圆锥曲线轨迹方程经典例题
(完整版)圆锥曲线的综合经典例题(含答案解析)
经典例题精析类型一：求曲线的标准方程1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.解析：方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，,由，消去得，所以解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以，由得,（点差法）所以又故椭圆标准方程为.举一反三：【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得，,∴椭圆标准方程为2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点解析：（1）解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，所以双曲线方程为即（2）解法一：设双曲线方程为－=1由题意易求又双曲线过点，∴又∵，∴，故所求双曲线的方程为.解法二：设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为.总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.【答案】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为.（2）由已知设, ,则()依题意，解得.∴双曲线方程为或.3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点；（2）焦点在直线：上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：（1）∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.（2）令得，令得，∴抛物线的焦点为或当焦点为时，，∴，此时抛物线方程；焦点为时，，∴，此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为F(4,0)；（2）准线为；（3）焦点到原点的距离为1；（4）过点（1，－2）；（5）焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】（1）所求抛物线的方程为y2=16x；（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；（3）所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y；（4）所求抛物线的方程为或；（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为由，解得两交点坐标,∴，解得.∴抛物线方程为.类型二：圆锥曲线的焦点三角形4．已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有，易求之.解析：设,,依题意有(1)2-(2)得，即.∴.举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】依据双曲线的定义有，由得、，又，则，即，所以，故选A.【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【答案】：由双曲线的定义有: ，，两式左、右分别相加得(.即∴.故的周长.【变式3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程；②设点P在椭圆上,且,求.【答案】① .②设则，又.【变式4】已知双曲线的方程是.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小【答案】（1）由得，∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为.（2），∴∴【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【答案】（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，则，解得∵,∴, .故所求椭圆方程为，双曲线方程为.（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.类型三：离心率5．已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当，（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.解析：设椭圆方程为（），，，则，即.∵，∴，即，∴.又∵，∴.总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求.（1）可直接求出、；（2）在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；（3）若求的取值范围，则想办法找不等关系.举一反三：【变式1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】连接，则是直角三角形，且，令，则，，即，，所以，故选D.【变式2】已知椭圆（）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.法一：,,∵, ∴,又,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ΔABF中，∵，，∴，即下略）【变式3】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为（），焦距为,则直线l的方程为:,由，消去得,设点、,则∵＋, ∴C点坐标为.∵C点在椭圆上,∴.∴∴又∴∴【变式4】设、为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若，则椭圆离心率为_____.【答案】如图，点满足，且.在中，有：∵，∴,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有,,∴又∵，∴，，∴∴，∴，即.6．已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；解析：如图，令, ,,则在中，由正弦定理，∴，令此椭圆方程为(),则,,∴即（），∴, ∴,∵,且为三角形内角，∴，∴,∴, ∴.即此椭圆离心率的取值范围为.举一反三：【变式1】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.【答案】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①又|PF1|+|PF2|=2a ②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴【变式2】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】由得，即，解得，故离心率.所以选D.【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．【答案】e∈[,1)【变式4】双曲线(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c．求双曲线的离心率e的取值范围．【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0．