浙江省2013届高三高考模拟冲刺数学理试卷(一)
2013年浙江省高考模拟冲刺(提优)测试一数学试题(文)含解析
浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学（文）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）22．（5分）如图，阴影部分（含边界）所表示的平面区域对应的约束条件是（）．．分析：由图解出两个边界直线对应的方程，由二元一次不等式与区域的对应关系从选项中选出正确选项．故区域对应的不等式组为．3．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．3B．6C．8D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图复原的几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：解：由题意三视图复原的几何体是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，上底边长为1，下底边长为2，高为2的梯形，棱柱的高为2，并且是直棱柱，所以棱柱的体积为：=6．故选B．点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键．4．（5分）已知a，b为实数，且ab≠0，则下列命题错误的是（）A．若a＞0，b＞0，则B．若，则a≥0，b≥0C．若a≠b，则D．若，则a≠b考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由基本不等式可得A正确；选项B，有意义可得ab不可能异号，结合可得ab不会同为负值；选项C，可举反例说明错误；选项D平方可得（a﹣b）2＞0，显然a≠b解答：解：选项A，由基本不等式可得：若a＞0，b＞0，则，故A正确；选项B，由有意义可得ab不可能异号，结合可得ab不会同为负值，故可得a≥0，b≥0，故正确；选项C，需满足a，b为正数才成立，比如举a=﹣1，b=2，显然满足a≠b，但后面的式子无意义，故错误；选项D，由平方可得（a﹣b）2＞0，显然可得a≠b，故正确．故选C点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及基本不等式的知识，属基础题．5．（5分）函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（x∈R）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．B．C．D．1考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．解：由图知，T=2×=π，，因为函数的图象经过（﹣）（﹣∵，所以=∴，所以6．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（），…，可得数列的前几项依次为﹣，…8．（5分）偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，若不等式f（ax﹣1）＜f（2+x2）恒成立，则实数a的取．D恒成立，得9．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率．．D平行的直线为与另一条渐近线联立解得M．|OM|=∴，解得．，则22x，同理可得g（x）=22x，在x∈（2013，+∞）是增函数，∴若a＞b＞2013，则，C选项正确，D错误．二、填空题11．（4分）已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，则f（﹣4）=﹣2．12．（4分）（2009•嘉定区二模）设i是虚数单位，则=1+i．解：∵==1+i∴=1+i13．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的a的值为﹣1．依此类推，a的值呈周期性变化：1，0，﹣1，1，0，﹣1，…第2012圈1 2013﹣1否故最终的输出结果为：﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查循环结构的程序框图，解决本题的关键是弄清开始和结束循环的条件．属于基础题．14．（4分）各项都是正数的等比数列{a n}中，首项a1=2，前3项和为14，则a4+a5+a6值为112．考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的公比，且各项都是正数，由首项a1=2，前3项和为14列式求出公比，则a4+a5+a6值可求．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=2，前3项和为14，得：，所以q2+q﹣6=0，解得：q=﹣3或q=2．因为等比数列的各项都是正数，所以q=2．则a4+a5+a6=．故答案为112．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，解答时注意公比是否有可能等于1，此题是基础题．15．（4分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和被3整数的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：所有的取法共有=10种，而2个数字和能被3整除的取法有4种，由此求得取出的小球标注的数字之和被3整数的概率．解答：解：所有的取法共有=10种，而2个数字和能被3整除的取法有（12）、（15）、（24）、（45）共4种，故取出的小球标注的数字之和被3整数的概率是=，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，其内切圆切AC与D点，O为圆心．若||=2||=2，则=﹣3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由两个向量垂直的性质可得=0，=0，再根据=（）•，结合条件运算求得结果．为圆心，||=2|可得| ||=1再由圆的切线性质可得显然＜，＞||=||+||=1+2=3∴（=17．（4分）直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为．角形得到M的横坐标，两数相等求出k的值，则直线l的方程可求．解：由，得联立所以．的横坐标为所以．解得：的方程为故答案为三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（14分）（2012•杭州一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC ﹣1．（1）求A；（2）若a=3，sin=，求b．．可求sin cos sinB=2sin cos可求2（cosBcosC+sinBsinC）﹣4sinBsinC=﹣1，即2（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1．从而2cos（B+C）=﹣1，得cos（B+C）=﹣．…4分，故．（2）由题意可得，0＜B＜π∴sin cos=sinB=2sin cos=由正弦定理可得，∴，19．（14分）已知数列{a n}满足：a1=20，a2=7，a n+2﹣a n=﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求a3，a4，并求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）记数列{a n}前2n项和为S2n，当S2n取最大值时，求n的值．∴a n=（II）s2n=a1+a2+…+a2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+…+a2n）==﹣2n2+29n结合二次函数的性质可知，当n=7时最大点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用及二次函数的性质的应用，体现了分类讨论思想的应用20．（14分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AD=1，AB=2，CD=3，F为AB中点，且EF∥AD．将梯形沿EF折起，使得平面ADEF⊥平面BCEF．（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；（Ⅱ）求CE与平面BCD所成角的正弦值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由题意可得DE⊥平面BCEF，进而可得BC⊥DE．结合BC⊥BE，由线面垂直的判定可得答案；（Ⅱ）过E点作取EH⊥BD于H，连结HC．可证∠ECH是CE与平面BCD所成的角．在三角形中有已知数据可得其正弦值．解答：证明：（Ⅰ）∵DE⊥EF，平面ADEF⊥平面BCEF，∴DE⊥平面BCEF，∴BC⊥DE．由F为AB中点，可得BC⊥BE，又∵DE∩BE=E，∴BC⊥平面BDE．（Ⅱ）过E点作取EH⊥BD于H，连结HC．∵BC⊥平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD，∴EH⊥平面BCD，∴∠ECH是CE与平面BCD所成的角．由，得，∴．∴CE与平面BCD所成角的正弦值为．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，属中档题．21．（15分）已知函数f（x）=e x（ax2+a+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣2，﹣1]上，恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．上，）由af+2ax+a+1）=e[a（x+1）+1]．∵a，∴f′（x）＞0恒成立，故f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递增，要使恒成立，则a．22．（15分）如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．（Ⅰ）F为抛物线C的焦点，若，求k的值；（Ⅱ）是否存在这样的k，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB，若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．，∴，则，=的取值范围为联立又Q、A、B三点在抛物线上，所以．同理由QA⊥QB得：，即．∴，即，解得，又﹣。
