的速度．。
专题十八 简单的复合函数的导数
高考数学（江苏专用）
专题十八 简单的复合函数的导数
考点清单
考点 简单的复合函数的导数
考向基础 1.复合函数求导法则 [f(g(x))]'x=f '(u)|u=g(x)·g'(x),即y'x=y'u·u'x. 以上求导法则,也称为复合函数求导的“链式法则”. 2.(1)[f(ax)]'x=① a·f '(ax) (其中a≠0); (2)[f(x+b)]'x=② f '(x+b) ; (3)[f(ax+b)]'x=af '(ax+b)(其中a≠0).
当-2<a<0时,-
2 a
>1,此时f(x)在(-∞,1)和
2 a
,
上单调递减,在1,
2 a
上
单调递增.
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6
栏目索引
(3)当a>0时, f(x), f '(x)随x的变化情况如下表:
x f '(x) f(x)
3 a
,
2 a
+
增
-2
a
0 极大值
2 a
,1
-
减
∵f
3 a
>0,f(1)<0,
得x1=0,x2=
n 1 2n 1
,x3=1,因为n≥2,所以x1<x2<x3.
当n为偶数时, f(x), f '(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
f '(x)
+
0
0,
n 1 2n 1
n 1 2n 1
n 1 2n 1
复合函数的导数
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
第5课时 简单复合函数的求导法则(解析)
第5课时简单复合函数的求导法则（解析）重点:能够利用复合函数的求导法则,对形如f(ax+b)的复合函数求导.难点:简单复合函数的求导法则的应用.海上一艘油轮发生了泄漏事故,泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜,油膜的面积S(单位:m2)关于油膜半径r(单位:m)的函数为S=f(r)=πr2.油膜的半径r随着时间t(单位:s)的增加而增大,假设r关于t的函数为r=φ(t)=2t+1,则油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少?预学1:常用的基本初等函数中学数学中常用的基本初等函数有:一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等.想一想:中学数学中常用的基本初等函数的表达式有哪些?【解析】一次函数:y=kx+b(k≠0),二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0),反比例函数:y=(k≠0),幂函数:y=xα,指数函数:y=a x(a>0,a≠1),对数函数:y=log a x(a>0,a≠1),三角函数:y=sin x,y=cos x,y=tan x,等等.预学2:复合函数的概念及拆分方法一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),给定一个x值,就得到了u的值,进而确定了y的值,这就确定了一个新的函数y=f(g(x)),这个新函数是由y=f(u)和u=g(x)复合而成的,我们称这个新函数为复合函数,记作y=f(g(x)).特别地,当g(x)=ax+b 时,这个复合函数就是y=f(ax+b),其中u为中间变量,把函数f(u)叫作外层函数,函数g(x)叫作内层函数.议一议:下列函数分别是由哪两个函数复合而成的?(1)y=2-x+1;(2)y=cos;(3)y=lg(3-2x).【解析】(1)函数y=2-x+1是由函数y=2u和u=-x+1复合而成.(2)函数y=cos是由函数y=cos u和u=x+复合而成.(3)函数y=lg(3-2x)是由函数y=lg u和u=3-2x复合而成.预学3:复合函数的求导法则复合函数y=f(u(x))的导数为y x'=[f(u(x))]'=f'(u)·u'(x).预学4:复合函数的求导步骤如果函数f(u)、u(x)有导数,那么[f(u(x))]'=f'(u)·u'(x).第一步:分层(从外向内分解成基本函数直到中间变量).第二步:层层求导(将分解所得的基本函数进行求导).第三步:作积还原(将各层基本函数的导数相乘,并将中间变量还原为原来的自变量).想一想:求函数y=的导数.【解析】引入中间变量u=g(x)=3x+1,则函数y=是由函数y==与u=g(x)=3x+1复合而成的.由导数公式可得f'(u)=,g'(x)=3.由复合函数的求导法则可得y'=()'=f'(u)g'(x)=×3=.1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是().A.y=u n,u=x2-1B.y=(u-1)n,u=x2C.y=t n,t=(x2-1)nD.y=(t-1)n,t=x2-1【答案】A2.已知f(x)=sin n x,则f'(x)=().A.n sin n-1xB.n cos n-1xC.cos n xD.n sin n-1x·cos x【解析】因为f(x)=sin n x由函数y=t n和t=sin x复合而成,所以f'(x)=y'·t'x=nt n-1·cos x=n sin n-1x·cos x.t【答案】D3.若f(x)=,则f'(0)=.【解析】因为f'(x)=(e x-e-x),所以f'(0)=0.【答案】04.求函数y=e2x cos 3x的导数.【解析】由导数的运算法则及复合函数的求导法则得y'=2e2x cos3x+e2x(-3sin 3x)=e2x(2cos 3x-3sin 3x).