常州市第二十四中学2018-2019学年第一学期八年级第一次课堂教学质量调研数学试卷

常州市第二十四中学2018-2019学年第一学期八年级第一次课堂教学质量调研数学试卷2018.10一、填空题（每题2分，共20分）1．若△ABC≌△ADE，则∠B的对应角为．2．如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是．（只需写出一种情况）3．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y＝．4．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△AOB≌A'OB'的理由是．5．如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是．6．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为小明将其中的第块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃．7．如图，点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为．8．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长是．9．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为．10．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是．二、选择题（每题3分，共21分）11．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．12．如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF＝EF；③DO＝EO；④∠OFD＝OFE．其中能够证明△DOF≌△EOF的条件是（）A．①④B．①②④C．①③④D．①②③④13．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC 14．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°15．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点16．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④17．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β三、画图题（第18题8分，第19题5分，共13分）18．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）画出△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（2）线段CC′被直线l；（3）△ABC的面积为；（4）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．19．尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写作图过程，保留作图痕迹）四、解答题（第20-24题每题8分，第25题6分，共46分）20．已知：如图，AB∥ED，点F、C在AD上，AB＝DE，AF＝DC，求证：BC＝EF．21．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，点P在AB上，求证：PC＝PD．22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长．23．已知∠AOB ＝90°，OC 是∠AOB 的平分线，按以下要求解答问题：（1）将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线OC 的任意一点P 上，并使三角尺的一条直角边与OA 垂直，垂足为点E ，另一条直角边与OB 交于点F （如图1）．证明：PE＝PF ；（2）把三角尺绕点P 旋转，三角尺的两条直角边分别交OA 、OB 于点E 、F （如图2），PE 与PF 相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由；（3）若点E 在OA 的反向延长线上，其他条件不变（如图3），请直接写出结论：PE PF （填＞，＜，＝）．24. 如图，点O 在直线m 上，在直线m 的同侧有A ，B 两点，∠︒=90AOB ，OA=10，OB=8，点P 以2cm/s 的速度从点A 出发沿A -O -B 路径向终点B 运动，同时点Q 以1cm/s的速度从点B 出发沿B -O -A 路径向终点A 运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过点P ，Q 作m PC ⊥于点C ，m QD ⊥于点D ，设运动时间为t秒，当t 为何值时，OPC △与△OQD 全等。

判断的理由．参考答案与试题解析1．【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等，可得答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B与∠D是对应角，故答案是∠D【点评】本题考查了全等三角形的性质．理清对应点是关键．2．【分析】要使△ABC≌△DCB，根据三角形全等的判定方法添加适合的条件即可．【解答】解：∵AC＝BD，BC＝BC，∴可添加∠ACB＝∠DBC或AB＝CD分别利用SAS，SSS判定△ABC≌△DCB．故答案为：∠ACB＝∠DBC（或AB＝CD）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．3．【分析】根据全等三角形对应边相等求出x、y的值，然后相加即可得解．【解答】解：∵两个三角形全等，∴x＝4，y＝5，∴x+y＝4+5＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了全等三角形的性质，比较简单，准确确定对应边是解题的关键．4．【分析】已知两边和夹角相等，利用SAS可证两个三角形全等．【解答】解：∵OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）所以理由是SAS．故答案为SAS．【点评】本题考查了三角形全等的应用；根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法，题目不难．5．【分析】关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果可得答案．【解答】解：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是9：30，故答案为：9：30．【点评】此题主要考查了镜面对称，动手操作可以直观的得到答案．6．【分析】根据全等三角形的判断方法解答．【解答】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．故答案为：4【点评】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．7．【分析】点O到三角形三边的距离相等，可知O点为三角形三角平分线的交点；根据角平分线性质，在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A．【解答】解：∵点O到三角形三边的距离相等，∴OB、OC为三角形的角平分线，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝120°．故填120°【点评】本题考查了角平分线的性质；由此题可以得到规律∠BOC＝2∠A，做题后，要学会对题目的反思，对规律的总结．8．【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE 的周长＝AC+BC，再把BC＝6，AC＝5代入计算即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝5+6＝11．故：△ACE的周长＝11【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．9．【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD＝∠CBD，由角平分线性质即可得AD＝DP，由AD 的长可得DP的长．【解答】解：解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，∵BD⊥CD，即∠BDC＝90°，又∠A＝90°，∴∠A＝∠BDC，又∠ADB＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD＝DP，又AD＝4cm，∴DP＝4cm．故：DP＝4cm．【点评】本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、角平分线的性质，解题的关键学会利用垂线段最短解决最值问题．10．【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有个全等三角形即可．【解答】解：当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；…当有n个点时，图中有个全等三角形．故答案为：．【点评】本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．11．【分析】分别根据轴对称图形的定义即可判断；【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键．12．【分析】要证三角形全等，则需运用全等三角形的判定．我们可以把给出的条件一一进行验证，从而确定正确答案．