2013年浙江省高考理科数学试题(一模)
绝密★考试结束前2013学年第一学期高三年级第一次摸底考试试题数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页，满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U =R ，集合()37x A x f x x ⎧⎫-⎪⎪==⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}27100B x x x =-+<，则()A B =R ð（A ）()(),35,-∞+∞ （B ）()[),35,-∞+∞（C ）(][),35,-∞+∞（D ）(](),35,-∞+∞（2）已知i 为虚数单位，m ∈R ，21m iz i-⋅=+，z 是z 的共轭复数，若0z z +=，则m = （A ）1（B ）2（C ）1-（D ）2-（3）函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭向左平移6π个单位后得到一个奇函数，则函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 （A ）32-（B ）12-（C ）12（D ）32（4）已知,,a b c ∈R ，则“()4,5a bc+∈”是“236a b c ==”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，下列说法错误．．的是 （A ）若m n ，是两条异面直线，则直线m n ，夹角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦（B ）若面α//面β，面α 面m γ=，面β 面n γ=，则m //n（C ）若m 不垂直于面α，则m 不可能垂直于面α内的无数条直线（D ）若面α 面m β=，m //n ，且n ⊄面α，n ⊄面β，则n //面α，且n //面β（6）在约束条件0,024x y x y s x y ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的取值范围是（A ）[]6,15（B ）[]7,15（C ）[]6,8（D ）[]7,8（7）已知在ABC ∆中，1AB =，3AC =．若O 是该三角形内的一点，满足()0OA OB AB +⋅=，OB OC = ，则AO BC ⋅=（A ）52（B ）3（C ）4（D ）92（8）定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是它的导函数，且恒有()()'tan f x f x x <⋅成立，则 （A ）3243f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（B ）()12sin16f f π⎛⎫<⎪⎝⎭（C ）264f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D ）363f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（9）三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形，已知点A 是椭圆的一个短轴端点，如果以A 为直角顶点的椭圆内接等要直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率取值范围是（A ）20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（B ）26,23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（C ）2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（D ）6,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（10）在平面直角坐标系中，如果不同两点(),A a b ，(),B a b --都在函数()y h x =的图象上，那么称[],A B 为函数()h x 的一组“友好点”（[],A B 与[],B A 看成一组）．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]0,2x ∈时，()sin2f x x π=．则函数()(),08,80f x xg x x x <≤⎧⎪=⎨---≤<⎪⎩的“友好点”的组数为（A ）4（B ）5（C ）6（D ）7非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
浙江省绍兴一中2013届高三高考模拟数学理试卷 Word版含答案
121121绍兴一中2013年高考模拟考试卷数学（理科）试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式)()()(B P A P B A P +=+Sh V =如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， Sh V 31=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 k n k k n n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k Λ=球的表面积公式24R S π= 棱台的体积公式)(312211S S S S h V ++=球的体积公式343V R π=其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积， 其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高第I 卷（选择题部分，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（ ） A.－4 B.4 C.－1 D.1 2．当x>1时，不等式x+11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞,2]B ．[2,+∞)C ．[3,+∞)D ．(－∞,3]3．若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．10B ．20C ．30D ．1204．设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P （2，1）的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则AF BF +等于 （ ） A ．6 B ．8 C ．9D ．105．已知一几何体三视图如右， 则其体积为 （ ）A ．23B ．43C ．1D ．26．如图，是一程序框图，则输出结果为（ ）A ．511 B ．49 C ．37 D ．6137．如果在约束条件1020(01)0x y x y a ax y -+≥⎧⎪+-≤<<⎨⎪-≤⎩下，目标函数x ay +最大值是53，则a 等于（ ） A ．23 B ．13 C ．1123或 D ．128．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 A.30个 B.35个 C.20个 D.15个9．函数()f x 定义域为(1,1)-，且对定义域内的一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，又当0x >时，有()0f x <，若2(1)(1)0f a f a -+-<，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．（0，1） B.（0，2） C. (,0)(1,)-∞⋃+∞ D.（-2，1）10．将函数112y x =-+的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后得到函数()f x 的图象，数列{}n a 满足1()n n a f a -=（n≥2，n ∈N *），且135a =，则n a 的最大项等于（ ）A ．3B ．5C ．8D ．10第Ⅱ卷 （非选择题部分，共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
浙江省金华十校2013届高三模拟考试--数学理
浙江省金华十校 2013届高三模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分。
请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式24R S π=Sh V = 球的体积公式 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高343V R π=棱台的体积公式其中R 表示球的半径 )(312211S S S S h V ++=棱锥的体积公式其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积， Sh V 31=h 表示棱台的高其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的。
