3二次函数图像与性质(二)
二次函数的性质及其图像变化
二次函数的性质及其图像变化二次函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和图像变化。
本文将详细介绍二次函数的性质，并探讨其图像在参数变化时的变化规律。
一、二次函数的定义和一般式二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a决定了二次函数的开口方向和图像的开合程度，b决定了图像在x轴方向的平移，c则是二次函数的纵坐标偏移。
二、二次函数的性质1. 开口方向二次函数的开口方向由系数a的正负决定。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
2. 零点二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即y = 0的解。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)求得零点。
3. 顶点二次函数的顶点是指函数图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。
顶点的横坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得，纵坐标则是将横坐标代入函数中得到的值。
4. 对称轴二次函数的对称轴是指通过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴的方程可以通过将顶点的横坐标代入x = -b / (2a)得到。
5. 单调性二次函数的单调性是指函数图像在某个区间内的变化趋势。
当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。
三、二次函数图像的变化规律在探讨二次函数图像的变化规律时，我们将分别讨论a、b、c的变化对图像的影响。
1. a的变化当a的绝对值增大时，二次函数图像的开合程度增加，即图像变得更加尖锐；当a的绝对值减小时，二次函数图像的开合程度减小，即图像变得更加平缓。
当a 的符号改变时，图像的开口方向也会改变。
2. b的变化当b增大时，二次函数图像整体向左平移；当b减小时，二次函数图像整体向右平移。
b的符号改变时，平移方向也会相应改变。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中重要的概念之一，它具有独特的图像与性质。
本文将系统地介绍二次函数的图像与性质，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、基本概念二次函数是指具有形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b和c为实数且a ≠ 0。
在该函数中，x为自变量，而f(x)为因变量。
a决定了二次函数的开口方向，具体可分为向上开口和向下开口两种情形。
二、图像特征1. 开口方向：当a > 0时，二次函数的图像向上开口；当a < 0时，二次函数的图像向下开口。
2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可通过顶点公式计算得到。
对于f(x) = ax² + bx + c形式的二次函数，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是与顶点坐标垂直的直线，其方程为x = -b/2a。
4. 零点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，可通过求解二次方程ax² + bx + c = 0得到。
三、性质分析1. 最值：当二次函数开口向上时，它的最小值为顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，它的最大值为顶点的纵坐标。
2. 单调性：二次函数的单调性取决于a的正负。
当a > 0时，函数在对称轴两侧递增；当a < 0时，函数在对称轴两侧递减。
3. 范围：函数的值域取决于二次函数的开口方向。
对于向上开口的二次函数，其值域为[f(-b/2a), +∞)；对于向下开口的二次函数，其值域为(-∞, f(-b/2a)]。
4. 判别式：二次方程ax² + bx + c = 0的判别式Δ = b² - 4ac可以用来判断二次函数的图像与性质。
当Δ > 0时，函数有两个不同的实根，图像与x轴有两个交点；当Δ = 0时，函数有一个重根，图像与x轴有一个交点；当Δ < 0时，函数没有实根，图像与x轴没有交点。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数（quadratic function）是数学中的一类函数，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
这种函数的图像是一条抛物线，其特点是拥有许多有趣的性质和图像的变化规律。
本文将对二次函数的图像与性质进行详细说明。
一、基本形式二次函数的基本形式为y = ax^2，其中a为二次函数的系数，决定了抛物线的开口方向和形状。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、顶点二次函数的顶点（vertex）是抛物线的最高点（若开口向下）或最低点（若开口向上）。
顶点可通过求导数或利用抛物线的对称性求得。
顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(x)，其中f(x)为二次函数的表达式。
三、对称轴二次函数图像的对称轴（axis of symmetry）是通过抛物线的顶点，并且与抛物线相互对称的一条直线。
对称轴的方程可以通过对抛物线的表达式进行简单计算得到。
四、焦点和准线焦点（focus）和准线（directrix）是二次函数图像的两个重要元素。
焦点是指在平面上向外弯曲的抛物线上的一个特定点。
焦点的横纵坐标可通过复杂的求解方法得到，这里不再详述。
准线是通过焦点以及与对称轴垂直的直线上的特定点构成的直线段。
准线的方程也可通过复杂的计算得到。
五、零点二次函数的零点（zeros）是函数表达式等于零的横坐标。
其求取方法可以通过方程ax^2 + bx + c = 0来求解。
根据求根公式，可得有两个根、一个根或者无实根。
六、图像的变化规律通过改变二次函数的参数a、b、c的数值，可以使得二次函数的图像发生各种变化。
以下是几种常见的变化规律：1. 改变a的值，a越大，抛物线越“扁平”，开口越朝上或者朝下。
2. 改变b的值，b为线性项的系数，可以使抛物线左右平移。
3. 改变c的值，c为常数项的系数，可以使抛物线上下平移。
七、应用二次函数的图像与性质在实际生活中有广泛的应用。
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
九年级数学下册知识讲义-30二次函数的图像与性质2(附练习及答案)-冀教版
初中数学二次函数的图象与性质2学习目标一、考点突破1. 理解并掌握系数a、b、c与函数图象的关系。
2. 掌握图象与坐标轴交点坐标、对称轴的计算方法。
二、重难点提示重点：系数a、b、c与函数图象的关系。
难点：应用系数与函数图象的关系解决问题。
考点精讲二次函数图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点的决定因素（以为例）1.决定了抛物线开口的大小和方向的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小。
2. b与a同时决定对称轴位置同号时，对称轴位置在y轴左侧；异号时，对称轴位置在y轴右侧。
总结：“左同右异”【综合拓展】关于对称轴：①；②当图象过（a，b）（c，b）时，则对称轴为。
3.决定了抛物线与轴交点的位置①当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；②当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；③当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负。
典例精讲例题1（绵阳）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，给出下列结论：①2a＋b＞0；②b＞a＞c；③若－1＜m＜n＜1，则m＋n＜－；④3|a|＋|c|＜2|b|，其中正确的结论（写出你认为正确的所有结论序号）。
思路分析：分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c 的符号，再利用特殊值法分析得出各选项。
答案：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜0，对称轴x ＝－＞1，－b ＜2a ，∴2a ＋b ＞0，故选项①正确；∵－b ＜2a ，∴b ＞－2a ＞0＞a ，令抛物线解析式为y ＝－x 2＋bx －，此时a ＝c ，要使抛物线与x 轴交点的横坐标分别为和2， 则2221+＝－)21(2-⨯b ，解得：b ＝，∴抛物线y ＝－x 2＋x －，符合“开口向下，与x 轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x ＝1右侧”的特点，而此时a ＝c ，（其实a ＞c ，a ＜c ，a ＝c 都有可能），故②选项错误；∵－1＜m ＜n ＜1，－2＜m ＋n ＜2，∴抛物线对称轴为：x ＝－＞1，＞2，m ＋n ＜，故选项③正确；当x ＝1时，a ＋b ＋c ＞0，2a ＋b ＞0，3a ＋2b ＋c ＞0，∴3a ＋c ＞－2b ，∴－3a －c ＜2b ， ∵a ＜0，b ＞0，c ＜0（图象与y 轴交于负半轴），∴3|a|＋|c|＝－3a －c ＜2b ＝2|b|，故④选项正确，故答案为①③④。
(3) 二次函数图像性质3-6课时
当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
我思考，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2, y=-3(x-1)2-2,y=-3x² 和y=-3(x-1)2的图象 思考：
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=3x² ,y=-3(x-1)2的图象有什么关系? （2）它们是轴对称图形吗? （3）它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? （4）当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大? （5）当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?