由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线的距离．同理得到点(-1,0)到直线的距离．=．由s≥c,得≥c,即5a≥2c2．于是得5≥2e2．即4e4-25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1,所以e的取值范围是．类型五：轨迹方程7．已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一：设动点,且,则、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30，故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆，挖去点.∴动点的轨迹方程是().解法二：设的重心，,动点,且，则.∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆（挖去点），且,,.其方程为().又, 代入上式，得()为所求.总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三：【变式1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.（1）动圆与圆外切时，，（2）动圆与圆内切时，，由（1）、（2）有.∴动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线，且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式3】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，.∴.∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴b2=12，故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切，且与直线:相切，求动圆圆心的轨迹方程.法一：设,动圆半径，动圆与直线切于点，点.依题意点在直线的左侧，故∵,∴.化简得, 即为所求.法二：设,作直线：.过作于，交于，依题意有, ∴,由抛物线定义可知，点的轨迹是以为顶点，为焦点，：为准线的抛物线.故为所求.。
(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)
专题：圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。
这种求轨迹的方法称之为直接法。
2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。
3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。
4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。
5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。
二、小试牛刀1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =- ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。
故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥2.已知圆O 的方程为222=+y x ，圆O '的方程为010822=+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为 析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x =3.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1MF 的中点P 的轨迹方程为析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：00002222x c x x x c y y y y -⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为2222(2)41x c y a b++= 4.已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一定点，P 是动点，若[)+∞∈+=-,0),21(λλ,则点P 的轨迹一定过三角形ABC 的 重 心。
圆锥曲线中动点的轨迹方程的求法
知识导航有关圆锥曲线的题型较多，有求圆锥曲线的离心率、轨迹方程、判定两图形的位置关系、求弦长等，其中，求动点的轨迹方程比较常见.本文总结了求圆锥曲线中动点的轨迹方程的三种方法，供大家参考.一、直接法直接法主要应用于解答题目中所给的有关动点的几何条件较为明显的问题.运用直接法求动点的轨迹方程的主要步骤是：（1）建立合适的直角坐标系，设出所求动点的坐标；（2）根据题意，列出相关关系式；（3）将相关的点代入，化简并整理关系式即可得到动点的轨迹方程.例1.已知点Q (2,0)在圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0)，求动点M 的轨迹方程并说明它是什么曲线.分析：通过分析可知，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ，所以可以考虑运用直接法求解.设出动点M 的坐标，根据题设建立关系式，化简便可得到动点的轨迹方程.解：设M (x ,y )，由直线MN 切圆于N ，MN|MQ |=λ，可得22=λ，整理得则(λ1)x 2+(λ2-1)y 2-4λ2x +(1+4λ2)=0，若λ=1，方程可化为x =54，它代表过点(54,0)，与x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程可化为æèçöø÷x -2λ2λ2-12+y 2=1+3λ2(λ2-1)2，它代表以æèçöø÷2λ2λ2-1,0为半径的圆.二、代入法若动点M 依赖已知曲线上的另一动点N 而运动，就可以运用代入法来求动点的轨迹方程.首先设出两动点的坐标，建立两动点的关系式，然后将转化后的动点N 的坐标代入已知曲线的方程或条件中，从而得到动点M 的轨迹方程.例2.已知点B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1上的动点，A (2a ,Q )为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.分析:动点M 是线段AB 的中点，M 随着动点B 而运动，本题需采用代入法来求解.解:设动点M 的坐标为(x ,y )，B 点坐标为(x 0,y 0)，由M 为线段AB 的中点，可得ìíîïïïïx 0+2a2=x ,y 0+02=y ,则点B 的坐标为(2x -2a ,2y )，则(2x -2a )2a 2+(2y )2b2=1，故动点M 的轨迹方程为4(x -a )2a 2+4y 2b2=1.三、参数法参数法是指通过引入一些新变量(参数)为媒介来解答问题的方法.运用参数法求圆锥曲线中动点的轨迹方程的基本思路是，设出合适的参数，根据题意列出参数方程，通过消参将方程化为普通方程即可解题.但在解题的过程中需注意参数的取值范围.例3.如图，过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1,l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB的中点M 的轨迹方程.