5.备课资料(3.2.3 直线的一般式方程)

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3.2.2直线的两点式方程 3.2.3直线的一般式方程教案(人教A版必修2)

3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用条件．(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用条件．(3)明确直线方程一般式的形式特点，会把直线方程的一般式同直线方程的其他形式互化．2．过程与方法(1) 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．(2)通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察、分析、归纳，进而得出直线的一般式方程，培养学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题．3．情感、态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线方程的两点式、一般式．难点：两点式的适用条件及直线方程一般式的形式特征．重难点突破：以具体案例“求过两点的直线方程”为切入点，通过学生解答，发现知识之间的联系，然后通过观察、思考和互相交流，归纳出直线方程的两点式的形式．针对其适用条件，教学时可引导学生从两点式的形式给予突破；从直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的形式出发，采用由特殊到一般的方式，通过学生观察、师生交流，寻其共性，得出直线方程一般式的形式特征，最后通过典例训练，熟练掌握直线方程的各种形式，突出重点的同时化解难点．●教学建议本节知识是上一节知识的拓展和补充，旨在培养学生多角度探求直线方程的求法．鉴于本节知识的特点，对于直线方程的两点式的教学，可引导学生由“点斜式方程”出发，探究“过两点的直线方程”求法，整个过程遵循由浅及深、由特殊到一般的认知规律，使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的．对于直线方程的截距式，教学时只需明确以下两点：(1)它是两点式的特殊情形；(2)讲清截距的几何含义和截距式方程的特征及适用条件．对于直线方程的一般式，教学时，可采取“分析法”“讨论法”“归纳法”与多媒体相结合进行教学，增强动感和直观性．在整个教学过程中，引导学生观察、分析、概括、归纳，使学生思维紧紧围绕“一般式的形式特征与直线点斜式方程的互化”层层展开，体现知识的相互交融性，同时为下一节研究直线的交点坐标及距离公式做好铺垫．●教学流程创设问题情境，引出问题：过两定点的直线方程，如何求解？⇒通过引导学生回忆直线的点斜式方程，探究得出直线的两点式方程，明确其适用条件.⇒通过引导学生回答所提问题理解直线方程的一般式与二元一次方程的关系.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握直线的两点式方程的求法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的截距式方程的求法.⇒1．利用点斜式解答如下问题：(1)已知直线l 经过两点P 1(1,2)，P 2(3,5)，求直线l 的方程；(2)已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．【提示】 (1)y －2＝32(x －1)．(2)y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)．2．过点(3,0)和(0,6)的直线能用x 3＋y6＝1表示吗？【提示】能．直线方程的两点式和截距式若点12112212的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.我们已经学习了直线的点斜式y －y 0＝k (x－x 0)，直线的斜截式y ＝kx ＋b ，直线的两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，直线的截距式x a ＋y b ＝1，并且掌握了它们的适用条件．1．上述方程的四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)来表示吗？【提示】能．2．关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？【提示】一定．直线的一般式方程(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是－AB ，在y 轴上的截距是－CB.当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，不存在斜率.三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．【思路探究】由两点式直接求出三角形三边所在的直线的方程．【自主解答】由两点式，直线AB 所在直线方程为： y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.1．已知直线上的两点坐标时，通常用两点式求直线方程．2．利用两点式求直线方程的前提是x 1≠x 2，y 1≠y 2，切忌不注意坐标间的关系盲目套用公式．在题设条件不变的情况下，求AB 中点与点C 连线的方程．【解】设AB 边中点为D (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－1＋32＝1，y ＝0＋(－1)2＝－12，C ，D 两点横坐标相同，所以直线CD 的方程为x ＝1.l 的方程．【思路探究】思路一：利用直线的截距式方程求解，需分截距“为零”和“不为零”两类分别求解；思路二：利用直线方程的点斜式求解．【自主解答】法一设直线l 在两坐标轴上的截距均为a . ①若a ＝0，则直线l 过原点，此时l 的方程为2x ＋3y ＝0； ②若a ≠0，则l 的方程可设为x a ＋ya ＝1，因为直线l 过点(3，－2)，知3a ＋－2a ＝1，即a ＝1，所以直线l 的方程为x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.法二由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则可得直线的方程为y ＋2＝k (x －3)．令x ＝0，得y ＝－2－3k . 令y ＝0，得x ＝2k＋3.由题意－2－3k ＝2k ＋3，解得k ＝－1或k ＝－23.所以直线l 的方程为y ＋2＝－(x －3)或y ＋2＝－23(x －3)，即x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.1．