2019年中考数学复习专题类型突破专题五二次函数综合题训练
2019九年级数学复习：二次函数综合复习训练题含答案
2019-2020 年九年级数学复习：二次函数综合复习训练题(含答案 )一、填空题（每空 2 分，共 32 分）1. 二次函数 y=2x 2 的极点坐标是，对称轴是 。
2. 函数 y=(x － 2) 2+1 张口，极点坐标为，当时， y 随 x 的增大而减小。
3. 若点（ 1，5），（ 3，5）是抛物线 y=ax 2+bx+c 上的两点，则这条抛物线的对称轴是 ________4.一个对于 x 的二次函数，当 x=－ 2 时，有最小值－ 5，则这个二次函数图象张口必定5. 二次函数 y=3x 2－ 4x+1 与 x 轴交点坐标，当时， y>0。
6. 已知二次函数 y=x 2 －mx+m － 1，当 m=时，图象经过原点；当 m=时，图象顶 点在 y 轴上。
7. 正方形边长是 2cm ，假如边长增添 xcm ，面积就增大 ycm 2 ，那么 y 与 x 的函数关系式是 __________________________. 8. 函数 y=2(x － 3) 2 的图象， 能够由抛物线y=2x 2 向平移 个单位获取。
9. 当 m= 时，二次函数 y=x 2－ 2x －m 有最小值 5。
10. 若抛物线 y=x 2－ mx+m － 2 与 x 轴的两个交点在原 点两则，则 m 的取值范围是。
11. 如 图 ， 抛 物 线 的 顶 点 为 P （ -2 ， 2） ， 与 y轴交于点 A （0，3）．若平移该抛物线使其顶 点 P 沿直线挪动到点 P ′（ 2，-2），点 A 的对应点为 A ′，则抛物线上 PA 段扫过的地区（暗影部分）的面积为______________ 二、选择题（每题 3 分，共 30 分）12. 二次函数 y=(x － 3)(x+2) 的图象的对称轴是（）A 、 x=3B 、 x=－3C 、 x=－ 1/2 D、x=1/213. 二次函数 y=ax 2+bx+c 中，若 a>0,b<0 ， c<0, 则这个二次函数的极点必在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限 D、第四象限14. 若抛物线 2+3x+m 与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是（ ）A 、m ≤B 、m ≥C 、D 、以上都不对 15. 二次函数 y=ax 2+bx+c 的图如下图，则以下结论不正确的选项是（ ）A 、 a<0,b>0B 、 b 2－ 4ac<0C 、a － b+c<0D 、 a － b+c>016. 函数是二次函数 y (m 2) x m 22m ，则它的图象（）A 、张口向上，对称轴为 y 轴B 、张口向下，极点 x 在轴上方C 、张口向上，与 x 轴无交点 D、张口向下，与 x 轴无交点17. 一学生推铅球，铅球前进高度y(m) 与 水 平 距 离 x(m) 之 间 的 关 系 是y1 x2 2 x 5 ，则铅球落地水平距离为（ ）123 3A 、 5mB、 3mC、 10mD、 12m318. 抛物线 y=ax 2+bx+c 与 y 轴交于 A 点，与 x 轴的正半轴交于 B 、 C 两点，且 BC=2， S ABC =3，则 b 的值（）A 、－5B 、4 或－4C 、4D、－ 419. 二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如下图， 则此函数分析式为 （）A 、 y= －x 2+2x+3B 、 y=x 2－ 2x － 3C 、 y=－ x 2－ 2x+3D 、 y= － x 2－ 2x － 320. 函数 y=ax 2+bx+c 和 y=ax+b 在同一坐标系中大概图象是（）21. 若把抛物线 y=x2+bx+c 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，获取抛物线 y=x2，则（）A、 b=－ 2,c=3B、b=2,c=－3C、b=－4,c=1D、b=4,c=722.已知二次函数 y＝ ax 2＋ bx＋c(a ≠ 0) 的图象如下图，有以下结论：① abc ＞0；② a＋ b＋ c＝2；③a 1；④ b＜ 1．其2中正确的结论是 ()A．①② B ．②③ C．②④D．③④23. 以下命题中，正确的选项是()①若 a＋ b＋ c＝ 0，则 b2－ 4ac＜ 0；②若 b＝ 2a＋ 3c，则一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝0 有两个不相等的实数根；③若 b2－4ac ＞ 0，则二次函数 y＝ax2＋ bx＋c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或 3；④若 b＞ a＋ c，则一元二次方程ax2＋bx＋ c＝ 0，有两个不相等的实数根．A．②④B．①③C．②③D．③④24.给出以下命题及函数 y=x，y=x 2和y1x① 假如，那么0＜ a＜ 1；② 假如，那么 a＞ 1；③ 假如，那么﹣ 1＜ a＜ 0；④ 假如时，那么 a＜﹣ 1．则（）A．正确的命题是①④B．错误的命题是②③④C．正确的命题是①②D．错误的命题只有③25.方程 x2+3x﹣ 1=0 的根可视为函数 y=x+3 的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程 x3 +2x﹣ 1=0 的实根 x0所在的范围是（）A．B．C．D．三、计算题（共38 分）26.求以下函数的图像的对称轴、极点坐标及与x 轴的交点坐标 .(1)=4 2+24x +35； (2)y=-32+6 +2； (3)=2-x+3；(4)=22+12+18.y x x x y x y x x27. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标分别为－1，2，且抛物线经过点（3，8），求这条抛物线的分析式。
四川省2019年中考数学试题研究二次函数综合题题库
题型五 二次函数综合题类型一 线段数量关系与最值关系1.如图,抛物线 y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3,0), B (1,0),交y 轴于点C ,点P 是该抛物线上一动点,点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点 P 不与点A 重合),过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D . (1)求抛物线的解析式;(2)求点P 在运动的过程中线段 PD 长度的最大值;(3)在抛物线对称轴上是否存在点M ,使|MA －MC |最大？若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由．解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3,0）,B （1,0）,∴⎩⎨⎧=++=++01039c b c b ,解得⎩⎨⎧=-=34c b ,∴抛物线解析式为y =x 2﹣4x +3; （2）令x =0,则y =3,∴点C （0,3）, 则直线AC 的解析式为y =−x +3, 设点P （x , x 2−4x +3）, ∵PD ∥y 轴, ∴点D （x ,−x +3）,∴PD =（−x +3）−（x 2−4x +3）=−x 2+3x =−（x −23）2+49, ∵a =−1＜0, ∴当x =23时,线段PD 的长度取最大值,最大值为49; （3）存在.由抛物线的对称性得,对称轴垂直平分AB , ∴MA =MB ,当M 、B 、C 不在同一条直线上时,由三角形的三边关系得,|MA −MC |=|MB −MC |＜BC ,当M 、B 、C 三点共线时,|MA −MC |=|MB −MC |=BC , ∴|MA −MC |≤BC ,即当点M 在BC 的延长线上时, |MA −MC |最大,最大值即为BC 的长度, 设直线BC 的解析式为y =kx +b （k ≠0）, ∵B （1,0）,C （0,3）,则⎩⎨⎧==+30b b k ,解得⎩⎨⎧=-=33b k ,∴直线BC 的解析式为y =−3x +3, ∵抛物线的对称轴为x =2, ∴当x =2时,y =−3×2+3=−3, ∴点M （2,−3）,即抛物线对称轴上存在点M （2,−3）,使|MA −MC |最大．2.如图,抛物线y ＝−41x 2＋bx ＋c 的图象过点A （4,0）,B （−4,−4）,且抛物线与y 轴交于点C ,连接AB ,BC , AC .(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线对称轴上的点,求△PBC 周长的最小值及此时点P 的坐标；(3)若E 是线段AB 上的一个动点(不与A 、B 重合),过E 作y 轴的平行线,分别交抛物线及x 轴于F 、D 两点. 请问是否存在这样的点E ,使DE ＝2DF ？若存在,请求出点E 的坐标；若不存在,请说明理由.第2题图解：（1）∵抛物线y ＝−14x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (4,0),B (−4,−4),∴⎩⎨⎧-=+--=++-444044c b c b ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==221c b , ∴抛物线的解析式为y ＝−14x 2＋12x ＋2；（2）由抛物线y ＝−14x 2＋12x ＋2可得,该抛物线的对称轴为直线x ＝−122×（－14）＝1,点C 的坐标为(0,2),如解图,作点C 关于对称轴x ＝1的对称点C ′, 则C ′的坐标为(2,2),连接BC ′, 即BC ′＝（2＋4）2＋（2＋4）2＝62,BC ′与对称轴的交点即为所求点P ,连接PC ,此时△PBC 的周长最小．第2题解图设直线BC ′的解析式为y ＝kx ＋m , ∵点B (−4,−4),C ′(2,2), ∴⎩⎨⎧=+-=+-2244m k m k ,解得⎩⎨⎧==01m k ,∴直线BC ′的解析式为y ＝x ,将x ＝1代入y ＝x ,得y ＝1, ∴点P 坐标为(1,1), ∵点B (−4,−4),C (0,2),∴BC ＝42＋（2＋4）2＝213,∴此时△PBC 的周长＝CP ＋BC ＋PB ＝BC ＋BC ′＝213＋62,∴△PBC 周长的最小值为213＋62,此时点P 坐标为(1,1)； （3）存在.假设存在点E ,使DE ＝2DF ,由点A (4,0),B (−4,−4)可得直线AB 的解析式为y ＝12x −2,设点E (x ,12x −2),则D (x ,0),其中−4<x <4,则F (x ,−14x 2＋12x ＋2),DE ＝|12x −2|＝2−12x ,DF ＝|−14x 2＋12x ＋2|,当2−12x ＝2×(−14x 2＋12x ＋2)时,即点F 位于x 轴上方,解得x 1＝−1,x 2＝4(舍去),将x ＝−1代入y ＝12x −2,得到y ＝−52,∴E (−1,−52).当2−12x ＝2×(−1)×(−14x 2＋12x ＋2)时,即点F 位于x 轴下方,解得x 1＝−3,x 2＝4(舍去),将x ＝−3代入y ＝12x −2,得到y ＝−72,∴E (−3,−72)．综上所述,存在这样的点E ,其坐标为(−1,−52)或(−3,−72)．类型二 面积数量关系与最值关系3.如图,已知抛物线y =−21x 2+bx +c 与x 轴分别交于点B 、E ,与y 轴交于点A ,OB =8,tan∠ABD =1,动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度的速度移动,动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度的速度移动,动点C 、D 同时出发,当动点D 到达原点O 时,点C 、D 停止运动.（1）求抛物线的解析式;（2）求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式;当t 为何值时,△CED 的面积最大,最大面积是多少？（3）当△CED 的面积最大时,在抛物线上是否存在点P （点E 除外）,使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.第3题图解：（1）∵OB =8,tan∠ABD =1, ∴OA =OB =8,∴A （0,8）, B （8,0）.把点A （0,8）,B （8,0）代入y =−21x 2+bx +c 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯-=0882182c b c ,解得⎩⎨⎧==83c b , ∴抛物线解析式为y =21-x 2+3x +8; （2）令y =0,有−21x 2+3x +8=0, 解得x 1=−2, x 2=8, ∴E （−2,0）, ∴BE =10, ∵S △CED =21DE ×OC , ∴S =21t ×（10−t ）=−21t 2+5t , ∴S 与t 的函数关系式为S =−21t 2+5t =−21（t −5）2+225（0≤t ≤8）, ∵021<-=a ,∴当t =5时,△CED 的面积最大,最大面积为225;（3）存在.当△CED 的面积最大时,t =5,即BD =DE =5,此时要使S △PCD = S △CED ,CD 为公共边,只需求出过点B 、或过点E 且平行于CD 的直线即可,如解图：第3题解图设直线CD 的解析式为y =kx +b , 由（2）可知OC =5,OD =3, ∴C （0,5）,D （3,0）,把C （0,5）、D （3,0）代入得⎩⎨⎧=+=035b k b ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=535b k ,∴直线CD 的解析式为y =−35x +5, ∵DE =DB=5,∴过点B 且平行于CD 的直线为y =−35（x −5）+5, 过点E 且平行于CD 的直线为y =−35（x +5）+5, 分别与抛物线解析式联立得： 方程①：−21x 2+3x +8=−35（x −5）+5, 解得x 1=8, x 2=34, 方程②：−21x 2+3x +8=−35（x +5）+5,解得x 3=334, x 4=−2,分别将x 的值代入抛物线的解析式,得y 1=0 , y 2=9100 , y 3=−9200, y 4=0 , 又∵P 点不与E 点重合,∴满足题意的P 点坐标有3个,分别是P 1（8,0）, P 2（34,9100）, P 3（334,−9200）. 4. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与 x 轴交于A , B 两点,与y 轴交于点C ,且OA ＝2,OB ＝8,OC ＝6. (1)求抛物线的解析式；(2)点M 从A 点出发,在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动,同时点N 从B 点出发,在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△MBN 存在时,求运动多少秒使△MBN 的面积最大,最大面积是多少？ (3) 在(2)的条件下,△MBN 面积最大时,在BC 上方的抛物线上是否存在点P ,使△BPC 的面积是△MBN 的面积的9倍,若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由．第4题图解：(1)∵OA ＝2,OB ＝8,OC ＝6,∴根据函数图象得A (－2,0),B (8,0),C (0,6), 将A 、B 、C 三点坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中得：⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-6,0864024c c b a c b a 解得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=6,4983c b a ∴抛物线的解析式为649832++-=x x y ； (2)设运动时间为 t 秒,则 AM ＝3t ,BN ＝t ,MB ＝10－3t , 在 Rt△BOC 中,BC =2268+=10, 如解图①,过点 N 作 NH ⊥AB 于点 H ,第 4 题解图①∴NH ∥CO , ∴△BHN ∽△BOC , ∴BCBNOC HN =,即106tHN =, ∴t HN 53=,∴()t t HN MB S MBN533102121⋅-=⋅=△=+-=t t 31092235109⎪⎭⎫ ⎝⎛--t 25+, ∵当△MBN 存在时,0＜ t ＜310, ∴当 t =35时,S △MBN 最大,最大面积是25,即运动35秒使△MBN 的面积最大,最大面积是25； (3)存在．设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋c (k ≠0), 把 B (8,0),C (0,6)代入,得,608⎩⎨⎧==+c c k 解得,643⎪⎩⎪⎨⎧=-=c k∴直线 BC 的解析式为643+-=x y , ∵点 P 在抛物线上,∴设P ⎪⎭⎫ ⎝⎛++64983-2m m m ，, 如解图②,过点 P 作 PE ∥y 轴,交 BC 于点 E ,第4题解图②则 E 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-643,m m , ∴m m m m m EP3836436498322+-=⎪⎭⎫⎝⎛+--++-=,当△MBN 的面积最大时,S △BPC ＝9S △MBN ＝245, ∵BEP CEP BPC S S S △△△+=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⨯⨯=-⋅+⋅=m m EPm EP m EP 3834821821212 mm 12232+-=,∴24512232=+-m m ,解得 m 1＝3,m 2＝5, 当m 1＝3时,875649832=++-m m , 当m 2＝5时,863649832=++-m m , ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛8635875,3，或P . 类型三 相似三角形存在性问题5.如图,已知直线y 1=21x +b 和抛物线y 2=−45x 2+ax +b 都经过点B （0,1）和点C ,过点C 作CM ⊥x 轴于点M ,且CM =25. (1)求出抛物线的解析式;(2)动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长度的速度,沿OM 向点M 运动,过点P 作PE ⊥x 轴分别交抛物线和直线于点E ,F .当点P 运动多少秒时,四边形EFMC 为菱形?(3) 在(2)的条件下,在直线AC 上是否存在一点Q ,使得以点E 、F 、Q 为顶点的三角形与△AMC 相似？若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.第5题图解：（1）把B (0,1)代入y 1=21x +b ,得b =1, ∴y 1=21x +1, 把y =25代入y 1=21x +1得x =3,∴C （3,25）,把B (0,1),C （3,25）代入y 2=−45x 2+ax +b 得,⎪⎩⎪⎨⎧=++-=2534451b a b ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==4171a b ,∴y 2=−45x 2+417x +1. （2）∵四边形EFMC 为菱形, 则EF =FM =CM =25, 设P (t ,0),则EP =−45t 2+417t +1, FP =21t +1, MP =3−t ,则EF =EP −FP =−45t 2+417t +1−21t −1=−45t 2+415t ,FM =10545222+-=+t t PM PF , ∴−45t 2+415t=25①, 105452+-t t =25②, 解①得t =1或t =2,解②得t =1或t =3,要使①,②同时成立,则t =1, 即当点P 运动1秒时,四边形EFMC 为菱形; （3）存在.由（2）可知t =1,∴点F 的横坐标为1,将x =1代入y 1=21x +1中,得y 1=23, 将x =1代入y 2=−45x 2+417x +1中,得y 2=4.∴点E （1,4）,F （1,23）,将y =0代入y 1=21x +1中,得x =−2,∴点A 的坐标为（−2,0）,①如解图,过点E 作EQ 1⊥CF 于点Q 1,第5题解图∵四边形EFMC 为菱形, ∴∠ECF =∠ACM ,FE =EC , ∴∠EFC =∠ECF =∠ACM , 又∵∠EQ 1F =∠AMC =90°, ∴△EQ 1F ∽△AMC , ∵EF =EC ,EQ 1⊥CF , ∴Q 1为CF 的中点, ∵F （1,23）,C （3,25）, ∴点Q 1的坐标为（2,2）;②如解图,过点E 作EQ 2//x 轴,交直线BC 于点Q 2, ∵EQ 2//x 轴,∴∠EQ 2F =∠CAM ,∠Q 2EF =∠FPA =90°, ∴∠Q 2EF =∠AMC =90°, ∴△EQ 2F ∽△MAC , 又∵E （1,4）, ∴设Q 2（x ,4）,将y =4代入y 1=21x +1,得x =6, ∴点Q 2的坐标为（6,4）;综上所述,点Q 的坐标为（2,2）或（6,4）.类型四 特殊三角形存在性问题6. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (0,－6)和点C (6,0)．第6题图(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x 轴的负半轴交于点B ,试判断△ABC 的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)抛物线上是否存在点P ,使得△PAC 是以AC 为底的等腰三角形？若存在,请求出所有点P 的坐标；若不存在,请说明理由．解：(1)将A (0,－6)和C (6,0)代入y ＝x 2＋bx ＋c 中,得⎩⎨⎧=++-=06366c b c ,解得⎩⎨⎧-=-=65c b , ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－5x －6； (2)由x 2－5x －6＝0,解得x 1＝－1,x 2＝6, ∴点B 的坐标为B (－1,0), 即点B 在(－6,0)与原点之间, 又∵OA ＝OC ＝6, ∴∠BAC 为锐角, ∴△ABC 为锐角三角形； (3)存在．如解图,设M 为线段AC 的中点,则OM 为AC 的垂直平分线, 直线OM 与抛物线必有两个交点都是满足条件的点P ,∵A (0,－6),C (6,0), ∴点M 的坐标为(3,－3), 设直线OM 的解析式为y ＝kx , 将点M (3,－3)代入得,k ＝－1, 即直线OM 的解析式为y ＝－x ,联立⎩⎨⎧--=-=652x x y x y ,得x 2－4x －6＝0, ∴x 1＝2－10, x 2＝2＋10,∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=210102y x ,或⎪⎩⎪⎨⎧--=+=210102y x , ∴点P 的坐标为(2－10,10－2)或(2＋10,－2－10)．第6题解图7. 