弧弦圆心角练习题
圆心角、弧、弦的关系-北京习题集-教师版
圆心角、弧、弦的关系（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2017秋•北京期末）如图， 圆心角25AOB ∠=︒，将AB 旋转n ︒得到CD ，则COD ∠等于( )A ．25︒B ．25n ︒+︒C ．50︒D ．50n ︒+︒2．（2017秋•海淀区校级期中）如图， 在55⨯正方形网格中， 一条圆弧经过A 、B 、C 三点， 那么AC 所对的圆心角的大小是( )A ．60︒B ．75︒C ．80︒D ．90︒3．（2016秋•大兴区期末）如图，A ，B ，C 是O 上三个点，2AOB BOC ∠=∠，则下列说法中正确的是( )A ．OBA OCA ∠=∠B ．四边形OABC 内接于O C ．2AB BC =D ．90OBA BOC ∠+∠=︒4．（2016•海淀区校级模拟）如图，用不同颜色的马赛克覆盖一个圆形的台面，估计15︒的圆心角的扇形部分大约需要34片马赛克片．已知每箱装有125片马赛克片，那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面( )A ．56-箱B ．67-箱C ．78-箱D ．89-箱5．（2015•通州区二模）如图，O 中，如果2AB AC =，那么( )A ．AB AC =B ．2AB AC =C ．2AB AC <D ．2AB AC >二．填空题（共6小题）6．（2019秋•西城区校级期中）已知弦AB 的长等于O 的半径，弦AB 所对的圆周角是 度．7．（2017秋•西城区期末）如图，O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 ．8．（2008秋•怀柔区期末）如图，AC 是O 的直径，AB AC =，AB 交O 于E ，BC 交O 于D ，44A ∠=︒，则DE 的度数是 度．9．（2009秋•海淀区期中）一条弦AB 将O 分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则弦AB 所对的圆心角的度数是 度．10．（2007•海淀区校级自主招生）如图，AB 是O 的直径，BC ，CD ，DA 是O 的弦， 且BC CD DA ==，则BCD ∠= ．11．（2016秋•西城区期中）如图，CD 是O 的直径，点A 是半圆上的三等分点，B 是弧AD 的中点，P 点为直线CD 上的一个动点，当4CD =时，AP BP +的最小值为 ．三．解答题（共4小题）12．（2019秋•海淀区期末）如图，在O 中，AC CB =，CD OA ⊥于点D ，CE OB ⊥于点E ． （1）求证：CD CE =；（2）若120AOB ∠=︒，2OA =，求四边形DOEC 的面积．13．（2019秋•西城区校级期中）ABC ∆的三个顶点在O 上，AD BC ⊥，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：12∠=∠（提示：可以延长AO 交O 于F ，连接)BF ．14．（2019秋•西城区校级期中）如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断弧EF 和弧FG 是否相等，并说明理由．15．（2018秋•海淀区校级月考）问题呈现： 阿基米德折弦定理： 如图 1 ，AB 和BC 是O 的两条弦 （即 折线ABC 是圆的一条折弦） ，BC AB >，M 是ABC 的中点， 则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点， 即CD AB BD =+． 下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明过程 ．证明： 如图 2 ，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ．M 是ABC 的中点，MA MC ∴=⋯⋯请按照上面的证明思路， 写出该证明的剩余部分； 实践应用：（1） 如图 3 ，已知ABC ∆内接于O ，BC AB AC >>，D 是ACB 的中点， 依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 ．（2） 如图 4 ，已知等腰ABC ∆内接于O ，AB AC =，D 为AB 上一点， 连接DB ，45ACD ∠=︒，AE CD ⊥于点E ，BDC ∆的周长为422+，2BC =，请求出AC 的长 ．圆心角、弧、弦的关系（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2017秋•北京期末）如图， 圆心角25AOB ∠=︒，将AB 旋转n ︒得到CD ，则COD ∠等于( )A ．25︒B ．25n ︒+︒C ．50︒D ．50n ︒+︒【分析】根据旋转的性质得到AB CD =，根据圆心角、 弧、 弦的关系定理解答 ． 【解答】解：将AB 旋转n ︒得到CD ，∴AB CD =，25COD AOB ∴∠=∠=︒， 故选：A ．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、 圆心角、 弧、 弦的关系， 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、 两条弧、 两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 ． 2．（2017秋•海淀区校级期中）如图， 在55⨯正方形网格中， 一条圆弧经过A 、B 、C 三点， 那么AC 所对的圆心角的大小是( )A ．60︒B ．75︒C ．80︒D ．90︒【分析】根据垂径定理的推论： 弦的垂直平分线必过圆心， 分别作AB ，BC 的垂直平分线即可得到圆心， 进而解答即可 ．【解答】解： 作AB 的垂直平分线， 作BC 的垂直平分线， 如图，它们都经过Q ，所以点Q 为这条圆弧所在圆的圆心 ． 