(0,–1)
(2, 5) (– 4,2) (3,0)
4 y 2 x 2 5 2 5y 0.5x 4 2
向上 直线x= – 4
3 2 6 y x 3 4
向下
直线x=3
课堂练习 1.抛物线y=0.5(x+2)2–3可以由抛物线 y=0.5x2 先沿 x轴方向 左 平移 2 个单位，再沿y轴方向下 平 移 3 个单位得到。 2.已知s= –(x+1)2–3，当x为 –1 时，s取最 大 值 为 –3 。 3.顶点坐标为(1,1)，且经过原点的抛物线的函数 解析式是( D ) A.y=(x+1)2+1 C.y=(x–1)2+1 B. y= –(x+1)2+1 D. y= –(x–1)2+1
开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似. 最大值= 2 (或最大值= - 2)..
X=1
一般：
y = ax2
向上、下平移k 个 单位
y = ax2 ± k
向左平移h个单位 向右平移h个单位
专题1.3 二次函数的图象与性质(二)【八大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题1.3 二次函数的图象与性质（二）【八大题型】【浙教版】【题型1 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】 (1)【题型2 利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】 (4)【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】 (6)【题型4 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数取值范围】 (9)【题型5 根据二次函数的性质求最值】 (11)【题型6 二次函数的对称性的运用】 (13)【题型7 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】 (16)【题型8 利用二次函数的图象与系数的关系判断结论】 (19)【题型1利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】【例1】（2023春·天津滨海新·九年级校考期中）已知点A(−2,y1)，B(1,y2)，C(5,y3)在二次函数y=−3x2+k 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y1<y2<y3B．y3<y2<y1C．y3<y1<y2D．y1<y3<y2【答案】C【分析】根据题意可得二次函数y=−3x2+k的图象的对称轴为y轴，从而得到点A(−2,y1)关于对称轴的对称点为(2,y1)，再由当x>0时，y随x的增大而减小，即可求解．【详解】解：∵二次函数y=−3x2+k的图象的对称轴为y轴，∴点A(−2,y1)关于对称轴的对称点为(2,y1)，∵−3<0，∴当x>0时，y随x的增大而减小，∵1<2<5，∴y3<y1<y2．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【变式1-1】（2023春·九年级单元测试）若点C(x1,m)、D(x2,n)在抛物线y=−2(x−3)2的图象上，且x1>x2 >3，则m与n的大小关系为______．【答案】m<n【分析】根据二次函数解析式，求得二次函数的对称轴，开口方向，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：由抛物线y=−2(x−3)2可得，a<0，开口向下，对称轴为x=3，∴当x>3时，y随x的增大而减小，又∵x1>x2>3，∴m<n故答案为：m<n【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．【变式1-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）已知点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都在二次函数y=ax2−2ax−3a(a≠0)的图像上，若−1<x1<0,1<x2<2,x3>3，则下列关于y1，y2，y3三者的大小关系判断一定正确的是（）A．y1可能最大，不可能最小B．y3可能最大，也可能最小C．y3可能最大，不可能最小D．y2不可能最大，可能最小【答案】B【分析】求出函数图像的对称轴，与x轴的交点，分a>0和a<0两种情况，根据已知三点与对称轴的距离，结合开口方向分析即可．【详解】解：在y=ax2−2ax−3a(a≠0)中，=1，对称轴为直线x=−−2a2a令ax2−2ax−3a=0，解得：x1=−1，x2=3，∴函数图像与x轴交于(−1,0)，(3,0)，∵−1<x1<0,1<x2<2,x3>3，∴(x3,y3)离对称轴最远，(x2,y2)离对称轴最近，当a>0时，开口向上，∴y3>y1>y2；当a<0时，开口向下，∴y3<y1<y2；∴y2和y3可能最大，也可能最小，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据表达式求出对称轴和与x轴交点，利用性质进行分析．【变式1-3】（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数y =x 2−2x 的图象过A (a,y 1),B (2a,y 2)两点，下列选项正确的是（ ）A ．