如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．2．应用截距式方程处理截距相等问题的一般思路：已知直线l 过点(1,1)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程．【解】由条件知直线l 的斜率存在且不为0，可设直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则由条件知1－k ＝2(1－1k)，解得k ＝1或k ＝－2.故l 的方程为y ＝x 或y ＝－2x ＋3.(1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点；(6)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.【思路探究】根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程．【自主解答】 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0. (2)x ＝－3，即x ＋3＝0. (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0. (4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0. (6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0.直线方程的五种形式的比较：若直线Ax ＋By ＋C ＝0(不经过原点)不经过第三象限，则AB ________0，BC ________0. 【解析】如图所示，若直线l 不经过第三象限，则斜率k <0且在y 轴上的截距大于零，∴B ≠0.由Ax ＋By ＋C ＝0，得y ＝－A B x －CB .∴k ＝－A B <0，b ＝－CB >0.故AB >0且BC <0. 【答案】><利用坐标法解决实际问题(12分)如图3－2－1所示，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地(不改变方向)建造一图3－2－1幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．(精确到1 m 2) 【思路点拨】本题考查坐标法的应用和二次函数的最值，关键是确定长方形中在AB 上的顶点的位置，可建立坐标系，运用直线的知识求解．【规范解答】建立如图所示的坐标系，则B (30,0)，A (0,20)，∴由直线的截距式方程得到线段AB 的方程为： x 30＋y20＝1(0≤x ≤30).3分设长方形中在AB 上的顶点为P ，点P 的坐标为(x ，y )，则有y ＝20－23x (0≤x ≤30).4分∴公寓的占地面积为： S ＝(100－x )·(80－y ) ＝(100－x )·(80－20＋23x )＝－23x 2＋203x ＋6 000(0≤x ≤30).8分∴当x ＝5，y ＝503时，S 取最大值，最大值为S ＝－23×52＋203×5＋6 000≈6 017(m 2).10分即当点P 的坐标为(5，503)时，公寓占地面积最大，最大面积约为6 017 m 2.12分本题是用坐标法解决生活问题，点P 的位置由两个条件确定，一是A ，P ，B 三点共线，二是矩形的面积最大．借助三点共线寻求x 与y 的关系，然后利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．3．直线方程的一般式同二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)之间是一一对应关系，因此研究直线的几何性质完全可以应用方程的观点来研究，这实际上也是解析几何的思想所在——用方程的思想来研究几何问题.1．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝0 B.x 2＋y3＝0C.x 2＋y 3＝1D.x 2－y 3＝1 【解析】由截距式，得所求直线的方程为x 2＋y3＝1.【答案】 C2．下列语句中正确的是( )A ．经过定点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示D ．经过定点的直线都可以用y ＝kx ＋b 表示【解析】 A 不正确，该方程无法表示x ＝x 0这条直线；C 不正确，该方程无法表示与坐标轴平行的直线；D 不正确，该方程无法表示与x 轴垂直的直线，B 正确．【答案】 B3．直线方程2x ＋3y ＋1＝0化为斜截式为________；化为截距式为________．【解析】直线方程2x ＋3y ＋1＝0化为斜截式为y ＝－23x －13.化为截距式为x －12＋y－13＝1.【答案】 y ＝－23x －13x－12＋y－13＝1 4．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．【解】 (1)设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎨⎧m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－3，∴C 点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M (0，－12)、N (52，0)，由直线方程的截距式得直线MN 的方程是x 52＋y－12＝1，即2x －10y －5＝0.一、选择题1．直线3x ＋y ＋6＝0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则( ) A ．k ＝3，b ＝6 B ．k ＝－3，b ＝－6 C ．k ＝－3，b ＝6 D ．k ＝3，b ＝－6 【解析】化为斜截式，得y ＝－3x －6， ∴k ＝－3，b ＝－6，故选B. 【答案】 B2．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12【解析】直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0.【答案】 C3．(2013·周口高一检测)已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A ．4x ＋2y ＝5 B ．4x －2y ＝5 C ．x ＋2y ＝5 D ．x －2y ＝5【解析】 ∵A (1,2)，B (3,1)，∴线段AB 的中点坐标为(2，32)．又k AB ＝1－23－1＝－12，故线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y ＝5.【答案】 B4．(2013·威海高一检测)若直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、三象限，则( ) A ．