解:设M (x ,y )，直线l 1的方程为y -4=k (x -2)，(k ≠0)，由l 1⊥l 2，得直线l 2的方程为y -4=-1k(x -2)，∴l 1与x 轴焦点A 的坐标为(2-4k,0)，l 2与y 轴焦点B 的坐标为(0,4+2k)，∵M 为AB 的中点，∴ìíîïïïïx =2-4k 2=1-2k ,y =4+2k 2=2+1k ,消去k ，得到x +2y -5=0，当k =0时，AB 的中点为M (1,2)，满足上述方程，当k 不存在时，AB 的中点为M (1,2)，也满足上述方程，综上所述，M 的轨迹方程为x +2y -5=0.这里通过引入参数k ，得到两条直线的方程，然后结合题意建立关于k 的关系式，通过消参得到动点的轨迹方程.相比较而言，直接法较为简单，是最常用也是适用范围最广的方法；代入法的适用范围较窄，只适用于两个动点相关的题型；运用参数法解题的运算量较大.无论采用什么方法求动点的轨迹方程，都要关注轨迹方程中变量的取值范围.（作者单位：江苏省南通市海门四甲中学）蒋秋霞39Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
的圆锥曲线轨迹方程求法
圆锥曲线轨迹方程的解法目录一题多解 (3)一．直接法 (5)二. 相关点法 (9)三. 几何法 (14)四. 参数法 (17)五. 交轨法 (19)六. 定义法 (21)一题多解设圆C ：（x －1）2+y 2=1，过原点O 作圆的任意弦OQ ，求所对弦的中点P 的轨迹方程。
一．直接法设P （x,y ），OQ 是圆C 的一条弦，P 是OQ 的中点，则CP ⊥OQ ，x ≠0,设OC 中点为M （0,21），则|MP |=21|OC |=21，得（x －21）2+y 2=41(x ≠0)，即点P的轨迹方程是（x －21）2+y 2=41(0＜x ≤1)。
二．定义法∵∠OPC =90°，∴动点P 在以M （0,21）为圆心，OC 为直径的圆（除去原点O ）上，|OC |=1，故P 点的轨迹方程为（x －21）2+y 2=41(0＜x ≤1) 三．相关点法设P （x,y ）,Q (x 1,y 1)，其中x 1≠0, ∴x 1=2x,y 1=2y ,而（x 1－1）2+y 2=1 ∴(2x －1)2+2y 2=1,又x 1≠0,∴x ≠0,即（x －21）2+y 2=41(0＜x ≤1） 四．参数法①设动弦PQ 的方程为y=kx ,代入圆的方程（x －1）2+kx 2=1， 即（1+k 2）x 2－2x =0,∴.12221k x x +=+ 设点P （x,y ）22211],1,0(112kkkx y k x x x +==∈+=+=消去k 得（x 21）2+y 2=41(0＜x ≤1） ②另解 设Q 点（1+cos θ,sin θ），其中cos θ≠－1,P (x,y )， 则,2sin ],1,0(2cos 1θθ=∈+=y x 消去θ得（x －21）2+y 2=41(0＜x ≤1）一．直接法课本中主要介绍的方法。
若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标),(y x 后，就可根据命题中的已知条件研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x 、y 的关系式。
圆锥曲线 第二讲 轨迹方程的求法
例2.（湖北） 设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是 直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|（m>0，且m≠1）. 当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C. （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）略.
例3.（福建） 如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为 （0，10)，分别将线段OA和OB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…， * B9 ，连接OBi，过作轴的垂线与交于点P（ . i i N ,1 i 9) （Ⅰ）求证：点Pi（ i N * ,1 i 9) 都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程； （Ⅱ）略 【答案】 （Ⅰ） x2 y1 )在椭圆上，有 2 2 1 a b y12 2 2 从而 x1 a (1 2 ) 代入③得 b x2 y2 1( x a , y 0) a 2 b2
备考指津
考点预测： 预计高考对本考点考查的可能性非常大.既可以 以小题的形式考查，也可以以解答题第一问的
例4.（辽宁）
x2 y2 如图，椭圆C0: a 2 b 2 1 （a>b>0，a，b为常数），动圆C1: x2+y2=t12，
b<t1<a.点A1，A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点. （1）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（2） 略
y12 2 2 由①②得 y 2 2 (x a )③ x1 a
能力突破
例1.（四川） 如图，动点M到两定点A(-1，0)、B(2，0)构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB ， 设动点M的轨迹为C. （Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）略
圆锥曲线轨迹及方程
图8-8-1轨迹方程的若干求法一、直接法直接根据等量关系式建立方程.例1 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x =·，则点P 的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线【对点练习2】已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状．二．定义法【例2】已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．【对点练习2】如图8-8-1所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2,0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．(1)△P AB 的周长为10；(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．图8-8-2图8-8-5如图8-8-2所示，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |. (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．【对点练习2】(2014·合肥模拟)如图8-8-5所示，以原点O 为圆心的两个 同心圆的半径分别为3和1，过原点O 的射线交大圆于点P ，交小圆于点Q ，P 在y 轴上的射影为M .动点N 满足PM →＝λPN →且PM →·QN→＝0.(1)求点N 的轨迹方程；(2)过点A (0,3)作斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2与点N 的轨迹分别 交于E ，F 两点，k 1·k 2＝－9.