高一数学秦九韶算法与排序
1.3.2秦九韶算法
x2 x, (x2 x) x, ((x2 x) x) x
的值. 这析计算上述多项式的值,与第一种做法 相比,乘法的运算次数减少了,因而能提高运算 效率.
[问题3]探索更好的算法,来解决
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值。
1.3.2 案例2 秦九韶（约1202--1261），字道
秦九韶算法
古，四川安岳人。先后在湖北，安 徽，江苏，浙江等地做官，1261
年左右被贬至梅州，（今广东梅
县），不久死于任所。他与李冶，
杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。
早年在杭州“访习于太史，又尝从
隐君子受数学”，1247年写成著
名的《数书九章》。《数书九章》
程序 x=5
f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7
PRINT f
END
点评:上述算法一共做了5+4+3+2+1＝15次 乘法运算,5次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是 计算效率不高.
[问题2]有没有更高效的算法?
分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结 果,以减少计算量,
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 v0=2 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 v2=v1x-4=5×5-4=21 =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 v4=v3x-6=108×5-6=534
§75秦九韶算法
§75秦九韶算法§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法三大语言三结构五种语句三案例高考主流是框图循环结构是重点辗转相除法与更相减损术进位制秦九韶算法注4：注1：自然语言框图程序设计语言注2：顺序结构条件结构循环结构输入语句注3：赋值语句输出语句条件语句循环语句───求最大公约数───求多项式的值框图的画法是次要的重点是要能看懂框图2.辗转相除法1.短除法求最大公约数的方法3.更相减损术数字较小短除法公质因数连续除除到所有商互质除数连乘是答案大除小余换大辗转除何时停0或11互质0除数即答案大减小差换大连续减何时停两相等即答案若可半可省功注：辗转相除法与更相减损术的异同点1.辗转相除法以除法运算为主3.两法本质上都是递推，都可用循环结构编程更相减损术以减法运算为主2.辗转相除法当除法运算余数为O或1时终止运算更相减损术当减法运算差为O时终止运算§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法常见的多项式（整式）函数我省的大压轴题，每年都是以三次函数来说事2013年的全国Ⅰ卷的小压轴题，是四次函数泰勒中值定理一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理②n越大越精确①阶乘的概念：参课本P：32练习2麦克劳林公式一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法最多n(n+1)/2次乘法，n次加法最多n次乘法，n次加法xn=(xn-1)xxn-1=(xn-2)xxn-2=(xn-3)x…二、求多项式值的求法4.其他法例如当n=10时……引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值直接法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=3125＋625＋125＋25＋5＋１=3906累乘法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１＋5＋１□=＋□＋□＋□251253125625=3906引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值秦九韶算法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１)＋１=5×(5×(5３＋5２＋5＋１)＋１)＋１=5×(5×(5×(5２+5+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5×(5+１)+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5×6+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×31+１)+１)+１=5×(5×156+１)+１=5×781+１=3906先改后算迭代法降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表后算先改可以看出，该算法是：将求一个5次多项式f(x)的值转化成了求5个一次多项式的值的方法引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值1.直接法2.累乘法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１3.秦九韶算法4.其他法5５，5４，5３，5２，5，１应用等比数列的求和公式最简洁吧秦九韶算法：设是一个n次的多项式先对该多项式按下面的方式进行改写：先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算如何求该多项式的值呢？最后一项Vn是所求值秦九韶算法是将求一个n次多项式f(x)的值转化成了，求n个一次多项式的值的方法。