ab >0，bc >0 B ．ab >0，bc <0 C ．ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0【解析】把直线ax ＋by ＋c ＝0化成斜截式得 y ＝－a b x －c b ，由题意可知⎩⎨⎧－ab >0，－cb >0，即ab <0且bc <0.【答案】 D5．(2013·德化高一检测)过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x ＋4y ＝0【解析】当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0，当直线不过点(0,0)时，可设为x a ＋ya ＝1，把(4,1)代入，可解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知直线方程为x＋y ＝5或x －4y ＝0.【答案】 C 二、填空题6．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．【解析】由点斜式得，所求直线方程为y －3＝2(x －1)，整理得2x －y ＋1＝0. 【答案】 2x －y ＋1＝07．(2012·绵阳高一检测)直线y ＝23x －2与两坐标轴围成的三角形的面积是________．【解析】令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝3.故直线y ＝23x －2与两坐标轴围成的三角形的面积是12×3×2＝3.【答案】 38．在下列各种情况下，直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的系数A ，B ，C 之间各有什么关系：(1)直线与x 轴平行时：________； (2)直线与y 轴平行时：________； (3)直线过原点时：________； (4)直线过点(1，－1)时：________.【解析】 ∵A ，B 不同时为零，故当A ＝0且B ≠0时(1)成立；当B ＝0且A ≠0时(2)成立；当C ＝0时(3)成立；当A －B ＋C ＝0时(4)成立．【答案】 (1)A ＝0且B ≠0 (2)B ＝0且A ≠0 (3)C ＝0且A ，B 不同时为0 (4)A －B ＋C ＝0三、解答题9．已知直线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点且线段AB 的中点为P (4,1)，求直线l 的方程．【解】由题意可设A (x,0)，B (0，y )，由中点坐标公式可得⎩⎨⎧x ＋02＝4，0＋y2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，∴A (8,0)，B (0,2)，由直线方程的截距式得l 方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.10．设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距为－3； (2)直线l 的斜率为1.【解】 (1)令y ＝0得x ＝2m －6m 2－2m －3(m 2－2m －3≠0)，由题知，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝3(舍)，m ＝－53.(2)∵直线l 的斜率为k ＝－m 2－2m －32m 2＋m －1，∴－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43.11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，则当a ＝2时满足条件，此时方程为3x ＋y ＝0.当a ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意．当a ≠－1且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0，则当a ＝0时，直线在x 轴、y 轴上的截距都为－2，此时方程为x ＋y ＋2＝0.综上所述，当a ＝2或a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等，此时方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将直线l 的方程转化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，则⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.解得a ≤－1.故a 的取值范围为(－∞，－1].求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程．【思路探究】要求直线方程，可结合题中的截距的绝对值相等来求，或求出直线的斜率获得直线方程．【自主解答】法一设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)，令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k .又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝|4k ＋3k |，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.1．由于直线的截距式方程不能表示过原点的直线，因此法一首先考虑过原点的特殊情况，截距为0的直线很容易被遗忘，应引起重视．2．求直线在坐标轴上的截距的方法是：令x ＝0，所得y 值是在y 轴上的截距，令y ＝0，所得x 值是在x 轴上的截距．求过点A (4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程．【解】当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为x －2y ＝0.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y b ＝1，过点A ，∴4a ＋2b ＝1.①∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以 |a |＝|b |.②由①②联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，∴所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x 2＋y－2＝1，化简即得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2.综上，直线方程为x －2y ＝0或x ＋y －6＝0或x －y －2＝0.。