探究1:复合函数的定义【例1】指出下列函数是怎样复合而成的.(1)y=(2-x)3;(2)y=sin x2;(3)y=cos;(4)y=ln(3x+1).【方法指导】利用复合函数的定义即可知函数是怎样复合而成的.【解析】(1)函数y=(2-x)3由函数y=u3和u=2-x复合而成.(2)函数y=sin x2由函数y=sin u和u=x2复合而成.(3)函数y=cos由函数y=cos u和u=-x复合而成.(4)函数y=ln(3x+1)由函数y=ln u和u=3x+1复合而成.【变式设问】若将例1(3)变为y=cos2,试分析它是怎样复合而成的.提示:y=cos2==+sin x,此函数可看作y=+t和t=sin x复合而成.【针对训练1】指出下列函数由哪些函数复合而成.(1)y=ln;(2)y=;(3)y=cos(x+1).【解析】(1)y=ln u,u=.(2)y=e u,u=sin x.(3)y=cos u,u=x+1.探究2:简单复合函数的导数【例2】求下列函数的导数:(1)y=e2x+3;(2)y=;(3)y=5log2(1-x);(4)y=sin3x+sin 3x.【方法指导】先分析函数是怎样复合而成的,找出中间变量,分层求导.【解析】(1)函数y=e2x+3可看作函数y=e u和u=2x+3的复合函数,∴yx '=yu'·ux'=(e u)'(2x+3)'=2e u=2e2x+3.(2)函数y=可看作函数y=u-3和u=2x-1的复合函数,∴yx '=yu'·ux'=(u-3)'(2x-1)'=-6u-4=-6(2x-1)-4=-.(3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数,∴yx '=5yu'·ux'=5(log2u)'·(1-x)'==.(4)函数y=sin3x可看作函数y=u3和u=sin x的复合函数,函数y=sin 3x 可看作函数y=sin v和v=3x的复合函数.∴yx'=(u3)'·(sin x)'+(sin v)'·(3x)'=3u2·cos x+3cos v=3sin2x cos x+3cos 3x.【变式设问】若将例2(1)变为y=(2x+3)e2x+3,试求其导数.提示:y'=2e2x+3+2(2x+3)e2x+3=4(x+2)e2x+3.【针对训练2】求下列函数的导数:(1)y=(3x-2)2;(2)y=ln(6x+4);(3)y=sin;(4)y=;(5)y=sin;(6)y=cos2x.【解析】(1)y'=2(3x-2)·(3x-2)'=18x-12.(2)y'=·(6x+4)'=.(3)∵y=-sin·cos=-sin x,∴y'='=-cos x.(4)y'=·(2x-1)'=.(5)y'=cos·'=3cos.(6)y'=2cos x·(cos x)'=-2cos x·sin x=-sin 2x.探究3:简单复合函数导数的应用【例3】求曲线f(x)=e2x+1在点处的切线方程.【方法指导】利用导数的几何意义先求出切线的斜率,再写出直线的点斜式方程.【解析】因为f'(x)=e2x+1·(2x+1)'=2e2x+1,所以f'=2,故曲线f(x)=e2x+1在点处的切线方程为y-1=2,即2x-y+2=0.【变式设问】求曲线f(x)=e2x+1过点的切线方程.提示:设切点为(x0,),则切线l的斜率为k=2,故切线方程为y-=2(x-x0),将点代入,可得x0=0,故切点为(0,e),因此所求的切线方程为y=2e x+e.【针对训练3】已知曲线f(x)=e2x cos 3x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与直线l的距离为,求直线l的方程.【解析】因为f'(x)=(e2x cos 3x)'=(e2x)'cos 3x+e2x(cos 3x)'=2e2x cos 3x+e2x(-3sin 3x)=e2x(2cos 3x-3sin 3x),所以f'(0)=2.则切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0.因为直线l与切线平行,设直线l的方程为2x-y+c=0.又两平行线间的距离d==,解得c=6或c=-4.所以直线l的方程为2x-y+6=0或2x-y-4=0.1.简单复合函数求导的一般步骤为“分层——求导——回代”,即:(1)弄清复合关系,将复合函数分解成基本初等函数形式;(2)利用求导法则分层求导;(3)最终结果要将中间变量换成原来的自变量.注意不要漏掉第(3)步回代的过程.2.(1)对于简单复合函数的求导,分析复合函数的结构,找准中间变量是求导的关键,要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体,并且它们必须是一些常见的基本函数.(2)对复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,从外层开始由外向内逐层求导.3.求曲线的切线方程要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”这两种不同的说法.1.下列函数不是复合函数的是().A.y=-x3-+1B.y=cosC.y=D.y=(2x+3)4【解析】函数y=cos由函数y=cos u和u=x+复合而成;函数y=由函数y=和u=ln x复合而成;函数y=(2x+3)4由函数y=u4和u=2x+3复合而成;函数y=-x3-+1不是复合函数.【答案】A2.函数y=的导数是().A.y'=B.y'=C.y'=-D.y'=-【解析】由于y==(3x-1)-2,故y'=-2(3x-1)-3(3x-1)'=-6(3x-1)-3=-.