人教版数学选修2-2试题复习 2

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(完整版)最新【人教A版】高中数学选修2-2综合测试题【2】及答案

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（每题小题5分）1.设y=2x －x ,则x ∈[0,1]上的最大值是（） A 0 B －41 C 21 D 41 2.若质点P 的运动方程为S(t)=2t 2+t （S 的单位为米，t 的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（）A 2米/秒B 3米/秒C 4米/秒D 5米/秒 3.曲线ｙ＝－313x －2在点（－1，35-）处切线的倾斜角为（）Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 135º Ｄ 150º 4.函数y=－2x + 3x 的单调递减区间是（）A (－∞,－36) B (－36,36) C(－∞,－36)∪(36,+∞) D (36,+∞) 5.过曲线ｙ＝3x ＋１上一点（-１，０），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（）Ａｙ＝３ｘ＋３Ｂｙ＝3x ＋３Ｃｙ＝-3x -31Ｄｙ＝-３ｘ-３ 6.曲线ｙ＝313x 在点（１，31）处的切线与直线ｘ＋ｙ-３＝０的夹角为Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 60º Ｄ 90º7.已知函数)(x f =3x +a 2x +b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x+y=0平行.则a 、b 的值分别为（）.A －3, 2B －3, 0C 3, 2D 3, －4 8.已知)(x f =a 3x +32x +2,若)1(/-f =4,则a 的值等于（） A319 B 310 C 316 D 313 9.函数y = 3x －12x +16在 [－3,3]上的最大值、最小值分别是（） A 6，0 B 32, 0 C 2 5, 6 D 32, 1610.已知a>0，函数ｙ＝3x -a ｘ在[1，+∞)上是单调增函数，则a 的最大值为（） A 0 B 1 C 2 D 311.已知)(x f =23x -62x +m （m 为常数），在[-2，2]上有最大值3，则此函数在[-2，2]上的最小值为（）A -37B -29C -5D -1112.已知)(x f =x +3x , 且x 1+x 2<0, x 2+x 3<0, x 3+x 1<0则（）A f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0B f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<0C f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0D f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)符号不能确定. 二、填空题（每小题4分）13.过抛物线y=)(x f 上一点A （1，0）的切线的倾斜角为45°则)1(/f =__________. 14.函数)(x f =3x －3x 的递减区间是__________15.过点P(－1,2)且与曲线ｙ＝32x －4x +2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是__________.16.函数)(x f =x (1－2x )在[0,1]上的最大值为__________. 三、解答题17.已知函数)(x f =a 4x +b 2x +c 的图像经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y=x －2. 求)(x f 的解析式；12分18.证明：过抛物线y=a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0, x 1< x 2)上两点A(x 1,0),B(x 2,0)的切线与x 轴所成的锐角相等。

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数在处存在导数，则A ．B ．C ．D2．已知函数，则 A ． B ． C ．D ．3．曲线在点处的切线方程为 A ．B ．C ．D ．4．已知函数，则该函数的导函数A ．B ．C ．D ．5，则切点的横坐标为A ．B ．C ．D ．或()f x 1x =011lim ()(3)x f x f x∆→+∆-=∆(1)f '31()f '113()f '3()f '22()3e x f x x =(1)f '=12e 212e 24e 224e l (n )f x x x =-(1,()1)f 0x y +=1x =20x y --=1y =-2s n )i (x xf x x +=()f 'x =22cos x x x +22cos sin x x x x x +-22cos sin x x x xx +-2cos x x -1222-32-36．已知函数，则A ．B ．C ．D ．7．曲线和曲线围成的封闭图形的面积是A ．B ．C ．D ．8．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为 A ．11 B ．16 C ．27D ．329．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．10．已知函数，则不等式的解集是AB ．CD ．11．已知函数的定义域为，为的导函数，且，则A ．B ．C ．D ．12．若函数在上存在最值，则实数的取值范围为A ．B ．21,0()cos ,0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩1()d f x x π-=⎰1-022-2y x =2y x =1323143328)1(f x x x =-+[]1,4-M m M m -21()f x x ax x =++1[,)2+∞a [1,0]-(3,)+∞[0,3][3,)+∞s (i )n f x x x =-()(122)0f x f x ++->(3),-∞(3,)+∞()f x R ()f x '()f x ()(1)()0f x x f x '+->(1)0f =()0f x <()0f x >1()0()x f x -<()e x f x kx =-(1,)+∞k (e,)+∞(,e]-∞-C ．D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是________________． 14．已知直线与曲线相切，则实数________________． 15．已知球的体积为，则球的内接圆锥的体积的最大值为________________． 16．若对于任意的正实数，则实数的取值范围为________________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．求下列函数的导数：（1）；（2（318．已知函数，其中，且函数在处取得极值．（1）求函数的解析式；（2）求曲线在点处的切线方程．(2e,)+∞(,2e]-∞-32()1x x x f ax -+--=R a 12y x b =-+3()2x f x =-+b =O 36πO x y m 1si (()n (14))f x x x =+-3223(1)(6)8f x x a x ax =-+++a ∈R ()f x 3x =()f x ()f x (1,16)A19．已知函数，．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性．20．已知函数，其中为自然对数的底数．（1）试判断函数的单调性；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．21．已知函数．（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数的图象从左到右先减后增，则称为“型”函数，图象的最低点的横坐标称为“点”．已知为“型”函数，求实数的取值范围，并求出此时的“点”．2()(l )14n f x a x x =+-a ∈R 12a =()y f x =(1,()1)f ()f x e ()()x f x a x a =-∈R e ()f x [1,2]x ∈()e xf x -≥a x xax x g ++=ln )()(x g 1[,)2+∞a )(x f )(x f U U x x g x f -=)()(U a U22．已知函数，．（1）试判断函数的单调性；（2）是否存在实数，使函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案1．【答案】C【解析】由题可得，故选C ．2．【答案】B【解析】由题可得，则，故选B ．3．【答案】D【解析】由题可得，则切线的斜率为，又，所以切线方程为，故选D ． 4．【答案】B【解析】由题意可得，故选B ． 5．【答案】C2(2)1ln f x x ax x =-+a ∈R ()f x a ()f x 0a 00111111lim lim (1)()()()(33)3x x f 'f x f f x f x x ∆→∆→+∆-+∆-==∆∆22226e 6e )e (6(1)xx x x x x x x f '=+=+2()112e f '=11(1)x x x f 'x-=-=)0(1f '=(11)f =-1y =-2222(2cos )(sin )cos sin ()x x x x x x x x xx xf x '+-++-==6．