3.2.3直线的一般式方程(最新)

1 当a≠0时, k1 , k2 a 2 , a 若 l1 l2 , 则 k1 k2 1,
所以 a 1; 综上, a 0 或 a 1.
练习3：直线x+m2y+6=0与直线 (m-2)x+3my+2m=0没有公共点,求实数m的值.
解：当m=0时, l1 : x 6 0, l2 : 2 x 0,
P0 ( x0 , y0 )
也具有形式Ax+By+C=0(B=0).
综上，都具有形式：Ax+By+C=0.
二、方程Ax+By+C=0表示直线
A C x , 1、当B≠0时, 方程可化为 y B B A 这是直线的斜截式方程，它表示斜率是
C 在y轴上的截距是的直线. B
2、当B=0时，
4 x 3 y 12 0.
练习1：根据下列条件, 写出直线的方程, 并把它化成一般式:
1 ⑴ 经过点 A(8, 2) , 斜率是 ; 2 ⑵ 经过点 B (4, 2) , 平行于 x 轴;
⑶ 经过点 P (3, 2) , P2 (5, 4) ; 1
x 2y 4 0 y20 x y 1 0
y
l
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;
y
l
(2) B=0 , A≠0 , C≠0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;

3.2.3直线的一般式方程课件人教新课标

§3.2.3 直线的一般式方程
复习回顾
1.直线方程有几种情势？指明它们的条件及应用范围.
点斜式 y－y0 = k（x－x0）合适斜率存在
斜截式 y = kx + b
合适斜率存在
两点式
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 , y1
y2 )
截距式 x y 1a,b 0
ab
(1)L在x轴上的截距为-3；(2)L的斜率为1.
小结
1.本节课都学了哪些知识点？
①二ห้องสมุดไป่ตู้一次方程与直线的一一对应关系； ②直线的一般式方程的概念； ③ 直线方程的一般式Ax+By+C=0系数A、B、C的几何意义； ④直线方程的各种特殊情势和一般式之间在一定条件下可以互相转化。
2. 本节课主要用了哪些数学思想方法？
3.在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中, A, B,C为何值时,方程表示如下的直线：
①平行于x轴 A=0,C≠0
②平行于y轴 ③与x轴重合 ④与y轴重合
B=0,C≠0 A=0,C=0 B=0,C=0
⑤过原点
C=0
课堂练习
4.设直线L的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1)y=2m-6 根据下列条件确定m的值
概念生成
我们把关于x，y的二元一次方程
Ax+By+C=0
(其中A,B不同时为零)叫做直线的一般式方程, 简称一般式.
问题1：直线方程的一般式Ax+By+C=0与其他几种特殊情势相比，它有什么优点？
问题2：一般式Ax+By+C=0中系数A,B,C几何意义？

3.2.3直线的一般式方程的教学设计

第三章直线与方程 3.2 直线的方程3.2.3 直线的一般式方程（2课时）主备教师：李劲东一、内容及解析本节课要学的内容直线的一般式方程指的是由直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程转化成统一的直线方程形式，其核心是直线的四种方程,理解它关键就是要理解二元一次方程，即直线的方程。

学生已经学过直线的四种方程及二元一次方程，本节课的内容直线的一般方程就是在此基础上的延伸。

由于它还与线性规划知识、曲线与方程有紧密的联系,所以在本学科有重要的地位，并有着基础的作用,是本章的重点内容。

教学的重点是理解并掌握直线的一般方程，解决重点的关键是理解直线的一般方程，即在平面直角坐标系中,任何一条直线的方程,都可以写成关于x,y 的一二元次二元一次方程;反过来,任何一个关于x,y 的一次方程都表示一条直线。

二、目标及解析目标定位：1、理解直线方程和二元一次方程的关系； 2、会求直线的一般式方程。

目标解析：1、理解直线方程和二元一次方程的关系,初步认识直线与二元一次方程之间的联系；2、会求直线的一般式方程就是能够由直线的方程转化为直线的一般方程。

三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的困难是在讨论直线与方程的关系和直线是否存在斜率时的分类讨论思想，产生这一困难的原因是学生缺乏分类讨论的思想、考虑问题不够全面。