若a <0，则y 1>y 2B ．若0<a <23，则y 1<y 2C ．若23<a <1，则y 1<y 2D ．若a >1，则y 1>y 2【答案】C【分析】根据根据二次函数的解析式得到对称轴为直线x =1，再利用二次函数的性质对各项判断即可解答．【详解】解：∵二次函数y =x 2−2x 的图象过A (a,y 1),B (2a,y 2)两点，∴二次函数的顶点式为：y =x 2−2x =(x−1)2−1，∴当x <1时，y 随x 的增大而减小，当x >1时，y 随x 的增大而增大；∵a <0，∴2a <0，∴a >2a ，∴y 1<y 2，故A 错误；∵二次函数的顶点式为：y =x 2−2x =(x−1)2−1，∴抛物线的对称轴为直线x =1，若a 2a 2=1，∴解得：a =23，∴当a =23时，a 和2a 关于x =1对称，∴当0<a <23时，y 1>y 2；当23<a <1时，y 1<y 2，故B 错误，C 正确；当a >1时，y 随x 的增大而增大，∵a <2a ，∴y 1<y 2，故D 错误；故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键．【题型2利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】【例2】（2023·江苏苏州·模拟预测）若二次函数y=x2−2x−3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为___________．【答案】4【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为(1,−4)，由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．【详解】解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为(1,−4)，∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，掌握求二次函数对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．【变式2-1】（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线y=−x2+4x−n的顶点在x轴的下方，则实数n的取值范围是______．【答案】n>4【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在x轴下方，即可求出n的范围．【详解】解：y=−x2+4x−n，化为顶点式为：y=−(x−2)2+4−n，∵4−n<0，∴n>4，故答案为：n>4．【点睛】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于0时，顶点位于x轴下方．【变式2-2】（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过第二象限内的定点A．设点A的纵坐标为m，若该函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，则k 的取值范围是______．【答案】0<k<1或−1<k<0【分析】先计算二次函数过两个定点，确定m=2，根据函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，分k>0和k<0两种情况列不等式即可解答．【详解】解：∵y=kx2−x−4k=k(x2−4)−x，∴x2−4=0，∴x=±2，当x=2时，y=−2，当x=−2时，y=2，∴二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过定点−2，2，2，−2，∴m=2，∵函数y=kx2−x−4k的图象与y=2在1<x<3内没有交点，∴分两种情况：①当k>0时，x=3时，y<2，即9k−3−4k<2，∴k<1，∴0<k<1，②当k<0时，当x=1时，y<2，即k−1−4k<2，∴k>−1，∴−1<k<0，综上所述，k的取值范围是0<k<1或−1<k<0，故答案为：0<k<1或−1<k<0．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，计算定点A的坐标．【变式2-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(0,−1)，则a+b+c的取值范围是（）A ．−2<a +b +c <0B ．−2<a +b +c <−1C ．−32<a +b +c <0D ．−32<a +b +c <−1【答案】A【分析】由函数图象的开口方向可知a >0，由抛物线与y 轴的交点判断c 的值，当x =1时，二次函数的值小于零，由此可求出a 的取值范围，将a +b +c 用a 表示即可得出答案．【详解】由图象开口向上，可得a >0，∵图象过点(0,−1)，∴c =−1，∵图象过点(−1,0)，∴a−b−1=0，∴b =a−1，∵对称轴在y 轴的右侧，∴当x =1时，y =a +b +c =a +a−1−1=2a−2<0，∴a <1，∴0<a <1，∴−2<2a−2<0，即−2<a +b +c <0，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函表达式系数符号的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】【例3】（2023春·九年级单元测试）二次函数y =ax 2−4x +1有最小值−3，则 a 的值为（ ）A ．