1．设全集U={1，2，3，4，5），集合A={1，2），B={2，3}，则A ()U C B =A ．{4，5）B ．{2，3）C ．{1）D ．{3}2．“a=2”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的 A ．充分不必要条件 B 必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设m,n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若m//,,,n m n αβαβ⊥⊥⊥则 B ．若m//,,,//n m n αβαβ⊥⊥则C ．若m//,,//,n m n αβαβ⊥⊥则D ．若m//,,//,//n m n αβαβ⊥则4．已知函数211()log ,(),()12x f x f a f a x -==-+若则= A ．2B ．—2C ．12D ．—125．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 A ．83B ．4C ． 2D ．436．从1，2，3，…9这9个整数中任意取3个不同的数作为二次函数2()f x ax bx c =++的系数，则满足(1)2f Z ∈的函数()f x 共有A ．263个B ．264个C ．265个D ．266个7．若数列{a n }的前n 项和为,n S 则下列命题正确的是A ．若数列{ a n ）是递增数列，则数列{S n }也是递增数列：B ．数列{S n }是递增数列的充要条件是数列{}n a 的各项均为正数；C ．若{}n a 是等差数列，则对于122,0k k k N S S S ≥∈⋅=且的充要条件是120k a a a ⋅=D ．若{}n a 是等比数列，则对于122,0k k k N S S S ≥∈⋅=且的充要条件是10.k k a a ++=8．设不等式组4,010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ．若圆C ：222(1)(1)(0)x y r r +++=>不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是 A．B．C．(0,(25,)+∞ D．(25,)+∞9．已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2两条渐近线相交M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是 AB ．2 CD10．在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=，P 为线段AB 上的点，且,||||C AC BC P x y x yC A C B =⋅+⋅则的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分。
浙江省2013届高三高考模拟冲刺数学理试卷(一)
浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学理试题选择题部分（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设=U R ，}0|{},1|{2≥=<=x x Q x x P ，则( P C =)Q UA ．}01|{<<-x xB ．}0|{<x xC ．}1|{-<x xD ．}10|{<<x x 2．如图，阴影部分（含边界）所表示的平面区域对应的约束条件是 A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥+-≥≤010200y x y x y x B ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤+-≥≤010200y x y x y xC ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≥+-≥≤010200y x y x y xD ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤+-≥≤010200y x y x y x3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．3B ．6C ．8D ．124．已知a ，b 为实数，且0≠⋅b a ，则下列命题错误．．的是 A ．若0>a ，0>b ，则ab b a ≥+2 B ．若ab ba ≥+2，则0>a ，0>b C ．若b a ≠，则ab b a >+2 D ．若ab b a >+2，则b a ≠ 5．函数)(x f =)sin(ϕω+x A ∈x (R )的图像如图所示，如果)3,6(,21ππ-∈x x ，且（第2题）)()(21x f x f = ，则=+)(21x x fA ． 1B ．23C ．22 D ．21 6．在正方体1111D C B A ABCD -中，M，N 分别1BC ，1CD 是的中点，则下列判断错误．．的是A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与11B A 平行7．已知等差数列}{n a 公差0>d ，前n 项和为n S ．则“02>a ”是“数列}{n S 为递增数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充也不必要条件8．偶函数)(x f 在),0[∞+上为增函数，若不等式)2()1(2x f ax f +<-对R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为A ．)2,32(-B ．)2,2(-C ．)32,32(-D ．)32,2(- 9．已知1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段21F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)2,3(D ．),2(∞+ 10．已知集合{}3,2,1,0==N M ，定义函数f ：N M →，且点))0(,0(f A ，))(,(i f i B ，))1(,1(++i f i C ，（其中2,1=i ）．若ABC ∆的内切圆圆心为I ，且∈=+λλ(,IB IC IA R )，则满足条件的函数有A ．10个B ．12个C ．18个D ．24个非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知)(x f 为奇函数，当0>x 时，x x f 2l o g )(=，则=-)4(f ______．12．已知i 是虚数单位，则=+ii12_______． 13．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的a 的值为_______． 14．各项都是正数的等比数列{}n a 中，首项21=a ，前3项和为14，则654a a a ++值为_____________．15．已知n xx )1(2+的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 的系数为_______________． 16．如图，Rt ABC ∆中， 90=∠C ，其内切圆切AC 边于D 点，O 为圆心．若2||2||==，则=⋅_____________．17．已知抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，准线与x 轴交于M 点，过M 点斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若||45||AF AM =， 则k 的值 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,对边，且1sin sin 4)cos(2-=-C B C B ． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若3=a ，312sin=B ，求b 的值． 19．（本题满分14分）一个口袋中有红球3个，白球4个．（Ⅰ）从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求恰好第2次中奖的概率；（Ⅱ）从中有放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X 的数学期望E (X )．20．（本题满分14分）如图，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且3,2,1===CD AB AD ，E 、F 分别为线段CD 、AB 上的点，且AD EF //．将梯形沿EF 折起，使得平面⊥ADEF 平面BCEF ，折后BD 与平面ADEF 所成角正切值为22． （Ⅰ）求证：⊥BC 平面BDE ；（Ⅱ）求平面BCEF 与平面ABD 所成二面角（锐角）的大小．21．（本题满分15分）已知圆O ：9422=+y x ，直线l ：m kx y +=与椭圆C ：1222=+y x相交于P 、Q两点，O 为原点．（Ⅰ）若直线l 过椭圆C 的左焦点，且与圆O 交于A 、B 两点，且 60=∠AOB ，求直线l 的方程；（Ⅱ）如图，若POQ ∆重心恰好在圆上，求m 的取值范围．22．（本题满分15分）已知)0()(>-=a e xx f ax．（Ⅰ）判断曲线)(x f y =在0=x 的切线能否与曲线x e y =相切？并说明理由； （Ⅱ）若]2,[a a x ∈求)(x f 的最大值； （Ⅲ）若)(0)()(2121x x x f x f <==，求证：ae x x <21．2013年浙江省高考模拟冲刺卷《提优卷》卷数学(理科一)答案。