要解决这一困难，就要让学生理解二元一次方程方程，其中关键是熟练应用、转化直线的方程，全面系统的进行讨论。

四、教学支持条件分析在本节课的教学中，可以使用多媒体教学，使用多媒体可以增加教学容量，提高教学效率。

五、教学过程设计（一）复习直线方程的四种形式:1、点斜式:当直线斜率存在时，过点),(000y x P ，斜率为k 的直线方程为)(00x x k y y -=-2、斜截式：当直线斜率存在时，设在y 轴上的截距为b ，则直线方程为y=kx+b.3、两点式：过点111222(,),(,)P x y P x y 其中1212(,)x x y y ≠≠的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--4、截距式：当直线在x 轴、y 轴上的截距存在（分别为a 、b ）且不为零时，直线方程为1x ya b+=（二）探究直线的一般式方程问题一：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x 、y 的二元一次方程表示吗？【设计意图】使学生理解直线和二元一次方程的关系。

21-22版：3.2.3　直线的一般式方程(创新设计)

28
课前预习
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@《创新设计》
2.直线的一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x，y的二元一次方程. (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列. (3)x的系数一般不为分数和负数. (4)虽然一般式直线方程有三个系数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 特别提醒在利用直线方程的四种特殊式时，一定要注意其适用的前提条件.
规律方法已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤
@《创新设计》
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课前预习
课堂互动
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@《创新设计》
【训练2】已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线.当m＝____________ 时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1.
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课前预习
课堂互动
@《创新设计》课堂反馈
@《创新设计》
课堂达标
1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A.A≠0
B.B≠0
C.A·B≠0
D.A2＋B2≠0
解析方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0. 答案 D
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课前预习
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@《创新设计》
法二 (1)由 l′与 l 平行，可设 l′的方程为 3x＋4y＋m＝0(m≠－12).将点(－1，3) 代入上式得 m＝－9. ∴所求直线的方程为 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，可设 l′的方程为 4x－3y＋n＝0. 将(－1，3)代入上式得 n＝13. ∴所求直线的方程为 4x－3y＋13＝0.