1B ．−1C ．±1D ．2【答案】A【分析】把二次函数y =ax 2−4x +1变成顶点式，根据二次函数的图象性质，得出结论．【详解】∵y=ax2−4x+1∴y=ax2−4x+1=ax−−4a+1∵二次函数y=ax2−4x+1有最小值−3,∴a>0−4a+1=−3∴a=1故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，把二次函数的一般式变成顶点式，求二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象的相关性质是解本题的关键．【变式3-1】（2023春·浙江·九年级校联考期中）已知函数y=−x2+bx−3（b为常数）的图象经过点(−6,−3)．当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为（）A．−2或−3+B．−2或−4C．−2或D．【答案】C【分析】将点(−6,−3)代入y=−x2+bx−3即可求得b的值，进而求得抛物线的最大值，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．【详解】把(−6,−3)代入y=−x2+bx−3，得b=−6，∴y=−x2−6x−3，∵y=−x2−6x−3=−(x+3)2+6∴当x=−3时，y有最大值为6；①当−3<x≤0时，当x=0时，y有最小值为−3，当x=m时，y有最大值为y=−m2−6m−3∵y的最大值与最小值之和为2，∴−m2−6m−3+(−3)=2，∴m=−2或m=−4(舍去)。
【冀教数学学九年级(河北)302 二次函数的图像和性质 第2课时
y=2x2+1
8
6
y=2x2
4
y=2x2-1
2
－4 －2
24
二次函数的图像
根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 抛物线 . (2)三条抛物线的开口方向__向__上___; (3)对称轴都是___y_轴______
(4) 从上而下顶点坐标分别是 _(_0_，__1_)__( _0_,0_)__(_0_,-_1_)____
第三十章 二次函数
30.2 二次函数的图像和性质
第二课时
1.会画二次函数y=ax2+k的图象. 2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用. 3.理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系.
二次函数的图像
探究：画出二次函数 y=2x², y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开 口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
5.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k__=_2_；若顶点位于x 轴上方，则k__>_2_；若顶点位于x轴下方，则k <2 .
6.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2. 向下平移1个单位.
（2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小；当x_=_0__时，
例1. 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相
等，则当x＝x1+x2时，其函数值为____c____.
8 6 4 2
－4 －2
24
【分析】由二次函数y＝ax2+c图象 的性质可知，x1，x2关于y轴对称， 即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数 表达式求出纵坐标为c.
二次函数的图象和性质(2)
h＜0时,将抛物线y=ax2向 左 平移 h
个单位得到抛物线y=a(x–h)2 .
二次函数y=a(x-h)2 (a≠0)的图象和性质
a>0
图象
a<0
h>0
开口方向 顶点坐标 对称轴
增减性 最值
h<0
h>0
h<0
1.如何由y=4x2的图象得到y=4x2-3的图象. 说明y=4x2-3图象的顶点，对称轴，增减性. 2.如何由y=4x2的图象得到y=4(x+5)2的图象.
说明y=4(x+5)2图象的顶点，对称轴，增减性.
3.如何由y=4x2的图象得到y=4(x+5)2-3的图象.
练习
1 2 1.把抛物线 y x 向下平移2个单位，可以得 1 22 到抛物线____________ ，再向上平移5个单 y x 2 2 1 2 位，可以得到抛物线 y x 3 ； 2 2.对于函数y= –x2+1，当x ＜0 时，函数值y
a<0
k<0
增减性
最值
在同一直角坐标系中画出函数的图象.
y 2x , y 2( x 3) , y 2( x 1)
2 2
2
抛物线y=ax2与抛物线 y=a(x–h)2 (a、h是常数，a≠0 )的关系：
h＞0时,将抛物线y=ax2向 右 平移 h 个单位得到抛物线 y=a(x–h)2 ；
答：a=-2或4或-8.