秦九韶算法高中数学
秦九韶算法高中数学
秦九韶算法是一种快速求解多项式值的算法，常用于计算机科学和工程学。
该算法可以将一个n次多项式表示为n-1次多项式的递归形式，从而快速计算多项式的值。
具体来说，假设要求P(x)=a0+a1*x+a2*x^2+⋯+an*x^n，秦九韶算法的递推公式为：
P(x) = a0 + x * (a1 + x * (a2 + x * (a3 + ⋯ + x * (an-1 + x * an))))
也就是说，从最高次项开始逐次将x乘进去，直到乘到最低次项为止。
这样一来，算法的复杂度为O(n)（即线性），比暴力计算的O(n^2)（即平方）要快得多。
在高中数学中，秦九韶算法主要作为多项式函数的计算工具。
例如，假设给定多项式f(x)=2x^3+4x^2+3x+1和x=2，要求计算f(x)，可以使用秦九韶算法：
f(2) = 2 * 2^3 + 4 * 2^2 + 3 * 2 + 1
= 16 + 16 + 6 + 1
= 39
因此，f(2)=39。
秦九韶算法的应用范围很广，可以用于求解各种多项式函数的值，包括指数函数、对数函数等。
秦九韶算法公式
秦九韶算法公式
《秦九韶算法公式》是由古代中国数学家秦九韶发明的一种算法公式，与其他现代算法公式相比，它有较高的准确度和计算速度，被广泛应用于科学计算中。
秦九韶算法公式由三部分组成：十六进制转换、递归分解和矩阵运算。
十六进制转换秦九韶算法的基础，它可以将一个二进制数转换成十六进制数。
十六进制转换可以确保数据的精确性，从而确保最终结果的准确性。
递归分解的过程是将原来的高维数据逐步分解成低维数据，这样可以有效减少计算量，提高计算速度。
例如，原本要计算一个1024维数据，经过8次递归分解，就可以将它分解为8个2维数据，再进行计算，大大提高了计算效率。
矩阵运算是一种高效算法，它采用矩阵之间的乘积运算，可以大大提高计算效率，简化计算过程。
另外，矩阵运算有利于准确推断出复杂的关联关系，可以更有效地进行大规模的数据分析。
秦九韶算法公式在科学计算中得到了广泛应用，它可以有效解决复杂的计算难题，提高计算效率，提高准确度。
在金融分析、市场分析、图像处理、信号处理等领域都有广泛应用。
例如，在股票市场分析中，可以利用秦九韶算法公式快速分析市场的投资策略，辅助投资者更好地把握市场机会，更好地投资，获得投资回报。
另外，在图像处理中，秦九韶算法可以将图像转换成高分辨率的数字表示，从而实现图像处理的效果。
还有，在信号处理领域，
秦九韶算法可以实现快速精确地信号处理，准确地提取信号特征，从而可以实现复杂的信号分析。
秦九韶算法的应用可以帮助我们更有效地处理复杂的数据，从而更有效地实现科学计算，从而更好地适应现代社会的发展需求。
秦九韶算法公式详解
秦九韶算法公式详解秦九韶算法是一种多项式求值的高效算法，可以大大提高多项式求值的速度。
本文将详细介绍秦九韶算法的原理、流程和应用。
一、算法原理秦九韶算法是一种递推算法，其基本思想是将多项式分解为一个个单项式，然后通过递推的方式依次求值。
具体来说，对于一个n次多项式f(x)，我们可以将其表示为：$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 然后，我们可以先计算出a_n和a_{n-1}的值，然后利用递推公式：$b_{i}=a_{i}+xtimes b_{i+1}$求出$b_{n-1}$，再利用递推公式：$c_{i}=b_{i}+xtimes c_{i+1}$求出$c_{n-2}$，以此类推，直到求出$c_{1}$，最后再加上$a_{0}$即可得到多项式的值。
二、算法流程1.输入多项式的系数和x的值；2.初始化b_{n-1}=a_{n}和c_{n-2}=a_{n}x+a_{n-1}；3.从n-2到0依次计算$b_{i}$和$c_{i}$，直到$i=0$为止；4.输出$c_{0}$，即为多项式在x处的值。
三、算法应用秦九韶算法可以用于多项式求值、多项式插值、多项式拟合、多项式积分等多个领域。
其中，多项式插值和多项式拟合是最为常见的应用。
1.多项式插值多项式插值是指通过已知的n个点，构造一个n次多项式，使得该多项式经过这n个点。
具体来说，对于n个点$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{n},y_{n})$，我们要求出一个n次多项式$f(x)$，使得$f(x_{i})=y_{i}$。
根据拉格朗日插值公式，我们可以得到：$f(x)=sum_{i=1}^{n}y_{i}l_{i}(x)$其中，$l_{i}(x)$是n次拉格朗日基函数，定义为：$l_{i}(x)=prod_{j=1,jeq i}^{n}frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$这里，我们可以使用秦九韶算法来快速求出各个基函数的系数，从而快速计算出多项式的值。
1.3.2秦九韶算法
(( an x
n2
an1 x
n 3
a2 ) x a1 ) x a0
((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
f ( x) ((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
再将第二种方法与第三种方法比较，两种方法都是利用 上一步的结果进行运算。两种方法哪种更有效？我们将上题 加上系数再比较。
f ( x) 5x 2x 3.5x 2.6x 1.7 x 0.8
5 4 3 2
算法二：
