最新-习题选讲-1

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例题选讲

解答：

四叉树结点的度数均不大于4，结点总数应等于度为i的结点数(记为ni)之和： N=no+n1+n2+n3+n4 (1) 因为度为 i的结点有i个孩子，而根结点不是任何结点的孩子，故结点总数为： N=n1+2n2+3n3+4n4+1 (2) 由上面的(1)、(2)式得到： no=n2+2n3+3n4+1=1+20+60+1=82
例1-3

设A是一个线性表（a1,a2,…,an），若采用顺序存储结构，则在等概率的前提下，平均插入一个元素需要移动的元素个数为多少？若元素插在ai和ai+1之间(0≤ i ≤n-1)的概率为
n -i n(n 1) / 2
则平均每插入一个元素所移动的元素的个数又是多少？
解答：

在等概率的前提下，平均插入一个元素需要移动的元素个数为：（0+1+2+…+n）/(n+1)=n/2 若元素插在ai和ai+1之间(0≤ i ≤n-1)的概率为 n -i n(n 1) / 2 ，则平均每插入一个元素所移动的元素的个数为：
例题选讲
线性结构
1线性表

例1-1关于线性表的说法，下面选项正确的是（）。 A. 线性表的特点是每个元素都有一个前驱元素和一个后继元素 B.线性表是具有n(n≥0)个元素的一个有限序列 C.线性表就是顺序存储的表 D.线性表只能用顺序存储结构实现
例1-2

下面关于线性表的叙述中，错误的是哪一个？ A.线性表采用顺序存储，必须占用一片连续的存储单元 B.线性表采用顺序存储，便于进行插入和删除操作 C.线性表采用链式存储，不必占用一片连续的存储单元 D.线性表采用链式存储，便于插入和删除操作

离散数学习题选讲

（4）设 B 为偏序集 < A, ≤ > 的子集，若 B 中存在最大元，则它就是 B 的最小上界，否则
从 A − B 中选择那些向下可达 B 中每一个元素的结点，它们都是 B 的上界，其中的最小元是 B 的最小上界，类似地可以确定 B 的最大上界。
离散数学习题选讲
第6页共7页
第五章代数系统的一般性质
如果给定了两个以上的运算，在讨论封闭性时要分别对每个运算讨论。
容易验证本题中的 6 个函数全是实数集 R 上的二元运算，它们的可交换性、结合性、
幺元和零元的判别结果如下：
函数
交换
结合
么元
零元
f1
√
√
为0
×
f2
×
×
×
×
f3
√
√
为1
为0
f4
√
√
×
×
f5
√
√
×
×
f6
√
×
×
×
离散数学习题选讲
第7页共7页
第六章几个典型的代数系统
有的结点检查完毕，就得
到 G′ 。以本题为例。图（1）表示 R 的关系图 G 。依次
检查结点 1、2、3、4。从 1 出发，沿环走 2 步仍回
到 1。所以， G′ 中有过 1
的环。从 1 出发，经过 <1,1>和<1,4>，2 步可达
4。所以 G′ 中有从 1 到 4
的边。结点 1 检查完毕。类似地检查其它 3 个结点。2 步长的路径还有 2→1→1，2→1→4,3→4→1,4→1→1,4→1→4。
前提引入
② ∃y(F ( y) → G( y))
①EG

概率习题课一

性质 4 设 A、B 为两事件 , 且 A B , 则 P A B P A P B 并且 P A P B .
概率论
性质 5 对于任一事件 A , 都有 P A 1 . 性质 6 设 A, B 为任意两个事件 , 则
P A B P A P B P AB P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC
例9
分析：只需计算P( A1 D)和P( A3 D)比较大小
概率论
A1 , A2 , A3组成了样本空间的一个划分，且 1 P(A1 )=P(A 2 )=P(A3 )= 3 1 另外，P( D A1 ) , P( D A2 ) 0, P( D A3 ) 1, 2 则由贝叶斯公式：
1 1 P( A1 )P( D A1 ) 1 3 2 P( A1 D) 3 1 1 1 1 0 1 3 P( Ai )P( D Ai ) 3 2 3 3 i 1
2) P( A B) P( B A) P( B AB) y z 3) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 1 x z
4) P( A B) P( A B) 1 x y z
概率论
例3 （摸球问题）设盒中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A表示“取到一红一白”
n
i 1,2,, 一发子弹，
以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试
用A、B、C的运算关系表示下列事件：
作业 P23 1.7
概率论
若W表示昆虫出现残翅，E表示有退化性眼睛，且 P(W)=0.125，P(E)=0.075, P(WE)=0.025, 求下列事件的频率：（1）昆虫出现残翅或退化性眼睛 P(W+E)=P(W)+P(E)-P(WE)=0.175 （2）昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛 P(W-E)=P(W)-P(WE)=0.1 （3）昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛

习题选讲

3．矩形截面简支梁由圆形木材刨成，已知F=5KN， a =1.5m，[σ]= 10MPa，试确定此矩形截面b/h的最优比值，使其截面的抗弯截面系数具有最大值，并计算所需圆木的最小直径d。
Wbh2 b(d2b2)
6
6
令抗弯截面系数取最大值，则： dW 0
db
h/b 2
7.5KN•m
3d 2
2、图示等直杆，杆长为3a，材料的抗拉刚度为EA，受力如图。杆中点横截面的铅垂位移有四种答案：( B )
（A）0；
（B）Fa/(EA);
F
（C）2 Fa/(EA);
（D）3 Fa/(EA)
2F
3、刚性杆AB的左端铰支，1、2两杆为长度相等、横截面面积相等的直杆，其弹性横量分别为E1 和E2，且有 E1 = 2 E2 ，平衡方程与补充方程可能有以下四种：（ C )
FN1a2FN2a3Fa0FN12FN23F
2l1l22F EN 1A 1lF EN 2A 2lFN1FN2
4、图示平板，两端受均布载荷q 作用，若变形前在板面划上两条平行线段AB和CD，则变形后：( A )
（A） AB//CD， a角减小；（B） AB //CD，a角不变（C） AB //CD，a角增大（D）） AB 不平行于CD
d3
b ,h d,W
3
3
93
m a x M W m a x [] W M [m ] a x d 393 M [m ] a x 0 .2 2 7 m
4、简支梁如图所示，试求梁的最低层纤维的总伸长。 M ( x ) 1 qx (l x ) 2

(x)

6M (x) bh2
应为 B

大学物理下册第六章习题课选讲例题

_
We

2
4π 0
ln
R2 R1
Eb
max
2 π 0 R1
max 2 π 0 E b R1
W e π 0 E R ln
2 b 2 1
R2 R1
1) 0
l
-+ -+ -+ -+
_
_
R1
R2
_ _
dW e d R1
π 0 E R 1 ( 2 ln
点，则距球心 r 的 P 点（R1 < r < R2）电势为（A）
Q1 4 π 0 r Q1 4 π 0 R1 Q2 4 π 0 R 2 Q2 4 π 0 R 2
（B）
Q1 4 π 0 r

Q2 4 π 0 r
（C）
（D） 4 π 0 R1 4 π 0 r
Q1
Q2
例有一外表形状不规则的带电的空腔导体，比较 A 、两点的电场强度 E 和电势U ，应该是：（） B
U d 1000 10
3
V m
1
10 V m
6
1
10 kV m
3
1
Байду номын сангаас
E E0 r
3 . 33 10 kV m
2
1
P ( r 1) 0 E 5 . 89 10
6
C m
2
-2
0 0 E 0 8 . 85 10
Q
S
D dS
q
可得
0 r RA
2 2
E1 0 E2 q / 4 π 0r E3 q / 4 π 0r