如图,抛物线c bx x y ++=2与直线y ＝x －1交于A 、B 两点,点A 的纵坐标为－4,点B 在y 轴上,直线AB 与x 轴交于点F ,点P 是线段AB 下方的抛物线上一动点,横坐标为m ,过点P作 PC ⊥x 轴于点C ,交直线AB 于点D . (1)求抛物线的解析式；(2)当m 为何值时,线段PD 的长度取得最大值,其最大值是多少？(3)是否存在点P ,使△PAD 是直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．第7题图解：(1)∵在 y ＝x －1 中,当 x ＝0 时,y ＝－1, 当 y ＝－4 时,x ＝－3,∴点 B 的坐标为(0,－1),点 A 的坐标为(－3,－4), ∵抛物线 c bx x y ++=2与直线 y ＝x －1 交于 A 、B 两点,∴⎩⎨⎧-=+--=4391c b c ,解得⎩⎨⎧-==14c b ,∴抛物线的解析式为 y ＝x 2＋4x －1；(2)∵点 P 的横坐标是 m ,且点P 在抛物线y ＝x 2＋4x －1上, PC ⊥x 轴, ∴P (m ,m 2＋4m －1), D (m ,m －1)． ∵点 P 在线段 AB 的下方, ∴－3<m <0,∴49)23(3)14(1222++-=--=-+--=m m m m m m PD , ∴当23-=m 时,线段 PD 取得最大值,最大值是49； (3)存在．当∠APD ＝90°时,如解图①, ∵PC ⊥x 轴, ∴∠PCF ＝90°, ∴∠PCF ＝∠APD , ∴CF ∥AP ,即 x 轴∥AP ,∴点 P 与点 A 的纵坐标相同,即 m 2＋4m －1＝－4, 解得 m 1＝－1,m 2＝－3(与 A 重合,舍去),∴P (－1,－4)；第7题解图①第7题解图②当∠PAD ＝90°时,如解图②,过点 A 作 AE ⊥x 轴于点 E ,PD ＝－3m －m 2,CE ＝3＋m ,在 y ＝x －1 中,当 y ＝0 时,x ＝1, ∴F (1,0),即 OF ＝1, ∴EF ＝4,AF ＝24, ∵PC ⊥x 轴,∴AE ∥CD ,∴AD AF EC EF =,∴ADm 2434=+,∴()m AD +=32,∵AE ∥CD , ∴∠ADP ＝∠EAF ,∵∠PAD ＝∠AEF ＝∠DCF ＝90°, ∴△PAD ∽△FEA ,∴AE AD FA PD =,∴()4322432m m m +=--, ∴m 3＝－2,m 4＝－3(与 A 重合,舍去), ∴P (－2,－5),综上所述,P 点的坐标为(－1,－4)或(－2,－5).类型五 特殊四边形存在性问题8.如图,一次函数y ＝12x ＋1的图象与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c的图象与一次函数y ＝12x ＋1的图象交于B 、C 两点,与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1,0)．(1)求二次函数的解析式；(2)若抛物线上存在点P ,使S △BDC ＝S △PBC ,求出P 点坐标(不与已知点重合)；(3)点N 为x 轴上一点,平面内是否存在点M ,使得B 、N 、C 、M 为顶点构成矩形？如果存在,请求出M 点的坐标；如果不存在,请说明理由．第8题图解：(1)将x ＝0代入y ＝12x ＋1中,得：y ＝1,∴B (0,1),将B (0,1),D (1,0)的坐标代入y ＝12x 2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1b ＋c ＋12＝0,解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝1, ∴二次函数的解析式为y ＝12x 2－32x ＋1；(2)如解图①,过点D 作DF ∥y 轴交AC 于点F ,过点P 作PG ∥y 轴交AC 于点G ,第8题解图①将x ＝1代入直线BC 的解析式得：y ＝32,即F (1,32),设点P (x ,12x 2－32x ＋1),则G (x ,12x ＋1),∴GP ＝|12x ＋1－(12x 2－32x ＋1)|＝|－12x 2＋2x |.∵△PBC 的面积＝△DBC 的面积,∴DF ＝GP ,即|12x 2－2x |＝32,当12x 2－2x ＝32时,解得x ＝2＋7或x ＝2－7, ∴点P 的坐标为(2＋7,7＋72)或(2－7,7－72), 当12x 2－2x ＝－32时,解得x ＝3或x ＝1(舍去), ∴点P 的坐标为(3,1),综上所述,点P 的坐标为(3,1)或(2＋7,7＋72)或(2－7, 7－72)；(3)如解图②所示,当∠CBN ＝90°时,则BN 的解析式为y ＝－2x ＋1, 将直线BC 的解析式与抛物线的解析式联立得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋1y ＝12x 2－32x ＋1,第8题解图②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1（舍去）,或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3, ∴点C 的坐标为(4,3),将y ＝0代入直线BN 的解析式得：－2x ＋1＝0, 解得x ＝12,∴点N 的坐标为(12,0),设点M 的坐标为(x ,y ), ∵四边形BNMC 为矩形, ∴12＋42＝0＋x 2,0＋32＝1＋y 2,解得x ＝92,y ＝2,∴点M 的坐标为(92,2)；如解图③所示,当∠CNM ＝90°时,第8题解图③设CN 的解析式为y ＝－2x ＋n ,将点C 的坐标代入得：－8＋n ＝3,解得n ＝11, ∴CN 的解析式为y ＝－2x ＋11, 将y ＝0代入得－2x ＋11＝0, 解得x ＝112,∴点N 的坐标为(112,0),设点M 的坐标为(x ,y ), ∵四边形BMNC 为矩形, ∴0＋1122＝4＋x 2,1＋02＝3＋y 2,解得x ＝32,y ＝－2,∴点M 的坐标为(32,－2)；如解图④所示,当∠BNC ＝90°时,过点C 作CF ⊥x 轴,垂足为F ,第8题解图④设ON ＝a ,则NF ＝4－a ,∵∠BNO ＋∠OBN ＝90°,∠BNO ＋∠CNF ＝90°, ∴∠OBN ＝∠CNF , 又∵∠BON ＝∠CFN ,∴△BON ∽△NFC ,∴ON CF ＝OB NF ,即a 3＝14－a,解得：a ＝1或a ＝3, 当a ＝1时,点N 的坐标为(1,0),设点M 的坐标为(x , y ), ∵四边形BNCM 为矩形, ∴0＋42＝1＋x 2,1＋32＝0＋y 2,解得x ＝3,y ＝4, ∴点M 的坐标为(3,4)；当a ＝3时,点N 的坐标为(3,0 ),设点M 的坐标为(x , y ), ∵四边形BNCM 为矩形, ∴0＋42＝3＋x 2,1＋32＝0＋y 2,解得x ＝1,y ＝4, ∴点M 的坐标为(1,4),综上所述,点M 的坐标为(3,4),(1,4),(32,－2)或(92,2)．9.如图,直线y =−34x +3与x 轴交于点C ,与y 轴交于点B ,抛物线y =ax 2+34x +c 经过B 、C 两点. (1)求抛物线的解析式；(2)如图,点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点,当△BEC 面积最大时,请求出点E 的坐标和△BEC 面积的最大值；(3)在(2)的结论下,过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ,连接AM ,点Q 是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P ,使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点P 的坐标；如果不存在,请说明理由.第9题图 备用图解:（1）∵直线y =−34x +3与x 轴交于点C ,与y 轴交于点B , ∴点B 的坐标是（0,3）,点C 的坐标是（4,0）,∵抛物线y =ax 2+34x +c 经过B 、C 两点, ∴3164043a c c +⨯+==⎧⎪⎨⎪⎩,解得383a c =-=⎧⎪⎨⎪⎩, ∴y =−38x 2+34x +3； （2）如解图①,过点E 作y 轴的平行线EF 交直线BC 于点M ,交x 轴于点F ,第9题解图①∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点, ∴设点E 的坐标是（x ,−38x 2+34x +3）, 则点M 的坐标是（x ,−34x +3）,∴EM =−38x 2+34x +3−(−34x +3)=−38x 2+32x ,∴S △EBC =S △BEM +S △MEC =12EM ·OC=12×（−38x 2+32x ）×4=−34x 2+3x=−34（x −2）2+3,∴当x =2时,即点E 的坐标是（2,3）时,△BEC 的面积最大,最大面积是3. （3）在抛物线上存在点P ,使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形.（I ）如解图②,由（2）可得点M 的横坐标是2,∵点M 在直线y =−34x +3上,∴点M 的坐标是（2,32）,∵y =−38x 2+34x +3的对称轴是直线x =1,∴设点Q 的坐标是（1,m ),点P 的坐标是（x ,−38x 2+34x +3）,∵x <0,点A （−2,0）,∴根据平行四边形的性质可得x M −x A =x Q −x P ,2−（−2)=1−x ,解得x =−3,∴点P 的坐标为（−3,−218）; （II ）如解图③,点M 的坐标是（2,32）,设点Q 的坐标是（1,m ）,点P 的坐标是（x ,−38x 2+34x +3）,∵x >0,由平行四边形的性质可得x M −x A =x P −x Q ,则2−（−2）=x −1,解得x =5,∴点P 的坐标是（5,−218）. （III ）如解图④,点M 的坐标是（2,32）,∴设点Q 的坐标是（1,m ）,点P 的坐标是（x ,−38x 2+34x +3）（x <0）,由平行四边形的性质可得x M −x P =x Q −x A ,则2−x =1−（−2）,解得x =−1,∴点P 的坐标是（−1,158）,综上,可得在抛物线上存在点P ,使得以P 、Q 、A 、t 为顶点的四边形是平行四边形,点P 的坐标是（−3,−218）,（5,−218）,（−1,158）.图② 图③ 图④第9题解图类型六 与切线有关的问题10.如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形 OABC 的边 OA 在x 轴上,点B （4,2）在抛物线 bx ax y +=2上,且抛物线交 x 轴于另一点D （6,0）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知E 为BC 边上一个动点（不与B 、C 重合）,连接 AE 交OB 于点 P ,过点 E 作 y 轴的平行线分别交抛物线、直线 OB 于 F 、G ．①求线段 FG 的最大值,此时△ PFG 的面积为多少？②若以点O 为圆心,OP 为半径作⊙O ,试判断直线 AE 与⊙O 能否相切？若能,请求出 E 点的坐标;若不能,请说明理由．第10题图解：（1）把 点B （4,2）和点 D （6,0）分别代入bx ax y +=2得：⎩⎨⎧=+=+06362416b a b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2341b a , ∴抛物线的表达式为x x y 23412+-=；（2）①如解图①,连接 PF ,设直线 OB 解析式为 y = kx ,把 B （4,2）代入得21=k ,即直线OB 的解析式为x y 21=,设E （e ,2）,则有F (e , )23412e e +-,G (e ,)21e , ∴()124141212341222+--=+-=-+-=e e e e e e FG ,当 e = 2时, FG 取得最大值,最大值为1；此时E （2,2）,设直线AE 的解析式为y = mx +n ,把A （4,0）, E （2,2）代入得:⎩⎨⎧=+=+2204n m n m ,解得⎩⎨⎧=-=41n m ,∴直线AE 的解析式为y = −x +4, 与x y 21=联立得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x y x y 214,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3438y x ,即P （38,34）,则31)238(121PFG =-⨯⨯=△S ；第10题解图①②当AE ⊥OB ,垂足为点P 时,以点O 为圆心,OP 为半径作⊙O ,直线AE 与⊙O 相切,如解图②, ∵直线OB 解析式为x y 21=, AE ⊥OB ,且A （4,0）, ∴直线AE 解析式为y = −2（x − 4）= − 2x +8,把 y = 2代入得x = 3,则此时点E 坐标为（3,2）．第10题解图②。
2019年中考二次函数综合题专项训练 (附详细分析与解答)
2019年二次函数综合题专项训练一、面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．备用图2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．二、平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．三、周长类6．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．四、等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．五、综合类10．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分析与解答1、分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2、分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（32，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3、分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．4、分析：（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．解答：解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②P A′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．（10分）5、分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①AD PB、②AB PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．解答：解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即P A∥BD则构成平行四边形只能是P ADB或P ABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|P A=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．6、分析：（1）根据抛物线y=经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c即可；（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．解答：解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时，y=，当x=2时，y=，∴点C和点D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当x=时，y=，∴P（），（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，设对称轴交x于点F，则（PF+OM）•OF=（+t）×，∵，S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×=，S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）．7、分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），8、分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）9、分析：（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B的坐标；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，去分析则可求得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上；②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2上；③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3），同理可证△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2上；故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．10、分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD 为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．11、分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点M，则M（2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）如答图③所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．12、分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD为直角三角形．解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45°∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1∴DF=CF∴∠DCF=45°∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°∴△BCD为直角三角形．（3）①△BCD的三边，==，又=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，=，即=，解得：d=1﹣3，此时，两个三角形不相似；⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，=，即=，解得：e=﹣9，符合条件．总之，符合条件的点P的坐标为：．。
2019年中考数学专题汇编 二次函数-综合题(二)(word版有答案解析)
二次函数-综合题（二）一．解答题（共40小题）1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P 的纵坐标的取值范围．5．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x ﹣1交于A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．9．（2019•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．10．（2019•岳阳）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x 的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．12．（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．13．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M 作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．14．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．15．（2019•天水）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．16．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．17．（2019•乐山）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB＝．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．18．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x 轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．19．（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A 在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求C点坐标，并判断b的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．21．（2019•遂宁）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B 在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：∠BNM＝∠ONM．22．（2019•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．F A的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．23．（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A 的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．25．（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．26．（2019•绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A 在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+P A的最小值．27．（2019•武威）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？