f ( x) 5x( x( x x2 )) 2x( x x2 ) 3.5x x2 2.6x2 1.7x 0.8
共做了4次乘法，5次加法。 共做了10次乘法，5次加法。
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =(5４＋5３＋5２＋5＋１)×5＋１ =((5３＋5２＋5＋１)×5＋１)×5＋１ =(((5２+5 +１)×5+１)×5+１)×5+１ =((((5+１)×5+１)×5+１)×5+１)×5+１
共做了4次乘法，5次加法。
你从中看到了 怎样的规律？ 怎么用程序框 图来描述呢？
所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
特点：通过一次式的反复计算，逐步得出 高次多项式的值，对于一个n次多项式， 只需做n次乘法和n次加法即可。
利用秦九韶算法求多项式Байду номын сангаас
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值： 先化为f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0，
高中数学知识点总结：秦九韶算法与排序
高中数学知识点总结：秦九韶算法与排序
秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念：
f(x)=a n x n+a n-1x n-1+….+a1x+a0求值问题
f(x)=a n x n+a n-1x n-1+….+a1x+a0=( a n x n-1+a n-1x n-2+….+a1)x+a0 =(( a n x n-2+a n-1x n-3+….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( a n x+a n-1)x+a n-2)x+...+a1)x+a0
求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=a n x+a n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2=v1x+a n-2 v3=v2x+a n-3 ......v n=v n-1x+a0
这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序
1、直接插入排序
基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。
将第１个数放入数组的第１个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置．将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置中．（由于算法简单，可以举例说明）
2、冒泡排序
基本思想：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,小数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.
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秦九韶算法高中数学
秦九韶算法是一种用于高中数学中多项式运算的快速计算方法。
它可以通过减少乘法和加法的次数，从而提高计算效率。
该算法主要用于多项式的乘法和求值操作。
首先，我们来看多项式的表示形式。
一个n次多项式可以表示为：P(x) = aₙxⁿ+ aₙ₋₁xⁿ⁻¹+ ... + a₁x + a₀其中，a₀, a₁, ..., aₙ是多项式的系数，x是变量。
多项式中，次数最高项的系数aₙ不为零。
接下来，我们将详细介绍秦九韶算法的两个主要操作：多项式的乘法和多项式的求值。
1. 多项式的乘法：假设有两个多项式：A(x) = aₙxᵐ + aₙ₋₁xᵐ⁻¹+ ... + a₁x + a₀B(x) = bₙxⁿ+ bₙ₋₁xⁿ⁻¹+ ... + b₁x + b₀其中，A(x)的次数为m，B(x)的次数为n。
秦九韶算法的乘法操作可以通过如下步骤进行：-创建一个长度为(m+n+1)的结果数组result，初始值为0。
-对于A(x)中的每一项ai和B(x)中的每一项bj，计算乘积并将结果累加到result中对应的指数位置上。
即：result[i+j] += ai * bj。
-最后得到的result数组即为乘积多项式的系数。
例如，假设有两个多项式：A(x) = 2x²+ 3x + 1B(x) = 4x + 2我们可以按照上述步骤进行计算：-创建结果数组result，长度为(2+1)+(1+1)=5，初始值为[0, 0, 0, 0, 0]。
-对于A(x)中的每一项和B(x)中的每一项，进行乘法和累加操作：result[0] += 2 * 4 = 8result[1] += 2 * 2 + 3 * 4 = 16result[2] += 3 * 2 = 6result[3] = 0result[4] = 0-得到结果多项式的系数为[8, 16, 6, 0, 0]，即8x⁴+ 16x³+ 6x²。
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高一数学秦九韶算法与排序
§1．3秦九韶算法与排序
珠海市斗门和风中学邝国均
【教学目标】：
（1）了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法
可以减少计算次数提高计算效率的实质。
（2）掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法