2013年浙江高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题1．已知i 是虚数单位，则(1i)(2i)-+-= （ ） A ．3i -+ B. 13i -+ C. 33i -+ D.1i -+ 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】求两个复数相乘的结果 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】(-1+i)(2-i)=- 2+i+2i+1=-1+3i ，故选B.2．设集合2{|2},{|340}S x x T x x x =>-=+-…，则()S T =R ð （ ） A ．(2,1]- B.]4,(--∞ C.]1,(-∞ D.),1[+∞ 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】用描述法给出两个集合求补集的并. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】∵集合S ={x |x ＞-2}，∴S R ð={x |x …-2}，由2x +3x -4…0得：T={x |-4…x …1}，故(S R ð) T ={x |x …1}，故选C.3．已知y x ,为正实数，则 （ ）A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.lg()lg lg 222x y x y += C.lg lg lg lg 222x yx y =+ D.lg()lg lg 222xy x y = 【测量目标】指数幂运算.【考查方式】给出指数型的函数，化简函数. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】因为s ta+=s a ta ，lg(xy )=lg x +lg y (x ，y 为正实数)，所以()lg 2xy =lg +lg 2x y=lg 2xlg 2y ，满足上述两个公式，故选D.4．已知函数()cos()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ，则“)(x f 是奇函数”是π2ϕ=的（ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】三角函数的性质，三角函数的诱导公式.【考查方式】给出含参量的三角函数表达式，由函数是奇函数判断命题条件. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】若φ=π2，则f (x )=A cos(ωx +π2)⇒f (x )=-A sin(ωx )(A ＞0，ω＞0，x ∈R )是奇函数；若f (x )是奇函数⇒f (0)=0，∴f (0)=A cos(ω×0+φ)=A cos φ=0.∴φ=k π+π2，k ∈Z ，不一定有φ=π2，“f (x )是奇函数”是“φ=π2”必要不充分条件.故选B.5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 （ ）A.4=aB.5=aC. 6=aD.7=a第5题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图的输出值求输入的值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由已知可得该程序的功能是：计算并输出S =1+112⨯+…+1(1)a a +=1+1-11a +=2-11a +.若该程序运行后输出的值是95，则2-11a +=95.∴a =4，故选A.6．已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ，则=α2tan （ ） A.34 B. 43 C.43- D.34-【测量目标】二倍角，三角函数的诱导公式.【考查方式】给出正弦和余弦的方程求解二倍角的正切. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】∵sin α+2cos α，又2sin α+2cos α=1，联立解得sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故tan α=sin cos αα =13-或tan α=3，代入可得tan2α=22tan 1tan αα-=212()311()3⨯---=34-或tan2α=22tan 1tan αα-=22313⨯-=34-.故选C.7．设0,ABC P △是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC….则 （ ） A. 90ABC ∠= B. 90BAC ∠=C. AC AB =D.BC AC =【测量目标】平面向量的算量积运算，向量的坐标运算.【考查方式】在三角形中给出定点在三角形中的位置，求定点与各顶点所成向量数量积的大小.【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设AB =4，C (a ，b )，P (x ，0),则0BP =1，A (-2，0)，B (2，0)，0P (1，0),∴0P B =(1，0)，PB =(2-x ，0)，PC =(a -x ，b )，0PC =(a -1，b ),∵恒有PB PC ≥00P B PC ,∴(2-x )(a -x )≥a -1恒成立,整理可得2x - (a +2)x +a +1≥0恒成立,∴Δ=()22a +-4(a +1)≤0,即Δ=2a ≤0,∴a =0，即C 在AB 的垂直平分线上,∴AC =BC ,故△ABC 为等腰三角形,故选D.第7题图8．已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(1,2)x k f x x k =--=，则 （ ） A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值 B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】给出含未知量的函数表达式，判断函数何时取得极值. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】当k =2时，函数f (x )=(e x-1)2(1)x -.求导函数可得()f x '=e x 2(1)x -+2(e x -1)(x -1)=(x -1)(x e x +e x -2)，∴当x =1，()f x '=0，且当x ＞1时，()f x '＞0，当12＜x ＜1时，()f x '＜0，故函数f (x )在(1，+∞)上是增函数；在(12，1)上是减函数，从而函数f (x )在x =1取得极小值.对照选项.故选C.第8题图9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是 （ ）第9题图A.2 B.3 C.23 D.26【测量目标】椭圆和双曲线的简单几何性质.【考查方式】椭圆和双曲线相交焦点和交点构成矩形，求双曲线的离心率. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】|1AF |=x ，|2AF |=y ，x y <∵点A 为椭圆1C ：24x +2y =1上的点，∴2a =4，b =1，c|1AF |+|2AF |=2a =4，即x +y =4①；又四边形12AF BF 为矩形，∴21AF +22AF =212F F ，即2x +2y =()22c=(2=12②，由①②得：22412x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得x =2-y2x y ==-，设双曲线2C 的实轴长为12a ，焦距为12c ，则12a =|2AF |-|1AF |=y -x12c=2C 的离心率e =11c a故选D. 10．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记π()B f A =.设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则（ ） A ．平面α与平面β垂直 B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45C. 平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60【测量目标】空间中点、线、面之间的位置关系，二面角. 【考查方式】给出两个平面判断面面之间的位置关系. 【难易程度】较难 【参考答案】A【试题解析】设1P =()f P α，则根据题意，得点1P 是过点P 作平面α垂线的垂足,∵1Q =()[]f f P βα=1()f P β，∴点1Q 是过点1P 作平面β垂线的垂足,同理，若2P =()f P β，得点2P 是过点P 作平面β垂线的垂足,因此2Q =()[]f f P αβ表示点2Q 是过点2P 作平面α垂线的垂足,∵对任意的点P ，恒有1PQ =2PQ ，∴点1Q 与2Q 重合于同一点,由此可得，四边形112PPQ P 为矩形，且∠112PQ P 是二面角α﹣l ﹣β的平面角,∵∠112PQ P 是直角，∴平面α与平面β垂直,故选A.第10 题图二、填空题 11．设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ________. 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出含根式的二项式，求解展开式中常数项的系数. 【难易程度】容易 【参考答案】-10【试题解析】二项式5的展开式的通项公式为 1r T +=5325C (1)rr r rx x --- =15565(1)C r rr x-- .令1556r-=0，解得r =3，故展开式的常数项为-35C =-10.故答案为-10.12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________3cm .第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积和体积. 【考查方式】给出几何体的三视图，求几何体的体积. 【难易程度】中等 【参考答案】24【试题解析】几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3.