【答案】D【解析】．故选D ．7．【答案】A【解析】画出两曲线的草图（图略），由解得或，所以所求面积为A ． 8．【答案】D【解析】由题可得，所以当时，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以，所以，故选D ．9．【答案】D【解析】由题可得，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立．显然函数在上单调递减，所以，所以，故实数的取值范围为．故选D ．1()d f x x π-=⎰1(21)d cos d 202x x x x π--+=-+=-⎰⎰22y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩00x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩23123(2)((2))f x x x 'x =-=+-12x -<<0()f 'x <24x <<0()f 'x >()f x []1,2-[2,4]2()8f m ==-(191)f -=(24)4f =24M =32M m -=22(1)x x f a x '=+-()f x 1[,)2+∞0()f 'x ≥1[,)2+∞212a x x ≥-1[,)2+∞212y x x =-1[,)2+∞3y ≤3a ≥a [3,)+∞11．【答案】C【解析】令，则，所以函数在上单调递增，又，所以当时，当时，所以当时，．又，所以恒成立．故选C ． 12．【答案】A【解析】由题可得，当时，，函数在上单调递减，不存在最值；当时，令，可得，易得函数在上单调递增，在上单调递减，若函数在上存在最值，则，即，所以实数的取值范围为，故选A ． 13．【解析】因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，所以，即，即所以实数14．【答案】或【解析】设切点坐标为，由题可得，所以，解得，当时，；当时，．又点在直线上，所以或，解得或．15．【答案】1(()())g x f x x =-()()(1)()0g x f x x f x '=-'+>()g x R (1)0g =1x >()1()()0g x x f x =->1x <1(0))(()g x x f x =-<1x ≠()0f x >(1)(11)(1)(1)0f f f '+-=>()0f x >()e x f x k '=-0≤k ()e 0xf x k '=-<()f x (1,)+∞0>k ()e 0xf x k '=-=k x ln =()f x (,ln )k -∞(ln ,)k +∞()e xf x kx =-(1,)+∞ln 1k >e k >k (e,)+∞()f x R 23(0)21f x x ax '=-+-≤R 2(2)4(3)(1)0a ∆=-⨯-⨯-≤23a ≤a ≤≤a 1814-(),m n 2()3'x x f =-2312m -=-2m =±2m =6n =-2m =-10n =(),m n 12y x b =-+6122b -=-⨯+1012(2)b =-⨯-+18b =14-32π3【解析】设球的半径为，则，解得．设球的内接圆锥的底面圆的半径为，高为，则，即，所以该圆锥的体积，则，当时，当时，所以当时取得最大值，最大值为． 16．17．【答案】（1）；（2（3）．【解析】（1）；（2（318．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题可得，O R 34363R π=π3R =O r (0)h h >2223(3)h r =-+2(6)r h h =-2(6)33V r h h h h ππ==⋅-2(6)3h h π=-(4)V'h h =π-04h <<0V'>4h >0V'<4h =V 2324(64)33ππ⨯⨯-=4cos 4sin 4co )s (x x f 'x x x =-+--()f 'x =221ln x x x-+cos 14(1sin )(4)4cos 4()()sin 4cos x x x x x x x x f '=-++⨯-=-+--32212188()f x x x x =-++16y =266(16())x x a f x a '=-++因为函数在处取得极值，所以，解得，所以．（2）因为，所以点在曲线上，由（1）可知，所以，故所求切线方程为．19．【答案】（1）；（2）见解析．（2，令，①当时，，所以函数在上单调递减； ②当时，二次函数的图象开口向下，对称轴方程为，且，所以当时，，即，所以函数在上单调递减； ③当时，二次函数的图象开口向上，对称轴方程为，且，其图象与所以当时，，即；()f x 3x =3696(160())3f a 'a =⨯-+⨯+=3a =32212188()f x x x x =-++121218()816f =-++=A ()f x 22(8)641f x 'x x =-+1641)80(2f '=-+=16y =240x y +-=2(2)g x ax ax =+-0a =n (4)l f x x =-()f x (0)+∞，0a <()g x 12x =-2(0)0g =-<0x >()0g x <0()f 'x <()f x (0)+∞，0a >()g x 12x =-2(0)0g =-<x 02a x a-<<()0g x <0()f 'x <当时，，即，所以函数在综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在20．【答案】（1）见解析；（2（2）由题可知对任意的，不等式恒成立，即对任意的，则原问题等价于，．上单调递减，，， 2a x a-+>()0g x >0()f 'x >()f x 0a ≤()f x (0)+∞，0a >()f x [1,2]x ∈e e x x a x --≥[1,2]x ∈max ()a g x ≥[1,2]x ∈[1,2][1,2]x ∈则当所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以函数在21．【答案】（1）；（2），此时的“点”为．【解析】（1）由题可得，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，即，故实数的取值范围为．22．【答案】（1）见解析；（2）存在，实数的取值范围为．[1,2]x ∈()h x [1,2]()g x [1,2]()g x [1,2]a 3(,]4-∞(0,)+∞U a 2221()1a x x ag x x x x+-'=-+=)(x g 1[,)2+∞()0g x '≥1[,)2+∞20x x a +-≥1[,)2+∞211()022a +-≥43≤a a 3(,]4-∞a (0,2)【解析】（1）由题可得，函数的定义域为，． ①当时，，所以函数在上单调递增． ②当时，令，即，即，．当，即时，，故，所以函数在上单调递增．当，即时，方程的两个实根分别为，．若，则，，此时，所以函数在上单调递增；若，则，，此时当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．()f x (0,)+∞21(1)1ax x x a f x x'x ---+=-=0a =1()0f x 'xx+=>()f x (0,)+∞0a ≠0()f 'x =210ax x x--=210ax x --=14a ∆=+0∆≤14a ≤-210ax x --≤0()f 'x ≥()f x (0,)+∞0∆>14a >-210ax x --=1x=2x =104a -<<10x <20x <0()f 'x >()f x (0,)+∞0a >10x <20x >2()0,x x ∈0()f 'x >2(),x x ∈+∞0()f 'x <()fx 1(0,2a +12)(a+∞0a ≤()f x (0,)+∞0a >()fx)+∞一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．用数学归纳法证明等式，验证时，左边应取的项是A ．B ．C ．D ．2．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中 A ．大前提错误B ．小前提错误*()()(341233)()2n n n n +++++++=∈N 1n =112+123++1234+++C ．推理形式错误D ．结论错误3．下列推理是演绎推理的是A ．M ，N 是平面内两定点，动点P 满足|PM |＋|PN |＝2a ＞|MN |，得点P 的轨迹是椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝2n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列前n 项和S n 的表达式C ．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 4）所用的最适合的方法是A ．综合法B ．分析法C ．间接证法D ．合情推理法5．已知圆的面积为，由此推理椭圆的面积最有可能是A ．B ．C ．D ．6．用数学归纳法证明“”,则当时,应当在时对应的等式的两边加上A ．B ．C ．D ．7．若数列是等差数列,,则数列也为等差数列,类比这一性质可知,若正项数列是等比数列,且也是等比数列,则的表达式应为A ．B ．C ．D ．12<2a ≥()x y r r 222+=>0πS r 2=⋅()x y a b a b2222+=1>>0πa 2⋅πb 2⋅πab ⋅π()ab 2633*123,2n n n n +++++=∈N 1n k =+n k =333(1)(2)(1)k k k ++++++31k +3(1)k +63(1)(1)2k k +++{}n a 12nn a a a b n+++={}n b {}n c {}n d n d 12nn c c c d n+++=12·nn c c c d n=n d =n d8．