连接AQ ，CQ ， 在APQ ∆与CQN ∆中AP QN APQ QNC PQ CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()APQ CQN SAS ∴∆≅∆，AQP CQN ∴∠=∠，PAQ CQN ∠=∠ 90AQP PAQ ∠+∠=︒， 90AQP CQN ∴∠+∠=︒， 90AQC ∴∠=︒，即AC 所对的圆心角的大小是90︒， 故选：D ．【点评】本题考查了垂径定理的推论： 弦的垂直平分线必过圆心 ． 这也常用来确定圆心的方法 ．3．（2016秋•大兴区期末）如图，A ，B ，C 是O 上三个点，2AOB BOC ∠=∠，则下列说法中正确的是( )A ．OBA OCA ∠=∠B ．四边形OABC 内接于O C ．2AB BC =D ．90OBA BOC ∠+∠=︒【分析】过O 作OD AB ⊥于D 交O 于E ，由垂径定理得到AE BE =，于是得到AE BE BC ==，推出AE BE BC ==，根据三角形的三边关系得到2BC AB >，故C 错误；根据三角形内角和得到1(180)902OBA AOB BOC ∠=︒-∠=︒-∠，13(180)9022OCA AOC BOC ∠=︒-∠=︒-∠，推出OBA OCA ∠≠∠，故A 错误；由点A ，B ，C 在O 上，而点O 在圆心，得到四边形OABC 不内接于O ，故B 错误；根据余角的性质得到90OBA BOC ∠+∠=︒，故D 正确； 【解答】解：过O 作OD AB ⊥于D 交O 于E ， 则AE BE =，AE BE ∴=，12AOE BOE AOB ∠=∠=∠，2AOB BOC ∠=∠， AOE BOE BOC ∴∠=∠=∠，∴AE BE BC ==，AE BE BC ∴==， 2BC AB ∴>，故C 错误； OA OB OC ==，1(180)902OBA AOB BOC ∴∠=︒-∠=︒-∠，13(180)9022OCA AOC BOC ∠=︒-∠=︒-∠，OBA OCA ∴∠≠∠，故A 错误；点A ，B ，C 在O 上，而点O 在圆心，∴四边形OABC 不内接于O ，故B 错误；12BOE BOC AOB ∠=∠=∠，90BOE OBA ∠+∠=︒，90OBA BOC ∴∠+∠=︒，故D 正确；故选：D ．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．（2016•海淀区校级模拟）如图，用不同颜色的马赛克覆盖一个圆形的台面，估计15︒的圆心角的扇形部分大约需要34片马赛克片．已知每箱装有125片马赛克片，那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面( )A ．56-箱B ．67-箱C ．78-箱D ．89-箱【分析】设需要x 箱马赛克片，由题意：3603412515x ⨯=，解方程即可． 【解答】解：设需要x 箱马赛克片．由题意：3603412515x ⨯=， 6.5x ∴≈．∴需要马赛克片67-箱．故选：B ．【点评】本题考查圆心角、弧弦之间的关系，一元一次方程等知识，解题的关键是学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．5．（2015•通州区二模）如图，O 中，如果2AB AC =，那么( )A ．AB AC =B ．2AB AC =C ．2AB AC <D ．2AB AC >【分析】取弧AB 的中点D ，连接AD ，DB ，由已知条件可知AD BD AC ==，在ADB ∆中由三角形的三边关系可知AD BD AB +>，即2AC AB >，问题得解． 【解答】解：取弧AB 的中点D ，连接AD ，DB ， 2AB AC =，AD BD AC ∴==，在ADB ∆中由三角形的三边关系可知AD BD AB +>， 2AC AB ∴>，即2AB AC <， 故选：C ．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，题目设计新颖，是一道不错的中考题． 二．填空题（共6小题）6．（2019秋•西城区校级期中）已知弦AB 的长等于O 的半径，弦AB 所对的圆周角是 30或150 度． 【分析】在圆中，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，又因为AB 的长等于半径，所以由弦和半径组成的三角形是等边三角形，根据等边三角形的性质，弦所对的圆心角为60︒，所以弦所对的圆周角为30︒或150︒．【解答】解：如图示，AB OA OB ==， OAB ∴∆是等边三角形， 60AOB ∴∠=︒， 30ACB ∴∠=︒， 150ADB ∴∠=︒．故弦AB 所对的圆周角是 30或150度． 故答案为：30或150．【点评】本题极易漏解，需注意圆中的一条弦对着两个圆周角，它们是互补关系．7．（2017秋•西城区期末）如图，O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 2 ．【分析】由圆心角120AOB ∠=︒，可得AOB ∆是等腰三角形，又由OC AB ⊥，再利用含30︒角的直角三角形的性质，可求得OC 的长．【解答】解：如图，圆心角120AOB ∠=︒，OA OB =，OAB ∴∆是等腰三角形， OC AB ⊥，90ACO ∴∠=︒，30A ∠=︒，122OC OA ∴==．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30︒角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．8．（2008秋•怀柔区期末）如图，AC 是O 的直径，AB AC =，AB 交O 于E ，BC 交O 于D ，44A ∠=︒，则DE的度数是 44 度．【分析】通过A ∠的度数，可求出底角ABC ∠．又通过90AEC ∠=︒，求出ECB ∠．而DE 的度数是ECB ∠的两倍． 【解答】解：AB AC =，44A ∠=︒(18044)268ABC ∴∠=︒-︒÷=︒又AC 是O 的直径90AEC ∴∠=︒906822ECD ∴∠=︒-︒=︒∴DE 的度数为44︒．