如图：V =V 棱柱-V 三棱锥=12×3×4×5-13×12×3×4×3=24(3cm ),故答案为：24.第12题图13．设y kx z +=，其中实数y x ,满足20240240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，若z 的最大值为12，则实数=k ________.【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出可行域的不等式和目标函数的最大值，求目标函数中未知数的值. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】可行域如图：由24=024=0x y x y -+⎧⎨--⎩得：A (4，4)，同样地，得B (0，2)，（步骤1）①当k ＞-12时，目标函数z =kx +y 在x =4，y =4时取最大值，即直线z =kx +y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=4k +4，故k =2. （步骤2） ②当k ≤-12时，目标函数z =kx +y 在x =0，y =2时取最大值，即直线z =kx +y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=0×k +2，故k 不存在.综上，k =2.故答案为：2. （步骤3）第13题图14．将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答） 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】给出六个字母和限定条件求排法的种数. 【难易程度】中等 【参考答案】480【试题解析】按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可. （步骤1）当C 在左边第1个位置时，有55A =120种，当C 在左边第2个位置时2343A A =72种，（步骤2）当C 在左边第3个位置时，有2333A A +2323A A =48种，共为240种，乘以2，得480.则不同的排法共有 480种.故答案为：480. （步骤3）15．设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,，点Q为线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线l 的斜率等于________. 【测量目标】直线与抛物线的位置关系.【考查方式】给出抛物线方程和直线过的定点和直线与抛物线交线的长度求直线斜率. 【难易程度】较难 【参考答案】不存在【试题解析】由题意设直线l 的方程为my =x +1，联立214my x y x=+⎧⎨=⎩得到2y -4my +4=0，（步骤1）Δ=162m -16=16(2m -1)＞0.设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，Q (0x ，0y ).∴1y +2y =4m ，∴0y =122y y +=2m ，（步骤2）∴0x =m 0y -1=22m -1.∴Q (22m -1，2m )，（步骤3）由抛物线C ：2y =4x 得焦点F (1，0).∵|QF |=2=2，化为2m =1，解得m =±1，不满足Δ＞0.故满足条件的直线l 不存在. （步骤4）故答案为不存在. 16.ABC △中，90C ∠= ,M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________. 【测量目标】正弦定理和余弦定理解三角形.【考查方式】直角三角形中直角边的中点，求三角形中角的正弦值. 【难易程度】较难【参考答案】3【试题解析】如图,设AC =b ，AB =c ，CM =MB =2a，∠MAC =β，在△ABM 中，由正弦定理可得2sin sin ac BAM AMB=∠∠，代入数据可得21sin 3a c AMB =∠，解得2sin 3c AMB a ∠=，（步骤1）故πcos cos 2AMC β⎛⎫=-∠ ⎪⎝⎭=sin AMC ∠=()2sin πsin 3c AMB AMB a -∠=∠=，而在Rt △ACM 中，cos β=AC AM =23ca =，化简可得a 4-4a 2b 2+4b 4=(a 2-2b 2)=0，解之可得a，（步骤2）再由勾股定理可得a 2+b 2=c 2，联立可得c，故在Rt △ABC 中，sin ∠BAC=BC a AB c ===骤3）第16题图17．设12,e e 为单位向量，非零向量12x y +b =e e ，,x y ∈R ，若12,e e 的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于________.【测量目标】向量模的计算，向量的数量积，不等式性质. 【考查方式】给出单位向量和非零向量，求向量模的比值. 【难易程度】较难 【参考答案】2【试题解析】∵12,e e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于30°，（步骤1）∴12 e e =1×1×cos30°=2.∵非零向量12x y +b =e e ，（步骤2）∴===b （步骤3）∴x====b故当x y=x b取得最大值为2，故答案为 2. （步骤4） 三、解答题18．在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列.（1）求n a d ,； （2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++【测量目标】等差数列的通项公式和.【考查方式】给出等比数列的首相和三项成等比数列，求通项公式，和前n 项绝对值和. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）由已知得到：22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或；（步骤1）（Ⅱ）由（1）知，当0d <时，11n a n =-， ①当111n剟时，123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--∴++++=++++==…（步骤2）②当12n …时，1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)2ln 2202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n a a a a a a a a ∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=…所以，综上所述：1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧⎪⎪++++=⎨-+⎪⎪⎩ 剟…；（步骤3）19．设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分.（1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ，求.::c b a 【测量目标】随机事件与概率，期望和方差.【考查方式】有放回取样的分布列和已知期望和方差求个数比. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时2ξ=，此时331(2)664P ξ⨯===⨯；（步骤1）当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时4ξ=，此时2231135(4)66666618P ξ⨯⨯⨯==++=⨯⨯⨯；（步骤2）当两次摸到的球分别是红黄，黄红时(3)P ξ=，此时32231(3)66663P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；（步骤3）当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时(5)P ξ=，此时12211(5)66669P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；（步骤4）当两次摸到的球分别是蓝蓝时P (6ξ=)，此时111(6)P ξ⨯===；（步骤5）所以ξ的分布列是： 9所以：2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b ca b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩，所以2,3::3:2:1b c a c a b c ==∴=.（步骤6）20．如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=.（1）证明：//PQ 平面BCD ；（2）若二面角D BM C --的大小为60，求BDC ∠的大小.第20题图【测量目标】空间直线与平面的位置关系，异面直线成角.【考查方式】给出四面体和直线间的位置和长度关系求解二面角大大小. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）方法一：如图，取MD 的中点F ，且M 是AD 中点，所以3AF FD =.