学案4：3.2.3 直线的一般式方程

3.2.3直线的一般式方程学习要求1．了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系．2．能正确地进行一般式方程与特殊形式的方程的转化．3．能运用直线的一般式方程解决有关问题．核心扫描1．直线的一般式与特殊形式方程之间的转化．(重点)2．直线一般式方程的应用．(难点)新知探究新知导学1．直线的一般式方程关于x，y的二元一次方程(其中A，B)叫做直线的一般式方程，简称一般式．温馨提示(1)任何一条直线的方程都可以认为是关于x，y的二元一次方程．(2)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)，它都表示一条直线．2．直线方程的一般式与四种特殊形式之间的转化关系温馨提示直线x＝x0可理解为1·x＋0·y－x0＝0直线y＝y0可理解为0·x＋y－y0＝0互动探究探究点1 当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么图形？探究点2 任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？题型探究类型一求直线的一般式方程例1 根据下列条件求解直线的一般式方程：(1)直线的斜率为2，且经过点A(1,3)；(2)斜率为3，且在y轴上的截距为4；(3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.[规律方法]本题旨在让我们体会直线方程的各种形式，以及特殊形式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点，一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项顺序排列，求直线方程的题目，结果一般写成一般式形式．活学活用1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．(1)经过点B(4,2)，平行于x轴；(2)直线过(－2,1)，在x轴上的截距为1.类型二利用一般式解决平行与垂直问题例2 (1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．[规律方法](1)过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：①由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．②可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.(2)利用一般式解决平行与垂直问题策略已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.活学活用2 (1)已知直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a 的值为________．(2)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为________．类型三利用直线的一般式方程判定直线的几何特征例3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．[规律方法] (1)证直线一定经过某个象限，一般考虑直线过某个定点．(2)直线不经过某个象限问题一般从斜率和截距来考虑解决，但不能忽略考虑与坐标轴垂直的情况．活学活用3 (1)已知k ∈R ，直线kx －y ＋2＋2k ＝0恒过定点________．(2)设直线l 的方程为(a －1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．若直线l 不过第三象限，则a 的取值范围为________．易错辨析因转化条件不等价而致错示例已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值． [错解] ∵l 2的斜率k 2＝－m －23，由l 1∥l 2知l 1的斜率存在，即m ≠0 又k 2＝－1m ，由k 1＝k 2，得－m －23＝－1m ，解得m ＝3，或m ＝－1.∴m 的值为3或－1.[错因分析] 因存在斜率的两直线平行的等价条件，为斜率相等且截距不等，上述解法忽略检验截距是否相等．[正解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，其斜率k 2＝－m －23，截距b 2＝－23m∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0，由l 1∥l 2得⎩⎨⎧－m －23＝－1m－23m ≠－6m解得m ＝－1，∴m ＝－1.[防范措施] 由两直线的一般式，解决平行、垂直问题时，一定要等价运用条件．(1)用斜率判定平行时，既要考虑斜率是否存在，又要截距不相等；用斜率判定垂直问题时，不能忽略斜率为0或不存在的情况．(2)可直接运用两直线一般式方程的系数解决平行或垂直问题，可避免分类讨论，减少失误.感悟提升课堂达标1．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( )． A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．如果ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件( )． A ．bc ＝0 B ．a ≠0C ．bc ＝0且a ≠0D ．a ≠0且b ＝c ＝03．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为________． 4．直线(2a 2－7a ＋3)x ＋(a 2－9)y ＋3a 2＝0的倾斜角为45°，则实数a ＝________. 5．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求直线l ′的方程，l ′满足 (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直．课堂小结1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷．2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为截距式有两种方法：一是令x ＝0，y ＝0，求得直线在y 轴上的截距－C B 和在x 轴上的截距－CA ；二是移常数项，得Ax ＋By ＝－C ，两边除以－C (C ≠0)，再整理即可.参考答案新知探究新知导学1．Ax ＋By ＋C ＝0 不同时为0 互动探究探究点1 提示当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面；当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象．故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A 、B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0才代表直线．探究点2 提示不是．当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式．但其他四种形式都可以化为一般式.题型探究类型一求直线的一般式方程例1 【解】(1)因为k ＝2，且经过点A (1,3)，由直线的点斜式可得y －3＝2(x －1)，整理可得2x －y ＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x －y ＋1＝0.(2)由直线的斜率k ＝3，且在y 轴上的截距为4，故直线的斜截式为y ＝3x ＋4，整理可得直线的一般式方程为3x －y ＋4＝0. (3)由直线的两点式可得y －(－3)－5－(－3)＝x －2－1－2，整理得直线的一般式方程为2x －3y －13＝0.(4)由直线的截距式可得x 2＋y－4＝1，整理得直线的一般式方程为2x －y －4＝0.活学活用1 【解】(1)由斜截式得y ＝2，即y －2＝0； (2)法一 k ＝1－0－2－1＝－13代入点斜式得y －1＝－13(x ＋2)，即x ＋3y －1＝0.法二由两点式方程得y －01－0＝x －1－2－1，即x ＋3y －1＝0.类型二利用一般式解决平行与垂直问题例2 【解】(1)法一设直线l 的斜率为k ， ∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34.又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0.法二设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11. ∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. (2)法一设直线l 的斜率为k ， ∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直， ∴k ·(－2)＝－1，∴k ＝12.又∵l 经过点A (2,1)．∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.法二设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过点A (2,1)， ∴2－2×1＋m ＝0，∴m ＝0. ∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0. 活学活用2 (1)1或－3 (2)－3或2【解析】(1)法一当a ＝1时，l 1为x ＝3，l 2为y ＝25，故l 1⊥l 2，当a ＝－32时，l 1的方程为－32x ＋52y ＝3，l 2的方程为－52x ＝2，显然l 1，l 2不垂直．当a ≠1且a ≠－32时，由k 1·k 2＝－1，得a a －1·1－a2a ＋3＝－1，解得a ＝－3.综上所述，当a ＝1或a ＝－3时，l 1⊥l 2. 法二因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＋2a －3＝0. 解得a ＝1或a ＝－3.故当a ＝1或a ＝－3时，l 1⊥l 2. (2)若l 1∥l 2，需2×3－m (m ＋1)＝0，解向m ＝－3，或m ＝2.当m ＝－3或2时，A 1C 2－A 2C 1＝2×(－2)－m ×4＝－4－4m ≠0. 故m ＝－3，或m ＝2即为所求．类型三利用直线的一般式方程判定直线的几何特征例3 (1)【证明】法一将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．法二直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0.由于上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，5y －3＝0，则有⎩⎨⎧x ＝15，y ＝35.即l 过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，以下同方法一． (2)【解】直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，故a ≥3.活学活用3 (1)(－2,2) (2)[1，＋∞)【解析】法一直线kx －y ＋2＋2k ＝0可变为y －2＝k (x ＋2)，此为直线的点斜式方程，即直线的斜率为k ，恒过定点(－2,2)．法二直线kx －y ＋2＋2k ＝0可变为k (x ＋2)－y ＋2＝0，由于上式对任意的k 都成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，－y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即直线过定点(－2,2)． (2)把直线l 化成斜截式，得y ＝(1－a )x ＋a ＋2，因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零．即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤0，a ＋2≥0，解得a ≥1.所以a 的取值范围为[1，＋∞)．感悟提升课堂达标 1．【答案】A【解析】由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°. 2．【答案】D【解析】y 轴方程表示为x ＝0，所以a ，b ，c 满足条件为b ＝c ＝0，a ≠0. 3．【答案】A 2＋B 2≠0【解析】由二元一次方程表示直线的条件知A 、B 至少有一个不为零即A 2＋B 2≠0. 4．【答案】－23【解析】由题意知k ＝－2a 2－7a ＋3a 2－9＝tan 45°＝1解之得a ＝－23或a ＝3(舍)．5．【解】法一由题设l 的方程可化为：y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34，(1)由l ′与l 平行， ∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0. 法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 将点(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设其方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线方程为4x －3y ＋13＝0.。