28．（2019•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S＝S△P AC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．△P AM29．（2019•攀枝花）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求b，c的值；（2）直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．30．（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．31．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q 分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．33．（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO ＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．34．（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．35．（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y 轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2019•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b 都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积最大时，求点P的坐标，并求△P AB面积的最大值．37．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN ⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD 于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B 三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．40．（2019•南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是．（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d （O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为36；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．【解答】解：（1）由点A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的边长为6，∴正方形面积为36；有四个交点时0＜k＜4或﹣8＜k＜0；故答案为36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，y Q＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，当m＝﹣1，y Q最大＝4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），当m＜﹣1时，y Q随m的增大而增大，当m＝﹣2时，y Q最小＝3，当m＞﹣1时，y Q随m的增大而减小，当m＝4时，y Q最小＝﹣21，∴3＞﹣21，∴y Q最小＝﹣21，点Q在最低位置时的坐标（4，﹣21），∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），最低位置时的坐标为（4，﹣21）；②当双曲线y＝经过点B（﹣2，﹣2）时，k＝4，∴N（4，1），∵顶点P（m，n）在边BC上，∴n＝﹣2，∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）与边AB、DC分别交于点E、F，∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2），∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2，∴＝﹣，∴a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1），∵AE＝NF，点F在点N下方，∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2，∴12a（m﹣1）＝3，∴a（m﹣1）＝，∴＝；③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2），∴y M＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4），即y M＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），∵a＞0，∴对应每一个a（a＞0）值，当m＝1时，y M最小＝﹣2，当m＝﹣2或4时，y M最大＝9a﹣2，当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2，∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2），∵点E在边AB上，且此时不与B重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，∴0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，同理m＝﹣2时，y＝y＝a（x+2）2﹣2，∴E（﹣2，﹣2），F（4，36a﹣2），∵点F在边CD上，且此时不与C重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，解得0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，综上所述，抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方；2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．∴，解得：，∴G（）．3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝18，∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），∴CD2＝12+12＝2∴AD2＝22+42＝20∴AC2+CD2＝AD2∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．∵，∴F为AD的中点，∴，∴．②在Rt△ACD中，tan，在Rt△OBC中，tan，∴∠ACD＝∠OCB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠F AO＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，∴OF∥BC，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，设直线AD的解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝2x+6，∴，解得：，∴F（﹣）．当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，∵∠CAB＝45°，∴OF⊥AC，∴直线OF的解析式为y＝﹣x，∴，解得：，∴F（﹣2，2）．综合以上可得F点的坐标为（﹣）或（﹣2，2）．4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P 的纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B＜y P＜y A∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜y P＜﹣3法二：整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0∴m＝＞0∵x＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵y P＝﹣x﹣2∴﹣4＜y P＜﹣35．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．【解答】解：（1）y＝﹣x+4…①，令x＝0，y＝4，令y＝0，则x＝4，故点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…②；（2）设点E（m，0），直线BC表达式中的k值为4，EF∥BC，则直线EF的表达式为：y＝4x+n，将点E坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：y＝4x﹣4m…③，联立①③并解得：x＝（m+1），则点F（，），S△BEF＝S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF＝×4×4﹣×4m﹣（4﹣m）×＝，解得：m＝，故点E（，0）、点F（2，2）；（3）△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，则点E′（，4），当x＝时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣（）2+3×+4≠4，故点E′不在抛物线上．6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x ﹣1交于A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1）∴顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1∵抛物线经过点C（0，3）∴4a﹣1＝3解得：a＝1∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3（2）解得：，∴A（1，0），B（4，3）∴AB＝设直线y＝x﹣1与y轴交于点E，则E（0，﹣1）∴OA＝OE＝1∴∠AEO＝45°∵S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S∴点Q、M、N到直线AB的距离相等如图，假设点M、N在直线AB上方，点Q在直线AB下方∴MN∥AB时，总有S△MAB＝S△NAB＝S要使只有一个点Q在直线AB下方满足S△QAB＝S，则Q到AB距离必须最大过点Q作QC∥y轴交AB于点C，QD⊥AB于点D∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45°∴△CDQ是等腰直角三角形∴DQ＝CQ设Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），则C（t，t﹣1）∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣）2+∴t＝时，CQ最大值为∴DQ最大值为∴S＝S△QAB＝AB•DQ＝（3）存在点P满足∠APB＝90°．∵∠APB＝90°，AB＝3∴AP2+BP2＝AB2设P（p，p2﹣4p+3）（1＜p＜4）∴AP2＝（p﹣1）2+（p2﹣4p+3）2＝p4﹣8p3+23p2﹣26p+10，BP2＝（p﹣4）2+（p2﹣4p+3﹣3）2＝p4﹣8p3+17p2﹣8p+16∴p4﹣8p3+23p2﹣26p+10+p4﹣8p3+17p2﹣8p+16＝（3）2整理得：p4﹣8p3+20p2﹣17p+4＝0p2（p2﹣8p+16）+4p2﹣17p+4＝0p2（p﹣4）2+（4p﹣1）（p﹣4）＝0（p﹣4）[p2（p﹣4）+（4p﹣1）]＝0∵p＜4∴p﹣4≠0∴p2（p﹣4）+（4p﹣1）＝0展开得：p3﹣4p2+4p﹣1＝0（p3﹣1）﹣（4p2﹣4p）＝0（p﹣1）（p2+p+1）﹣4p（p﹣1）＝0（p﹣1）（p2+p+1﹣4p）＝0∵p＞1∴p﹣1≠0∴p2+p+1﹣4p＝0解得：p1＝，p2＝（舍去）∴点P横坐标为时，满足∠APB＝90°．7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，∵A（0，3），∴B（﹣4，1）①当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC②当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，。
2019年中考数学专题汇编二次函数-综合题(一)(word版有答案解析)
九上数学 -二次函数 -综合题（一）一．解答题（共40 小题）2 1．（2019?赤峰）如图，直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴、y 轴分别交于B、C 两点，抛物线 y＝﹣ x +bx+c 经过点 B、 C，与 x 轴另一交点为 A，极点为 D．（1）求抛物线的分析式；（2）在 x 轴上找一点 E，使 EC+ED 的值最小，求 EC+ED 的最小值；（3）在抛物线的对称轴上能否存在一点 P，使得∠ APB ＝∠ OCB？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明原因．2．（ 2019?通辽）已知，如图，抛物线2y＝ ax +bx+c（ a≠ 0）的极点为 M（ 1，9），经过抛物线上的两点 A（﹣ 3，﹣ 7）和 B（ 3， m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（ 1）求抛物线的分析式和直线AB 的分析式．（ 2）在抛物线上 A、 M 两点之间的部分（不包含A、 M 两点），能否存在点D，使得 S△DAC＝ 2S△DCM？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明原因．（ 3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点A，M，P，Q 为极点的四边形是平行四边形时，直接写出知足条件的点P 的坐标．3．（ 2019?吉林）如图，抛物线y＝（ x﹣1）2+k 与 x 轴订交于A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴订交于点C（ 0，﹣ 3）． P 为抛物线上一点，横坐标为m，且 m＞0．（1）求此抛物线的分析式；（2）当点 P 位于 x 轴下方时，求△ ABP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点 C 与点 P 之间部分（含点 C 和点 P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求 h 对于 m 的函数分析式，并写出自变量m 的取值范围；②当 h＝9 时，直接写出△BCP 的面积．4．（ 2019?绥化）已知抛物线2x＝，交 x 轴于点 A、 B，交 y y＝ax +bx+3 的对称轴为直线轴于点 C，且点 A 坐标为 A（﹣ 2， 0）．直线 y＝﹣ mx﹣ m（ m＞ 0）与抛物线交于点P、（1）求该抛物线的分析式；（2）若 n＝﹣ 5，且△ CPQ 的面积为 3，求 m 的值；（ 3）当 m≠1 时，若 n＝﹣ 3m，直线 AQ 交 y 轴于点 K ．设△ PQK 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数分析式．5．（ 2019?齐齐哈尔）综合与研究如图，抛物线y＝ x2+bx+c 与x 轴交于A、 B 两点，与y 轴交于 C 点， OA＝ 2， OC＝6，连结 AC 和 BC．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）点 D 在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，点 D 的坐标为．（ 3）点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连结CE 和 BE．求△ BCE 面积的最大值及此时点 E 的坐标；（ 4）若点 M 是 y 轴上的动点，在座标平面内能否存在点N，使以点A、 C、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明原因．6．（ 2019?襄阳）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+3 与 x 轴， y 轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝ 1 的抛物线过B， C 两点，且交x 轴于另一点A，连结 AC．（ 1）直接写出点A，点 B，点 C 的坐标和抛物线的分析式；（ 2）已知点 P 为第一象限内抛物线上一点，当点 P 到直线 BC 的距离最大时， 求点坐标；（ 3）抛物线上能否存在一点Q （点 C 除外），使以点 Q ，A ， B 为极点的三角形与△相像？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明原因．P 的ABC7．（ 2019?随州）如图 1，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线 2y ＝ ax +bx+c 与 y轴交于点 A （ 0， 6），与 x 轴交于点 B （﹣ 2， 0），C （ 6，0）．（ 1）直接写出抛物线的分析式及其对称轴；（ 2）如图 2，连结 AB ， AC ，设点 P （m ， n ）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右边，过点 P 作 PD ⊥ AC 于点 E ，交 x 轴于点 D ，过点 P 作 PG ∥ AB 交 AC 于点 F ，交 x 轴于点 G ．设线段 DG 的长为 d ，求 d 与 m 的函数关系式，并注明m 的取值范围；（ 3）在（ 2）的条件下，若△ PDG 的面积为，① 求点 P 的坐标；② 设 M 为直线 AP 上一动点，连结 OM 交直线 AC 于点 S ，则点 M 在运动过程中，在抛物线上能否存在点 R ，使得△ ARS 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 M 及其对应的点 R 的坐标；若不存在，请说明原因．8．（ 2019?梧州）如图，已知 ⊙A 的圆心为点 （3，0），抛物线 y ＝ ax 2﹣x+c 过点 A ，与⊙ A交于 B 、 C 两点，连结 AB 、 AC ，且 AB ⊥ AC ，B 、 C 两点的纵坐标分别是2、 1．（ 1）请直接写出点 B 的坐标，并求 a 、 c 的值；（ 2）直线 y ＝ kx+1 经过点 B ，与 x 轴交于点 D ．点 E （与点 D 不重合）在该直线上，且AD ＝ AE ，请判断点 E 能否在此抛物线上，并说明原因；（ 3）假如直线 y ＝ k 1x ﹣ 1 与 ⊙A 相切，请直接写出知足此条件的直线分析式．9．（ 2019?柳州）如图，直线 y ＝ x ﹣ 3 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 C ，点 B 的坐标为（ 1，0），抛物线 y ＝ ax 2+bx+c （a ≠ 0）经过 A ， B ， C 三点，抛物线的极点为点D ，对称轴与 x 轴的交点为点 E ，点 E 对于原点的对称点为F ，连结 CE ，以点 F 为圆心，CE 的长为半径作圆，点 P 为直线 y ＝x ﹣ 3 上的一个动点．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）求△ BDP 周长的最小值；（ 3）若动点 P 与点 C 不重合， 点 Q 为 ⊙F 上的随意一点， 当过 P ， Q 两点的直线与抛物线交于M ， N 两点（点 M 在点 N的面积．PQ 的最大值等于CE 时，的左边），求四边形 ABMN210．（ 2019?张家界）已知抛物线 y ＝ax +bx+c （ a ≠ 0）过点 A （ 1， 0）， B （3， 0）两点，与y 轴交于点 C ， OC ＝ 3．（ 1）求抛物线的分析式及极点D 的坐标；（ 2）过点 A 作 AM ⊥ BC ，垂足为 M ，求证：四边形 ADBM 为正方形；（ 3）点 P 为抛物线在直线 BC 下方图形上的一动点， 当△ PBC 面积最大时， 求点 P 的坐标；（4）若点 Q 为线段 OC 上的一动点，问： AQ+ QC 能否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明原因．211．（ 2019?贵阳）如图，二次函数y＝ x +bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点C，且对于直线 x＝ 1 对称，点 A 的坐标为（﹣ 1，0）．（ 1）求二次函数的表达式；（ 2）连结 BC，若点 P 在 y 轴上时， BP 和 BC 的夹角为15°，求线段 CP 的长度；（ 3）当 a≤ x≤ a+1 时，二次函数22a，求 a 的值．y＝ x +bx+c 的最小值为12．（ 2019?包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y＝ ax +bx+2（ a≠ 0）与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0）两点，与y 轴交于点 C，连结 BC．（1）求该抛物线的分析式，并写出它的对称轴；（2）点 D 为抛物线对称轴上一点，连结CD 、BD ，若∠ DCB ＝∠ CBD ，求点 D 的坐标；（ 3）已知 F（ 1， 1），若 E（ x，y）是抛物线上一个动点（此中1＜ x＜ 2），连结 CE、CF、EF，求△CEF 面积的最大值及此时点 E 的坐标．（ 4）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上能否存在点M，使得以B，C，M，N 为极点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出全部知足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明原因．213．（2019?烟台）如图，极点为M 的抛物线y＝ ax +bx+3 与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0），B 两点，与 y 轴交于点C，过点 C 作 CD⊥ y 轴交抛物线于另一点D，作 DE ⊥ x 轴，垂足为点E，双曲线 y＝（x＞0）经过点D，连结MD，BD．