实数，，满足，，则的值A．一定是正数B．一定是负数C．可能是0 D．正、负不确定9．观察式子：，，，…，可归纳出式子为A．B．C．D．10．甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖.甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则A．甲和乙不可能同时获奖B．丙和丁不可能同时获奖C．乙和丁不可能同时获奖D．丁和甲不可能同时获奖11．对于数25，规定第1次操作为，第2次操作为，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是A．25 B．250C．55 D．13312．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为A．2097 B．1553C．1517 D．2111二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．用反证法证明命题“若可被5整除，则中至少有一个能被5整除”，反设的内容是a b c0a b c++=0abc>111a b c++213122+<221151233++<222111712344+++<2221111123n n++++<222111112321n n++++<+22211121123nn n-++++<222111212321nn n++++<+3325133+=3313+3355+=,,a b ab∈N,a b_____________.14．已知（1）正方形的对角线相等；（2）平行四边形的对角线相等；（3）正方形是平行四边形．由（1）、（2）、（3）组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是_____________. 15．我们知道,在边长为,类比上述结论,在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值__________.16．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________________． 17．观察以下等式：，，，，，……可以推测________________(用含有的式子表示，其中为自然数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知，且求证：中至少有一个是负数.19．已知命题：平面上一矩形ABCD 的对角线AC 与边AB 、AD 所成的角分别为，（如图），则a a 11=311=123+=33129+=1236++=33312336++=123410+++=33331234100+++=1234515++++=3333312345225++++=3333123n ++++=n n αβ．用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明．20．证明下列不等式：（1）当时，求证：；（2）设，，若，求证：.21．观察下表：1， 2，3 4，5，6，78，9，10，11，12，13，14，15，……问：（1）此表第行的最后一个数是多少？（2）此表第行的各个数之和是多少？（3）2017是第几行的第几个数？1cos cos 22=+βα2a>0>0a >0b >0a b ab +-=4a b +≥n n22．已知称为x ，y 的二维平方平均数，称为x ，y 的二维算术平均数，为x ，y 的二维几何平均数，称为x ，y 的二维调和平均数，其中x ，y 均为正数．（1）试判断与的大小，并证明你的猜想；（2）令，，试判断M 与N 的大小，并证明你的猜想；（3）令，，，试判断M 、N 、P 三者之间的大小关系，并证明你的猜想．23．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).（1）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：.2Q =22x y A +=2G =2211H x y=+2G 2H 22M A G =-22N G H =-22M A G =-22N G H =-22P Q A =-1122111512n n a b a b a b +++<+++参考答案1．【答案】D【解析】等式左边的数是从加到，当时，，故此时左边的数为从加到．故选D．2．【答案】A【解析】大前提，“菱形的对角线相等”，小前提，正方形是菱形，结论，所以正方形的对角线相等，大前提是错误的，因为菱形的对角线垂直平分，不一定相等．故推理中错误的是大前提，故选A．3．【答案】A【解析】B，C是归纳推理，D是类比推理，只有A是利用椭圆的定义作为大前提的演绎推理．故选A．4．【答案】B5．【答案】C【解析】把圆看作一种特殊的圆锥曲线，它的长半轴为r，短半轴为r，，椭圆的长半轴为a，短半轴为b，则．故选C．6．【答案】A【解析】由题可得,当时,左边为,所以在时，对应的等式的两边加上.故选A．7．【答案】D【解析】类比所给性质可知，若正项数列是等比数列，且也是等比数列，则的表达式应为.选D．8．【答案】B 13n+1n=34n+=14πS r2=⋅πS ab=⋅9．【答案】C【解析】观察式子：，，，…，可归纳出，分母就是求和的项数，分子就是2乘以项数减去1，则得到的表达式为．故选C ． 10．【答案】C【解析】若甲、乙、丙同时获奖，则甲、丙的话错，乙、丁的话对，符合题意；若甲、乙、丁同时获奖，则乙的话错，甲、丙、丁的话对，不合题意；若甲、丙、丁同时获奖，则丙、丁的话错，甲、乙的话对，符合题意；若丙、乙、丁同时获奖，则甲、乙、丙的话错，丁的话对，不合题意. 因此乙和丁不可能同时获奖，选C ． 11．【答案】D【解析】第1次操作为，第2次操作为，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133，…，∴操作结果以3为周期，循环出现．∵2017=3×672+1，∴第2017次操作后得到的数与第1次操作后得到的数相同，∴第2017次操作后得到的数是133，故选D ． 12．【答案】C【解析】根据题图所示的规则排列，设最上层的一个数为a ，则第二层的三个数为a +7，a +8，a +9，第三层的五个数为a +14，a +15，a +16，a +17，a +18，这9个数之和为a +3a +24+5a +80=9a +104．由9a +104=1517，得a =157，是自然数．故选C ． 13．【答案】都不能被5整除【解析】反设的内容是“中至少有一个能被5整除”的反面，即中没有一个能被5整除，即都不能被5整除.14．【答案】正方形的对角线相等【解析】由演绎推理三段论可得，“平行四边形的对角线相等”是大前提，213122+<221151233++<222111712344+++<22211121123n n n-++++<3325133+=33313355++=,a b ,a b ,a b ,a b“正方形是平行四边形”是小前提，则结论为“正方形的对角线相等”，所以答案是：正方形的对角线相等.15．【答案】16．【答案】甲【解析】若负主要责任的是甲，则甲乙丙都在说假话，只有丁说真话，符合题意．若负主要责任的是乙，则甲丙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丙，则乙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丁，则甲乙丙丁都在说假话，不合题意．故填甲．17．【答案】22 (1)4n n18．【解析】假设都是非负数，因为，所以，又，所以，这与已知矛盾.所以中至少有一个是负数.19．【解析】命题：长方体中(如图)，对角线与棱、、所成的角分别为，则．证明：∵，，，∴．20．【解析】（1）要证，，只要证，D CB A ABCD ''''-C A 'AB AD A A 'γβα,,1cos cos cos 222=++γβαC A AB '=αcos C A AD '=βcos C A A A ''=γcos 1cos cos cos 222222222=''=''++=++C A C A C A A A AD AB γβα0><(22<只要证，，由于，只要证，最后一个不等式显然成立，.（2）因为，，，所以，，当且仅当，即时，等号成立，所以.22．【解析】（1）．证明如下：欲证，即证，即证24a a +<a <2a >224a a -<<0a b ab +-=0a >0b >111a b+=()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭11b a a b =+++24≥+=b aa b=a b =4a b +≥22G H ≥22G H ≥2xyx y+1≥x y +≥上式显然成立，所以．（2）．首先证明：欲证，即证，即证，即证，即证，即证，上式显然成立，等号成立的条件是，故．再证：欲证，当时，上式显然成立，当时，即证，而此式子在证明已经成功证明，所以原命题成立．22G H ≥M P N ≥≥M P ≥M P≥x y +≥222222x y x y xy xy +++≥+2()2x y +422()8()x y xy x y +≥+4()0x y -≥x y =M P ≥P N ≥P N ≥x y =x y ≠x y +≥M P ≥（2）当n ＝1时，.当n ≥2时，由（1）知， a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .所以，所以. 