因为P 是BM 中点，所以PF BD ；（步骤1）又因为3AQ QC =且3AF FD =，所以QF CD ，所以面PQF 面BDC ，且PQ ⊂面PQF ，所以PQ 面BDC ；（步骤2）第20题图方法二：如图所示，第20题图取BD 中点O ，且P 是BM 中点，所以12PO MD ；取CD 的三等分点H ，使3DH C H =，且3AQ QC =，所以1142QH AD MD，（步骤1）所以PO QH 四边形PQHO 是平行四边形PQ OH ∴ ，且OH BCD ⊂面，所以PQ 面BDC ；（步骤2） （Ⅱ）如图所示，第20题图由已知得到面ADB ⊥面BDC ，过C 作CG BD ⊥于G ，所以CG BMD ⊥面，过G 作GH BM ⊥于H ，连结CH ，所以CHG ∠就是C BM D --的二面角；（步骤3）由已知得到3BM ==，设BDC α∠=，所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===，在Rt BCG △中，2s i ns i n BG BCG BG BCααα∠=∴=∴=，（步骤4）所以在Rt BHG △中，13HG =∴=，所以在Rt CHG △中tan tan 603CG CHG HG ∠==== （步骤5）tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠= ；（步骤6）21．如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点，1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程； （2）求ABD △面积取最大值时直线1l 的方程.第21题图【测量目标】直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系.【考查方式】给出定点和圆的方程，由直线与椭圆、圆的位置关系求椭圆方程和直线方程. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得到1b =，且242a a =∴=，所以椭圆的方程是2214x y +=；（步骤1）（Ⅱ）因为直线12l l ⊥，且都过点(0,1)P -，所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=，直线21:10l yx x k y k k=--⇒++=，所以圆心(0,0)到直线1:110l yk x k x y =-⇒--=的距离为d =，（步骤2）所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==；（步骤3）由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，（步骤4） 所以228||44D P k x x DP k k +=-∴==++，（步骤5）所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ====++++△23232===…（步骤6）当2522k k =⇒=⇒=±时等号成立，此时直线1:1l y x =-（步骤7） 22．已知a ∈R ，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f（1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值. 【测量目标】利用导数求函数的最值问题.【考查方式】给出含有未知量的函数求函数的最大值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得：2()363(1)33f x x x a f a ''=-+∴=-，且(1)13333f a a =-++-=，所以所求切线方程为：1(33)(1)y a x -=--，即为：3(1)430a x y a --+-=；（步骤1）（Ⅱ）由已知得到：2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+，其中44a ∆=-，当[0,2]x ∈时，(2)0x x -…，（步骤2）（1）当0a …时，()0f x '…，所以()f x 在[0,2]x ∈上递减，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤3）因为max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|()|(0)33f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（步骤4） （2）当440a ∆=-…，即1a …时，()0f x '…恒成立，所以()f x 在[0,2]x ∈上递增，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤5）因为max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|()|(2)31f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（步骤6） （3）当440a ∆=->，即01a <<时，212()363011f x x x a x x '=-+=∴==+，且1202x x <<<，即所以12()12(1()12(1f x a f x a =+-=--，且31212()()20,()()14(1)0,f x f x f x f x a ∴+=>=--<12()()4(1f x f x a -=-，所以12()|()|f x f x >，（步骤7）所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =；（步骤8） 由2(0)(2)3331003f f a a a -=--+>∴<<，所以 （ⅰ）当203a <<时，(0)(2)f f >，所以(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时，()y f x =递增，(1,)x a ∈时，()y f x =递减，所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =，（步骤9）因为21()(0)12(1332(1(23f x f a a a a -=+-+=--=，又因为203a <<，所以230,340a a ->->，所以1()(0)0f x f ->，所以m a x 1|()|()12(1f x f x a ==+-10）（ⅱ）当213a <…时，(2)0,(0)0f f ><，所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =，因为21()(2)12(1312(1(32)f x f a a a a -=+-+=--=，此时320a ->，当213a <<时，34a -是大于零还是小于零不确定，所以 ① 当2334a <<时，340a->，所以1()|(2)|f x f >，所以此时max 1|()|()12(1f x f x a ==+-（步骤11） ② 当314a <…时，340a-<，所以1()|(2)|f x f …，所以此时m a x|()|(2)31f x f a ==-（步骤12）综上所述：max 33,(0)3|()|12(1)4331,()4a a f x a a a a ⎧-⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-⎩…….（步骤13）。
2013年高考数学(理科)模拟卷
2017学年第一学期浙江“七彩阳光”联盟期中联考高三年级数学学科 参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.答案B 。
解：1a bi i +=-+Q ， 21a b ∴+=。
3.答案A 。
解析：若222log loglog ()a b a b +≥+，则ab a b ≥+。
又0,0a b >>， 则有ab a b ≥+≥4ab ≥，故充分性成立；若4,1a b ==，满足4ab ≥，但22log log 2a b +=，22log ()log 52a b +=>， 即222log log log ()a b a b +≥+不成立，故必要性不成立，故选A.4.答案D.解：所取3个球中没有红球的概率是34137435C p C ==，所取3个球中恰有1个红球的概率是12342371835C C p C ==，则所取3个球中至多有1个红球的概率是122235p p p =+=。
5.答案C ．解8511820,0a a a a =+>∴>Q ，则115158151502a a S a +=⨯=>。
又7869780,0a a a a a a +=+<∴<-<，则113137131302a a S a +=⨯=<。
而1141469147()02a a S a a +=⨯=+<，则满足0n S <的正整数n 的最大值是14。
6答案A. 解析：222()2a b a b a b a b a ba b ++-=+++-+-r r r r r r r r r r r r Q g222222a a b b a a b b =+++-+r r r r r r r r g g444sin()αβ=+=+-。
02παβ<-<Q ，24()8a b a b ∴<++-<r r r r，2a b a b ∴<++-<r r r r7.答案C.解法1：设点A 在第一象限，由222b y x a x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩和0x >，得x a y b =⎧⎨=⎩，即得(,)A a b 。
数学_2013年浙江省高考数学仿真模拟试卷1(理科)(含答案)