（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）点 N，F 分别是 x 轴， y 轴上的两点，当以M，D ， N， F 为极点的四边形周长最小时，求出点N， F 的坐标；（ 3）动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，当 t 为什么值时，∠BPD 的度数最大？（请直接写出结果）14．（ 2019?玉林）已知二次函数：y＝ ax2+（ 2a+1）x+2 （ a＜ 0）．（ 1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（ 2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 a 为负整数时，求 a 的值及二次函数的分析式并画出二次函数的图象（不用列表，只需求用其与x 轴的两个交点 A，B（ A 在 B 的左边），与 y 轴的交点 C 及其极点 D 这四点画出二次函数的大概图象，同时标出 A ，B ， C ， D 的地点）；（ 3）在（ 2）的条件下，二次函数的图象上能否存在一点求出点 P 的坐标；假如不存在，请说明原因．P 使∠ PCA ＝ 75°？假如存在，15．（2019?桂林）如图，抛物线 2轴交于点 A （﹣ 2，0）和 B （ l ，0），与 yy ＝﹣ x +bx+c 与 x 轴交于点 C ．（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）作射线 AC ，将射线 AC 绕点 A 顺时针旋转 90°交抛物线于另一点 D ，在射线 AD上能否存在一点 H ，使△ CHB 的周长最小．若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明原因；（ 3）在（ 2）的条件下，点 Q 为抛物线的极点，点 P 为射线 AD 上的一个动点，且点 P的横坐标为 t ，过点 P 作 x 轴的垂线 l ，垂足为 E ，点 P 从点 A 出发沿 AD 方向运动，直线 l 随之运动，当﹣ 2＜ t ＜1 时，直线 l 将四边形 ABCQ 切割成左右两部分，设在直线 l左边部分的面积为S ，求 S 对于 t 的函数表达式．16．（ 2019?河北）如图，若 b 是正数，直线 l ：y ＝ b 与 y 轴交于点 A ；直线 a ： y ＝ x ﹣b 与 y轴交于点 B ；抛物线 L ： y ＝﹣ x 2+bx 的极点为 C ，且 L 与 x 轴右交点为 D ．（ 1）若 AB ＝8，求 b 的值，并求此时 L 的对称轴与 a 的交点坐标； （ 2）当点 C 在 l 下方时，求点 C 与 l 距离的最大值；（ 3）设 x 0≠ 0，点（ x 0，y 1），（ x 0， y 2），（ x 0， y 3）分别在l ， a 和 L 上，且y 3是 y 1， y 2的均匀数，求点（ x 0， 0）与点D 间的距离；（4）在 L 和分别直接写出a 所围成的关闭图形的界限上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”b ＝ 2019 和 b ＝ 2019.5 时“美点”的个数．，217．（ 2019?常州）如图，二次函数 y ＝﹣ x +bx+3 的图象与 x 轴交于点 A 、B ，与 y 轴交于点C ，点 A 的坐标为（﹣ 1， 0），点 D 为 OC 的中点，点 P 在抛物线上．（ 1） b ＝；（ 2）若点 P 在第一象限， 过点 P 作 PH ⊥ x 轴，垂足为 H ，PH 与 BC 、BD 分别交于点 M 、N ．能否存在这样的点 P ，使得 PM ＝ MN ＝ NH ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因；（ 3）若点 P 的横坐标小于 3，过点 P 作 PQ ⊥ BD ，垂足为 Q ，直线 PQ 与 x 轴交于点 R ，且 S △PQB ＝ 2S △ QRB ，求点 P 的坐标．18．（ 2019?荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的极点 A ，C 的坐标分别为（ 6， 0），（ 4， 3），经过 B ， C 两点的抛物线与 x 轴的一个交点 D 的坐标为（ 1，0）．（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）若∠ AOC 的均分线交 BC 于点 E ，交抛物线的对称轴于点F ，点当 PE+PF 的值最小时，求点P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，过点 A 作 OE 的垂线交 BC 于点 H ，点 M ，N对称轴上的动点，能否存在这样的点M ， N ，使得以点 M ， N ，H ，EP 是 x 轴上一动点，分别为抛物线及其为极点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标，若不存在，说明原因．19．（ 2019?河南）如图，抛物线2两点，交 y 轴于点 C．直线 y y＝ ax + x+c 交 x 轴于 A， B＝﹣ x﹣ 2 经过点 A，C．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）点 P 是抛物线上一动点，过点P 作 x 轴的垂线，交直线AC 于点 M，设点 P 的横坐标为 m．①当△ PCM 是直角三角形时，求点P 的坐标；②作点 B 对于点 C 的对称点 B'，则平面内存在直线l，使点 M，B，B′到该直线的距离都相等．当点 P 在 y 轴右边的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l ：y＝ kx+b 的分析式．（ k，b 可用含 m 的式子表示）20．（ 2019?镇江）如图，二次函数2图象的极点为 D ，对称轴是直线1，一次y＝﹣ x +4x+5函数 y＝ x+1 的图象与 x 轴交于点 A，且与直线 DA 对于 l 的对称直线交于点B．（ 1）点 D 的坐标是；（ 2）直线 l 与直线 AB 交于点 C， N 是线段 DC 上一点（不与点D、 C 重合），点 N 的纵坐标为 n．过点 N 作直线与线段DA、DB 分别交于点P、Q，使得△ DPQ 与△ DAB 相像．①当 n＝时，求DP的长；②若对于每一个确立的n 的值，有且只有一个△DPQ 与△ DAB 相像，请直接写出n 的取值范围．21．（ 2019?湘西州）如图，抛物线2y＝ ax +bx（a＞ 0）过点 E（ 8，0），矩形 ABCD 的边 AB在线段 OE 上（点 A 在点 B 的左边），点 C、 D 在抛物线上，∠ BAD 的均分线 AM 交 BC 于点 M，点 N 是 CD 的中点，已知 OA＝2，且 OA：AD＝ 1： 3．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）F、 G 分别为 x 轴， y 轴上的动点，按序连结M、 N、 G、 F 组成四边形 MNGF ，求四边形 MNGF 周长的最小值；（ 3）在 x 轴下方且在抛物线上能否存在点P，使△ ODP 中 OD 边上的高为？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因；（ 4）矩形 ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K 、L，且直线 KL 均分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．222．（ 2019?邵阳）如图，二次函数y＝﹣x +bx+c 的图象过原点，与x 轴的另一个交点为（8， 0）（ 1）求该二次函数的分析式；（ 2）在 x 轴上方作 x 轴的平行线y 1＝ m ，交二次函数图象于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点D 、点 C ．当矩形 ABCD 为正方形时，求 m 的值；（ 3）在（ 2）的条件下，动点 P 从点 A 出发沿射线 AB 以每秒 1 个单位长度匀速运动， 同时动点 Q 以相同的速度从点A 出发沿线段 AD 匀速运动，抵达点D 时立刻原速返回， 当动点 Q 返回到点 A 时， P 、Q 两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒（ t ＞0）．过点 P向 x 轴作垂线，交抛物线于点E ，交直线 AC 于点F ，问：以 A 、E 、F 、Q 四点为极点构成的四边形可否是平行四边形．若能，恳求出t 的值；若不可以，请说明原因．23．（ 2019?广西）假如抛物线 C 1 的极点在拋物线 C 2 上，抛物线 C 2 的极点也在拋物线 C 1 上时，那么我们称抛物线C 1 与 C 2“互为关系”的抛物线．如图1，已知抛物线 C 1： y 1＝ x 2+x 与 C 2： y 2＝ax 2+x+c 是“互为关系”的拋物线，点A ，B 分别是抛物线C 1，C 2的极点，抛物线 C 2 经过点 D （ 6，﹣ 1）．（ 1）直接写出 A ， B 的坐标和抛物线 C 2 的分析式；（ 2）抛物线 C 2 上能否存在点 E ，使得△ ABE 是直角三角形？假如存在，恳求出点 E 的坐标；假如不存在，请说明原因；（ 3）如图 2，点 F （﹣ 6，3）在抛物线 C 1 上，点 M ， N 分别是抛物线 C 1，C 2 上的动点，且点 M ，N 的横坐标相同， 记△ AFM 面积为 S 1（当点 M 与点 A ，F 重合时 S 1＝ 0），△ ABN的面积为S 2（当点N 与点A ，B 重合时，S 2＝ 0），令S ＝ S 1+S 2，察看图象，当y 1 ≤y 2 时，写出x 的取值范围，并求出在此范围内S 的最大值．24．（ 2019?贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（﹣ 1， 0），且 OA＝ OC2＝ 4OB，抛物线y＝ ax +bx+c（ a≠0）图象经过A，B， C 三点．（ 1）求 A，C 两点的坐标；（ 2）求抛物线的分析式；（ 3）若点 P 是直线 AC 下方的抛物线上的一个动点，作 PD ⊥ AC 于点 D，当 PD 的值最大时，求此时点 P 的坐标及 PD 的最大值．25．（ 2019?黄冈）如图①，在平面直角坐标系（ 0，2），D（ 2，0）四点，动点 M 以每秒xOy 中，已知 A（﹣ 2， 2）， B（﹣ 2， 0），C 个单位长度的速度沿 B→ C→ D 运动（ M 不与点 B、点 D 重合），设运动时间为t（秒）．（ 1）求经过 A、 C、D 三点的抛物线的分析式；（ 2）点 P 在（ 1）中的抛物线上，当 M 为 BC 的中点时，若△ PAM≌△ PBM ，求点 P 的坐标；（ 3）当 M 在 CD 上运动时，如图② ．过点 M 作 MF ⊥x 轴，垂足为 F ， ME ⊥AB，垂足为E．设矩形 MEBF 与△ BCD 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值；（ 4）点 Q 为 x 轴上一点，直线AQ 与直线 BC 交于点 H，与 y 轴交于点K．能否存在点Q，使得△ HOK 为等腰三角形？若存在，直接写出切合条件的全部Q 点的坐标；若不存在，请说明原因．26．（ 2019?毕节市）已知抛物线2y＝ ax +bx+3 经过点 A（ 1，0）和点 B（﹣ 3，0），与 y 轴交于点 C，点 P 为第二象限内抛物线上的动点．（ 1）抛物线的分析式为，抛物线的极点坐标为；（ 2）如图 1，连结 OP 交 BC 于点 D ，当 S△CPD： S△BPD＝ 1： 2 时，恳求出点 D 的坐标；（ 3）如图 2，点 E 的坐标为（ 0，﹣ 1），点 G 为 x 轴负半轴上的一点，∠OGE ＝ 15°，连结 PE，若∠ PEG＝ 2∠ OGE ，恳求出点P 的坐标；（ 4）如图 3，能否存在点P，使四边形BOCP 的面积为8？若存在，恳求出点P 的坐标；若不存在，请说明原因．227．（ 2019?贵港）如图，已知抛物线y＝ ax +bx+c 的极点为A（ 4， 3），与 y 轴订交于点 B （0，﹣ 5），对称轴为直线 l ，点 M 是线段 AB 的中点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出点 M 的坐标并求直线 AB 的表达式；（3）设动点 P，Q 分别在抛物线和对称轴 l 上，当以 A，P，Q，M 为极点的四边形是平行四边形时，求 P， Q 两点的坐标．228．（ 2019?福建）已知抛物y＝ax +bx+c（ b＜0）与 x 轴只有一个公共点．（ 1）若抛物线与x 轴的公共点坐标为（2， 0），求 a、 c 知足的关系式；（ 2）设 A 为抛物线上的必定点，直线l：y＝ kx+1﹣ k 与抛物线交于点B、C，直线 BD 垂直于直线y＝﹣ 1，垂足为点D．当 k＝ 0 时，直线l 与抛物线的一个交点在y 轴上，且△ABC 为等腰直角三角形．①求点 A 的坐标和抛物线的分析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有 A、D 、 C 三点共线．29．（ 2019?淮安）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于 A、B 两点， D 为极点，此中点 B 的坐标为（ 5， 0），点 D 的坐标为（ 1， 3）．（ 1）求该二次函数的表达式；（ 2）点 E 是线段 BD 上的一点，过点 E 作 x 轴的垂线，垂足为 F ，且 ED ＝ EF，求点 E 的坐标．（ 3）试问在该二次函数图象上能否存在点G，使得△ ADG 的面积是△ BDG 的面积的？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明原因．30．（ 2019?黄石）如图，已知抛物线y＝2x +bx+c 经过点 A（﹣ 1，0）、 B（5， 0）．（ 1）求抛物线的分析式，并写出极点M 的坐标；（ 2）若点 C 在抛物线上，且点 C 的横坐标为 8，求四边形 AMBC 的面积；（ 3）定点 D （0， m）在 y 轴上，若将抛物线的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位获得一条新的抛物线，点P 在新的抛物线上运动，求定点 D 与动点 P 之间距离的最小值 d（用含 m 的代数式表示）31．（ 2019?广东）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x﹣与 x 轴交x +于点 A、 B（点 A 在点 B 右边），点 D 为抛物线的极点，点 C 在 y 轴的正半轴上， CD 交x 轴于点 F ，△ CAD 绕点 C 顺时针旋转获得△ CFE，点 A 恰巧旋转到点F，连结 BE．（ 1）求点 A、B、 D 的坐标；（ 2）求证：四边形 BFCE 是平行四边形；（ 3）如图 2，过极点 D 作 DD 1⊥ x 轴于点 D 1，点 P 是抛物线上一动点，过点P作 PM⊥x 轴，点 M 为垂足，使得△ PAM 与△ DD 1A 相像（不含全等）．① 求出一个知足以上条件的点P 的横坐标；②直接回答这样的点P 共有几个？232．（ 2019?海南）如图，已知抛物线y＝ ax +bx+5 经过 A（﹣ 5， 0）， B（﹣ 4，﹣ 3）两点，与 x 轴的另一个交点为 C，极点为 D ，连结CD．（ 1）求该抛物线的表达式；（2）点 P 为该抛物线上一动点（与点B、 C 不重合），设点 P 的横坐标为 t．①当点 P 在直线 BC 的下方运动时，求△ PBC 的面积的最大值；② 该抛物线上能否存在点P ，使得∠ PBC ＝∠ BCD ？若存在，求出全部点P 的坐标；若不存在，请说明原因．33．（ 2019?十堰）已知抛物线 y ＝ a （ x ﹣ 2）2 +c 经过点 A （﹣ 2， 0）和 C （ 0， ），与 x 轴交于另一点 B ，极点为 D ．（ 1）求抛物线的分析式，并写出D 点的坐标；（ 2）如图，点 E ， F 分别在线段 AB ，BD 上（ E 点不与 A ， B 重合），且∠ DEF ＝∠ A ，则△ DEF 可否为等腰三角形？若能，求出 BE 的长；若不可以，请说明原因；（ 3）若点 P 在抛物线上，且 ＝m ，试确立知足条件的点 P 的个数．34．（ 2019?山西）综合与研究如图，抛物线 y ＝ ax 2+bx+6 经过点 A （﹣ 2，0）， B （ 4，0）两点，与 y 轴交于点 C ，点 D 是抛物线上一个动点，设点 D 的横坐标为 m （1＜ m ＜ 4）．连结 AC ， BC ， DB ， DC ．（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）△ BCD 的面积等于△ AOC 的面积的时，求 m 的值；（ 3）在（ 2）的条件下，若点 M 是 x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断能否存在这样的点 M ，使得以点 B ， D ，M ，N 为极点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明原因．35．（ 2019?眉山）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣2x +bx+c 经过点 A（﹣ 5，0）和点 B（ 1， 0）．（ 1）求抛物线的分析式及极点 D 的坐标；（2）点 P 是抛物线上 A、D 之间的一点，过点线于点 G，过点 G 作 GF⊥ x 轴于点 F，当矩形P 作 PE⊥ x 轴于点 E，PG⊥ y 轴，交抛物PEFG 的周长最大时，求点 P 的横坐标；（ 3）如图 2，连结 AD 、BD，点 M 在线段MN 交线段 AD 于点 N，能否存在这样点 AN 的长；若不存在，请说明原因．AB 上（不与 A、B 重合），作∠ DMN ＝∠DBA ，M，使得△ DMN 为等腰三角形？若存在，求出236．（ 2019?新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax +bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）， C（ 0， 4）三点．（ 1）求抛物线的分析式及极点 D 的坐标；（ 2）将（ 1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h（ h＞ 0）个单位长度，获得新抛物线．若新抛物线的极点 D ′在△ ABC 内，求 h 的取值范围；（3）点 P 为线段 BC 上一动点（点 P 不与点 B， C 重合），过点 P 作 x 轴的垂线交（ 1）中的抛物线于点 Q，当△ PQC 与△ ABC 相像时，求△ PQC 的面积．37．（ 2019?呼和浩特）已知二次函数 y ＝ ax 2﹣ bx+c 且 a ＝ b ，若一次函数 y ＝kx+4 与二次函数的图象交于点 A （ 2，0）．（ 1）写出一次函数的分析式，并求出二次函数与x 轴交点坐标；（ 2）当 a ＞ c 时，求证：直线 y ＝ kx+4 与抛物线 y ＝ ax 2﹣ bx+c 必定还有另一个异于点A的交点；（ 3）当 c ＜ a ≤ c+3 时，求出直线 y ＝ kx+4 记抛物线极点为 M ，抛物线对称轴与直线与抛物线 y ＝ax 2﹣ bx+c 的另一个交点 B 的坐标；y ＝ kx+4 的交点为 N ，设 S ＝S △ AMN ﹣ S △BMN ，写出 S 对于 a 的函数，并判断 S 能否有最大值？假如有，求出最大值；假如没有，请说明原因．38．（ 2019?益阳）在平面直角坐标系xOy 中，极点为 A 的抛物线与 x 轴交于 B 、C 两点，与y 轴交于点 D ，已知 A （ 1， 4）， B （ 3， 0）．（ 1）求抛物线对应的二次函数表达式；（ 2）研究：如图 1，连结 OA ，作 DE ∥OA 交 BA 的延伸线于点E ，连结 OE 交 AD 于点F ， M 是 BE 的中点，则 OM 能否将四边形OBAD 分红面积相等的两部分？请说明原因；（ 3）应用：如图 2，P （m ，n ）是抛物线在第四象限的图象上的点，且 m+n ＝﹣ 1，连结PA 、 PC ，在线段 PC 上确立一点 M ，使 AN 均分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点 A 、B 的坐标分别为 （ x 1，y 1）、（ x 2，y 2），则线段 AB 的中点坐标为 （，）．39．（ 2019?孝感）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y ＝ ax2﹣ 2ax ﹣8a 与 x 轴订交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C （ 0，﹣ 4）．（ 1）点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为，线段 AC 的长为，抛物线的分析式为．（ 2）点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点．① 假如在 x 轴上存在点Q ，使得以点 B 、 C 、 P 、Q 为极点的四边形是平行四边形．求点Q 的坐标．② 如图 2，过点 P 作 PE ∥CA 交线段 BC 于点 E ，过点 P 作直线 x ＝ t 交 BC 于点 F ，交 x轴于点 G ，记 PE ＝ f ，求 f 对于 t 的函数分析式；当t 取 m 和 4﹣ m （ 0＜ m ＜ 2）时，试比较 f 的对应函数值 f 1 和 f 2 的大小．40．（ 2019?咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣ x+2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，抛物线 y ＝﹣x 2+bx+c 经过 A ，B 两点且与 x 轴的负半轴交于点C ．（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）若点 D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当∠ABD ＝ 2∠BAC 时，求点 D 的坐标；（ 3）已知E， F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B， O， E，F 为极点的四边形是平行四边形时，直接写出全部切合条件的 E 点的坐标．九上数学 -二次函数 -综合题（一）参照答案与试题分析一．解答题（共40 小题）2 1．（2019?赤峰）如图，直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴、y 轴分别交于B、C 两点，抛物线 y＝﹣ x +bx+c 经过点 B、 C，与 x 轴另一交点为 A，极点为 D．（1）求抛物线的分析式；（2）在 x 轴上找一点 E，使 EC+ED 的值最小，求 EC+ED 的最小值；（3）在抛物线的对称轴上能否存在一点 P，使得∠ APB ＝∠ OCB？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明原因．