综上所述，对任意n ∈N *，成立.111121n n a b n n ⎛⎫<- ⎪++⎝⎭11221111111111111111622334162216n n a b a b a b n n n ⎛⎫⎛⎫+++<+-+-+⋯+-=+-< ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭15412+=1122111512n n a b a b a b +++<+++第三章数系的扩充与复数的引入章末检测一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知为虚数单位，若复数，则复数的实部是 A ． B ． C ．D ．2．设A ．B CD ．3．已知为虚数单位，若复数，则复数的虚部为 A ． B ． C ．D ．4．已知为虚数单位，则复数A ．B ．C ．D ．5．已知为虚数单位，若，则实数 A ．B ．C ．D ．6．已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为 A ． B ． C ．D ．7．已知复数，为虚数单位，则下列说法正确的是 A ．B ．的虚部为i (2i)(1i)z =-+z 311-3-i 12i 21iz =-+z 11-i -i i 2(1i)i-=22i -+22-22i -i (1i)(i)3i a +-=+a =22-33-i (1i)1i z -=+z i i -2i 2i -21iz =-+i ||2z =z i -C ．对应的点位于复平面的第三象限D ．8的共轭复数，在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限9．已知是复数的共轭复数，其中是虚数单位，则 A ．B ．C ．D ．10．已知复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，若，其中为虚数单位，则复数的虚部为 A ． B ．C ．D ．11．已知为虚数单位，现有下列四个命题：：若复数满足，则；：复数的共轭复数为；：已知复数，若，则；：若表示复数的共轭复数，表示复数的模，则．其中是真命题为 A ． B ． C ．D ．12．已知，且，其中为虚数单位，若复数满足，则的z 2z z ⋅=z iz z 20181i ()1iz +=-i z z ⋅=201812201812-11-1z 2z 2320181(2i)i i i i z -⋅=++++i 2z 15-1535-1i 5-i 1p z (i)(i)5z --=6i z =2p 21iz =+1i -3p 1i z =+1ii (,)a b a b z-+=∈R 2a b +=-4p z z ||z z 2||z z z ⋅=13,p p 14,p p 23,p p 24,p p ,a b ∈R 201912i23i ib a --=+i z |(i)|z a b -+=||z最大值为 AB．C ．D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．若实数，满足，为虚数单位，则________________． 14．设为虚数单位，，若复数是纯虚数，则实数________________． 15．已知________________．16的共轭复数，为虚数单位，若，则在复平面内复数对应的点为________________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知复数，，其中为虚数单位，若为实数，求实数的值．18．已知为虚数单位．（1）若复数，求；（2）若复数z 满足，求．x y 3(23)i 5i x y x y -++=+i 2x y -=i a ∈R 2i1ia +-a =i z i 2(1i)12i z -⋅=+z 132i z =-21i()z a a =+∈R i 12z z ⋅a i 12i34iz -=+||z i(4)32i z -=+z19．若复数满足，20．已知复数，，其中为虚数单位．（1）若复数在复平面内对应的点分别为，，求向量对应的复数；（2）若复数满足，求复数．z ||2z =i 1510i z =+234i z =-i 12,z z A B BA z 12111z z z =+z21．已知是复数，与均为实数，其中为虚数单位．（1）求复数；（2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求实数的取值范围．22．已知复数，，其中，为虚数单位，且是实数．（1）求实数的值；（2）求复数及的模．参考答案1．【答案】A【解析】由题可得，则复数的实部为．故选A ．z 2i z +2iz-i z 2(i)z a +a 213(10)i z a a -=+22(25)i 1z a a=+--0a >i 12z z +a 12z z 12z z (2i)(1i)3i z =-+=+z 32．【答案】A，故选A ．（或）5．【答案】A【解析】由题可得，则，解得，故选A ．6．【答案】B的共轭复数为，故选B ．7．【答案】D的虚部为，对应的点位D ． 8．【答案】B【解析】其对应的点为，位于第二象限，故选B ． 9．【答案】C【解析】由题可得，故，．故选C ．10．【答案】A【解析】因为，所以，||1z =|1i |||1|1i |z -===+(1i)(i)1(1)i 3i a a a +-=++-=+1311a a +=⎧⎨-=⎩2a =z i -||z =z 1-z 211,(5)5-22018201820181i (1i)()[]i 11i 2z ++====--1z =-1z z ⋅=234i i i i i 1i 10+++=--+=2320182017201812i i i i i 1i i i i +++=+=+=-++所以，所以，因为复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，所以，所以复数的虚部为．故选A ．12．【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以，解得，所以表示的点在以所以．故选C ．13．【答案】【解析】因为实数，满足，所以，解得，所以．14．【答案】【解析】，若复数是纯虚数，则，即． 15．【答案】1(2i)1i z -⋅=-+11i 31i 2i 55z -+==-+-1z 2z 231i 55z =--2z 15-2019450433i i i i ⨯+===-201912i23i23i ib a --=+=+12i (23i)(i)232)3(i b a a a -=++=-++231322a a b -=⎧⎨+=-⎩24a b =⎧⎨=-⎩|(i)||(24i)|z a b z -+=--=z (2,4)-||z =4x y 3(23)i 5i x y x y -++=+35231x y x y -=⎧⎨+=⎩21x y =⎧⎨=-⎩2x y -4=12i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)a a a ++=+=-+--+2i1ia +-10a -=1a =2i 556-+16．【答案】【解析】因为复数满足，所以，，故在复平面内复数对应的点为．17．【答案】．【解析】因为复数，，所以，因为为实数，所以，解得． 18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题可得，所以．（2）由题可得，所以．1(1,)2--z 2(1i)12i z -⋅=+2212i 12i (12i)i 2i (1i)2i 2i 2z +++-+=====---11i 2-+11i 2z =--z 1(1,)2--23a =132i z =-21i()z a a =+∈R 212(32i)(1i)33i 2i 2i z z a a a ⋅-+=+-=-=(32)(32)i a a ++-12z z ⋅320a -=23a=563i +12i (12i)(34i)12i 34i (34i)(34i)55z ---==-=-++-||z ==32i43i 2463i iz +=+=-++=-63i z =+20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为复数，，所以复数在复平面内对应的点分别为，，所以，所以向量对应的复数为．（2）因为复数满足，即，所以复数．21．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设，则，，因为与均为实数，所以，且，解得，，所以复数．22．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）因为，所以，214i +55i 2-1510i z =+234i z =-12,z z (5,10)A (3,4)B -(5,10)(3,4)(2,14)BA =--=BA 214i +z 12111z z z =+121212111z zz z z z z +=+=1212(510i)(34i)55i (510i)(34i)2z z z z z +-===-+++-42i -(2,6)i(,)z x y x y =+∈R 2i (2)i z x y +=++i 22i 2i 2i 55z x y x y x y+-+==+--2i z +2i z -20y +=205x y+=4x =2y =-42i z =-3a =12i z z =-12||1zz =213(10)i z a a+-=213(10)i z a a -=+所以，因为是实数，所以，解得或．因为，所以．（2）由（1）可知，，所以，所以．2212323()[(10)(25)]i (215)i 1(1)az z a a a a a a a a -+++-+-=++--=-12z z +22150a a +-=5a =-3a =0a >3a =11i z =+21i z =-+121i (1i)(1i)2i i 1i (1i)(1i)2z z ++---====--+-+--12|||i |1z z =-=。

数学选修2-2 2-3复习题(一)