给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅
助作用。
【教学重点】秦九韶算法的特点及其程序设计，两种排序法
的排序步骤及其程序设计（重点放在循环语句的应用上）
【教学难点】秦九韶算法的先进性理解及其程序设计,排序法的计算机程序设计
【学法与教学用具】：
学法：探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算；模仿排序法中数字排序的步骤，理解计算
机计算的一般步骤，领会数学计算在计算机上实施的要求。
教学用具:计算机，TI-voyage200图形计算器
【教学过程】
秦九韶计算多项式的方法
例1、设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法，并写出程序。
个别学生提出一般的解决方案，如：x=5y=2 * x^5 - 5 * x^4 - 4 * x^3 + 3 * x^2 - 6 * x + 7
PRINT"y="；yEND提问：例1计算时需要多少次乘法计算？
多少次加法计算？有什么优缺点？
学生答：上述算法一共做了解15次乘法运算，5次加法运算，优点是简单、易懂。
缺点是不通用，不能解决任意多项式的
求值问题，而且计算效率不高。
提问：计算x的幂时，可以利用前面的计算结果，以减少计
算量，即先计算x2，然后依次计算x2.x，（x2.x）.x，
(（x2.x）.x).x的值,这样计算上述多项式的值,一共需要多少次乘法，多少次加法?
学生答：上述算法一共做了解4次乘法运算，5次加法运算。
结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘
法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法
更快地得到结果。
我们把多项式变形为：f(x)=
2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，x的系数依
次是什么？
用图表可以表示为：
多项式x系数2-5-43-67运算10251055402670+变形后x的"系数"25211085342677*5 最后的系数2677即为所求的值,让学生描述上述计算过程。
上述算法就是"秦九韶算法"。
如何应用秦九韶算法完成一般的多项式
f(x)=anxn+an-1xn-1+....+a1x+a0求值问题？
f(x)=anxn+an-1xn-1+....+a1x+a0
=( anxn-1+an-1xn-2+....+a1)x+a0
=(( anxn-2+an-1xn-3+....+a2)x+a1)x+a0
=......
=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2=v1x+an-2
v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0
这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题
观察秦九韶算法的数学模型，计算vk时要用到vk-1的值，若令v0=an，我们可以得到下面的递推公式：v0=an
vk=vk-1+an-k(k=1,2,...n)
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结
构来实现。
例2、已知一个五次多项式
f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8用秦九韶算法求当
x=5时多项式的值。
分析：先画出程序框图（见课本）再利用TI-voyage200图形计算器操作：
（其中表示f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8的系数，
可以随意改变，通过图形计算器，学生很快的把系数的输入
换成用数组来代替，从而得到更普遍的程序，激发学生的求
学创新精神）
排序
大家考完试后如果要排一下成绩的话，单靠人手该怎样操作呢？如果你们用计算机里的软件（如：电子表格）又如何操作？
排序的算法很多，课本主要介绍里两种排序方法：直接插
入排序和冒泡排序
1、直接插入排序
基本思想
插入排序的思想就是读一个，排一个。
将第１个数放入数组
的第１个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置．将该位置以及以后
的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置中．（由于算法简单，可以举例说明）
2、冒泡排序
基本思想
依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先
比较第1个数和第2个数,大数放前,小数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第1个数开始,到最后
第2个数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.
例3、用冒泡法对数据7，5，3，9，1从小到大进行排序。
以下是第一趟排序，最后我们得到新数列为：5，3，7，9，1
按上述方法我们进行第二趟、第三趟......排序，直到这5个数按从小到大进行排序为止：
如下图所示：
第二趟第三趟第四趟
利用TI-voyage200图形计算器操作，把冒泡排序变成程序为：
运行结果为：小结(1)秦九韶算法计算多项式的值及程序设
计
(2)数字排序法中的常见的两种排序法直接插入排序法与冒泡排序法
(3)冒泡法排序的计算机程序设计
(4)注意循环语句的使用与算法的循环次数，对算法进行改进。