2013中科大少年班复试数学试题
2013年中国科技大学数学夏令营试题赏析
ｓｉｎｎπ
·ｓｉｎ２ｎπ· …
·ｓｉｎ
（ｎ－１）π ｎ
＝
（ω２ －１）（ω４ －１）… （ω２（ｎ－１）－１） ｉ ω （２ ）ｎ－１ １＋２＋ … ＋（ｎ－１）
＝
（ω２ －１）（ω４ －１）… （ω２（ｎ－１）－１） （２ｉ）ｎ－１（ωｎ２ ）ｎ－１
＝
（ω２ －１）（ω４ －１）… （ω２（ｎ－１）－１） ２ｎ－１（－１）ｎ－１
４．已知ｎ∈Ｎ＋ 且ｎ≥２，求证：（１＋ｎ１）ｎ＜３．
ｎ
∑ 证明
（１ ＋
１ ）ｎ ｎ
＝
ｋ＝０Ｃｋｎ （ｎ１ ）ｋ
＝ ２＋
∑ ∑ ｎ
ｋ＝２
ｎ（ｎ－１）ｋ…！ｎ（ｎｋ －ｋ＋１）＜２＋
ｎ
ｒ＝２ｋ１！＜２＋
∑ ∑ ｎ
ｎ
ｒ＝２ ｋ（ｋ１－１）＝２＋ ｒ＝２
（ｋ１－１－ｋ１）＝３－ｎ１＜３．
注
：ｌｉｍ ｎ→ ＋ ∞
中 学 生 数 学 ·２０１４ 年 ５ 月 上 · 第 ４８９ 期 （高 中 ）
数 学 竞 赛 之 窗
（上 接 第 ３５ 页 ）
所以当且仅当 ２θ＝π２ 或 －３２π，即ｔａｎθ２ ＝
±槡２－１，ｆ（ｘ）ｍａｘ
＝
１ ４
，当
且
仅
当
２θ＝３２π或
－π２
，即
ｔａｎ
θ ２
＝
±槡２＋１，ｆ（ｘ）ｍｉｎ
＝
－
１ ４
中 学 生 数 学 ·２０１４ 年 ５ 月 上 · 第 ４８９ 期 （高 中 ）
数 学 竞 赛 之 窗
确定该平 面 了．因 为 涉 及 到 平 面 的 方 向，我 们
考虑它的法线，并 且 假 设ａ，ｂ 为 相 交 直 线 也 没
中科大历年考研数学真题
直线 l1, l2 平行，且 π 与 l1 的距离是 91, 求 π 的方程。
3. 设 A : U → V 为数域 F 上的线性空间 U 到 V 上线性映射. 证明：
dim KerA + dim Im A = dim U
2 −1 1 4. 设 A = 2 2 −1 , 求方阵 P , 使得 P −1AP 为 A 的 Jordan 标准形。
··· ···
(α1, αn)
(α2, αn) ...
,
其中 (αi, αj) 是 V 的内积.
(αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn)
求证:G 正定的充分必要条件是 α1, · · · , αn 线性无关。
5. 设 A 是无限维线性空间 V 的线性变换，B 是 A 在 ImA 上的限制变换. 求证：
.
a2x1 + x2 + x3 = 1
5.
使线性方程组
x1 + ax2 + x3 = a x1 + x2 + x3 =a2
有解的实数 a 的取值范围是
.
6.
已知实方阵 A 的伴随矩阵 A∗
2.
以曲线
y = x2 z=2
为准线，原点为顶点的锥面方程为
.
3. 以 xOy 平面上的权限 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转所得的旋转面的方程是
.如
果曲线方程是 x2 − y2 − 1 = 0, 由此得到的曲面类型是
.