故填44︒．【点评】掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，弧的度数等于它所对的圆周角度数的两倍．9．（2009秋•海淀区期中）一条弦AB 将O 分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则弦AB 所对的圆心角的度数是 72 度．【分析】根据题意知，弦AB 将圆周分成了5等分，而弦AB 所对的圆心角占了其中的15，由此可求出此圆心角的度数．【解答】解：由于弦AB 将O 分成了1:4两段弧， AB ∴所对的圆心角1360725AOB ∠=⨯︒=︒．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系．10．（2007•海淀区校级自主招生）如图，AB 是O 的直径，BC ，CD ，DA 是O 的弦， 且BC CD DA ==，则BCD ∠= 120︒ ．【分析】由已知可得， 弦BC 、CD 、DA 三等分半圆， 从而不难求得BCD ∠的度数 ． 【解答】解： 连接OC 、OD ，BC CD DA ==，∴AD DC CB ==，∴弦BC 、CD 、DA 三等分半圆，∴弦BC 和CD 和DA 对的圆心角均为60︒， 1(18060)1202BCD ∴∠=︒+︒=︒． 故答案是：120︒．【点评】本题利用了弧、 弦与圆心角的关系求解， 注意半圆对的圆心角为180︒．11．（2016秋•西城区期中）如图，CD 是O 的直径，点A 是半圆上的三等分点，B 是弧AD 的中点，P 点为直线CD上的一个动点，当4CD =时，AP BP +的最小值为 22 ．【分析】本题是要在CD 上找一点P ，使PA PB +的值最小，设A '是A 关于CD 的对称点，连接A B '，与CD 的交点即为点P ．此时PA PB A B +='是最小值，可证△OA B '是等腰直角三角形，从而得出结果．【解答】解：作点A 关于CD 的对称点A '，连接A B '，交CD 于点P ，则PA PB +最小，连接OA '，AA '．点A 与A '关于CD 对称，点A 是半圆上的一个三等分点，60AOD AOD ∴∠'=∠=︒，PA PA ='，点B 是弧AD 的中点，30BOD ∴∠=︒，90AOB AOD BOD ∴∠'=∠'+∠=︒，又2OA OA ='=，22A B ∴'=．22PA PB PA PB A B ∴+='+='=故答案为：2【点评】此题主要考查了轴对称最短线段问题以及垂径定理和勾股定理等知识，正确确定P 点的位置是解题的关键，确定点P 的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．三．解答题（共4小题）12．（2019秋•海淀区期末）如图，在O 中，AC CB =，CD OA ⊥于点D ，CE OB ⊥于点E ．（1）求证：CD CE =；（2）若120AOB ∠=︒，2OA =，求四边形DOEC 的面积．【分析】（1）连接OC ，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AOC BOC ∠=∠，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD ，根据勾股定理求出CD ，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OC ，AC BC =，AOC BOC ∴∠=∠，又CD OA ⊥，CE OB ⊥，CD CE ∴=；（2）解：120AOB ∠=︒，60AOC BOC ∴∠=∠=︒，90CDO ∠=︒，30OCD ∴∠=︒，112OD OC ∴==， 2222213CD OC OD ∴=--OCD ∴∆的面积132OD CD =⨯⨯= 同理可得，OCE ∆的面积132OD CD =⨯⨯= ∴四边形DOEC 的面积333=【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．13．（2019秋•西城区校级期中）ABC∠=∠⊥，D为垂足，E是BC的中点，求证：12∆的三个顶点在O上，AD BC（提示：可以延长AO交O于F，连接)BF．【分析】连接OE，利用垂径定理可得OE BCOE AD，然后即可证明．⊥，可得//⊥，再利用AD BC【解答】证明：连接OE，E是BC的中点，∴弧BE=弧EC，∴⊥，OE BC⊥，AD BC∴，OE AD//∴∠=∠，OEA EADOE OA=，∴∠=∠，OAE OEA∴∠=∠．12【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线．14．（2019秋•西城区校级期中）如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断弧EF 和弧FG 是否相等，并说明理由．【分析】要证明EF FG =，则要证明DAE GAD ∠=∠，由AB AE =，得出ABE AEB ∠=∠，由平行四边形的性质得出B GAF ∠=∠，FAE AEB ∠=∠，GAF FAE ∠=∠，由圆心角、弧、弦的关系定理得出EF FG =．【解答】解：EF FG =，理由：连接AE ．AB AE ∴=，B AEB ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，B GAF ∴∠=∠，FAE AEB ∠=∠，GAF FAE ∴∠=∠，∴EF FG =．【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆心角、弧、弦的关系定理等知识点的应用，关键是求出DAE GAD ∠=∠，题目比较典型，难度不大．15．（2018秋•海淀区校级月考）问题呈现： 阿基米德折弦定理： 如图 1 ，AB 和BC 是O 的两条弦 （即 折线ABC 是圆的一条折弦） ，BC AB >，M 是ABC 的中点， 则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点， 即CD AB BD =+． 