求证：直线EF 过定点．如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x，y联系起来．例4已知线段2AA a'=，直线l垂直平分AA'于O，在l上取两点P P'，，使有向线段OP OP'，满足4OP OP'=·，求直线AP与A P''的交点M的轨迹方程．五、待定系数法当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5已知Ａ，Ｂ，Ｄ三点不在一条直线上，且(20)A-，，(20)B，，2AD=，1()2AE AB AD=+．（1）求E点轨迹方程；（2）过A作直线交以A B，为焦点的椭圆于M N，两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆方程．图8-8-4【达标训练】一、选择题1．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 2．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线 3． (2014·天津模拟)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线4． (2014·合肥模拟)如图8-8-4所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于E ，则点E 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →， 且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是 ( ) A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)6．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程是( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝8x 2C ．2y ＝8x 2－1D ．2y ＝8x 2＋1二、填空题7．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB→⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是_______________________．8．动圆与⊙C 1：x 2＋y 2＝1外切，与⊙C 2：x 2＋y 2－8x ＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹是_______________________．9．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为_______________________．10.(2014·佛山模拟)在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是_____________． 三、解答题11．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于P ，Q 两点，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．12．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．13．(2013·课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．。
圆锥曲线轨迹的例题和练习(优秀).doc
圆锥曲线轨迹的例题和练习(优秀)专题:圆锥曲线轨迹首先，准备第一场战斗。
直接法(五部分法):如果运动点所满足的几何条件本身是某些几何量的等价关系，或者这些几何条件简单、明了、易于表达，我们只需要将这种关系“转化”为包含方程，就可以得到曲线的轨迹方程。
这种寻找轨迹的方法叫做直接法。
2.定义方法:如果运动点轨迹的条件满足基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义)，则运动点的轨迹方程可以根据定义直接计算。
3.坐标转移法(替代法):在一些问题中，移动点满足的条件不容易在方程中列出，但是移动点随着另一个移动点(称为相关点)移动。
如果相关点满足的条件是明显的或可分析的，那么我们可以用移动点的坐标来表示相关点的坐标。
根据相关点所满足的方程，我们可以得到运动点的轨迹方程。
这种寻找轨迹的方法也称为坐标转移法或替代法。
4.参数方法: 有时很难找出一个运动点应该满足的几何条件，并且没有明显的相关点，但是更容易发现(或者可以通过分析找到)这个运动点的运动经常受到另一个变量(角度、斜率、比率、截距或时间等)的限制。
)，也就是说，移动点的坐标随着另一个变量的变化而变化。
我们可以将这个变量设置为一个参数，并建立轨迹的参数方程。
这种方法称为参数方法。
如果我们需要得到轨迹的一般方程，我们只需要消除参数变量。
5.钢轨穿越方法:在寻找运动点轨迹的过程中，有时会出现需要两条运动曲线相交的轨迹问题。
这类问题通常可以通过求解方程来获得带参数的交点坐标，然后消除参数来获得期望的轨迹方程来解决。
这个方法被称为交集方法。
(2)小型试验手术刀1把。
已知的M轨迹(-圆锥曲线)首先，准备第一场战斗。
直接法(五部分法):如果运动点所满足的几何条件本身是某些几何量的等价关系，或者这些几何条件简单、明了、易于表达，我们只需要将这种关系“转化”为包含方程，就可以得到曲线的轨迹方程。
这种寻找轨迹的方法叫做直接法。
2.定义方法:如果运动点轨迹的条件满足基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义)，则运动点的轨迹方程可以根据定义直接计算。
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1 轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题： 1、 必修2课本P124B组2：长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：
必修2课本P124B组：已知M与两个定点（0,0），A（3,0）的距离之比为21，求点M的轨迹方程;（一般地：必修2课本P144B组2：已知点M(x,y)与两个定点21,MM的距离之比为一个常数m；讨论点M(x,y)的轨迹方程（分m=1，与m1进行讨论）
2、 必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆1)1(22yx上运动，求AB的中点M的轨迹。
在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P的轨迹方程；
（2）若P点到直线xy的距离为22，求圆P的方程。
如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
MBA2
解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又
|AR|=|PR|=22)4(yx所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=20,241yyx,代入方程x2+y2
－4x－10=0,得244)2()24(22xyx－10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.