【解答】解：（ 1）直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于 B、C 两点，则点 B、C 的坐标分别为（ 3， 0）、（0， 3），将点 B、 C 的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣ x2+2x+3，令 y＝ 0，则x＝﹣ 1 或 3，故点 A（﹣ 1， 0）；（ 2）如图 1，作点 C 对于 x 轴的对称点 C′，连结 CD′交 x 轴于点 E，则此时 EC+ED 为最小，函数极点坐标为（ 1， 4），点 C ′（ 0，﹣ 3），将 CD 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线 CD 的表达式为： y ＝ 7x ﹣3，当 y ＝ 0 时， x ＝ ，故点 E （ ， x ）；（ 3）① 当点 P 在 x 轴上方时，以下列图2，∵ OB ＝ OC ＝3，则∠ OCB ＝ 45°＝∠ APB ，过点 B 作 BH ⊥ AP 于点 H ，设 PH ＝ BH ＝m ，则 PB ＝ PA ＝ m ，由勾股定理得： AB 2＝AH 2+BH 2，22 2，16＝ m +（ m ﹣m ） ，解得： m ＝ 8+4则 PB 2＝ 2m 2＝ 16+8则 y P ＝＝ 2+2；② 当点 P 在 x 轴下方时，则 y P ＝﹣（ 2）；故点 P 的坐标为（ 1， 2）或（1，﹣2﹣2）．22．（ 2019?通辽）已知，如图，抛物线y＝ ax +bx+c（ a≠ 0）的极点为M（ 1，9），经过抛物线上的两点A（﹣ 3，﹣ 7）和B（ 3， m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（ 1）求抛物线的分析式和直线AB 的分析式．（ 2）在抛物线上A、 M 两点之间的部分（不包含A、 M 两点），能否存在点D，使得S△DAC＝ 2S△DCM？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明原因．（ 3）若点 P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点A，M，P，Q 为极点的四边形是平行四边形时，直接写出知足条件的点P 的坐标．【解答】解：（ 1）二次函数表达式为：y＝ a（x﹣ 1）2+9，将点 A 的坐标代入上式并解得：a＝﹣ 1，2故抛物线的表达式为：y＝﹣ x +2x+8①，则点 B（ 3， 5），将点 A、 B 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线 AB 的表达式为： y＝ 2x﹣ 1；（ 2）存在，原因：二次函数对称轴为：x＝ 1，则点 C（ 1， 1），过点 D 作 y 轴的平行线交AB 于点 H，2设点 D （ x ，﹣ x +2x+8），点 H （ x ， 2x ﹣ 1），∵ S △DAC ＝ 2S △ DCM ，则 S △DAC ＝ DH （ x C ﹣x A ）＝ 2﹣ 2x+1 ）（ 1+3 ）＝ （ 9﹣ 1）（ 1﹣ x ）× 2， （﹣ x +2x+8解得： x ＝﹣ 1 或 5（舍去 5），故点 D （﹣ 1， 5）；（ 3）设点 Q （ m ， 0）、点 P （ s ， t ）， t ＝﹣ s 2+2s+8，① 当 AM 是平行四边形的一条边时，点 M 向左平移 4 个单位向下平移 16 个单位获得 A ，同理，点 Q （ m ，0）向左平移 4 个单位向下平移16 个单位为（ m ﹣ 4，﹣ 16），即为点 P ，即： m ﹣ 4＝s ，﹣ 6＝ t ，而 t ＝﹣ s 2+2s+8 ，解得： s ＝6 或﹣ 4，故点 P （ 6，﹣ 16）或（﹣ 4，﹣ 16）；② 当 AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得： m+s ＝﹣ 2， t ＝ 2，而 t ＝﹣ s 2+2s+8，解得： s ＝1，故点 P （ 1，2）或（ 1﹣综上，点 P （ 6，﹣ 16）或（﹣，2）；4，﹣ 16）或（ 1 ， 2）或（ 1﹣，2）．3．（ 2019?吉林）如图，抛物线 y ＝（ x ﹣1） 2+k 与 x 轴订交于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴订交于点 C （ 0，﹣ 3）． P 为抛物线上一点，横坐标为 m ，且 m ＞0．（ 1）求此抛物线的分析式；（ 2）当点 P 位于 x 轴下方时，求△ ABP 面积的最大值；（ 3）设此抛物线在点 C 与点 P 之间部分（含点 C 和点 P ）最高点与最低点的纵坐标之差为 h ．① 求 h 对于 m 的函数分析式，并写出自变量m 的取值范围；② 当 h ＝9 时，直接写出△ BCP 的面积．2【解答】 解：（ 1）将点 C （ 0，﹣ 3）代入 y ＝（ x ﹣ 1） +k ，得 k ＝﹣ 4，∴ y ＝（ x ﹣ 1） 2﹣ 4＝ x 2﹣ 2x ﹣ 3；（ 2）令 y ＝ 0， x ＝﹣ 1 或 x ＝ 3，∴ A （﹣ 1， 0）， B （ 3， 0），∴ AB ＝ 4；抛物线极点为（ 1，﹣ 4），当 P 位于抛物线极点时，△ ABP 的面积有最大值，S ＝＝8；22（ 3）① 当 0＜ m ≤ 1 时， h ＝﹣ 3﹣（ m ﹣ 2m ﹣ 3）＝﹣ m +2m ；当 1＜m ≤ 2 时， h ＝﹣ 1﹣（﹣ 4）＝ 1；当 m ＞ 2 时， h ＝ m 2﹣ 2m ﹣ 3﹣（﹣ 4）＝ m 2﹣ 2m+1；② 当 h ＝9 时2若﹣ m +2 m ＝ 9，此时△＜ 0， m 无解；若 m 2﹣ 2m+1＝ 9，则 m ＝ 4，∴ P （ 4， 5），∵ B （ 3， 0），C （ 0，﹣ 3），∴△ BCP 的面积＝8× 4﹣5×1﹣（ 4+1）× 3＝ 6；24．（ 2019?绥化）已知抛物线 y ＝ax +bx+3 的对称轴为直线 x ＝ ，交 x 轴于点 A 、 B ，交 y轴于点C ，且点 A 坐标为A （﹣ 2， 0）．直线 y ＝﹣ mx ﹣ m （ m ＞ 0）与抛物线交于点P 、Q （点P 在点Q 的右边），交y 轴于点H ．（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）若 n ＝﹣ 5，且△ CPQ 的面积为 3，求 m 的值；（ 3）当 m ≠1 时，若 n ＝﹣ 3m ，直线 AQ 交 y 轴于点 K ．设△ PQK 的面积为 S ，求 S 与 m之间的函数分析式．【解答】 解：（ 1）将点 A （﹣ 2，0）代入分析式，得 4a ﹣ 2b+3＝ 0，∵ x ＝﹣＝ ，∴ a ＝﹣ ， b ＝ ；∴ y ＝﹣ x 2+ x+3；（ 2）设点 Q 横坐标 x 1，点 P 的横坐标 x 2，则有 x 1＜x 2，把 n ＝﹣ 5 代入 y ＝﹣ mx ﹣ n ，∴ y ＝﹣ mx+5，联立 y ＝﹣ mx+5 ， y ＝﹣2x + x+3 得：﹣ mx+5＝﹣ x 2+ x+3，∴ x 2﹣（ 2m+1） x+4 ＝ 0，∴ x 1+x 2＝ 2m+1， x 1x 2＝ 4，∵△ CPQ 的面积为 3；∴ S △CPQ ＝ S △CHP ﹣ S △CHQ ，即 HC （ x 2﹣ x 1）＝ 3，∴ x 2﹣ x 1＝3，∴﹣ 4x 1x 2＝ 9，∴（ 2m+1 ）2＝ 25，∴ m ＝ 2 或 m ＝﹣ 3， ∵ m ＞ 0，∴ m ＝ 2；（ 3）当 n ＝﹣ 3m 时， PQ 分析式为 y ＝﹣ mx+3m ， ∴ H （ 0， 3m ），∵ y ＝﹣ mx+3m 与 y ＝﹣ x 2+ x+3 订交于点 P 与 Q ， ∴﹣ mx+3 m ＝﹣ x 2+ x+3，∴ x ＝ 3 或 x ＝ 2m ﹣ 2，当 2m ﹣ 2＜ 3 时，有 0＜ m ＜ ，∵点 P 在点 Q 的右边，2∴ P （ 3， 0），Q （ 2m ﹣ 2，﹣ 2m +5m ），∴ AQ 的直线分析式为 y ＝x+5﹣ 2m ，∴ K （ 0， 5﹣ 2m ），∴ HK ＝ |5m ﹣ 5|＝ 5|m ﹣ 1|，① 当 0＜m ＜ 1 时，如图 ① ， HK ＝ 5﹣5m ，∴ S △PQK ＝ S △PHK +S △ QHK ＝HK （ x P ﹣ x Q ）＝ （ 5﹣5m ）（ 5﹣ 2m ）＝5m 2﹣m+ ，② 当 1＜m ＜时，如图 ② ， HK ＝5m ﹣ 5，∴ S △PQK ＝﹣ 5m2，+ m ﹣③ 当 2m ﹣ 2＞3 时，如图 ③ ，有 m ＞，2∴ P （ 2m ﹣2，﹣ 2m +5m ）， Q （ 3，0）， K （ 0， 0），∴ S △PQK ＝ × KQ |y P |＝ （2m 2﹣ 5m ）＝ 3m 2﹣ m ，综上所述， S ＝；5．（ 2019?齐齐哈尔）综合与研究如图，抛物线 y ＝ x 2+bx+c 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点， OA ＝ 2， OC ＝6，连结 AC 和 BC ．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）点 D 在抛物线的对称轴上， 当△ ACD 的周长最小时， 点 D 的坐标为 （ ，﹣5） ．（ 3）点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连结CE 和 BE ．求△ BCE 面积的最大值及此时点 E 的坐标；（ 4）若点 M 是 y 轴上的动点，在座标平面内能否存在点N ，使以点 A 、 C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明原因．【解答】 解：（ 1）∵ OA ＝ 2，OC ＝ 6∴ A （﹣ 2， 0）， C （ 0，﹣ 6）2∵抛物线 y ＝ x +bx+c 过点 A 、 C∴解得：∴抛物线分析式为y ＝ x 2﹣ x ﹣6（ 2）∵当 y ＝ 0 时， x 2﹣ x ﹣ 6＝ 0，解得： x 1＝﹣ 2， x 2＝ 3∴ B （ 3， 0），抛物线对称轴为直线 x ＝∵点 D 在直线 x ＝上，点 A 、 B 对于直线 x ＝ 对称∴ x D ＝ ， AD ＝BD∴当点 B 、 D 、 C 在同向来线上时， C △ACD ＝ AC+AD+CD ＝ AC+BD +CD ＝ AC+BC 最小设直线 BC 分析式为 y ＝ kx ﹣ 6∴ 3k ﹣6＝ 0，解得： k ＝ 2∴直线 BC ：y ＝ 2x ﹣ 6∴y D＝2× ﹣ 6＝﹣ 5∴D（，﹣ 5）故答案为：（，﹣ 5）（ 3）过点 E 作 EG⊥ x 轴于点 G，交直线 BC 与点 F设 E（ t， t 2﹣t ﹣ 6）（ 0＜ t＜ 3），则 F （ t， 2t﹣ 6）∴ EF＝ 2t﹣ 6﹣（ t 2﹣t ﹣ 6）＝﹣ t2+3t∴ S△BCE＝ S△BEF+S△CEF＝EF?BG+ EF?OG＝EF（ BG+OG ）＝EF?OB ＝× 3（﹣2 2t +3t）＝﹣（t﹣）+∴当 t＝时，△ BCE面积最大∴ y E＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点 E 坐标为（，﹣）时，△ BCE面积最大，最大值为．（4）存在点 N，使以点 A、 C、 M、 N 为极点的四边形是菱形．∵ A（﹣ 2， 0）， C（ 0，﹣ 6）∴ AC＝①若 AC 为菱形的边长，如图3，则 MN∥AC 且， MN ＝AC＝ 2∴ N1（﹣ 2， 2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）②若 AC 为菱形的对角线，如图4，则 AN4∥ CM 4， AN4＝ CN4设 N4（﹣ 2，n）∴﹣ n＝解得： n＝﹣∴ N4（﹣ 2，﹣）综上所述，点N 坐标为（﹣ 2， 2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．。
2019年中考数学二次函数综合题专题训练
(1) 判断顶点 M是否在直线 y＝4x＋1 上，并说明理由； (2) 如图 1，若二次函数图象也经过点 A、B，且 mx＋5>－(x －b) 2＋4b＋1. 根据
图象，写出 x 的取值范围；
1
3
(3) 如图 2，点 A 坐标为 (5 ，0) ，点 M在△ AOB内，若点 C(4，y1) ，D(4，y2) 都在
1．在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2＋bx＋c(b ，c 都是常数 ) 的图象经过 点(1 ，0) 和(0 ，2) ． (1) 当－ 2≤x≤２时，求 y 的取值范围． (2) 已知点 P(m，n) 在该函数的图象上，且 m＋n＝1，求点 P 的坐标．
2．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为 “同簇二次函数”． (1) 请写出两个为“同簇二次函数”的函数； (2) 已知关于 x 的二次函数 y1＝ 2x2－ 4mx＋ 2m2＋1 和 y2＝ax2＋ bx＋ 5，其中 y1 的 图象经过点 A(1，1) ，若 y1＋y2与 y1为“同簇二次函数”，求函数 y2 的表达式， 并求出当 0≤x≤３时， y2 的最大值．
4．( 20182 真题 ) 如图 1，抛物线的顶点 A 的坐标为 (1 ，4) ，抛物线与 x 轴相交 于 B、C两点，与 y 轴交于点 E(0，3) ． (1) 求抛物线的表达式；
(2) 已知点 F(0 ，－ 3) ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG＋FG 最 小，如果存在，求出点 G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3) 如图 2，连接 AB，若点 P 是线段 OE上的一动点，过点 P作线段 AB的垂线， 分别与线段 AB、抛物线相交于点 M、N(点 M、N 都在抛物线对称轴的右侧 ) ，当 MN最大时，求△ PON的面积．
2019内蒙古中考数学考前专题训练二次函数综合题(10道)
二次函数综合题类型一 线段问题1.经过点A （3，3）的抛物线y=ax 2+bx 与x 轴交于点B （4，0）和原点O ，点P 为二次函数上一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D (a ，0)(a >0)，并与直线OA 交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）当点P 在线段OA 上方时，过点P 作x 轴的平行线与线段OA 相交于点E ，求△PCE 周长的最大值及此时P 点的坐标；（3）当PC ＝CO 时，求P 点坐标.解：（1）∵A （3，3），B （4，0）两点在抛物线bx ax y +=2上，∴,4160393⎩⎨⎧+=+=b a b a 解得,41⎩⎨⎧=-=b a ∴抛物线的表达式为x x y 42+-=；（2）如解图①，设点P 的坐标为(x ，－x 2＋4x )，第1题解图①∵点A 坐标为(3，3)；∴∠AOB ＝45°，∴OD＝CD＝x，∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，∵PE∥x轴，∴△PCE是等腰直角三角形，∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．∵PE与线段OA相交，∴0≤x≤1，由PC＝－x2＋3x＝－(x－32)2＋94可知，该函数的对称轴为直线x＝32，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，∴PE＝2，CE＝∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋∴△PCE周长的最大值为4＋，把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，∴点P的坐标为(1，3)；（3）设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图②，第1题解图②①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC1x，∵P1C1＝OC1，∴－x2＋3x x，解得x1＝3，x2＝0(舍去)．把x＝3代入y＝－x2＋4x得，y＝－(3)2＋4(3＝1＋，∴P1(3，1＋)，②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC2x，∵P2C2＝OC2，∴x2－3x x，解得x1＝3，x2＝0(舍去)，把x＝3代入y＝－x2＋4x，得y＝－(3)2＋4(3)＝1－，∴P2(3，1－)．综上所述，P点坐标为(31＋或(3，1－)．2.已知直线y=5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式;(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值;(3)若点H为二次函数y=ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标.解:(1)∵直线y=5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，∴A(－1，0)，C(0，5)，∵二次函数y=ax2＋4x＋c的图象过A，C两点，∴405a cc-+=⎧⎨=⎩，解得15ac=-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为y=－x2＋4x＋5;第2题解图①(2)如解图①，∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，∴由二次函数的表达式为y=－x2＋4x＋5得点B的坐标为B(5，0)，设直线BC解析式为y=kx＋b，∵直线BC过点B(5，0)，C(0，5)，∴505k bb+=⎧⎨=⎩，解得15kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC解析式为y=－x＋5，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的坐标为(n，－n＋5)，D点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，则d=|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|，由题意可知:－n2＋4n＋5＞－n＋5，∴d=－n2＋4n＋5－(－n＋5)=－n2＋5n=－(n－52)2＋254，∴当n=52时，线段ND最大，最大值是254;第2题解图②(3)∵点M(4，m)在抛物线y=－x2＋4x＋5上，∴m=5，∴M(4，5).∵抛物线y=－x2＋4x＋5=－(x－2)2＋9，∴顶点坐标为H(2，9)，如解图②，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(－2，9);作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，－5)，连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM 的最小周长，则点F，E即为所求的点.设直线H1M1的函数表达式为y=mx＋n，∵直线H1M1过点H1(－2，9)，M1(4，－5)，∴9254m nm n=-+⎧⎨-=+⎩，解得73133mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y=－73x＋133，∴当x=0时，y=133，即点E的坐标为(0，133)，当y=0时，x=137，即点F的坐标为(137，0)，故所求点F，E的坐标分别为(137，0)，(0，133).类型二面积问题3. 如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)过点D作DF⊥x 轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD.设点D的横坐标为m，△BCD 的面积为S.①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围；②当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值；③直线BC能否把△BDF分成面积之比为2∶ 3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．第3题图解：(1)设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x－3），∵C（0，3）在抛物线上，∴3=a（0+1）（0－3），解得a=－1，∴y=－（x+1）（x－3）=－x2＋2x＋3.(2)①设直线BC的函数关系式为y＝kx＋b，∵直线BC过点B(3，0)，C(0，3)．代入得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3， ∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3，设D (m ，－m 2＋2m ＋3)，E (m ，－m ＋3)，∴DE ＝(－m 2＋2m ＋3)－(－m ＋3)＝－m 2＋3m ，∴S ＝S △CDE ＋S △BDE ＝12OF ·DE ＋12BF ·DE ＝12OB ·DE ＝32(－m 2＋3m )＝－32m 2＋92m (0<m <3)；②由①得S ＝－32m 2＋92m ＝－32(m －32)2＋278，∵－32<0，∴当m ＝32时，S 有最大值，最大值S ＝278；③∵△BDE 和△BFE 是等高的，∴它们的面积比＝DE ∶ EF .(ⅰ)当DE ∶ EF ＝2∶3时，有32332=+-+-m m m ， 解得m 1＝23，m 2＝3(舍去)，此时，D (23，359)；(ⅱ)当DE ∶EF ＝3∶2时，有23332m m m -+=-+， 解得m 1＝32，m 2＝3(舍去)，此时，D (32，154)；∴直线BC 能把△BDF 分成面积之比为2∶ 3的两部分，此时，D 点的坐标为 (23，359)或(32，154)．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋c 的图象与y 轴交于点C (0，3)，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(－3，0)．(1)求二次函数的解析式；(2)点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1∶2的两部分，求出此时点M 的坐标；(3)点P 是第二象限内抛物线上的一动点当点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标．解：(1)将点C (0，3)，B (－3，0)代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ,得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝39a －6a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝3， ∴二次函数的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3；(2)由y ＝－x 2－2x ＋3，令y ＝0，则－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴点A (1，0)．