2-2 2-3综合试题（一）一．选择题（10小题，每小题5分，共50分）1．一个物体的位移s (米)和与时间t (秒)的关系为242s t t =-+，则该物体在4秒末的瞬时速度是（）A ．12米/秒B ．8米/秒C ．6米/秒D ．8米/秒2．用反证法证明命题 “自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时，需假设原命题不成立，下列正确的是（）A 、a 、b 、c 都是奇数B 、a 、b 、c 都是偶数C 、a 、b 、c 中或都是奇数或至少有两个偶数D 、a 、b 、c 中至少有两个偶数 3. 测得四组),(y x 的值)2,1()3,2()4,3()5,4(则y 与x 之间的回归直线方程为（）（A ）1+=x y （B ）2+=x y （C ） 12+=x y （D ） 1-=x y4．将一个各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰好有2面涂有颜色的概率是（） A ．916B ．2764 C ．38 D ．11325．下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A ．角度和它的正弦值B ．正方形边长和面积C ．正n 边形边数和顶点角度之和D ．人的年龄和身高 6．下面几种推理中是演绎推理．．．．的为（）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B ．猜想数列111,,,122334⋅⋅⋅⨯⨯⨯的通项公式为1(1)n a n n =+()n N +∈；C ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=7．从6名学生中，选出4人分别从事A 、B 、C 、D 四项不同的工作，若其中，甲、乙两人不能从事工作A ，则不同的选派方案共有（）A ．96种B ．180种C ．240种D ．280种8.若X 是离散型随机变量，()()1221,33P X x P X x ====，且12x x <，又已知49EX =，2DX =，则12x x +=（）（A ）53 或1 （B ）59 （C ）179 （D ）1399.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2y x =和曲线y =围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）1610.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和(如图2所示).那么对于图中给定的01t t 和,下列判断中一定正确的是( ) A.在1t 时刻,甲车在乙车前面 B.1t 时刻后,甲车在乙车后面 C.在0t 时刻,两车的位置相同 D.0t 时刻后,乙车在甲车前面二．填空题（5小题，每小题5分，共25分） 11. 复数ii i )1)(1(+-在复平面中所对应的点到原点的距离是_______;____________________12．设随机变量X～N （2，4），则D （21X ）的值等于。

人教A版选修2-2高二理科数学2-2期末复习题.docx

高二理科数学2-2期末复习题姓名：一、选择题1、设i 为虚数单位,则复数56i i-=( ) A.65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i --2、下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．ln(2)y x =+ B ．1y x =-+ C ．1()2x y = D ．1y x x=+5、用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N L 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（）A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++6、用反证法证明命题：“,,,a b c d R ∈,1a b +=,1c d +=,且1ac bd +>,则,,,a b c d 中至少有一个负数”时的假设为( )A ．,,,a b c d 中至少有一个正数B ．,,,a b c d 全为正数C ．,,,a b c d 全都大于等于0D ．,,,a b c d 中至多有一个负数7、已知数列，　，　，　，　Λ112252则52是这个数列的（）A ．第6 项B ．第7项C ．第19项D ．第11项8、已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V 甲和V 已（如图所示）．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是（）A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面9.函数21()ln 2f x x x =-的图像大致是（） A B C D 10、正整数按下表的规律排列则上起第2005行，左起第2006列的数应为（）Ａ．22005 Ｂ．22006 Ｃ．20052006+ Ｄ．20052006⨯二、填空题11、函数f （x ）=x 3﹣3x 2+1在x= _________ 处取得极小值．12、若'0()3f x =-，则000()(3)lim h f x h f x h h→+--= 13、黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖________________块.14、在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边AB 、AC 互相垂直，则222BC AC AB =+。

人教新课标版数学高二选修2-2课时卷2.3数学归纳法

课时提升卷(十九)数学归纳法（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=(n∈N*,a≠1),在验证n=1时,左边所得的项为( )A.1B.1+a+a2C.1+aD.1+a+a2+a32.(2012·临沂高二检测)在用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·2·3·…·(2n-1)(n∈N*)时,从k到k+1,左端需要增加的代数式是( )A.2k+1B.2(2k+1)C. D.3.(2013·洋浦高二检测)已知f(n)=++++…+,则 ( )A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=1+++C.f(n)中共有n2-n+2项,当n=2时,f(2)=1+++D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=1+++4.(2013·咸宁高二检测)已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n=1,2,…,1 000时,P(k)成立,且当n=1 000+1时它也成立,下列判断中,正确的是( )A.P(k)对k=2 013成立B.P(k)对每一个自然数k成立C.P(k)对每一个正偶数k成立D.P(k)对某些偶数可能不成立5.对于不等式<n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥1)时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时,=<==(k+1) +1,所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2)可知,对任何n∈N*,<n+1都成立.则上述证法( )A.过程全部正确B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确二、填空题(每小题8分,共24分)6.用数学归纳法证明1++++…+≥时,从“n=k”到“n=k+1”左边要增添的代数式是.7.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*成立,那么a= ,b= ,c= .8.(2013·无锡高二检测)已知一个关于正整数n的命题P(n)满足“若n=k(k∈N*)时命题P(n)成立,则n=k+1时命题P(n)也成立”.有下列判断:(1)当n=2 013时命题P(n)不成立,则n≥2 013时命题P(n)不成立.(2)当n=2 013时命题P(n)不成立,则n=1时命题P(n)不成立.(3)当n=2 013时命题P(n)成立,则n≥2 013时命题P(n)成立.(4)当n=2 013时命题P(n)成立,则n=1时命题P(n)成立.其中正确判断的序号是.(写出所有正确判断的序号)三、解答题(9～10题各14分,11题18分)9.已知n∈N*,求证:1·22-2·32+…+(2n-1)·(2n)2-2n·(2n+1)2=-n(n+1)(4n+3).10.(2013·衡水高二检测)试比较2n+2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.11.(能力挑战题)设数列{a n}的前n项和为S n,且对任意n∈N*都有:(S n-1)2=a n S n.(1)求S1,S2,S3.(2)猜想S n的表达式并证明.答案解析1.【解析】选B.因为当n=1时,此时式子的左边=1+a+a2.故应选B.2.【解析】选 B.当n=k+1时,左端=(k+1)(k+2)…(k+k)(k+k+1)(k+1+k+1),所以左端增加的代数式为(k+k+1)(k+1+k+1)=2(2k+1),故选B.3.【解析】选C.由条件可知,f(n)共有项数为n2-(n-1)+1=n2-n+2项,且n=2时,f(2)=+++.故选C.4.【解析】选D.