【答案】C3.已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为.【解析】∵y=ln(x+a),∴y'=.设切点为(x0,y0),则y0=2x0-1,y0=ln(x0+a),且=2,解得a=ln 2.【答案】ln 24.已知a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线.求切线l的方程.【解析】f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),f(0)=1.所以f'(x)=2ax-2+=,所以f'(0)=-1,所以切点P的坐标为(0,1),切线l的斜率为-1,所以切线l的方程为x+y-1=0.【案例】已知函数f(x)=-x2+b ln(x+2),x>-2.问题1:若函数f(x)在点x=-1处的切线过点,试求b的值.【解析】由题意可知f(-1)=-.因为f'(x)=-x+,所以f'(-1)=1+b,所以切线方程为y+=(1+b)·(x+1).又切线过点,所以+=(1+b),所以b=1.问题2:若b=3,解不等式f'(x)>0.【解析】f'(x)=-x+=>0,因为x+2>0,所以不等式可等价为-x2-2x+3>0,即x2+2x-3<0,解得-3<x<1.问题3:若f'(x)≤0在x∈(-1,+∞)上恒成立,求b的取值范围.【解析】由题意可知b≤x(x+2)=(x+1)2-1在x∈(-1,+∞)上恒成立,所以b≤-1.【评析】本题综合考查了导数的求法、导数的几何意义、一元二次不等式的解法、恒成立问题等,解题的关键是利用复合函数的求导公式、不等式的解法等进行运算,体现了对数学运算素养的考查,为导数的应用奠定基础.基础达标(水平一)1.函数f(x)=(2kx)2的导数是().A.f'(x)=4kxB.f'(x)=4k2xC.f'(x)=8kxD.f'(x)=8k2x【解析】f'(x)=2(2kx)(2kx)'=8k2x.【答案】D2.若函数f(x)=3sin,则f'=().A.-3 B.3 C.-6 D.6【解析】因为f'(x)=3cos·'=6cos,所以f'=6cos=-3.【答案】A3.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为().A.1B.2C.-1D.-2【解析】设切点P(x0,y0),则y0=x0+1=ln(x0+a).又由y'==1,解得x0+a=1,∴y0=0,x0=-1,∴a=2.【答案】B4.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=().A.0B.1C.2D.3【解析】令f(x)=ax-ln(x+1),则f'(x)=a-.由f'(0)=a-1=2,得a=3.【答案】D5.若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.【解析】设P(x0,y0),因为y=e-x,所以y'=-e-x.故点P处的切线斜率为k=-=-2,所以-x0=ln 2,得x0=-ln 2,所以y0=e ln 2=2,即点P的坐标为(-ln 2,2).【答案】(-ln 2,2)6.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形面积为.【解析】∵y'=-2e-2x,∴y'|x=0=-2,切线方程为y=-2x+2.∴所围成的三角形的三个顶点为(0,0),(1,0),.∴三角形的面积S=×1×=.【答案】7.设函数f(x)=x+ln(x-5),g(x)=ln(x-1),解不等式f'(x)>g'(x).【解析】因为f'(x)=1+,g'(x)=,由f'(x)>g'(x),得1+>,即>0,解得x>5或x<1.又两个函数的定义域为即x>5,所以不等式f'(x)>g'(x)的解集为(5,+∞).拓展提升(水平二)8.曲线y=x e x-1在点(1,1)处的切线斜率等于().A.2eB.eC.2D.1【解析】y'=e x-1+x e x-1=(1+x)e x-1,∴y'|x=1=2,即曲线y=x e x-1在点(1,1)处的切线斜率k=2.【答案】C9.已知曲线方程f(x)=sin2x+2ax(a∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是().A.(-∞,-1)∪(-1,0)B.(-∞,-1)∪(0,+∞)C.(-1,0)∪(0,+∞)D.a∈R且a≠0,a≠-1【解析】假设存在实数m,使直线l是曲线y=f(x)的切线,∵f'(x)=2sin x cos x+2a=sin 2x+2a,∴方程sin 2x+2a=-1有解,∴-1≤a≤0.故所求a的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞),故选B.【答案】B10.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=.【解析】因为f'(x)=-sin(x+φ),所以f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2sin.若f(x)+f'(x)为奇函数,则f(0)+f'(0)=0,即2sin=0,所以φ+=kπ(k∈Z).又φ∈(0,π),即φ=.【答案】11.若点P是曲线y=e x+1上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.【解析】根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=e x+1相切于点(x0,y0),该切点即为与直线y=x距离最近的点.如图,则在点(x0,y0)处的切线斜率为1,即当x=x时,y'=1.因为y'=(e x+1)'=e x+1,所以=1,得x0=-1,代入y=e x+1,得y0=1,即P(-1,1).利用点到直线的距离公式得最小距离为.。