下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明过程 ．证明： 如图 2 ，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ． M 是ABC 的中点，MA MC ∴=⋯⋯请按照上面的证明思路， 写出该证明的剩余部分；实践应用：（1） 如图 3 ，已知ABC ∆内接于O ，BC AB AC >>，D 是ACB 的中点， 依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 BE CE AC =+ ．（2） 如图 4 ，已知等腰ABC ∆内接于O ，AB AC =，D 为AB 上一点， 连接DB ，45ACD ∠=︒，AE CD ⊥于点E ，BDC ∆的周长为422+，2BC =，请求出AC 的长 ．【分析】首先证明()MBA MGC SAS ∆≅∆，进而得出MB MG =，再利用等腰三角形的性质得出BD GD =，即可得出答案；（1） 直接根据阿基米德折弦定理得出结论；（2） 根据阿基米德折弦定理得出CE BD DE =+，进而求出CE ，最后用勾股定理即可得出结论 ．【解答】证明： 如图 2 ，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ， M 是ABC 的中点，MA MC ∴=．在MBA ∆和MGC ∆中，BA GC A C MA MC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MBA MGC SAS ∴∆≅∆，MB MG ∴=，又MD BC ⊥，BD GD ∴=，DC GC GD AB BD ∴=+=+；实践应用（1） 如图 3 ，依据阿基米德折弦定理可得：BE CE AC =+；故答案为：BE CE AC =+；（2）AB AC =，A ∴是BAC 的中点，AE CD ⊥，根据阿基米德折弦定理得，CE BD DE =+，BCD ∆的周长为422+，422BD CD BC ∴++=+，2422BD DE CE BC CE BC ∴+++=+=+，2BC =，22CE ∴=，在Rt ACE ∆中，45ACD ∠=︒，22AE CE ∴==，4AC ∴=．【点评】此题是圆的综合题， 考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，理解和应用阿基米德折弦定理是解题关键 ．。
2020年人教版九年级数学上册24.1.3《弧、弦、圆心角》同步练习 学生版
别交 BC，CD 于点 E，M，下列结论：①DM=CM；② AE=AD．其中正确的结论有 （填序号）．
；③⊙O 的直径为 2；④
23．如图，在⊙O 中，AB=DC，∠AOB=50°，则∠COD= ．
24．如图，已知 AB、CD 是⊙O 中的两条直径，且∠AOC=50°，过点 A 作 AE∥CD 交⊙O 于点 E，则 的度数为 ．
B．BE=CD
C．AC=BD
D．BE=AD
12．如图，圆心角∠AOB=25°，将 AB 旋转 n°得到 CD，则∠COD 等于（ ）
A．25°
B．25°+n°
C．50°
D．50°+n°
13．如图，⊙O 的半径为 1，动点 P 从点 A 处沿圆周以每秒 45°圆心角的速度逆时针匀速 运动，即第 1 秒点 P 位于如图所示的位置，第 2 秒中 P 点位于点 C 的位置，……，则第 2018 秒点 P 所在位置的坐标为（ ）
下列结论：①OE=OF；②AC=CD=DB；③CD∥AB；④ = ，其中正确的有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
二．填空题
16．如图，AB，CD 是⊙O 的直径，弦 CE∥AB，弧 CE 的度数为 40°，∠AOC 的度
数 ．
17．⊙O 的半径为 5，弦 AB 与弦 CD 相等，且 AB⊥CD 于 H，若 OH=3 ，则线段 BH 长 为 ． 18．如图，C 为弧 AB 的中点，CN⊥OB 于 N，CD⊥OA 于 M，CD=4cm，则 CN= cm．
A．40°
B．45°
C．55°
D．80°
4．如图，BC 为半圆 O 的直径，A、D 为半圆上的两点，若 A 为半圆弧 ADC=（ ）
弧、弦、圆心角 练习题
24.1.3 弧、弦、圆心角练习题一、选择题1．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°2．如图，四边形ABCD内接于直径为6的⊙O，AB＝AC，E是弦AC和直径BD的交点，ED＝，则弦AC的长为（）A．2B．3C．2D．23．已知点O，C在直线m的同一侧，作⊙O交m于点A，B．连结AC，BC，OA，OB，若点C在⊙O外，∠AOB＝110°，则∠C的角度可能是（）A．50°B．55°C．60°D．65°4．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O的半径为（）A．B．C．D．5．如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2021秒时点P的纵坐标为（）A．﹣1B．0C．1D．6．下列叙述正确的是（）A．平分弦的直径必垂直于弦B．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等C．相等的圆心角所对的弧相等D．相等的弧所对的弦相等7．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB，AD，若AD＝1，则R的值为（）A．B．C．1D．二．填空题8．如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝20，弦CD与AB相交于点E，∠AEC＝30°，，则的值为．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，以C为圆心、CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧AD所对的圆心角的度数．10．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，，∠AOE＝32°，那么∠COE的度数为度．11．如图，在半径为6的⊙O中，劣弧的度数是120°，则弦AB的长是．三．解答题12．如图，⊙O的半径OA为50mm，弦AB的长50mm．（1）求∠OAB的度数；（2）求点O到AB的距离．13．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．（1）求证：MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．14．如图，在⊙O中，＝（1）若∠C＝75°，求∠A的度数；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径．。