由已知中命题P(k),这里k=2n(n∈N*),当n=1,2,…,1 000时, P(k)成立,并且当n=1 000+1时它也成立,可得P(k)对于1～2 002内的偶数均成立,而对于其他数不一定成立,据此判断四个答案的真假即可.5.【解题指南】从数学归纳法的步骤进行分析.【解析】选D.n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故应选D.6.【解析】当n=k+1时,左边=1++++…++++…+, 故需添的项为:++…+.答案:++…+【误区警示】本题容易出现增加这一项的错误.【变式备选】用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”时,第一步的验证为.【解析】当n=1时,左边≥右边,不等式成立.因为n∈N*,所以第一步的验证为n=1的情形.答案:当n=1时,左边=4,右边=4,左≥右,不等式成立7.【解题指南】利用n=1,2,3时,分别建立三个等式,通过解方程组可求得.【解析】把n=1,2,3代入1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c,可得整理并解得答案:【变式备选】设a n=1+++…+(n∈N*),猜想关于n的整式g(n)= 时,使得等式a1+a2+…+a n-1=g(n)(a n-1)对于大于1的一切自然数n 都成立.【解析】假设g(n)存在,探索g(n).当n=2时,有a1=g(2)(a2-1),即1=g(2)(1+-1),解得g(2)=2.当n=3时,有a1+a2=g(3)(a3-1),即1+1+=g(3)(1++-1),解得g(3)=3.当n=4时,同样可解得g(4)=4.由此猜想g(n)=n(n∈N*,且n≥2).答案:n8.【解析】关于正整数n的命题P(n)满足“若n=k(k∈N*)时命题P(n)成立,则n=k+1时命题P(n)也成立”,所以当n=2 013时命题P(n)成立,则n≥2 013时命题P(n)成立,n<2 013时,P(n)不一定成立;当n=2 013时命题P(n)不成立,则n≥2 013时命题P(n)不一定成立,n=2 012时命题P(n)不成立,n=2 011时命题P(n)不成立,…,n=1时命题P(n)不成立,故正确的命题有(2)(3).答案:(2)(3)9.【证明】①当n=1时,左边=4-18=-14=(-1)×2×7=右边.②假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,等式成立,即1·22-2·32+…+(2k-1)·(2k)2-2k·(2k+1)2=-k(k+1)(4k+3).当n=k+1时,1·22-2·32+…+(2k-1)·(2k)2-2k·(2k+1)2+(2k+1)·(2k+2)2-(2k+2)·(2k+3)2=-k(k+1)(4k+3)+(2k+2)[(2k+1)(2k+2)-(2k+3)2]=-k(k+1)(4k+3)+2(k+1)(-6k-7)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3],即当n=k+1时成立.综上所述,对一切n∈N*,等式成立.【拓展提升】证明恒等式成立的问题①验证是基础,找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1.②递推是关键,正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化,关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.③利用假设是核心,在第二步证明中一定要利用归纳假设,这是数学归纳法证明的核心,否则这样的证明就不是数学归纳法的证明.10.【解题指南】首先选用特值找到2n+2与n2的大小关系,然后作出猜想,再用数学归纳法证明猜想的结论.【解析】当n=1时,21+2=4>n2=1,当n=2时,22+2=6>n2=4,当n=3时,23+2=10>n2=9,当n=4时,24+2=18>n2=16,由此可以猜想,2n+2>n2(n∈N*)成立.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,左边=21+2=4,右边=1,所以左边>右边,所以原不等式成立.当n=2时,左边=22+2=6,右边=22=4,所以左边>右边;当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,所以左边>右边.不等式成立.(2)假设当n=k(k≥3,且k∈N*)时,不等式成立, 即2k+2>k2,那么当n=k+1时,2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2.又因:2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,即2k2-2≥(k+1)2,故2k+1+2>(k+1)2成立.原不等式成立.根据(1)和(2)知,原不等式对于任何n∈N*都成立.11.【解析】(1)(S n-1)2=(S n-S n-1)S n,所以S n=.又(S 1-1)2=,所以S1=,S2=,S3=.(2)猜想S n=.下面用数学归纳法证明:①当n=1时,S 1=,=,猜想正确;②假设当n=k时,猜想正确,即S k=,那么,n=k+1时,由S k+1===,猜想也成立, 综上知,S n=对任意n∈N*均成立.。

人教版高中数学选修2-2课后习题参考答案

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答第一章导数及其应用 3．1变化率与导数练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆.所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=.因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第 5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=；（2）2x y e '=；（3）4106y x x '=-；（4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin33x y '=-；（6）y '=习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=. 2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=4、（1）213ln 2y x x '=+；（2）1n x n x y nx e x e -'=+；（3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=；（4）9899(1)y x '=+；（5）2x y e -'=-；（6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+；（2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增；当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增；当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增；当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+.（1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，注：图象形状不唯一.其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-. （3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22 （4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2 练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈. 因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>.因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减. 3、（1）图略. （2）加速度等于0. 4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值；（2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值；（4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值. 5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-. （4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128. 6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16；当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略 2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<. 令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2Vh R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>. 