简单复合函数求导法则
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
分析复合函数的结构，找准中间变量是
反思与感悟
求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个 整体，并且它们必须是一些常见的基本函数. 复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再 写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由
外及内逐层求导.
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋3)2；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝sin(πx＋φ). 解 (1)函数y＝(2x＋3)2可以看成函数y＝u2，u＝2x＋
3的复合函数. ∴yx′＝ yu′· ux′ ＝ (u2)′· (2x＋ 3)′＝ 2u· 2 ＝ 4(2x＋ 3) ＝8x＋12.
探究点一
思考1
复合函数的定义
观察函数y＝2xcos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，
说明它们分别是由哪些基本函数组成的？
答 y＝2xcos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；
而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复
合”得到的，
即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点三
复合函数导数的应用
2x＋ 1
1 例 3 求曲线 y＝e 在点(－ ，1)处的切线方程. 2 解 ∵y′＝e2x＋1· (2x＋1)′＝2e2x＋1，
∴y′ ＝ 2，
2x＋ 1
∴曲线 y＝e
1 在点(－ ，1)处的切线方程为 2
高中数学简单复合函数的求导法则
2u , ux 3, 从而 yx y 则 yu u ux 18 x 12
练习:指出下列函数是怎样复合而成的. 1 3 （1） y sin (1 ) （2） y (1 sin 2 x)4 x （3） y cos ln( x 1)
2
（4） y ae
2 x2 1
例：求下列函数的导数 (1) y (2 x 3)2
yx ' yu ' ux ' (u 2 )'(2x 3)' 4u 8x 12
(2) y e
0.05 x 1
yx ' yu ' ux ' (eu ) '(0.05x 1) ' 0.05e 0.05e
二、导数运算法则
[ f ( x) g ( x)]' f ( x)' g ( x)' [ f ( x) g ( x)]' f ( x)' g ( x) f ( x) g ( x)' f ( x) f ( x)' g ( x) f ( x) g ( x)' [ ]' 2 g ( x) [ g ( x)]
§5 简单复合函数的求导法则
一、基本初等函数的求导公式
1.若y c(c是常数),则y / 0; 2.若y x (是实数),则y / x 1; 3.若y a x (a 0, a 1),则y / a x ln a 特别地(e x ) / e x ; 4.若y log x(a 0, a 1),则y /
想一的导数 把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导. 是否还有用其它的办法求导呢? 2).又如我们知道函数y=1/x2的导数是y’=- 2/x 3 那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
复合函数求导公式
复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x);
②设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);
1什么是复合函数
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
2复合函数怎么求导
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)
比如说：求ln(x+2)的导函数
[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数
x'】×1【注：1即为(x+2)的导数】
主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
复合函数求导方法
复合函数求导方法在微积分中，复合函数是一种十分常见的函数形式，它由两个或多个函数组合而成。
对于复合函数的求导，我们需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍复合函数求导的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来回顾一下基本的导数求法。