(完整版)圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习,推荐文档
CD 的弦心距 OF＝_______cm，弦 CD 的长为________cm。
7、 已知⊙O 的半径为 5cm，过⊙O 内一已知点 P 的最短的弦长为 8cm，则 OP＝_______。
8‘已知 A、B、C 为⊙O 上三点，若 AB 、 BC 、 CA 度数之比为 1：2：3，则
∠AOB＝_______，∠BOC＝________，∠COA＝________。
（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。
例： 如图，CD为⊙O的弦， AC BD ，OA、OB交CD于F、E。
求证：OE＝OF
证法一：连结 OC、OD
OC OD， C D
AC BD ， COA BOD（等弧所对的圆心角相等） COF DOE OE OF
∠BOC 的度数。
3、如图 3，C 是⊙O 直径 AB 上一点，过点 C 作弦 DE，使 CD＝CO，使 AD 的度数 40°，
AOB 100 , OBC 55 ， OEC =
度.
2、如图 4，已知 AB 是⊙ O 的直径，C、D 是⊙ O 上的两点， D 130 ，则 BAC 的度数是
.
3、如图 5，AB 是半圆 O 的直径，E 是 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D，已知 BC=8cm,DE=2cm，则
AD 的长为
A． 40 B． 50 C． 70 D． 80
8、如图 3，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点， BAC 20 ， AD CD ，则
∠DAC 的度数是（ ）
A. 70° D
B. 45° C
C. 35°
D. 30°
A
O
B
如图 3 二、填空题
初三数学圆心角试题
初三数学圆心角试题1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，的度数是72°，∠BCD=68°，则∠AED的度数为．【答案】58°【解析】先根据AB是⊙O的直径，的度数是72°得出的度数，由圆心角、弧、弦的关系可求出∠ABC的度数，根据三角形内角和定理可求出∠CEB的度数，再根据对顶角相等即可得出结论．解：∵AB是⊙O的直径，的度数是72°，∴=180°﹣72°=108°，∴∠ABC==×108°=54°，∵∠BCD=68°，∴∠CEB=180°﹣∠BCD﹣∠ABC=180°﹣68°﹣54°=58°．故答案为：58°．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．2.如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD= ．【答案】120°【解析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．解：连接OC、OD，∵BC=CD=DA，∴==，∴弦BC、CD、DA三等分半圆，∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，∴∠BCD=（180°+60°）=120°．故答案是：120°．点评：本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180°．3.如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是 cm．【答案】5【解析】作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，再根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点可求出∠MON′的值，再由勾股定理即可求出MN′的长．解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，∵M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，∴∠MOB==60°，∠BON′==30°，∴∠MON′=90°，∵AB=10cm，∴OM=ON′=5cm，∴MN′===5cm，即MP+NP的最小值是cm．故答案为：5．点评：本题考查的是最短路线问题及圆心角、弧、弦的关系，根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，求出∠MON′=90°是解答此题的关键．4.（2006•昭阳区二模）如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有个．【答案】12个【解析】因为P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，根据题意，x2+y2=25，若x、y都是整数，其实质就是求方程的整数解．