如解图①，连接OD 、AD 、AC ，第4题解图①∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴顶点D 的坐标为(－1，4)；易求直线AD 的解析式为y ＝－2x ＋2，∴直线AD 与y 轴的交点为(0，2)，S △OBD ＝12×3×4＝6，S 四边形ACDB ＝S △ABD ＋S △ACD ＝12×4×4＋12×1×2＝9.∴直线OM 必与线段BD 相交，易得直线BD 的解析式为y ＝2x ＋6； 设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当S △OBE ＝13×9＝3时，易得点E 的纵坐标为2，将y ＝2代入直线BD 解析式求得x ＝－2，∴E (－2，2)，则直线OE 的解析式为y ＝－x ，设M (x ，－x )，代入抛物线解析式得：－x ＝－x 2－2x ＋3，解得：x 1＝－1－132，x 2＝－1＋132(舍去)， ∴M (－1－132，1＋132)； ②当S △OBE ＝23×9＝6时，同理可得M 点坐标．∴M (－1，4)；综上所述，点M 的坐标为(－1－132，1＋132)，(－1，4)； (3)如解图②，连接OP ，设P 点的坐标为(m ，n )，第4题解图②∵点P 在抛物线上，∴n ＝－m 2－2m ＋3，∴S △CPB ＝S △CPO ＋S △OPB －S △COB ＝12OC ·(－m )＋12OB ·n －12OC ·OB ＝－32m ＋32n －92＝32(n －m －3)＝－32(m 2＋3m )＝－32(m ＋32)2＋278. ∵－3＜m ＜0，∴当m ＝－32时，n ＝154，△CPB 的面积有最大值278.∴当点P 的坐标为(－32，154)时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为278.类型三 特殊三角形的存在性问题5.如图，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B 两点，与y 轴交于点C (0，2)，抛物线的对称轴交x 轴于点D .（1）求抛物线的解析式；（2）求sin ∠ABC 的值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．第5题图解：（1）将点A (－1，0)，C (0，2)代入抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧－12－b ＋c ＝0c ＝2，解得⎩⎨⎧b ＝32c ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；（2）令y ＝－12x 2＋32x ＋2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4，∴点B 的坐标为(4，0)，在Rt △BOC 中，BC ＝OC 2＋OB 2＝22＋42＝25，∴sin ∠ABC ＝OC BC ＝225＝55； （3）存在，点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．【解法提示】由抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋2得对称轴为直线x ＝32，∴点D 的坐标为(32，0)．∴CD ＝OC 2＋OD 2＝22＋（32）2＝52. ∵点P 在对称轴x ＝32上，且△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，∴当点D为顶点时，有DP ＝CD ＝52， 此时点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)；当点C 为顶点时，如解图，连接CP ，则CP ＝CD ，过点C 作CG ⊥DP 于点G ，则DG ＝PG ，第5题解图∵DG ＝2，∴PG ＝2，PD ＝4，∴点P 的坐标为(32，4)．综上，存在点P 使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．6.如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点A （-3，0），B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），顶点为D .（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）如图①，在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图②，F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第6题图解：（1）∵A (－3，0)，B （1，0），C (0，3)在抛物线上，∴,32130390⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=c b a c c b a c b a 解得∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∵y ＝－x 2－2x ＋3=()412++-x ，∴点D 的坐标为（-1，4）；（2）如解图①，作点C 关于x 轴的对称点M ，则M (0，－3)，连接DM ，DM 与x 轴的交点为E ，连接CE ，此时△CDE 的周长最小，第6题解图①设直线DM 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将D (－1，4)，M (0，－3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝4b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－7b ＝－3，∴直线DM 的解析式为y ＝－7x －3，令y ＝0，则y ＝－7x －3＝0，解得x ＝－37，∴点E 的坐标为(－37，0)．（3）存在．由(1)知，OA ＝OC ＝3，∠AOC ＝90°，∴∠CAB ＝45°，如解图②，第6题解图②①当∠AFP ＝90°时，即∠AF 1P 1＝90°，∴点P 1既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 1与点B 重合，点P 1的坐标为(1，0)；②当∠F AP ＝90°时，即∠F 2AP 2＝90°，则∠P 2AO ＝45°，设AP 2与y 轴的交点为点N ，∴OA ＝ON ＝3，则N (0，－3)，∴直线AP 2的解析式为y ＝－x －3，联立抛物线与直线AP 2的解析式，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －3y ＝－x 2－2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－5， ∵A (－3，0)，∴P 2(2，－5)；③当∠APF ＝90°时，即∠AP 3F 3＝90°，点P 3既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 3与点B 重合，点P 3的坐标为(1，0)．综上所述，抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，其坐标为P (1，0)或(2，－5)．类型四 特殊四边形的存在性问题7. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴交于点C (0，4)，与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x ＝1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E .（1）求抛物线的解析式；（2）若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F ，使四边形ABFC 的面积为17？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE 的一条直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．第7题图解：（1）∵点A (－2，0)与点B 关于直线x ＝1对称，∴B (4，0)，将点A ，B ，C 的坐标代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝016a ＋4b ＋c ＝0c ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－12b ＝1c ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；（2）不存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，理由如下：∵B (4，0)，C (0，4)，∴BC 的解析式为y ＝－x ＋4，如解图，过点F 作x 轴垂线，交BC 于G ，设F 点的坐标为(m ，－12m 2＋m ＋4)，则G (m ，－m ＋4)，∴FG ＝(－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝－12m 2＋2m ，∴S四边形ABFC＝S△ABC＋S△BCF＝12AB·y C＋12FG·(x B－x C)＝12×6×4＋12×4×(－12m2＋2m)＝17，整理得m2－4m＋5＝0，∵b2－4ac＝16－4×1×5＝－4<0.∴方程无解，∴F点不存在；第7题解图（3）当x＝1时，－12x 2＋x＋4＝92，即D(1，92)．当x＝1时，－x＋4＝3，即E(1，3)，∴DE＝92－3＝32.设Q点坐标为(m，－12m2＋m＋4)，则P(m，－m＋4)．∴|PQ |＝|(－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)|＝|－12m 2＋2m |.由PQ ∥DE ，PQ ＝DE 得|－12m 2＋2m |＝32，∴－12m 2＋2m ＝32或－12m 2＋2m ＝－32，解得m 1＝1(PQ 与DE 重合，舍去)，m 2＝3，m 3＝2＋7，m 4＝2－7. ∴P 点坐标为(3，1)或(2＋7，2－7)或(2－7，2＋7)．类型五 相似三角形的存在性问题8.如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，A 、B 两点的坐分别为(－1，0)、(0，－3)．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 为抛物线的顶点，点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，点D 为y 轴上一点，且DC ＝DE ，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，直线DE 上是否存在点P ，使得以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC 相似？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．第8题图解：（1）∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (－1，0)、 B (0，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； （2）令y ＝0，则x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴点C 的坐标为(3，0)，∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴点E 的坐标为(1，－4)， 设点D 的坐标为(0，m ),如解图①，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ， ∵DC 2＝OD 2＋OC 2＝m 2＋32，DE 2＝DF 2＋EF 2＝(m ＋4)2＋12， DC ＝DE ，∴m 2＋9＝m 2＋8m ＋16＋1， 解得m ＝－1，∴点D 的坐标为(0，－1)；第8题解图①（3）存在点P 使得以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC 相似， 其坐标为(－13，0)、(13，－2)、(－3，8)、(3，－10)． 【解法提示】∵点C (3，0)，D (0，－1)，E (1，－4)， ∴CO ＝DF ＝3，DO ＝EF ＝1，根据勾股定理得，CD ＝OC 2＋OD 2＝32＋12＝10， 在△COD 和△DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝DF ∠COD ＝∠DFE ＝90°DO ＝EF ，∴△COD ≌△DFE (SAS)，∴∠EDF ＝∠DCO ， 又∵∠DCO ＋∠CDO ＝90°，∴∠CDE ＝180°－90°＝90°，∴CD ⊥DE ， ①OC 与CD 是对应边时， ∵△DOC ∽△PDC ， ∴OC DC ＝OD DP ，即310＝1DP ，解得DP ＝103，如解图②，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，第8题解图②∵EF ⊥y 轴，∴△DGP ∽△DFE ， ∴DG DF ＝GP FE ＝DP DE ，即DG 3＝PG1＝10310，解得DG ＝1，PG ＝13，当点P 在点D 的左边时，OG ＝DG －DO ＝1－1＝0， ∴点P 1(－13，0)，当点P 在点D 的右边时，OG ＝DO ＋DG ＝1＋1＝2， ∴点P 2( 13，－2)；②OC与DP 是对应边时，∵△DOC ∽△CDP ，∴OC DP ＝DO CD ，即3DP ＝110，解得DP ＝310，如解图③，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，第8题解图③∵EF ⊥y 轴，∴△DGP ∽△DFE ， ∴DG DF ＝PG EF ＝DP DE ，即DG 3＝PG 1＝31010，解得DG ＝9，PG ＝3，当点P 在点D 的左边时，OG ＝DG －OD ＝9－1＝8， ∴点P 3的坐标是(－3，8)，当点P 在点D 的右边时，OG ＝OD ＋DG ＝1＋9＝10， ∴点P 4的坐标是(3，－10)，综上所述，满足条件的点P 共有4个，其坐标分别为(－13，0)、( 13，－2)、(－3，8)、(3，－10)．9. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴相交于点C，连接BC.点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E.第9题图（1）求抛物线的表达式；（2）当P在y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，垂足为F.当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；（3）如图②，当点P在直线BC上方的抛物线上运动时，连接PC，PB.请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）由于抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－1，0)和B(4，0)，∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－4)＝－x2＋3x＋4；（2）对于抛物线y＝－x2＋3x＋4，令x＝0，则y＝4，∴C(0，4)，∵B (4，0)，∴OC ＝OB ＝4， 设P 点的坐标为(t ，－t 2＋3t ＋4)，则CF ＝t ，PF ＝|－t 2＋3t ＋4－4|＝|－t 2＋3t |，如果以P ，C ，F 为顶点的三角形与△OBC 相似，则CF ＝PF ， 即t ＝|－t 2＋3t |，当t ＝－t 2＋3t 时，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝2， 此时，－t 2＋3t ＋4＝－22＋3×2＋4＝6， ∴P 的坐标为(2，6)；当－t ＝－t 2＋3t 时，解得t 3＝0(舍去)，t 4＝4， 此时，－t 2＋3t ＋4＝－42＋3×4＋4＝0， ∴P 的坐标为(4，0)．∴P 点的坐标为(2，6)或(4，0)；（3）设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入点B (4，0)和点C (0，4),得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋m ＝0m ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1m ＝4， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4. 设P 点坐标为(n ，－n 2＋3n ＋4)， ∵点G 在直线BC 上，∴G (n ，－n ＋4)，∵点P在直线BC上方抛物线上运动，∴PG＝－n2＋3n＋4－(－n＋4)＝－n2＋4n，∵S△PBC＝S△PGC＋S△PGB＝12PG·OE＋12PG·BE＝12PG×OB＝12×(－n2＋4n)×4＝－2(n－2)2＋8，∵－2＜0，0＜n＜4，∴当n＝2时，S△PBC有最大值为8，此时P点的坐标为(2，6)．类型六与角度问题有关的问题10.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-6，0），点B（4，0），点C（0，-8），直线y=-34x-4与x、y轴交于点D、E．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直角三角形ODE的两个锐角平分线的交点，求证：∠PDO+∠PEO=45°；（3）若在x轴上有一点H，满足2∠HEB=∠DEO，求点H的坐标；（4）若M为x轴下方抛物线上一点，过M作y轴的平行线交直线DE于点N，点F是点N关于直线ME的对称点，是否存在点M，使得点F落在y 轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：⑴把A(-6，0)，B(4，0)，C(0，-8)的坐标代入y=ax2+bx+c得到⎪⎩⎪⎨⎧=++=+--=041606368c b a c b a c ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===83231c b a ，∴函数的解析式为y =31x 2+32x -8， ⑵∵∠DOE =90°， ∴∠ODE +∠OED =90°，∵∠PDO =21∠ODE ，∠PEO =21∠DEO ， ∴∠PDO +∠PEO =21（∠ODE +∠OED ）=45°.（3）如解图，作DP 的延长线交y 轴于N ，作NM ⊥DE 于M ．第10题解图①由题意得D （-3，0），E （0，-4）， ∵∠NDO =∠NDM ，NO ⊥DO ，NM ⊥DM ，∴ON =NM ，设ON =MN =x ，易知DO =DM =3，DE =5，∴EM =2 在Rt △NME 中，∵EN 2=NM 2+EM 2， ∴（4-x ）2=x 2+22，∴x =23，∴ON =23， ∵OE =OB =4，∴∠OEB =∠OBE =45°， ∵∠H 1EB +∠H 1EO =45°，21∠DEO +∠ODN =45°，2∠H 1EB =∠DEO ， ∴∠ODN =∠H 1EO ，∴tan ∠H 1EO =tan ∠ODN =OD ON =323=21=OEOH 1，∴OH 1=2，∴点H 1坐标为（2，0）．当∠H 2EB =21∠DEO 时，同理可证，∠EH 2O =∠ODN ， ∴tan ∠EH 2O =21=2OH OE， ∴OH 2=8，∴点H 2坐标为（8，0），综上所述，满足条件的点H 坐标为（2，0）或（8，0）． （4）存在．理由如下：如解图②中，设M （m ，31m 2+32m -8），则N （m ，-34m -4）．第10题解图②①当EM 1平分∠N 1EF 1时，点F 1落在y 轴上， ∵M 1N 1∥y 轴，∴∠N 1M 1E =∠M 1EF 1=∠M 1EN 1，∴M 1N 1=EN 1， ∴-34m -4-（31m 2+32m -8）=-35m ， 解得m =-4或3（舍去），∴M 1（-4，-316）. ②当EM 平分∠NEF 时，点F 落在y 轴上， 由MN =EN ，∴-34m -4-（31m 2+32m -8）=35m ， 解得m =1或-12（舍去），∴M （1，-7）． ③当EM 2平分∠N 2EF 2时，点F 2落在y 轴上， 由M 2N 2=EN 2，∴（31m 2+32m -8）-（-34m -4）=35m ， 解得m =3或-4（舍去），∴M 2（3，-3）． 综上所述，满足条件的点M 坐标为（-4，-316）或（1，-7）或（3，-3）．。
2019年中考数学专题汇编 二次函数-综合题(一) (word版有答案解析)