数学分析选讲刘三阳-部分习题解答

1 / 13第一讲习题解答习题1-11 计算下列极限计算下列极限① ()1lim 11,0pn n p n →∞⎡⎤⎛⎫+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解：原式解：原式==()1111110lim lim 110ppp n n n n n n→∞→∞⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()()01p x x p ='=+= ② ()sin sin limsin x ax a x a →--解：原式解：原式==()()()()sin sin sin sin limlim sin x ax a x a x ax a x a x a x a →→---⋅=---=()sin cos x a x a ='= ③ 11lim 1mnx x x →--，,m n 为自然数解：原式解：原式==()()111111lim 11mmn x nx x x x nxx mx x →==--'⋅=⋅=--'④ ()lim 21,0nnna a →∞⋅-> 解：原式()()1ln 21lim ln 211limln 21limn x n nx a e a n a nxn e ee→∞→⎛⎫ ⎪⋅- ⎪⎝⎭--→∞====()()()()0ln 21ln 21ln 21lim2ln 20xa a xxa axx e ee a ---→'-====⑤ lim ,0x ax a a x a x a →->-解：原式解：原式==lim x a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a a x a x a a a x a x a x a →→--=---()()x ax a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0x aax x ax aa a a a x →->-解：原式lim lim x a x a a x a x x a x a x a x a a a a a x a a xx a a x →→---==⋅---()lim x a a a a a x a x a x a a a a a x a x a a x →----=⋅-- lim x a a a a a x a x a x a a a a a x a x a x a a x →⎛⎫---=-⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭lim x a a a a a x a a a a a x a x a a a a a x a x a x a x a x a a x→⎛⎫----=-⋅⋅ ⎪ ⎪----⎝⎭ ()()()()1ln 1x a a y a a y a x a x a a a x a a ===⎛⎫'''=-⋅⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭ln a a a a =⋅⑦ ()()101011sin limsin x tgxxx →+--解：原式解：原式==()()101011sin limsin x tgxxx xx→+--⋅()()()()1010101001101sin 1sin 0lim x tgx tg xxx→⎛⎫+-+---=-⎪ ⎪⎝⎭()()()()101011sin x x tgx x ==''=+--20=⑧ ()11lim mk m n i n i kn n -→∞=⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，m 为自然数为自然数解：原式()111lim lim 1m m k k m n n i i n i i n n n n n -→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎢⎥=-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()()()11111lim 12m kkmn i i x i mk k n i i x in→∞===⎛⎫+-⎪+'⎝⎭=⋅=⋅+=∑∑ 2 设()f x 在0x 处二阶可导，计算()()()000202lim hf x h f x f x h h→+-+-。

数学分析选讲刘三阳部分习题解答

第一讲习题解答习题1-11 计算下列极限① ()1lim 11,0p n n p n →∞⎡⎤⎛⎫+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解：原式=()1111110lim lim 110ppp n n n n n n→∞→∞⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()()01p x x p ='=+= ② ()sin sin limsin x a x a x a →--解：原式=()()()()sin sin sin sin limlimsin x a x a x a x a x ax a x a x a →→---⋅=---=()sin cos x ax a ='= ③1x →，,m n 为自然数解：原式=11x x n m→='==④()lim 21,0nn a →∞>解：原式()()10ln 21lim ln 211limln 1lim n x n x a e a n nxn ee e →∞→⎛⎫ ⎪⋅- ⎪⎝⎭-→∞====()()()()0ln 21ln 21ln 21lim2ln 20x a a xx a a xx e ee a ---→'-====⑤ lim,0x ax a a x a x a→->- 解：原式=limx a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a ax a x a a a x a x a x a →→--=---()()x a x a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0xaa xxax a a a a a x →->-解：原式limlim x a x aa x a x x a x a x a x a a a a a x aa x x a a x→→---==⋅---()lim x aa aa a x ax ax a a a a a x ax aa x→----=⋅-- lim xaaaa a x ax a x a a a a a x a x a x a a x →⎛⎫---=-⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭lim xaaaa a x a a a a a x a x a a a a a x a x ax a x a x a a x →⎛⎫----=-⋅⋅ ⎪ ⎪----⎝⎭()()()()1ln 1x aa y aa y a x a x a a a x a a ===⎛⎫'''=-⋅⋅ ⎪⎪-⎝⎭ln aa a a =⋅ ⑦ ()()101011sin limsin x tgx x x→+--解：原式=()()101011sin limsin x tgx x xx x→+--⋅()()()()1010101001101sin 1sin 0lim x tgx tg x x x →⎛⎫+-+---=-⎪ ⎪⎝⎭()()()()101011sin x x tgx x ==''=+--20=⑧ ()11lim m k m n i n i kn n -→∞=⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，m 为自然数解：原式()111lim lim 1m m k k m n n i i n i i n n n n n -→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎢⎥=-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()()()110111lim 12mkk m n i i x i mk k n i i x i n→∞===⎛⎫+- ⎪+'⎝⎭=⋅=⋅+=∑∑2 设()f x 在0x 处二阶可导，计算()()()00022limh f x h f x f x h h→+-+-。