4. 设 α1, α2α3α4 是线性空间 V 中 4 个线性无关的向量,
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对
2013考研数学三真题及答案解析
证明：（1）因为
lim
x
f
(x)
2 ，对于
1 2
，存在
A
0 ,使得当
x
A
时， |
f
(x)
2 |
1 2
，因此
f
( A)
3 2
，由连续函数的介值性，存在
a (0, A)
，使得
f
(a)
1。
（2）由拉格朗日中值定理，存在 (0, a), 使得
f
'( )
f (a) f (0) a0
1. a
（20）（本题满分 11 分）
设
A
1 1
a 0
,பைடு நூலகம்
B
0 1
1 b
，当
a,
b
为何值时，存在矩阵
C
使得
AC
CA
B
，并求所有矩阵
C
。
解析：令
C
x1 x3
x2 x4
，则
AC
1 1
a 0
x1 x3
x2 x4
x1
ax3 x1
x2
ax4 x2
CA
x1 x3
x2 x4
1 1
a 0
x1 x3
12 （B） 1
8
（C） 1 6
（D） 1 2
答案：（C）
解析：
PX Y 2 PX 1，Y 1 PX 2，Y 0 PX 3，Y 1 PX 1 PY 1 PX 2 PY 0 PX 3 PY 1 1 1 1 1 1 1 1
43 83 83 6 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
2013数学三解析
2013年数学（三）真题解析一、选择题（1） 【答案】（D ）.【解】 由 lim * °^2）= lim=0,得（A ）正确；HfOX "° X,O （J7 ） • O （J7 2 ） .. O （H ） O （g2） c A 由 lim ----------:--------= lim -------- •———=0,得（E ）正确；h —o x H —o x x 由 lim O2）二。
2）=lim 匹孚 + lim 匕^=0,得（C ）正确；x-*0 X工~0XH —0X2 I 3取 J ： 2 —o （JC ） 9 X 3 =O {x 2 ），因为 lim ----2 =1工0,所以。
（工）+o （工2 ） =0 （工2 ）不对 9工-*0 X 事实上 O （2）+ O （J ：2 ） = O （J7）,应选（D ）・（2） 【答案】（C ）.【解】 显然一1,0,1为 2）的所有间断点.（一"一1 严小一1 r Jn （—工）_ r 1由塑工（工+l ）ln （r ）= J^iHCz+l ）ln （—工）—’四心（工+1）111（—工）一工巴y +1一 ，得工=—1是无穷间断点，不是可去间断点.. x 1 — 1 e jlnj — 1由凹+ l)ln 工=凹工(工+ l)ln 工lim-L 1 X x\n jc(•z + l)ln 3C，得工=1为可去间断点.jc In jc =!忙(工+1山工T ， x In (— x ) _乂 Cz+l)ln (— H ) x-^o~ z (攵 + l)ln( oc ) x -»o - 2 (z + l)ln( jc )而f(0)无定义，故工=0,2 = 1为可去间断点，应选(C).(3)【答案】(B).由lim •r f ()+X X — 1 ].-- ----―――-----= lim X (j? + l)ln re zfo+(一"一1limx-^Olim x-*0x (a ： + l)ln h严F 一 1I9得 lim/Cz) = 1.X —0严 ]【解】 由对称性得1| =0, 13 =0.12 = jj Ly +(— z )]dcr>0 (因为 jy + (— 2)>0),°2i 4 ~JJLy +(一2)]册<0 (因为夕 + (— x ) vo),应选(B ).°4(4)【答案】(D).【解】 方法一令lim/a ” = lim 牛=A $ 0.当 A = 0 时，取 £0 =1，存在 N 〉0,当 zz 〉N 时，| -y — 0 | < 1，从而 0 W a ” <C —,因为s 1收敛，所以由比较审敛法的基本形式得工s 收敛;” =1 九 n = 18 OO = OO当A>0时，由比较审敛法的极限形式得级数与敛散性相同，因为工*收n = 1 n = 1 九 n = l 兀敛，所以收敛，应选(D).n = 1I -I 00方法二 取a ” =-------，显然a ” > a 卄1 ,因为lima ” =1 # 0,所以工(一1)"一。
中国科技大学少年班与创新班备考试题电路部分
2gdgη1012200111220123001101220123012()0,()()0,()()(2)U C C C U C U C U C C U C C C U C U C U C C C U C C C U C C C ++--=⎧⎪++++--=⎨⎪++++++++-⎩代入数据，得12012301230767050,6767050,7676146750.U U U U U U U U U U U --=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩（12） 解（12）式，可得△U 1=0.298U 0，由（10）～（12）式可得△U 4=U 3以上结果表明，各个绝缘子承受的电压不是均匀的；最大，此绝缘子最容易被击穿．当最靠近输电线的绝缘子承受的电压有效值1141⎛⎫()()C C C C C C ''++中BJK）适当放大后，的图形，如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了的新学科．近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题：设按如图决1所示的三角形尔宾斯基镂垫的方法进行分割，分割的次数越多，ABC中每个小三角形的边长越短，分割后的ABC两顶点间的等效电阻与其中的角度讨论这个问题，我们先介绍二端电的电阻接成的ABC，其任意两顶点间的电状网络，ABC的任意两点间的电阻形网络．