九上数学-二次函数-综合题（一）一．解答题（共40小题）1．（2019•赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．2．（2019•通辽）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．3．（2019•吉林）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．4．（2019•绥化）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝，交x轴于点A、B，交y轴于点C，且点A坐标为A（﹣2，0）．直线y＝﹣mx﹣m（m＞0）与抛物线交于点P、Q（点P在点Q的右边），交y轴于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若n＝﹣5，且△CPQ的面积为3，求m的值；（3）当m≠1时，若n＝﹣3m，直线AQ交y轴于点K．设△PQK的面积为S，求S与m之间的函数解析式．5．（2019•齐齐哈尔）综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2019•襄阳）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2019•随州）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A （0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）．（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为，①求点P的坐标；②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2019•梧州）如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．9．（2019•柳州）如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线y ＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E 关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，CE的长为半径作圆，点P为直线y＝x﹣3上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BDP周长的最小值；（3）若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于CE时，过P，Q 两点的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），求四边形ABMN的面积．10．（2019•张家界）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．11．（2019•贵阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．12．（2019•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2019•烟台）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝（x＞0）经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）14．（2019•玉林）已知二次函数：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）．（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA＝75°？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．15．（2019•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B（l，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90°交抛物线于另一点D，在射线AD上是否存在一点H，使△CHB的周长最小．若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，点Q为抛物线的顶点，点P为射线AD上的一个动点，且点P的横坐标为t，过点P作x轴的垂线l，垂足为E，点P从点A出发沿AD方向运动，直线l随之运动，当﹣2＜t ＜1时，直线l将四边形ABCQ分割成左右两部分，设在直线l左侧部分的面积为S，求S关于t的函数表达式．16．（2019•河北）如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．（1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．17．（2019•常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB ＝2S△QRB，求点P的坐标．18．（2019•荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF 的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．19．（2019•河南）如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x﹣2经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）20．（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D的坐标是；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．①当n＝时，求DP的长；②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围．21．（2019•湘西州）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE 上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF 周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．22．（2019•邵阳）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q 以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．23．（2019•广西）如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝x2+x与C2：y2＝ax2+x+c 是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．24．（2019•贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．25．（2019•黄冈）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D （2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△P AM≌△PBM，求点P的坐标；（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2019•毕节市）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2019•贵港）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，﹣5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．28．（2019•福建）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y ＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．①求点A的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．29．（2019•淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐标．（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2019•黄石）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；（3）定点D（0，m）在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d（用含m的代数式表示）31．（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x轴交于点A、B （点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD 绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M 为垂足，使得△P AM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？32．（2019•海南）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．33．（2019•十堰）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P的个数．34．（2019•山西）综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．35．（2019•眉山）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．36．（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，4）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D′在△ABC内，求h的取值范围；（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．37．（2019•呼和浩特）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A（2，0）．（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A的交点；（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．38．（2019•益阳）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）．（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE 的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接P A、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：若点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（，）．39．（2019•孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）点A的坐标为，点B的坐标为，线段AC的长为，抛物线的解析式为．（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4﹣m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小．40．（2019•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．九上数学-二次函数-综合题（一）参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2019•赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，函数顶点坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将CD的坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD的表达式为：y＝7x﹣3，当y＝0时，x＝，故点E（，x）；（3）①当点P在x轴上方时，如下图2，∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝m，则PB＝P A＝m，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，16＝m2+（m﹣m）2，解得：m2＝8+4，则PB2＝2m2＝16+8则y P＝＝2+2；②当点P在x轴下方时，则y P＝﹣（2）；故点P的坐标为（1，2）或（1，﹣2﹣2）．2．（2019•通辽）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8…①，则点B（3，5），将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝2x﹣1；（2）存在，理由：二次函数对称轴为：x＝1，则点C（1，1），过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D（x，﹣x2+2x+8），点H（x，2x﹣1），∵S△DAC＝2S△DCM，则S△DAC＝DH（x C﹣x A）＝（﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝（9﹣1）（1﹣x）×2，解得：x＝﹣1或5（舍去5），故点D（﹣1，5）；（3）设点Q（m，0）、点P（s，t），t＝﹣s2+2s+8，①当AM是平行四边形的一条边时，点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，同理，点Q（m，0）向左平移4个单位向下平移16个单位为（m﹣4，﹣16），即为点P，即：m﹣4＝s，﹣6＝t，而t＝﹣s2+2s+8，解得：s＝6或﹣4，故点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）；②当AM是平行四边形的对角线时，由中点公式得：m+s＝﹣2，t＝2，而t＝﹣s2+2s+8，解得：s＝1，故点P（1，2）或（1﹣，2）；综上，点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）或（1，2）或（1﹣，2）．3．（2019•吉林）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．【解答】解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k，得k＝﹣4，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）令y＝0，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4；抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，S＝＝8；（3）①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2时，h＝﹣1﹣（﹣4）＝1；当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；②当h＝9时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，∴P（4，5），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴△BCP的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；4．（2019•绥化）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝，交x轴于点A、B，交y轴于点C，且点A坐标为A（﹣2，0）．直线y＝﹣mx﹣m（m＞0）与抛物线交于点P、Q（点P在点Q的右边），交y轴于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若n＝﹣5，且△CPQ的面积为3，求m的值；（3）当m≠1时，若n＝﹣3m，直线AQ交y轴于点K．设△PQK的面积为S，求S与m之间的函数解析式．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，得4a﹣2b+3＝0，∵x＝﹣＝，∴a＝﹣，b＝；∴y＝﹣x2+x+3；（2）设点Q横坐标x1，点P的横坐标x2，则有x1＜x2，把n＝﹣5代入y＝﹣mx﹣n，∴y＝﹣mx+5，联立y＝﹣mx+5，y＝﹣x2+x+3得：﹣mx+5＝﹣x2+x+3，∴x2﹣（2m+1）x+4＝0，∴x1+x2＝2m+1，x1x2＝4，∵△CPQ的面积为3；∴S△CPQ＝S△CHP﹣S△CHQ，即HC（x2﹣x1）＝3，∴x2﹣x1＝3，∴﹣4x1x2＝9，∴（2m+1）2＝25，∴m＝2或m＝﹣3，∵m＞0，∴m＝2；（3）当n＝﹣3m时，PQ解析式为y＝﹣mx+3m，∴H（0，3m），∵y＝﹣mx+3m与y＝﹣x2+x+3相交于点P与Q，∴﹣mx+3m＝﹣x2+x+3，∴x＝3或x＝2m﹣2，当2m﹣2＜3时，有0＜m＜，∵点P在点Q的右边，∴P（3，0），Q（2m﹣2，﹣2m2+5m），∴AQ的直线解析式为y＝x+5﹣2m，∴K（0，5﹣2m），∴HK＝|5m﹣5|＝5|m﹣1|，①当0＜m＜1时，如图①，HK＝5﹣5m，∴S△PQK＝S△PHK+S△QHK＝HK（x P﹣x Q）＝（5﹣5m）（5﹣2m）＝5m2﹣m+，②当1＜m＜时，如图②，HK＝5m﹣5，∴S△PQK＝﹣5m2+m﹣，③当2m﹣2＞3时，如图③，有m＞，∴P（2m﹣2，﹣2m2+5m），Q（3，0），K（0，0），∴S△PQK＝×KQ|y P|＝（2m2﹣5m）＝3m2﹣m，综上所述，S＝；5．（2019•齐齐哈尔）综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为（，﹣5）．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝6∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6（2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称∴x D＝，AD＝BD∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小设直线BC解析式为y＝kx﹣6∴3k﹣6＝0，解得：k＝2∴直线BC：y＝2x﹣6∴y D＝2×﹣6＝﹣5∴D（，﹣5）故答案为：（，﹣5）（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+∴当t＝时，△BCE面积最大∴y E＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．∵A（﹣2，0），C（0，﹣6）∴AC＝①若AC为菱形的边长，如图3，则MN∥AC且，MN＝AC＝2∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4设N4（﹣2，n）∴﹣n＝解得：n＝﹣∴N4（﹣2，﹣）综上所述，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．6．（2019•襄阳）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝6，故点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3），抛物线的对称轴为x＝1，则点A（﹣4，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）（x+4）＝a（x2﹣2x﹣24），即﹣24a＝3，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3…①；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，则∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CAB＝＝＝tanα，则cosα＝，设点P（x，﹣x2+x+3），则点G（x，﹣x+3），则PH＝PG cosα＝（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣x2+x，∵＜0，故PH有最小值，此时x＝3，则点P（3，）；（3）①当点Q在x轴上方时，则点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，则点Q（2，3）；②当点Q在x轴下方时，Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似，则∠ACB＝∠Q′AB，。
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专题类型突破专题五 二次函数综合题类型一 线段、周长问题(2018·宜宾中考改编)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线y ＝14x 与抛物线交于A ，B 两点，直线l 为y ＝－1.(1)求抛物线的解析式；(2)在y 轴上是否存在一点M ，使点M 到点A ，B 的距离相等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在l 上是否存在一点P ，使PA ＋PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (4)设点S 是直线l 的一点，是否存在点S ，使的SB －SA 最大，若存在，求出点S 的坐标．【分析】 (1)设顶点式y ＝a(x －2)2，将点(4，1)代入即可求a 的值，得出抛物线的解析式；(2)联立直线AB 与抛物线解析式得到点A 与点B 的坐标，设出点M 的坐标为(0，m)，利用等式MA 2＝MB 2，求出点M 的坐标；(3)利用最短线段思想，作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA ＋PB 取得最小值．求出直线AB′解析式后，联立直线l 得出点P 坐标；(4)由最短线段思想可知，当S ，A ，B 三点共线时，SB －SA 取得最大值． 【自主解答】1．(2018·广西中考)如图，抛物线y＝ax2－5ax＋c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A(－3，0)，C(0，4)，点B在x轴上，AC＝BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM＝BN，连接MN，AM，AN.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；(3)试求出AM＋AN的最小值．类型二图形面积问题(2018·菏泽中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的解析式；(2)点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，求△EAD 的面积；(3)若点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，△ABP 的面积最大，求出此时点P 的坐标和△ABP 的最大面积．【分析】 (1)根据题意可以求得a ，b 的值，从而可以求得抛物线的解析式； (2)根据题意可以求得AD 的长和点E 到AD 的距离，从而可以求得△EAD 的面积；(3)根据题意可以求得直线AB 的函数解析式，再根据题意可以求得△ABP 的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题． 【自主解答】2．如图，已知抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(－9，10)，AC∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式；(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P 的坐标；(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．