2013年浙江省高考数学仿真模拟试卷1（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数f(x)={√x ，x ≥0√−x ，x <0，若f(a)+f(−1)=2，则a =( )A −3B ±3C −1D ±12. 复数a 2−a −6+(a 2+a −12)i 为纯虚数的充要条件是（ ） A a =−2 B a =3 C a =3或a =−2 D a =3或a =−43. 甲，乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲，乙能通过面试的概率都为23，则面试结束后通过的人数ξ的数学期望Eξ是（ ） A 43B 119C 1D 894. 程序框图输出的结果为（ ）A 62B 126C 254D 5105. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面有三个命题： ①α // β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l // m ； ③l // m ⇒α⊥β，其中假命题的个数为（ ） A 3 B 2 C 1 D 06. 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是（ ）A f(x)=x 2−2ln|x|B f(x)=x 2−ln|x|C f(x)=|x|−2ln|x|D f(x)=|x|−ln|x|7. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S 5−13a 4+5a 8=10，则下列数中恒为常数的是（ ）A a 8B S 9C a 17D S 17 8. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( ) A √2 B √3 C 2 D 39. 已知x ，y 满足不等式{x ≥0y ≥0x +2y ≤t 2x +y ≤4 ，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20, 22]，则t 的取值范围（ ）A [2, 4]B [4, 6]C [5, 8]D [6, 7]10. 若函数f(x)=x 3+a|x 2−1|，a ∈R ，则对于不同的实数a ，则函数f(x)的单调区间个数不可能是（ ）A 1个B 2个C 3个D 5个二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11. 已知tan(α+π4)=12，且−π2<α<0，则2sin 2α+sin2αcos(α−π4)=________．12. 若(√a 23+1a )n 的展开式中含a 3项，则最小自然数n 是________． 13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．14. 函数f(x)=sin2x +e |sinx+cosx|的最大值与最小值之差等于________．15. 已知奇函数f(x)是定义在R 上的增函数，数列{x n }是一个公差为2的等差数列，满足f(x 8)+f(x 9)+f(x 10)+f(x 11)=0，则x 2011的值等于________．16. 如图，线段AB 长度为2，点A ，B 分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，BC ＝1，O 为坐标原点，则OC →⋅OD →的取值范围是________．17. 设集合A （p,q ）={x ∈R|x 2+px +q =0}，当实数p ，q 取遍[−1, 1]的所有值时，所有集合A （p,q ）的并集为________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知函数f(x)=2sin 2(π4+x)−√3cos2x −1x ∈[π4,π2]（1）求f(x)的单调递增区间；（2）若不等式|f(x)−m|<2在x ∈[π4，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD // BC ，∠ADC ＝90∘，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA ＝PD ＝2，BC =12AD ＝1，CD =√3．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若二面角M −BQ −C 为30∘，设PM ＝tMC ，试确定t 的值． 20. 已知数列{a n }的前n 项和是S n (n ∈N ∗)，a 1=1且S n ⋅S n−1+12a n =0（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：对任意的n ∈N ∗，不等式11−S 2⋅11−S 3⋅ (1)1−Sn+1>√n +1成立．21. 在平面直角坐标系xoy 中，过定点C(p, 0)作直线m 与抛物线y 2=2px(p >0)相交于A 、B 两点．（1）设N(−p, 0)，求NA →⋅NB →的最小值；（2）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由． 22. 已知函数f(x)=ax 2+lnx(a ∈R)．(1)当a =12时，求f(x)在区间[1, e]上的最大值和最小值；(2)如果函数g(x)，f 1(x)，f 2(x)，在公共定义域D 上，满足f 1(x)<g(x)<f 2(x)，那么就称g(x)为f 1(x)，f 2(x)的“活动函数”．已知函数f 1(x)=(a −12)x 2+2ax +(1−a 2)lnx ，f 2(x)=12x 2+2ax ．若在区间(1, +∞)上，函数f(x)是f 1(x)，f 2(x)的“活动函数”，求a 的取值范围．2013年浙江省高考数学仿真模拟试卷1（理科）答案1. D2. A3. A4. D5. C6. A7. D8. A9. B10. B11. −2√5512. 713. 12π+2414. e√2+115. 400316. [1, 3]17. [−1+√52, 1+√52]18. 解：（1）f(x)=2sin2(π4+x)−√3cos2x−1=−cos(π2+2x)−√3cos2x=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3)．由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈z，可得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，，k∈z．再由x∈[π4，π2]，可得x∈[π4，5π12]，故f(x)的单调递增区间[π4，5π12]．（2）不等式|f(x)−m|<2，即m−2<f(x)<m+2．而x∈[π4，π2]时，π6≤2x−π3≤2π3，∴ 12≤sin(2x−π3)≤1，1≤f(x)≤2．∵ 不等式|f(x)−m|<2在x∈[π4，π2]上恒成立，∴ m−2<1且m+2>2，解得0<m<3，故实数m的取值范围为(0, 3)．19. 证法一：∵ AD // BC，BC=12AD，Q为AD的中点，∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴ CD // BQ．∵ ∠ADC＝90∘∴ ∠AQB＝90∘，即QB⊥AD．又∵ 平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴ BQ⊥平面PAD．∵ BQ ⊂平面PQB ，∴ 平面PQB ⊥平面PAD ． 证法二：AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点，∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴ CD // BQ ． ∵ ∠ADC ＝90∘∴ ∠AQB＝90∘． ∵ PA ＝PD ，∴ PQ ⊥AD ．∵ PQ ∩BQ ＝Q ，∴ AD ⊥平面PBQ ．∵ AD ⊂平面PAD ，∴ 平面PQB ⊥平面PAD ． ∵ PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴ PQ ⊥AD ．∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴ PQ ⊥平面ABCD ．如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系． 则平面BQC 的法向量为n →=(0,0,1)；Q(0, 0, 0)，P(0,0,√3)，B(0,√3,0)，C(−1,√3,0)．设M(x, y, z)，则PM →=(x,y,z −√3)，MC →=(−1−x,√3−y,−z)， ∵ PM →=tMC →，∴ {x =t(−1−x)y =t(√3−y)z −√3=t(−z) ，∴ {x =−t1+t y =√3t1+t z =√31+t⋯在平面MBQ 中，QB →=(0,√3,0)，QM →=(−t 1+t ,√3t 1+t ,√31+t )， ∴ 平面MBQ 法向量为m →=(√3,0,t)． ∵ 二面角M −BQ −C 为30∘， ∴ cos30=n →⋅m→|n →||m →|=√3+0+t2=√32， ∴ t ＝3．20. 解：（1）∵ a 1=1且S n ⋅S n−1+12a n =0即S n ⋅S n−1+12(S n −S n−1)=0(n ≥2)2S n ⋅S n−1=S n−1−S n 两边同除以S n ⋅S n−1得 2=1S n−1S n−1∴ 数列{1S n}是以1为首项，以2为公差的等差数列．∴ 1S n=1+2(n −1)=2n −1∴ S n =12n−1，当n =1时，a 1=1，当n ≥2时，an =Sn −Sn −1=12n−1−12(n−1)−1=−2(2n−1)(2n−3)∴ a n ={−2(2n−1)(2n−3)1(n =1)(n ≥2)（2）11−S k+1=2k+12k用数学归纳法证明： 当n =1时，11−S 2=11−13=32=√94>√2，不等式成立． ①假设当n =k(k ≥2)时成立，即有11−S 2⋅11−S 3⋅…11−S k+1>√k +1成立那么当n =k +1时不等式11−S 2⋅11−S 3⋅ (1)1−Sk+1+11−S(k+1)+1>√k +1⋅2(k+1)+12(k+1)=√k +1⋅2k+32k+2下证√k +1⋅2k+32k+2>√k +2成立． 只需证2k+32k+2>√k+1k+2 两边平方即为 4k 2+12k+94k 2+4k+1>k+2k+1，两边减去1得8k+84k 2+4k+1>1k+1即证8(k +1)2>4k 2+4k +1， 即4k 2+12k +7>0，显然成立②由①②可知，原不等式对任意正整数n 都成立． 21. 