接入相同的外电阻，+r r23112经过一次分割，得到三个小三角形，即ADE、DBF、EFC，每个边的所示．将三个小三角形Y变换得图4（15中ABC 任意两顶点间的等效电阻表示为若将三角形做了一次分割操作后得到的三角形网络即图 15132⎤⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝是将ABC 做了第次分割操作后ABC 间的等效电阻，只要将题目中的图形的边长的电阻值是图2每个小三角形的边长的电阻的右三个三角形每个边的电阻改为次分割，ABC 两顶点22503648r ⎛⎫= ⎪⎝⎭仿照计算第1次分割操作后求ABC 两端点次分割三角形两端点间的等效电阻n）已知未分割时ABC 两顶点间对应的等效电阻可表示为次分割后ABC 两顶点间对应的等效电阻可表示为1223n n r ⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭得5132⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1⎤此题是根据对称性分析直流电路的一例，实质上是求出A 、B 两点间的等效电阻。
2013中科大保送生面试题
中科大天津面试题数学：1、（1）、画出正八面体的直观图和表面展开图；（2）、有一个多面体，它的上下底面均为相互平行的正方形，其侧面均为正三角形，画出其直观图和表面展开图。
2、已知映射f：R2→R2（x，y）→（ax，by）a、b均为正数。
（1）、求{（x，y）︱0≤x≤a，0≤y≤b}在f下的象以及此图形的面积；（2）、求{（x，y）︱x2+y2≤1}在f下的象以及此图形的面积。
追问：正多面体的定义。
物理：1、在太阳系中，将行星绕太阳的轨道近似看作圆轨道。
（1）、求证：GM=v2R；（2）、用开普勒第二定律求出v和R的关系；（3）、由没头脑和不高兴两位教授的理论，G是以一定的变化率不停地减小的，求证：；；2、（1）、简述相互作用能的意义，并求出两个点电荷q1、q2，相距为r的相互作用能；（2）、简述自能的意义，并求出半径为R，带电量为Q的导体球的自能；（3）、什么是静电能？简述静电能与电势能的区别。
（4）、一个无限大的接地导体板，其上方距离为d处有一个带电量为q的点电荷，求此系统的静电能和电势能，若一个外力F牵引此电荷到无穷远处，求这个外力做的功。
追问：摩擦力能否做正功？请举例。
化学：A组题没看= =B组：1、汽车排出尾气X，在汽车内部，X被氧化为Y，排放后，Y在空气中被氧化成Z。
已知1molY与0.5mol氧气反应。
（1）、X可能是：A、碳；B、氮；C、硫中的那一个？（2）、写出相关的反应方程式；（3）、为什么不能是其它两种？追问：（1）、已知反应：N2O4可逆符号2NO2，平衡时N2O4转化率为α，求此反应的K c；（2）、实验室和工业制氯气？（3）、在二氧化硫变为三氧化硫反应中，需要什么催化剂？需要什么条件？为什么要加热加压？。
中科大创新班初试入围考试试卷解析
中科大创新班初试入围考试试卷解析一、数学部分（共75分）1. （15分）已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求函数f(x)的极值。
- 解：首先对函数f(x)求导，f^′(x)=3x^2 - 3。
- 令f^′(x)=0，即3x^2 - 3 = 0，化简得x^2 - 1=0，解得x = ±1。
- 当x < - 1时，f^′(x)>0，函数f(x)单调递增。
- 当-1 < x < 1时，f^′(x)<0，函数f(x)单调递减。
- 当x>1时，f^′(x)>0，函数f(x)单调递增。
- 所以x = - 1时，函数f(x)取得极大值f(-1)=(-1)^3 - 3×(-1)+1 = 3；x = 1时，函数f(x)取得极小值f(1)=1^3 - 3×1 + 1=-1。
2. （20分）在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，已知a = 2√(3)，b = 2，A=(π)/(3)，求角B和边c的值。
- 解：根据正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，将a = 2√(3)，b = 2，A=(π)/(3)代入可得：- sin B=(bsinA)/(a)=(2×sinfrac{π)/(3)}{2√(3)}=(2×frac{√(3))/(2)}{2√(3)}=(1)/(2)。
- 因为a>b，所以A>B，又A=(π)/(3)，所以B=(π)/(6)。
- 然后根据三角形内角和C=π - A - B=π-(π)/(3)-(π)/(6)=(π)/(2)。
- 再根据勾股定理c=√(a^2)+b^{2}=√((2sqrt{3))^2+2^2} = 4。
3. （20分）已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n + 1=2a_n+1，求数列{a_n}的通项公式。
- 解：由a_n + 1=2a_n+1可得a_n + 1+1 = 2(a_n+1)。
中科大少年班创新试点班选拔考试
中科大少年班创新试点班选拔考试
中科大少年班创新试点班选拔考试是为了从全国范围内选拔具有创新潜力和优秀综合素质的青少年进入中国科学技术大学学习而举行的考试。
以下是关于该考试的一些信息：
1.招生对象：原则上为高二年级及以下的学生，年龄在16周岁以
下。
2.报名时间：一般为每年的3月份左右，具体时间以招生简章为
准。
3.报名方式：学生需要在规定时间内登录中国科学技术大学官网
进行网上报名。
4.考试科目：数学、物理、化学、英语、语文等。
5.考试形式：一般分为笔试和面试两部分，具体形式以招生简章
为准。
6.录取方式：根据学生的考试成绩和面试表现，结合学生的综合
素质评价，择优录取。
需要注意的是，该考试对考生的综合素质和创新能力要求较高，需要学生在平时的学习中注重积累，提高自己的综合素质。
同时，学生还需要具备一定的英语水平和科学素养，才能够顺利通过考试。