1 2 9.已知抛物线 y x ，把它向下平 2 移，得到的抛物线与x轴交于A、B两
点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角
三角形，那么原抛物线应向下平移几 个单位？
10、已知抛物线y=3x2+m与x轴的交点为A、B（B在A
二次函数的图像及性质
－3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的 形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线， 只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物 线 y = x2 ，
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
12
整理课件
不同点：a 要越大，抛物线的开 口越小．
y x2
8 6
4 2
y 2x2 y 1 x2 2
－4 －2
24
15
整理课件
探究
画出函数 y x2 , y 1 x2 , y 2x2 2
线有什么共同点和不同点．
的图象，并考虑这些抛物
你画出的图象与图中相同吗？
16
x ··· －4 －3 －2 －1 0
整理课件
1. 抛物线y=4x2中的开口方向是
，顶点坐标是
，对
称轴是
.
2. 抛物线 y= - 1 x2 的开口方向是 对称轴是 4 .
，顶点坐标是 ，
3. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口
方向相反，则a= .
20
整理课件
2. y=ax2 +k 的函数图像
21
整理课件
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数 y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐 标是否相同?它们有什么关系？我们应该 采取什么方法来研究这个问题？
整理课件
二次函数的图像 及性质
1
整理课件
复习回顾二次函数的定义
2
整理课件
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
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课题：二次函数图像与性质（二）
复习目标
1、体验从实际问题中抽象出函数关系式的过程，进一步感受数学模型思想和数学应用价值;
2、能够运用二次函数的性质和图象解决实际问题。
复习难点 用二次函数的性质和图象解决实际问题。
复习过程
一、知识点回顾
1. 二次函数的解析式： （1）一般式： ；（2）顶点式： ；
（3）交点式： .
2．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得2
24()24b ac b y a x a a -=++，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）.
⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最
（“大”或“小”）值是 ；
⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最
（“大”或“小”）值是 ．
二、复习题组
题组一
1求抛物线 y=2x 2-4x+5 的对称轴和顶点坐标.
2 已知二次函数y=-x 2+4x-
3 ⑴求二次函数图象与坐标轴的交点坐标；⑵当-2≤x ≤0 时,求二次函数y=-x 2+4x-3的最大值和最小值.
3在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0)
⑴求该二次函数的关系式；
⑵ 将该二次函数图象向右平移几个单位长度,可使平移后所得图象经过坐标原点?请直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.
题组二
1. （2009湖北省荆门市）函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =______．
2. (2009年淄博市） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ．
①过点(31
)，；②当0x >时，y 随x 的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2． 3. 已知抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.
4. 已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)图象的顶点P 的横坐标是4,•
图象交x 轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB 的长是( ).
A.4+m
B.m
C.2m-8
D.8-2m
5.已知抛物线y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,
(1)求证:此抛物线与x 轴总有两个不同的交点.
(2)设x 1、x 2是此抛物线与x 轴两个交点的横坐标,且满足x 12+x 22=-2k 2+2k+1.
①求抛物线的解析式.
②此抛物线上是否存在一点P ，使△P AB 的面积等于3，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
复习检测
1、（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。
若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？(
) A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒 。
2、（2009年孝感）将函数2y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，
则a 的值为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 3、（2009年兰州）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．
是( )
4、(2009宁夏)二次函数2(0)y a x b x c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错．误．
的是（ ） A ．0c > B ．20a b += C ．240b ac -> D ．0a b c -+>
5、（2009威海）二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是___________
6、（2009年娄底）如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12
x 2 的图象，C 2是函数y =-12
x 2的图象，则阴影部分的面积是 . 7、（2009白银市）抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，请写出与其关
系式、图象相关的2个正确结论： ， ．（对称轴，图象与x
正半轴、y 轴交点坐标例外）
8、（2009山西省太原市）已知，二次函数的表达式为2
48y x x =+．写出这个函
数图象的对称轴和顶点坐标，并求图象与x 轴的交点的坐标．
（4题图）
m ，0），B（m＋2，0）两点，记抛物线顶9、（2009湖北省荆门市）一开口向上的抛物线与x轴交于A（2
点为C，且AC⊥BC．
（1）若m为常数，求抛物线的解析式；
（2）若m为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
（3）设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．。