因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点. 此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，（第3题）可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2x m ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x a l x x x x x πππ=++-=++，0x <<令22()104a l x x π'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.m 时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<. 令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b-=-+⨯=--，54b a x <<.令845()0c ac bcL x x b b+'=-+=，解得458a b x +=.当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n =-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）；距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式 11()nni i i b af x b a n ξ==-∆==-∑∑，从而 11lim nban i b adx b a n →∞=-==-∑⎰，说明：进一步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此4π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx-⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）（3）49.81tdt ⎰； 49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n -，记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作： 12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l i l n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n-上质量2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm nξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..1．6微积分基本定理练习（P55）（1）50；（2）503；（353-；（4）24；（5）3ln 22-；（6）12；（7）0；（8）2-.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55）1、（1）403；（2）13ln 22--；（3）9ln 3ln 22+-；（4）176-；（5）2318π+；（6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝221011[]222x e e =-；（2）原式＝4611[sin 2]22x ππ=；（3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =. 2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=-=---=⎰；（2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰；（3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx mπππππππ----==-=⎰⎰；（4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰. 3、（1）0.202220()(1)[]49245245t kt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k ----=-=+=+-=+-⎰.（2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围. 根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<，因此，500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t ≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用练习（P58）（1）323；（2）1.说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59）1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、42403(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）. 习题1.7 A 组（P60）1、（1）2；（2）92.2、2[]b b a a q q q qW k dr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 42400(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）.4、设t s 后两物体相遇，则 20(31)105t tt dt tdt +=+⎰⎰，解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇.此时，物体A 离出发地的距离为 523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B 组（P60） 1、（1）a -⎰表示圆222x y a +=与x轴所围成的上半圆的面积，因此22aa π-=⎰（2）1]x dx ⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，21111]114242x dx ππ⨯=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24ha b =.从而抛物线的方程为 224hy x b =.于是，抛物线拱的面积232202204422()2[]33b bh h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰. 3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章复习参考题A 组（P65）1、（1）3；（2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x xy x+'=；（2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-；（3）22ln ln 2x xy x x '=+；（4）2422(21)x x y x -'=+. 3、32GMm F r '=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；（第2题）当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+，所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--，即1()1y x a a =--. 当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -. 因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--. 令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2.9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=. 所以，415x =-（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x=--，5.0898.38x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2；（2）22e -；（3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰；（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰. 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ）第一章复习参考题B 组（P66）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t <<+时，()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得h R =.容易知道，h R =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当3h R =时，容积最大.把3h R =代入222r h R +=，得3r R =.由2R r απ=，得α=.