解：∵P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，即圆周上的任意一点到原点的距离为5，由题意得：=5，即x2+y2=25，又∵x、y都是整数，∴方程的整数解分别是：x=0，y=5；x=3，y=4；x=4，y=3；x=5，y=0；x=﹣3，y=4；x=﹣4，y=3；x=﹣5，y=0；x=﹣3，y=﹣4；x=﹣4，y=﹣3；x=0，y=﹣5；x=3，y=﹣4；x=4，y=﹣3．共12对，所以点的坐标有12个．分别是：（0，5）；（3，4）；（4，3）；（5，0）；（﹣3，4）；（﹣4，3）；（﹣5，0）；（﹣3，﹣4）；（﹣4，﹣3）；（0，﹣5）；（3，﹣4）；（4，﹣3）．点评：本题结合圆和直角三角形的知识，考查了二元二次方程的整数解和点的坐标问题．5.如下图，弦CD、FE的延长线交于圆外点P，割线PAB经过圆心，请你结合现有图形，添加一个适当的条件：，使结论∠1=∠2能成立．【答案】△COP≌△EOP【解析】本题答案有多种，根据三角形全等原理可填AC=AE或BD=BF，也可根据在“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等”和三角形全等原理，填CD=FE或弧CD与弧EF相等．解：使∠1=∠2能成立，则应有△COP≌△EOP，或△PDB≌△PFB，故可添加AC=AE或BD=BF当AC=AE时，根据圆周角定理知，∠AOC=∠AOE，∵OC=OE，PO=PO，∴△COP≌△EOP，∴∠1=∠2．点评：本题答案不唯一，根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求解．6.下列结论正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧C．相等的圆心角所对的弧相等D．等弧所对的圆心角相等【答案】D【解析】A、只有长度相等的两条弧不一定能重合，所以不是等弧；B、直径、弦的定义进行分析；C、根据圆心角、弧、弦的关系进行分析；D、根据圆心角、弧、弦的关系进行分析．解：A、在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同，故本选项错误；B、同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦为直径，故本选项错误；C、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；D、等弧所对的圆心角相等，故本选项正确．故选D．点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系；解题时要注意圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中才能成立．7.下列命题中，正确的个数是（）①直径是圆中最长的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆周角所对的弧相等；④圆心角等于圆周角的2倍；⑤圆的内接平行四边形是矩形．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一解答即可．解：①符合圆周角定理，故本小题正确；②当两条直径相交时互相平分但不一定互相平分但不一定垂直，应为平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本小题错误；③在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本小题错误；④在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，故本小题错误；⑤符合圆内接四边形的性质，故本小题正确．故选A．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解答此类题目时一定要注意此定理使用的条件，即在同圆或等圆中，这是此类题目的易错点．8.下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三点确定一个圆C．相等的圆心角所对弦相等D．直径为圆中最长的弦【答案】D【解析】画出反例图形即可判断A、C；根据当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，即可判断B，根据弦和直径的定义即可判断D．解：A、如图，AB为弦时，直径CD和AB不垂直，故本选项错误；B、不在同一条直线上三点确定一个圆，当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，故本选项错误；C、如图，∠AOB=∠COD，但弦AB≠弦CD，故本选项错误；D、直径是圆中最长的弦，故本选项错误．故选D．点评：本题考查了确定圆的条件，圆的认识，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的运用，主要考查学生的辨析能力．9.如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（）A．122°B．120°C．61°D．58°【答案】A【解析】直接根据圆心角、弧、弦的关系求解．解：∵，=，∴∠∠AOB=∠AOC=122°．故选A．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．10.已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）A．B．1C．D．a【答案】B【解析】此题可通过证△EAC≌△OAB，得AE=OA，从而求出EA的长；△EAC和△OAB中，已知的条件只有AB=AC；由AB=BD，得=，可得∠AED=∠AOB；四边形ABDE内角于⊙O，则∠EAB+∠D=180°，即∠EAC=180°﹣60°﹣∠D=120°﹣∠D；而∠ECA=180°﹣∠ACB﹣∠BCD=120°﹣∠BCD，上述两个式子中，由BD=AB=BC，易证得∠D=∠BCD，则∠ECA=∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而两个等腰三角形的顶角相等，且底边AC=AB，易证得两个三角形全等，由此得解．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；∵AB=BD，∴，∴∠AED=∠AOB；∵BC=AB=BD，∴∠D=∠BCD；∵四边形EABD内接于⊙O，∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，∵AC=AB，∴△EAC≌△OAB；∴AE=OA=1．故选B．点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大；能够发现并证得△EAC≌△OAB是解答此题的关键．。