类型三抛物线上架构的三角形问题(2018·怀化中考改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；(3)试探究：①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②在数轴上是否存在点M，使得△ACM是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】 (1)设交点式y＝a(x＋1)(x－3)，展开得到－2a＝2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C(0，3)，然后利用待定系数法求直线AC的解析式；(2)利用二次函数的性质确定D的坐标为(1，4)，作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于点M，利用两点之间线段最短可判断此时MB＋MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；(3)①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数求出直线PC的解析式，当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．②因为△ACM是以AC为底的等腰三角形，得出MA2＝MB2，然后分类讨论点M在x轴、y轴时的两种情况，进而求出点M的坐标即可．【自主解答】是否存在一点，使之与另外两个定点构成等腰三角形(直角三角形)的问题：首先弄清题意(如等腰三角形：若某边为底边，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况)；其次借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用几何知识建立方程(组)，求出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点．3．(2018·临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC ＝2OB ，tan∠ABC＝2，点B 的坐标为(1，0)，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A ，B 两点． (1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一点．过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE ＝12DE.①求点P 的坐标；②在直线PD 上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．类型四 抛物线上架构的四边形问题(2018·齐齐哈尔中考)综合与探究如图1所示，直线y ＝x ＋c 与x 轴交于点A(－4，0)，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A ，C.(1)求抛物线的解析式；(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值；(3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为________；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】 (1)把已知点坐标代入解析式；(2)取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，由两点之间线段最短，最小值可得；(3)①由已知，注意相似三角形的分类讨论．②设出M坐标，求点P坐标．注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的．本题即为研究△CPN为等腰三角形的情况．【自主解答】解答存在性问题的一般思路解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而判断结论是否成立．遇到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时，常常要运用分类讨论和数形结合思想，分别画出符合要求的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏．4．(2017·天水中考)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a(a ＜0)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC.(1)求A ，B 两点的坐标及抛物线的对称轴；(2)求直线l 的函数解析式(其中k ，b 用含a 的式子表示)；(3)点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值；(4)设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．参考答案类型一【例1】 (1)∵抛物线的顶点坐标为(2，0)， 设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2. ∵该抛物线经过点(4，1)， ∴1＝4a ，解得a ＝14，∴抛物线的解析式为y ＝14(x －2)2＝14x 2－x ＋1.(2)存在．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x ，y ＝14x 2－x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝14或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4，y 2＝1， ∴点A 的坐标为(1，14)，点B 的坐标为(4，1)．设点M 的坐标为(0，m)， ∴MA 2＝(0－1)2＋(m －14)2，MB 2＝(0－4)2＋(m －1)2. ∵点M 到A ，B 的距离相等， ∴MA 2＝MB 2，即(0－1)2＋(m －14)2＝(0－4)2＋(m －1)2，∴m＝858，∴点M 的坐标为(0，858)．(3)存在．如图，作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA ＋PB 取得最小值．∵点B(4，1)，直线l 为y ＝－1， ∴点B′的坐标为(4，－3)．设直线AB′的解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)， 将A(1，14)，B′(4，－3)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝14，4k ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1312，b ＝43，∴直线AB′的解析式为y ＝－1312x ＋43.当y ＝－1时，有－1312x ＋43＝－1，解得x ＝2813，∴点P 的坐标为(2813，－1)．(4)存在．点S 和点A ，B 在同一条直线上时，SB －SA 最大． ∵点S 在直线l 上，∴设点S 的坐标为(n ，－1)，代入y ＝14x 得n ＝－4，∴点S 的坐标为(－4，－1)． 变式训练1．解：(1)把A(－3，0)，C(0，4)代入y ＝ax 2－5ax ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋15a ＋c ＝0，c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－16，c ＝4，∴抛物线解析式为y ＝－16x 2＋56x ＋4.∵AC＝BC ，CO⊥AB，∴OB＝OA ＝3， ∴B(3，0)．∵BD⊥x 轴交抛物线于点D ， ∴D 点的横坐标为3，当x ＝3时，y ＝－16×9＋56×3＋4＝5，∴D 点坐标为(3，5)．(2)在Rt△OBC 中，BC ＝OB 2＋OC 2＝32＋42＝5. 设M(0，m)，则BN ＝4－m ，CN ＝5－(4－m)＝m ＋1. ∵∠MCN＝∠OCB，∴当CM CO ＝CNCB 时，△CMN∽△COB，则∠CMN＝∠COB＝90°， 即4－m 4＝m ＋15，解得m ＝169，此时M 点坐标为(0，169)． 当CM CB ＝CNCO时，△CMN∽△CBO， 则∠CNM＝∠COB＝90°， 即4－m 5＝m ＋14，解得m ＝119，此时M 点坐标为(0，119)． 综上所述，M 点的坐标为(0，169)或(0，119)．(3)如图，连接DN ，AD.∵AC＝BC ，CO⊥AB， ∴OC 平分∠ACB， ∴∠ACO＝∠BCO.∵BD∥OC，∴∠BCO ＝∠DBC. ∵DB＝BC ＝AC ＝5，CM ＝BN ， ∴△ACM≌△DBN，∴AM＝DN ，∴AM＋AN ＝DN ＋AN ，而DN ＋AN≥AD(当且仅当点A ，N ，D 共线时取等号)， ∵AD＝62＋52＝61， ∴AM＋AN 的最小值为61. 类型二【例2】 (1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －5经过点B(－5，0)和点C(1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧25a －5b －5＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋4x －5.(2)∵抛物线y ＝x 2＋4x －5交y 轴于点A ， ∴A 点坐标为(0，－5)．又∵点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上， ∴点E 的纵坐标为5.如图，过点E 作EF⊥DA，交DA 的延长线于点F ， ∴EF＝5＋|－5|＝10. 设点D 的坐标为(a ，－5)， ∴a 2＋4a －5＝－5， ∴a 1＝0，a 2＝－4，∴点D 的坐标为(－4，－5)， ∴AD＝|－4|＝4，∴S △ADE ＝12AD·EF＝12×4×10＝20.(3)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，且该直线经过点B(－5，0)和点A(0，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－5k ＋b ＝0，b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－5， ∴直线AB 的解析式为y ＝－x －5.如图，过点P 作PN⊥x 轴，垂足为点N ，交直线AB 于点M. 设P(x ，x 2＋4x －5)，则M(x ，－x －5)， ∴S △ABP ＝S △PMB ＋S △PMA＝12[(－x －5)－(x 2＋4x －5)]×5 ＝－52(x 2＋5x)＝－52(x ＋52)2＋1258，∴当x ＝－52时，S △ABP 最大，最大值为1258.将x ＝－52代入y ＝x 2＋4x －5得y ＝－354，∴P 点的坐标为(－52，－354)．变式训练2．解：(1)把点A(0，1)，B(－9，10)的坐标代入y ＝13x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝c ，10＝13×（－9）2－9b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1. ∴抛物线的解析式是y ＝13x 2＋2x ＋1.(2)∵AC∥x 轴，A(0，1)，由13x 2＋2x ＋1＝1，解得x 1＝－6，x 2＝0. ∴C(－6，1)．设直线AB 的解析式是y ＝kx ＋b(k≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧1＝b ，10＝－9k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1. 则直线AB 的解析式是y ＝－x ＋1.设点P 的坐标为(m ，13m 2＋2m ＋1)，则点E 的坐标为(m ，－m ＋1)，EP ＝－m ＋1－(13m 2＋2m ＋1)＝－13m 2－3m.∵AC⊥EP，AC ＝6，∴S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝12AC ·EF＋12AC·PF＝12AC·(EF＋PF)＝12AC·PE ＝12×6×(－13m 2－3m) ＝－m 2－9m ＝－(m ＋92)2＋814.又∵－6＜m ＜0，则当m ＝－92时，四边形AECP 的面积的最大值是814，此时点P 的坐标是(－92，－54)．(3)由y ＝13x 2＋2x ＋1＝13(x ＋3)2－2，得顶点P 的坐标是(－3，－2)，此时PF ＝y F －y P ＝3，CF ＝x F －x C ＝3，则在Rt△CFP 中，PF ＝CF ，∴∠PCF＝45°. 同理可求∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC 上存在满足条件的Q ，如图△CPQ 1∽△ABC 或△CQ 2P∽△ABC. 可求AB ＝92，AC ＝6，CP ＝32，①当△CPQ 1∽△ABC 时，设Q 1(t 1，1)， 由CQ 1AC ＝CP AB ，得t 1＋66＝3292，解得t 1＝－4. ②当△CQ 2P∽△ABC，设Q 2(t 2，1)， 由CQ 2AB ＝CP AC ，得t 2＋692＝326，解得t 2＝3. 综上，满足条件的点Q 有两个，坐标分别是Q 1(－4，1)或Q 2(3，1)． 类型三【例3】 (1)设抛物线解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)， 即y ＝ax 2－2ax －3a ，∴－2a ＝2，解得a ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3. 当x ＝0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝3，则C(0，3)． 设直线AC 的解析式为y ＝px ＋q ，把A(－1，0)，C(0，3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，q ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝3，∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3. (2)∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴顶点D 的坐标为(1，4)．如图，作B 点关于y 轴的对称点B′，则B′(－3，0)，连接DB′交y 轴于M.∵MB＝MB′，∴MB＋MD ＝MB′＋MD ＝DB′，此时MB ＋MD 的值最小． ∵BD 的值不变，∴此时△BDM 的周长最小． 易得直线DB′的解析式为y ＝x ＋3.当x ＝0时，y ＝x ＋3＝3， ∴点M 的坐标为(0，3)． (3)①存在．如图，过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P. ∵直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3， ∴直线PC 的解析式可设为 y ＝－13x ＋b ，把C(0，3)代入得b ＝3，∴直线PC 的解析式为y ＝－13x ＋3.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3，y ＝－13x ＋3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝209，则此时P 点坐标为(73，209)．如图，过点A 作A C 的垂线交抛物线于另一点P′， 直线P′A 的解析式可设为 y ＝－13x ＋b 1，把A(－1，0)代入得13＋b 1＝0，解得b 1＝－13，∴直线PC 的解析式为y ＝－13x －13.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3，y ＝－13x －13得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－139，则此时P′点坐标为(103，－139)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为(73，209)或(103，－139)．②存在．当点M 在x 轴上时，设点M 的坐标为(n ，0)，∵MA 2＝MB 2，即[n －(－1)]2＝n 2＋(0－3)2， ∴n＝4，∴此时点M 的坐标为(4，0)． 当点M 在y 轴上时，设点M 的坐标为(0，a)， ∵MA 2＝MB 2，即[0－(－1)]2＋(a －0)2＝(3－a)2， ∴a＝43，∴此时点M 的坐标为(0，43)．综上所述，符合条件的点M 的坐标为(4，0)或(0，43)．变式训练3．解：(1)在Rt△ABC 中，由点B 的坐标可知OB ＝1. ∵OC＝2OB ，∴OC＝2，则BC ＝3. 又∵tan∠ABC＝2，∴AC＝2BC ＝6，则点A 的坐标为(－2，6)． 把点A ，B 的坐标代入抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 中得⎩⎪⎨⎪⎧－4－2b ＋c ＝6，－1＋b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝4，∴该抛物线的解析式为y ＝－x 2－3x ＋4.(2)①由点A(－2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋2.如图，设点P 的坐标为(m ，－m 2－3m ＋4)，则点E 的坐标为(m ，－2m ＋2)，点D 的坐标为(m ，0)，则PE ＝－m 2－m ＋2，DE ＝－2m ＋2， 由PE ＝12DE 得－m 2－m ＋2＝12(－2m ＋2)， 解得m ＝±1. 又∵－2＜m ＜1， ∴m＝－1，∴点P 的坐标为(－1，6)．②∵M 在直线PD 上，且P(－1，6)， 设M(－1，y)，∴AM 2＝(－1＋2)2＋(y －6)2＝1＋(y －6)2， BM 2＝(1＋1)2＋y 2＝4＋y 2，AB 2＝(1＋2)2＋62＝45. 分三种情况：(ⅰ)当∠AMB＝90°时，有AM 2＋BM 2＝AB 2， ∴1＋(y －6)2＋4＋y 2＝45，解得y ＝3±11， ∴M(－1，3＋11)或(－1，3－11)； (ⅱ)当∠ABM ＝90°时，有AB 2＋BM 2＝AM 2， ∴45＋4＋y 2＝1＋(y －6)2，解得y ＝－1， ∴M(－1，－1)．(ⅲ)当∠BAM＝90°时，有AM 2＋AB 2＝BM 2，∴1＋(y －6)2＋45＝4＋y 2，解得y ＝132，∴M(－1，132)．综上所述，点M 的坐标为(－1，3＋11)或(－1，3－11)或(－1，－1)或(－1，132)．类型四【例4】 (1)将A(－4，0)代入y ＝x ＋c 得c ＝4， 将A(－4，0)和c ＝4代入y ＝－x 2＋bx ＋c 得b ＝－3， ∴抛物线解析式为y ＝－x 2－3x ＋4. (2)如图，作点C 关于抛物线对称轴的对称点C′，连接OC′，交直线l 于点E ，连接CE ，此时CE ＋OE 的值最小．∵抛物线对称轴直线x ＝－32，∴CC′＝3.由勾股定理可得OC′＝5， ∴CE＋OE 的最小值为5.(3)①当△CNP∽△AMP 时，∠CNP＝90°，则NC 关于抛物线对称轴对称， ∴NC＝NP ＝3， ∴△CPN 的面积为92.当△CNP∽△MAP 时，由已知△NCP 为等腰直角三角形，∠NCP＝90°. 如图，过点C 作CE⊥MN 于点E ，设点M 坐标为(a ，0)，∴EP＝EC ＝－a ，则N 为(a ，－a 2－3a ＋4)，MP ＝－a 2－3a ＋4－(－2a)＝－a 2－a ＋4， ∴P(a，－a 2－a ＋4)， 代入y ＝x ＋4，解得a ＝－2或a ＝0(舍)，则N(－2，6)，P(－2，2)，故PN ＝4. 又∵EC＝－a ＝2， ∴△CPN 的面积为4. 故答案为92或4.②存在．设点M 坐标为(a ，0)，则点N 坐标为(a ，－a 2－3a ＋4)，则P 点坐标为(a ，－a 2－3a ＋42)，把点P 坐标代入y ＝x ＋4， 解得a 1＝－4(舍去)，a 2＝－1.当PF ＝FM 时，点D 在MN 垂直平分线上，则D(12，32)；当PM ＝PF 时，由菱形性质得点D 坐标为(－1＋322，322)或(－1－322，－322)；当MP ＝MF 时，M ，D 关于直线y ＝x ＋4对称，点D 坐标为(－4，3)． 变式训练4．解：(1)当y ＝0时，ax 2－2ax －3a ＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)， 对称轴为直线x ＝－1＋32＝1.(2)∵直线l 为y ＝kx ＋b 且过A(－1，0)， ∴0＝－k ＋b ，即k ＝b ，∴直线l 为y ＝kx ＋k. ∵抛物线与直线l 交于点A ，D ， ∴ax 2－2ax －3a ＝kx ＋k ， 即ax 2－(2a ＋k)x －3a －k ＝0. ∵CD＝4AC ，∴点D 的横坐标为4， ∴－3－ka ＝－1×4，∴k＝a ，∴直线l 的函数解析式为y ＝ax ＋a. (3)图1如图1，过点E 作EF∥y 轴交直线l 于点F. 设E(x ，ax 2－2ax －3a)，则F(x ，ax ＋a)，EF ＝ax 2－2ax －3a －ax －a ＝ax 2－3ax －4a ，∴S △ACE ＝S △AFE －S △CEF ＝12(ax 2－3ax －4a)(x ＋1)－12(ax 2－3ax －4a)x ＝12(ax 2－3ax －4a)＝12a(x －32)2－258a ，∴△ACE 的面积的最大值为－258a.∵△ACE 的面积的最大值为54，∴－258a ＝54，解得a ＝－25.(4)以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形． 令ax 2－2ax －3a ＝ax ＋a ，即ax 2－3ax －4a ＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝4，∴D(4，5a)．∵抛物线的对称轴为直线x ＝1， 设P(1，m)，如图2，①若AD 是矩形ADPQ 的一条边，图2则易得Q(－4，21a)，m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P(1，26a)． ∵四边形ADPQ 是矩形， ∴∠ADP＝90°， ∴AD 2＋PD 2＝AP 2，∴52＋(5a)2＋32＋(26a －5a)2＝22＋(26a)2， 即a 2＝17.∵a＜0，∴a＝－77， ∴P(1，－2677)．②如图3，若AD 是矩形APDQ 的对角线，图3则易得Q(2，－3a)， m ＝5a －(－3a)＝8a ， 则P(1，8a)．∵四边形APDQ 是矩形，∴∠APD＝90°，∴AP 2＋PD 2＝AD 2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a －5a)2＝52＋(5a)2，即a 2＝14. ∵a＜0，∴a＝－12，∴P(1，－4)． 综上所述，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 坐标为(1，－2677)或(1，－4)．。