在平面直角坐标系xOy中，点)3,0(A，直线42:xyl．设圆C的半径为1，圆心在l上． （1）若圆心C也在直线1xy上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使MOMA2，求圆心C的横坐标a的取值范围．
（2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A，且在y轴上截得弦MN的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C的方程； （2） 已知点)0,1(B，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点QP,，若x轴
是PBQ的角平分线，证明直线l过定点。
二、椭圆类型： 3、 定义法：（选修2-1P50第3题）点M(x,y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线8x
的距离之比为21，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义) 讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）
MF1F
23
4、 圆锥曲线第一定义：（选修2-1P50第2题）一个动圆与圆05622xyx外切，同时与圆091622xyx内切，求动圆的圆心轨迹方程。
5、 圆锥曲线第一定义：点M(00,yx)圆1F9)1(22yx上的一个动点, 点2F（1,0）为定点。线段2MF的垂直平分线与1MF相交于点Q(x,y),求点Q的轨迹方程;(注意点2F（1,0）在圆内)
6、 其他形式：（选修2-1P50例3）设点A,B的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM相交于点M，且他们的斜率的乘积为94，求点M的轨迹方程:（是一个椭圆）
（讨论当他们的斜率的乘积为94时可以得到双曲线）
（2013新课标1卷20）已知圆:M1)1(22yx，圆:N9)1(22yx，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。 （1）求C的方程； （2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于BA,两点，当圆P的半径最长时，求AB
（2013陕西卷文20）已知动点),(yxM到直线4:xl的距离是它到点)0,1(N的距离的2倍。 （1）求动点M的轨迹C的方程
（2）过点)3,0(P的直线m与轨迹C交于BA,两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率。
QF1
F
2
M4
三、双曲线类型： 8、圆锥曲线第一定义：点M(00,yx)圆1F1)1(22yx上的一个
动点, 点2F（1,0）为定点。线段2MF的垂直平分线与1MF相交于点Q(x,y),求点Q的轨迹方程;(注意点2F（1,0）在圆外)
定义法：（选修2-1P59例5）点M(x,y)与定点F(5，0)的距离和它到定直线516x的距离之比为45，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)
四、抛物线类型：10、定义法：（选修2-1）点M(x,y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线2x的距离相等，求点M的轨迹方程。（或：点M(x,y)与定点F(2，0)的距离比它到定直线3x的距离小1，求点M的轨迹方程。） （2013陕西卷文20）已知动点),(yxM到直线4:xl的距离是它到点)0,1(N的距离的2
倍。 （1）求动点M的轨迹C的方程 （2）过点)3,0(P的直线m与轨迹C交于BA,两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率 已知三点(0,0)O，(2,1)A，(2,1)B，曲线C上任意一点(,)Mxy满足
||()2MAMBOMOAOBuuuruuuruuuuruuuruuur。
（1）求曲线C的方程；
）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C1的方程； 设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。
QF1
F
2
M5 （I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
如图，椭圆0C：22221(0xyabab，a，b为常数)，动圆22211:Cxyt，1bta。点12,AA分别为0C的左，右顶点，1C与0C相交于A，B，C，D四点。 (Ⅰ)求直线1AA与直线2AB交点M的轨迹方程;
（四川）如图，动点M到两定点(1,0)A、(2,0)B构成MAB，且2MBAMAB，设动点M的轨迹为C。 （Ⅰ）求轨迹C的方程； （Ⅱ）设直线2yxm与y轴交于点P， 与轨迹C相交于点QR、，且||||PQPR，
求||||PRPQ的取值范围。
1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
2.(★★★★)设A1、A2是椭圆4922yx=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( ) A.14922yx B.14922xy C.14922yx D.14922xy 二、填空题 3.(★★★★)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－2a,0),C(2a,0)，且满足条件sinC－
sinB=21sinA,则动点A的轨迹方程为_________. 4.(★★★★)高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 6
三、解答题 5.(★★★★)已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.
6.(★★★★)双曲线2222byax=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.
7.(★★★★★)已知椭圆2222byax=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.
(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程； (2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值. 7
一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆. 2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，
∴300xyxxyy∵A2、P2、P共线，∴300xyxxyy解得
x0=149,149,3,92220200yxyxxyyx即代入得
二、3.解析：由sinC－sinB=21sinA,得c－b=21a,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,
故方程为)4(1316162222axayax. 答案：)4(1316162222axayax 4.解析：设P(x,y），依题意有2222)5(3)5(5yxyx,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0. 答案：4x2+4y2－85x+100=0 三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨
迹方程为728122yx=1(y≠0) 6.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y). ∵A1(－a,0),A2(a,0).
由条件yaxyaxxxaxyaxyaxyaxy220000000)( 11得 而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2. 即b2(－x2)－a2(yax22)2=a2b2 化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a). 8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ， ∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2| 又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在