线性代数第1章行列式(习题选讲) 20101104

1 1+ ∑ i=1 ai 0 M = M L an 0
1 0
a1 L M 0 L an
1习题课-9
计算n阶行列式：计算n阶行列式：
题解P26 习题1.5 题解P26 习题1.5
2 -1 1 + a1 a1a 2 L a1a n L a1 + a1 a2 an a 2 a1 1 + a 2 L a 2 a n a1 a 21 + a 2 L an 2 = a1a 2 L a n M M M M M M 2 a n a1 a n a 2 L 1 + a n L a n1 + a n a1 a2
证明：证明：
y +z z+x x+y x y z x+y y +z z+x = 2z x y y z x z+x x+y y +z
y z+x x+y z z+x x+y = x y +z z+x + y y +z z+x z x+y y +z x x+y y +z
1习题课-3
对下面的行列式，对下面的行列式，有D1=_____D -24
-1 a 1 + a1 a 2 L a n 2 1 + a1 - a 1 1 a 21 L 0 -1 = a1a 2 La n M M M = M 0 L a n1 - a1 1 -1
2 a2 L an 2 n 1 L 0 = 1+ ∑ ai M M i=1 0 L 1
1习题课-10
计算行列式：计算行列式：
a11 a12 D = a 21 a 22 a 31 a 32

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第一章晶体结构由布喇格公式：
2dhklsin(n1) d 1 1 0 2 sin1 2 si1 n .5 1 4 9 0 .6 5 1 1 o 2 .2 9 5 1 0 1 0 (m )
d2002sin21.63341010(m ) d2112sin31.33771010(m )
第一章晶体结构
该平面（ABC）法线方向的单位矢量是:
ndhidkjdlk a1 a2 a3
这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间
距。由|n|=1得到:
1 ( dh ) 2 ( dk ) 2 ( dl ) 3
a1
a2
a3
d
[(
h
)2
(
k
)2
(
l
)
3
]
1 2
a1
a2
a3
故
d
1
( h )2 ( k )2 ( l )3
体积=(1/4)a3
第一章晶体结构
面心立方的次近邻为6个原子，
因此，所有次近邻原子的连线的中垂面围成一个立方体，体积为a3
补充：试求出SC；BCC；FCC；HCP的最近邻到第十近邻原子数和距离
列表如下：
N
SC
BCC
FCC
近邻数距离近邻数距离近邻数距离
16 1
8
1
12 1
2 12
2
2
b3 a (i k i)
倒格子原胞的体积:
b1•(b2b3)3 a32
FCC结构的布里渊区
第一章晶体结构
补充2、按照WS原胞的构造法，如果FCC中一个原子的所有最近邻原子的连线的中垂面围成一个什么图形，体积为多少？如果FCC中一个原子的所有次近邻原子的连线的中垂面又围成一个什么图形，体积为多少？解：面心立方的最近邻为12个原子，因此，所有最近邻原子的连线的中垂面围成一个12面体，如图：
那么，倒格子的基矢为：
i jk
b1 2a2a3
2
3a 2
a 2
0
2 i2 j
3a a
00c
b2
2
a3 a1
2
ij 00 3a a 22
k c 2 i 2 j
3a a 0
ij
b3
2
a1 a3
2
3a a 22
3a a 22
k 0 2 k
a 0
与正点阵相比，倒点阵仍然是简单六方点阵，但相对正点阵绕c轴旋转了30°.
a3.27251010(m )
补充： 1、试计算面心立方晶胞的第一布里渊区的
体积。解：因为面心立方晶胞的倒格子为体心立方
面心立方的基矢：
a a1 2 (i j)
a a2 2 ( j k)
a3
a 2
(k
i)
a1
•(a2
a3)
1 a3 4
面心立方晶胞的倒格子基矢为：
b1
2
a
(i
j
k)
2
b2 a (i j k )
d2202sin31.16091010(m )
d3102sin41.04031010(m )
应用立方晶系面间距公式 :
dhkl
a h2 k2 l2
第一章晶体结构
把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值为（×10-10 m） 3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897 取其平均值则得：
a1
a2
a3
第一章晶体结构
1.9 答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：
I F h k l| f 2 [ 1 c o s n ( h k l ) ] 2 f 2 s i n 2n ( h k l )
考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。
38
3
46
4
5 24
5
6 24
6
6
4/3
6
2
12
8/3
24
3
24
11/ 3
12
4
8
12 / 3
24
5
8
16 / 3
8
6
结束语
谢谢大家聆听！！！
24
其第一布里渊区的WS原胞，仍然为一个六方正棱柱。
1.8 若基矢a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族
（hkl）的面间距为：
dhkl
1 (h)2 (k)2 (l )2
abc
答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距分别为:
a1 ; a2 ; a3 ; hk l
对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：
Rf
2a 2
第一章晶体结构
1.7 六方晶胞的基矢为：
a
3 ai a j
b
3 ai a j
22
22
c ck
求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区。答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：
正格子的体积：
a•(bc) 3a2c 2
-习有许多金属既可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小. 设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？
答：由题意已知，面心、体心立方结构中同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：