【解答】解：（1）∵OF是∠AOB的平分线，∴∠DOF＝∠EOF．又∵FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，OF＝OF，∴△DOF≌△EOF．（AAS）（2）∵FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，DF＝EF，OF＝OF，∴OD＝OE．∴△DOF≌△EOF．（SSS）（3）∵FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，DO＝EO，OF＝OF，∴△DOF≌△EOF．（HL）（4）∵FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，∠OFD＝OFE，OF＝OF，∴△DOF≌△EOF．（AAS）∴能够证明△DOF≌△EOF的条件有①②③④．故选：D．【点评】此题主要考查全等三角形的判定．常用的判定方法有SSS，SAS，AAS，HL等．在做题时要注意灵活运用．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证．13．【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB＝AD，BC ＝CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，EB＝DE，进而可证明△BEC≌△DEC．【解答】解：∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD，∴AC平分∠BCD，EB＝DE，∴∠BCE＝∠DCE，在Rt△BCE和Rt△DCE中，，∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL），故选：C．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．14．【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝70°，∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC，＝70°﹣35°＝35°．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．15．【分析】根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．故选：A．【点评】此题考查了三角形的外心的概念和性质．熟知三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，是解题的关键．16．【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．故选：C．【点评】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．17．【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故选：A．【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．18．【分析】（1）根据网格结构找出点B、C关于直线l的对称点B′、C′的位置，在于点A（即A′）顺次连接即可；（2）根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线；（3）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解；（4）根据轴对称确定最短路线问题，连接B′C与对称轴的交点即为所求的点P．【解答】解：（1）△A′B′C′如图所示；（2）线段CC′被直线l垂直平分；（3）△ABC的面积＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2，＝8﹣1﹣2﹣2，＝8﹣5，＝3；（4）点P如图所示．故答案为：（2）垂直平分；（3）3．【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置，熟记轴对称的性质是解题的关键．19．【分析】分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．【解答】解；如图，点P为所作．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．20．【分析】由已知AB∥ED，AF＝DC可以得出∠A＝∠D，AC＝DF，又因为AB＝DE，则我们可以运用SAS来判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF ＝BC．【解答】证明：∵AB∥ED，∴∠A＝∠D，又∵AF＝DC，∴AC＝DF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF．∴EF＝BC【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．21．【分析】由等角的补角相等得到一对角相等，再由已知的一对角相等及公共边PB，利用ASA得到三角形BDP与三角形BCP全等，由全等三角形的对应边相等即可得证．【解答】证明：∵∠1+∠DPB＝180°，∠2+∠CPB＝180°，∠1＝∠2，∴∠DPB＝∠CPB，∵在△BDP和△BCP中，，∴△BDP≌△BCP（ASA），∴PD＝PC．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．22．【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC 和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．（2）由（1）得BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12，即可求出BD的长．【解答】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D＝∠DCB+∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，在△DBC和△ECA中，∵∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE＝CD．（2）解：∵△CDB≌△AEC，∴BD＝CE，∵AE是BC边上的中线，∴BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12cm．∴BD＝6cm．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．23．【分析】（1）由全等三角形的判定和性质证明PE＝PF；（2）PE＝PF，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论．（3）PE＝PF，利用条件证明△PGE≌△PHF即可得出结论．【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵PE⊥OA，∴∠OEP＝90°，∵∠AOB＝90°，∠EPF＝90°∴∠OFP＝360°﹣∠AOB﹣∠PEO﹣∠EPF＝90°，∴∠OEP＝∠OFP又∵∠AOC＝∠BOC，OP＝OP∴△OEP≌△OFP（AAS），∴PE＝PF；（2）PE＝PF，理由是：如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME＝∠PNF＝90°，∵OP平分∠AOB，∴PM＝PN，∵∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°，∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＝∠FPN，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE＝PF．故答案为：＝；（3）PE与PF相等如图3，过点P作PG⊥OA，PH⊥OB，垂足分别为G、H．∵PG⊥OA，PH⊥OB，∴∠PGO＝∠PHO＝90°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，又∵OP＝OP，∴△OGP≌△OHP（AAS），∴PG＝PH，∵∠AOB＝90°，∠PGO＝∠PHO＝90°，∴∠GPH＝90°又∵∠EPF＝90°，∴∠GPE＝∠HPF，∵∠PHO＝90°，∴∠PHF＝90°，∴∠PGO＝∠PHF＝90°∵∠GPE＝∠HPF，PG＝PH，∠PGO＝∠PHF，∴△PGE≌△PHF（ASA），∴PE＝PF．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，证明三角形全等的方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL．24、解答：（1）在上，在上解得：（2）在上，在上由题意得：解得：（3）在点停止运动，在上由题意得：解得：在上，在上这种情况不存在故答案为，，25、解答：（1）如图：过O作OH⊥AB，垂足为H，在垂线段OH的延长线上取一点P，使得PH=OH，此时点P即为点O关于直线AB的对称点，同理画出点Q.（2）当∠ABC=90°时，PQ=7.理由如下：连接PB、QB.∵O、P关于直线AB对称，∴直线AB垂直平分OP，∴∠BHO=∠BHP=90°，PH=OH.∵BH=BH，∴△BHO≌△BHP，∴OB=PB=312，∠OBH=∠PBH，同理OB=QB=312，∠OBC=∠QBC，∴PB+QB=312+312=7.若PQ=7，则PB+QB=PQ，此时P、B、Q三点共线，∴∠PBQ=180°，∴∠ABC=∠OBH+∠OBC=12∠PBQ=90°.（3）当∠ABC≠90°时，PQ＜7.理由如下：∵∠ABC≠90°，∴P、B、Q三点不在一条直线上，此时构成△PBQ，∴PB+BQ＞PQ.∵由（2）得PB+BQ=7，∴PQ＜7.。