对于一个函数y=f(x)，它的导数可以用极限的形式表示为：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]这是导数的定义式，也是我们求导的基本方法。
而对于复合函数，我们需要使用链式法则来进行求导。
链式法则的表述如下，若函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))可导，并且有。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]这就是链式法则的数学表达形式。
简单来说，就是先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
下面我们通过实例来具体说明复合函数求导的方法。
假设我们要求函数y=(x^2+1)^3的导数。
首先，我们可以将这个函数看作外层函数f(u)=u^3，内层函数u=g(x)=x^2+1。
按照链式法则，我们先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
首先，对外层函数f(u)=u^3求导，得到f'(u)=3u^2。
然后，对内层函数u=g(x)=x^2+1求导，得到g'(x)=2x。
最后，将两者相乘，得到复合函数y=(x^2+1)^3的导数为：\[ \frac{dy}{dx} = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2 \]这就是复合函数求导的具体步骤和结果。
通过这个例子，我们可以看到，复合函数求导并不难，只需要按照链式法则的步骤进行，便可以得到结果。
除了链式法则，我们在求导复合函数时还可以使用其他方法，比如对数导数法则、指数导数法则等。
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1
简单复合函数的导数
一、基础知识梳理：
（一）常用的求导公式
11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa
公式若则
公式若则
公式若则
公式若则
公式若则
公式若则
公式若则且
公式若1()ln,'();fxxfxx则
（二）复合函数的求导数公式
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
2
)()()()(vvuvuvuuccuvuvuvuvuvu
（三）复合函数求导法则
1、二重复合：若)(ufy， )(xu 且)(xu在点x处可导。 则)()(•xufy
2、多次复合函数求导法则类推
二、典型例题分析：
例1、求下列函数的导数；
1）、3(23)yx 2）、ln(51)yx
2
练习：求下列函数的导数
1）、2(23)yx 2）、3(13)yx
例2、求下列函数的导数；
1）、131yx 2)、cos(12)yx
练习：求导数；
1）、1lnyx 2）、2xye
3）、求曲线sin2yx在点P（,0）处的切线方程。
例题3 已知
(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1ffgg ，根据下列条件 求(5)h及'(5)h
1）、()3()2()hxfxgx 2）、 ()()()1hxfxgx
3）、()2()()fxhxgx
3
巩固练习
1.函数y=2)13(1x的导数是
A.3)13(6x B.2)13(6x C.－3)13(6x D.－2)13(6x
2.已知y=21sin2x+sinx,那么y′是
A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值，又有最小值的偶函数
C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数
3.函数y=sin3(3x+4)的导数为
A.3sin2(3x+4)cos(3x+4) B.9sin2(3x+4)cos(3x+4)
C.9sin2(3x+4) D.－9sin2(3x+4)cos(3x+4)
4.函数y=cos(sinx)的导数为
A.－［sin(sinx)］cosx B.－sin(sinx)
C.［sin(sinx)］cosx D.sin(cosx)
5.函数y=cos2x+sinx的导数为
A.－2sin2x+xx2cos B.2sin2x+xx2cos
C.－2sin2x+xx2sin D.2sin2x－xx2cos
6.过曲线y=11x上点P（1，21）且与过P点的切线夹角最大的直线的方程为
A.2y－8x+7=0 B.2y+8x+7=0 C.2y+8x－9=0 D.2y－8x+9=0
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
7.函数y=(1+sin3x)3是由___________两个函数复合而成.
4
8.曲线y=sin3x在点P（3,0）处切线的斜率为___________.
9.函数y=xsin(2x－2)cos(2x+2)的导数是 .
10.函数y=)32cos(x的导数为 .
11.函数y=cos3x1的导数是___________.
复合函数的导数
1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.A 7.y=u3,u=1+sin3x 8.－3
9.y′=21sin4x+2xcos4x 10.)32cos()32sin(xx 11.xxx1sin1cos122
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