弧弦圆心角练习题
弧弦圆心角练习题弧、弦、圆心角的关系同步练习一、填空题:1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是________.DCBAO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.3.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.BAA(4) (5) (6)5.如图5,AB是⊙O的直径, BC BD,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30°, 则点O 到CD 的距离OE=______.二、选择题:7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( )A.50°B.100°C.130°D.200°D DCBA(7) (8) (9) (10)8.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对9.如图9,D 是AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°1．同圆中两弦长分别为x 1和x 2它们所对的圆心角相等，那么（ ）A ．x 1 ＞x 2B ．x 1 ＜x 2 C. x 1 ＝x 2 D ．不能确定2．下列说法正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在⊙O 中同弦所对的圆周角（ ）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．以上都不对4．如图所示，如果的⊙O 半径为2弦AB= AB 的距离OE 为（ ）A． 1 B ．12D 5．如图所示，⊙O 的半径为5，弧AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 的长为（ ）A ．3B ．2C ． 8 D． 6．如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O 中，P 是弧AD 上任意一点，则∠ABP+∠DCP 等于（ ） A ．90° B 。
初三数学弧弦圆心角的练习题
初三数学弧弦圆心角的练习题1. 圆心角是90°的扇形的圆的周长为12π cm，求该扇形的面积。
解析：假设扇形的半径为r cm，则圆心角为90°的弧长为r cm。
根据圆的周长公式，可得：2πr = 12π解得：r = 6 cm扇形的面积为：(1/4)πr² = (1/4)π(6)² = 9π cm²2. 若圆心角为30°，则它所对的弧的度数是多少？解析：圆心角度数与所对弧度数相等，因此该圆心角所对的弧的度数是30°。
3. 在圆上，直径AB的长度为12 cm，弦CD的长度为8 cm。
求圆心角ACB的度数。
解析：对于圆上的任意一个圆心角，其所对的弦长是固定的。
设弦长CD = 8 cm，直径AB = 12 cm。
由于直径等于两个弦加起来的长度，可得：12 cm = 8 cm + CE解得：CE = 4 cm由于圆心角ACB所对的弦CD等于1/2的直径AB，所以CE = 1/2 AB。
因此，圆心角ACB所对的弦CD是直径AB的1/2，即圆心角ACB 的度数为180°的1/2，即90°。
4. 在圆上，弦AC的度数为60°，则对应的圆心角ABC的度数是多少？解析：对于圆上的任意一个圆心角，其度数等于所对的弦的度数的2倍。
因此，圆心角ABC的度数为60°的2倍，即120°。
5. 在圆上，弦DE的度数等于圆心角DFE的度数的4倍，并且圆心角DFE的度数比弦DE多30°。
求弦DE所对的圆心角的度数。
解析：设圆心角DFE的度数为x°。
根据题意可得：弦DE的度数 = 圆心角DFE的度数的4倍 = 4x°圆心角DFE的度数 = 弦DE的度数 + 30° = 4x° + 30°根据圆心角与所对弦的关系，可得：弦DE所对的圆心角的度数 = 圆心角DFE的度数的2倍 = 2(4x° + 30°) = 8x° + 60°综上所述，弦DE所对的圆心角的度数为8x° + 60°。
24.1.3_弧、弦和圆心角
等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等.
例题讲解
例1.如图,在⊙O中,AB=AC ,∠ACB=60° A (1)求证: ∠AOB=∠BOC=∠AOC
⌒ ⌒ 证明：∵ AB=AC ∴AB=AC, △ABC是等 腰三角形．
⌒ ⌒
O B C
又∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
⌒ ⌒ ⌒ BC=CD=DE ,∠COD=35°, 1.如图,AB是⊙O的直径，
基础训练
求∠AOE的度数． ⌒ ⌒ ⌒ 解： ∵ BC=CD=DE
E D C A
BOC=COD=DOE=35
AOE 180 3 35
B
想一想
下面的说法正确吗?为什么?
如图,因为 AOB AOB 根据圆心角、弧、弦的 关系定理可知： ⌒ ⌒ AB AB
A
O
B
同圆或等圆
A
B
试一试
如图,AB、CD是⊙O的两条弦。
(1)如果AB=CD,那么
⌒ 那么 (2)如果⌒ AB=CD,
， 那么 ， 。
，
。
E A
B
O
D F
重合.