所以，圆心角为α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x -=，24x ≈.容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点. 当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时）所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元）容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.6、原式＝4404422022[]2xx x x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰.7、解方程组 2y kx y x x=⎧⎨=-⎩得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰.由题设得 11200()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰ 31221001()[]23kkk x x x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是1k =说明：本题也可以由面积相等直接得到111220()()kk k x x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O PQ R -的体积，则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81） 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nn a cq q a cq ++==； ……………………………小前提所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论3、由AD BD >，得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中.习题2.1 A 组（P83）1、21n a n =+()n N *∈.2、2F V E +=+.3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)n n A A A n π++≥-（2n >，且n N *∈）. 5、121217n n bb b bb b -=（17n <，且n N *∈）.6、如图，作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形ABED 是平行四边形.（第6题）因为平行四边形的对边相等.又因为四边形ABED 是平行四边形. 所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△DEC 是等腰三角形, 所以DEC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为DEC ∠与B ∠是平行线AB 和DE 的同位角, 所以DEC B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，又因为DEC C ∠=∠，DEC B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P84）1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证.2>22>，即证1313+>+>只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==，又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===，从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2=所以22=，化简得5=225=，即2540=，这是不可能的. 所以，假设不成立..说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟bx a=.假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则 1ax b = ①2ax b = ②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立. 2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B AB +=-. ① 假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A BA B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠.①式变形得tan tan 11tan tan A BA B +=-，即tan()1A B +=. 又因为0A B π<+<，所以4A B π+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.3、因为1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=. 另一方面，要证 3sin 24cos 2αα=-，只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=-- 即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=，即证 (2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证. 说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b a c=+. 假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是ABC ∆的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边），从而11112a c b b b +>+=. 这与211b a c=+矛盾. 所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2s s b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b a c <+. 由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ② 要证2a cx y+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy += 由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++，所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++即证 3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，这就是①式.所以，命题成立.说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用. 2．3数学归纳法练习（P95）1、先证明：首项是1a ，公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-. （1）当1n =时，左边＝1a ，右边＝11(11)a d a +-=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立. （2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)k a a k d =+-. 那么，11(1)[(1)1]k k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=++-. 所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立.再证明：该数列的前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+. （1）当1n =时，左边＝11S a =，右边＝111(11)12a d a ⨯-⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立.（2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)2k k k S ka d -=+. 那么，1111(1)[(1)1]2k k k k k S S a ka d a k d ++-=+=++++- 1(1)(1)[1]2k k a k d -=+++1(1)(1)2k kk a d +=++所以，当1n k =+时，命题也成立. 根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立. 2、略.习题2.3 A 组（P96） 1、（1）略.（2）证明：①当1n =时，左边＝1，右边＝211=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立. ②假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k ++++-=.那么，22135(21)(21)(21)(1)k k k k k ++++-++=++=+.所以，当1n k =+时，等式也成立.根据①和②，可知等式对任何n N *∈都成立.。