新课标高中数学人教A版必修二：3.2.3直线的一般式方程

3.2.3直线的一般式方程
复习引入
1.点斜式方程： 2. 斜截式方程：
3. 两点式方程：
复习引入
1.点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点 (x0, y0)及斜率k存在)
2. 斜截式方程：y＝kx＋b [已知斜率k存在及截距 b(与y轴交点(0, b)]
3. 两点式方程： y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
[已知两定点(不适合与x轴或y轴垂直的直线)]
复பைடு நூலகம்引入
4. 截距式方程：
5. 一般式方程：
复习引入
4. 截距式方程：
x y 1 ab
[已知截距a(与x轴交点(a,0))及截距b(与y轴
交点(0, b))不适合过原点的直线]
5. 一般式方程： Ax＋By＋C＝0 (A、B不同时为0)
特别的，l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2，则 l1 //l2 k1＝k2，且b1≠b2；
l1⊥ l2k1·k2 ＝－1.
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗？
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗？ 2. 每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线吗？
例2.把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0 化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
例2.把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0 化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
练习.教材P.99-P.100练习第1、2题.

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备课资料
备用习题
1.若一直线被直线4x+y+6=0和3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线的方程.
解：设所求直线的方程为y=kx ，
由⎩⎨⎧=++=,064,y x kx y ,得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+-=k k y k x 46,46 又由⎩⎨⎧=--=,0653,y x kx y ,得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=.536,536k k y k x 由题知k k 53646-++-=0，∴k=-6
1. ∴所求直线方程为x+6y=0.
点评：上述解法具有一般性,必须要掌握.
2.过点A(-5,-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴所围成的三角形面积为5.求直线l 的方程.
解：设直线为y+4=k(x+5),交x 轴于点(
k 4-5,0)，交y 轴于点(0,5k-4)， S=21×|k 4-5|×|5k-4|=5,即|40-k
16-25k|=10. 解得k=52或k=5
8. ∴2x-5y-10=0或8x-5y+20=0为所求.
3.过点M(2,1)作直线l ，分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B ，若△ABC 的面积S 最小，试求直线l 的方程.
解：设直线l 的方程为y-1=k(x-2)，
令x=0，得y=1-2k ，故B(0,1-2k).令y=0，得x=
k k 12-，故A(k k 12-,0). 由题意,知1-2k ＞0,k
k 12-＞0，∴k ＜0. ∴△ABC 的面积S=21k k 12-(1-2k)=k
k 2)12(2
-=2+(-2k k 21-). ∵k ＜0，∴-2k k 21-=(-2k)+(k
21-)≥2，从而S≥4. 当且仅当-2k=k 21-，即k=-21（k=2
1舍去）时，S min =4， ∴直线l 的方程为y-1=-21(x-2)，即x+2y-4=0.
(设计者:高建勇、郝云静)。