⌒ ⌒ 因此，AB与A′B′重合，AB与A′B′重合． ⌒ ⌒ = AB A ' B '. A′B′ AB
定理
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦也相等．
同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 相等 ， 所对 那么它们所对的圆心角_____ 的弦________ 相等 ； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等， 相等 ，所对 那么他们所对的圆心角______ 相等 的弧_________ ． 同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．
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弧、弦、圆心角的关系同步练习
一、填空题:
1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的
度数是________.
D
C
B
A
O
(1) (2) (3)
2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中
有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.
3.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.
4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度
.
B
A
A
(4) (5) (6)
5.如图5,AB是⊙O的直径,BC BD
,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.
6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.
二、选择题:
7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( )
A.50°
B.100°
C.130°
D.200°
D D
C
B
A
(7) (8) (9) (10)
8.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,
相等的角有( )
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
9.如图9,D 是AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°
11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°
1．同圆中两弦长分别为x 1和x 2它们所对的圆心角相等，那么（ ）
A ．x 1 ＞x 2
B ．x 1 ＜x 2 C. x 1 ＝x 2 D ．不能确定
2．下列说法正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．在⊙O 中同弦所对的圆周角（ ）
A ．相等
B ．互补
C ．相等或互补
D ．以上都不对
4．如图所示，如果的⊙O 半径为2
弦AB= AB 的距离OE 为（ ）
A
． 1 B ． C ．
1
2
D 5．如图所示，⊙O 的半径为5，弧AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 的长为（ ） A ．
B C ．
8 D ． 6．如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O 中，P 是弧AD 上任意一点，则∠ABP+∠DCP 等于（ ） A ．90° B 。
45 ° C 。
60° D 。
30°
第 6 题图
第 5 题图
第 4 题图
一、填空题
7．一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角为________
8．如图所示，已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦DE ∥AB ， ∠DOE=70°则∠BOD=___________
9．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，则∠ACD=___________
第 9 题图
第 8 题图
B
B
10．D 、C 是以AB 为直径的半圆弧上两点，若弧BC 所对的圆周角为25°弧AD 所对的圆周角为35°，则弧DC 所对的圆周角为_____ 度
11．如图所示，在⊙O 中，A 、B 、C 三点在圆上，且∠CBD=60，那么∠AOC=__________ 12．如图所示，CD 是圆的直径，O 是圆心，E 是圆上一点且
∠EOD=45°，A 是DC 延长线上一点，AE 交圆于B ，如果AB=OC ，则∠EAD= ____________
第12题图
第11题图
D
三、解答题:
13.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长
.
B
A
5、如图，已知AB和DE是⊙O的两条弦，且AB∥DE，C为弧DE上一点，弧CD=弧BD，连结AC 交DE于P，连结OP。
（1）求证：弧AC=弧DE；（2）求证：OP平分∠APD.
6、如图，已知AB为⊙O的直径，D、C为⊙O上两点，弧AD=弧DC，连结AC。
过点D作DE⊥OB
于E。
求证：DE=
2
1
AC
B
7、如图，已知四边形ABCD的顶点都在⊙O上，AB∥DC，弧AB+
AB=4，DC=6。
（1）求证：弧AD=弧BC；（2）求四边形ABCD的面积。
15．如图所示，△ABC为圆内接三角形，AB＞AC，∠A的平分线AD交圆于D，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：BE=CF
B
16．如图所示，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°
（1）求证△BDE是等边三角形；
（2）若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想。
答案：
1.120°
2.3 1
3.160°
4.44°
5.50°
6.
7.A
8.C
9.B 10.C 11.B 12.C
13.连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD是等边三角形,从而CD= 4cm.
14.连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD.
∵AD是直径,∴∠ACD=90°, ∴AC2+CD2=AD2,即2AC2=36,AC2
.
15.连接BD,则∴AB是直径,∴∠ADB=90°.
∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴PD CD PB AB
=.
在Rt△PBD中,cos∠BPD=PD CD
PB AB
==
3
4
,
设PD=3x,PB=4x,
则
=,
∴tan∠BPD=BD
PD
==.
16.(1)相等.理由如下:连接OD,∵AB⊥CD,AB是直径,
∴BC BD
=,∴∠COB= ∠DOB.
∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.
(2)∠CP′D+∠COB=180°.
理由如下:连接P′P,
则∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.
D
∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.
∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB,
从而∠CP′D+∠COB=180°.
17.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不
大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B处对MN的张角较大,在B处射门射中的机会大些.
18.。