解：（1）依题意，可设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线AB 的方程为：x =my +p 由{x =my +p y 2=2px ⇒y 2−2pmy −2p 2=0∴{y 1+y 2=2pm ⋅∴ NA →⋅NB →=(x 1+p,y 1)⋅(x 2+p,y 2)=(x 1+p)(x 2+p)+y 1y 2=(my 1+2p)(my 2+2p)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+2pm(y 1+y 2)+4p 2=2p 2m 2+2p 2当m =0时NA →⋅NB →的最小值为2p 2．（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x =a ，AC 的中点为o′，l 与以AC 为直径的圆相交于P ，Q ，PQ 中点为H ，则o′H ⊥PQ ，o′的坐标为(x 1+p 2，y 12)．∵ |o ′P|=12|AC|=12√(x 1−p)2+y 12=12√x 12+p 2∴ |PH|2=|o ′P|2−|o ′H|2=14(x 12+p 2)−14(2a −x 1−p)2=(a −12p)x 1+a(p −a)∴ |PQ|2=(2|PH|)2=4[(a −12p)x 1+a(p −a)]令a −12p =0得a =12p ．此时|PQ|=p 为定值．故满足条件的直线l 存在， 其方程为x =12p22. 解：(1)当 a =12时，f(x)=12x 2+lnx ，f′(x)=x +1x=x 2+1x，对于x ∈[1, e]，有f ′(x)>0，∴ f(x)在区间[1, e]上为增函数， ∴ f max (x)=f(e)=1+e 22，f min (x)=f(1)=12． (2)在区间(1, +∞)上，函数f(x)是f 1(x)，f 2(x)的“活动函数”，则f 1(x)<f(x)<f 2(x),令 p(x)=f(x)−f 2(x)=(a −12)x 2−2ax +lnx <0，对x ∈(1, +∞)恒成立，且ℎ(x)=f 1(x)−f(x)=−12x 2+2ax −a 2lnx <0对x ∈(1, +∞)恒成立，∵ p′(x)=(2a −1)x −2a +1x =(2a−1)x 2−2ax+1x =(x−1)[(2a−1)x−1]x,①若 a >12，令p′(x)=0，得极值点x 1=1，x 2=12a−1，当x 2>x 1=1，即 12<a <1时，在(x 2, +∞)上有p′(x)>0， 此时p(x)在区间(x 2, +∞)上是增函数，并且在该区间上有p(x)∈(p(x 2)，+∞)，不合题意；当x 2<x 1=1，即a ≥1时，同理可知，p(x)在区间(1, +∞)上， 有p(x)∈(p(1)，+∞)，也不合题意；②若 a ≤12，则有2a −1≤0，此时在区间(1, +∞)上恒有p′(x)<0，从而p(x)在区间(1, +∞)上是减函数；要使p(x)<0在此区间上恒成立，只须满足 p(1)=−a −12≤0⇒a ≥−12， 所以 −12≤a ≤12． 又因为ℎ′(x)=−x +2a −a 2x=−x 2+2ax−a 2x=−(x−a)2x<0，ℎ(x)在(1, +∞)上为减函数，ℎ(x)<ℎ(1)=−12+2a≤0，所以a≤14，综合可知a的范围是[−12, 14 ]．。
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浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学理试题
选择题部分（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设=U R ，}0|{},1|{2≥=<=x x Q x x P ，则( P C =)Q U
A ．}01|{<<-x x
B ．}0|{<x x
C ．}1|{-<x x
D ．}10|{<<x x 2．如图，阴影部分（含边界）所表示的平面区域对应的约束条件是
A ．⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤+-≥+-≥≤0
10200y x y x y x B ．⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥+-≤+-≥≤0
10200y x y x y x
C ．⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≥+-≥+-≥≤0
10200y x y x y x
D ．⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≤+-≤+-≥≤0
10200y x y x y x
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．3
B ．6
C ．8
D ．12
4．已知a ，b 为实数，且0≠⋅b a ，则下列命题错误．．的是 A ．若0>a ，0>b ，则ab
b a ≥
+2 B ．若
ab
b a ≥+2，则0>a ，0>b C ．若b a ≠，则
ab
b a >+2
D ．若
ab
b a >
+2
，则b a ≠
5．函数)(x f =)sin(ϕω+x A ∈x (R )的图像如图所示，如果)
3
,
6(,21ππ-
∈x x ，且
（第2题）
)()(21x f x f = ，则=+)(21x x f
A ． 1
B ．2
3 C ．
2
2 D ．
2
1
6．在正方体1111D C B A ABCD -中，M
，N 分别1BC ，1CD 是的中点，则下列判断错误．．
的是
A ．MN 与1CC 垂直
B ．MN 与A
C 垂直 C ．MN 与B
D 平行 D ．MN 与11B A 平行
7．已知等差数列}{n a 公差0>d ，前n 项和为n S ．则“02>a ”是“数列}{n S 为递增数列”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充也不必要条件
8．偶函数)(x f 在),0[∞+上为增函数，若不等式)2()1(2x f ax f +<-对R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为
A ．)2,32(-
B ．)2,2(-
C ．)32,32(-
D ．)32,2(- 9．已知1F ，2F 分别是双曲线
)0,0(12
22
2>>=-
b a b
y a
x 的左、右焦点，过点2
F 与双曲线的
一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段21F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是
A ．)2,1(
B ．)3,2(
C ．)2,3(
D ．),2(∞+ 10．已知集合{}3,2,1,0==N M ，定义函数f ：N M →，且点))0(,0(f A ，))(,(i f i B ，
))1(,1(++i f i C ，
（其中2,1=i ）．若ABC ∆的内切圆圆心为I ，且∈=+λλ(,IB IC IA R )，则满足条件的函数有
A ．10个
B ．12个
C ．18个
D ．24个
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．已知)(x f 为奇函数，当0>x 时，x
x f 2l o g )(=，则=-)4(f ______．
12．已知i 是虚数单位，则
=
+i
i 12_______．
13．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的a 的值为_______． 14．各项都是正数的等比数列{}n a 中，首项21=a ，前3项和为14，
则654a a a ++值为_____________． 15．已知n
x x )
1(2+
的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 的系
数为_______________．
16．如图，Rt ABC ∆中， 90=∠C ，其内切圆切AC 边于D 点，O 为
圆心．若2||2||==CD AD ，则=⋅AC BO _____________．
17．已知抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，准线与x 轴交于M 点，
过M 点斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若||4
5||AF AM =，
则k 的值 ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）
在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,对边，且1sin sin 4)cos(2-=-C B C B ． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若3=a ，3
12sin
=B ，求b 的值．
19．（本题满分14分）
一个口袋中有红球3个，白球4个．
（Ⅰ）从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求恰
好第2次中奖的概率； （Ⅱ）从中有放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续
摸4次，求中奖次数X 的数学期望E (X )．
20．（本题满分14分）
如图，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且3,2,1===CD AB AD ，E 、
F 分别为线段CD 、AB 上的点，且AD EF //．将梯形沿EF 折起，使得平面⊥ADEF 平面BCEF ，折后BD 与平面ADEF 所成角正切值为
2
2．
（Ⅰ）求证：⊥BC 平面BDE ； （Ⅱ）求平面BCEF 与平面ABD 所成二面角（锐角）的大小．
21．（本题满分15分）
已知圆
O ：9
42
2
=
+y
x
，直线l ：m kx y +=与椭圆C ：
12
2
2
=+y
x
相交于P 、Q
两点，O 为原点．
（Ⅰ）若直线l 过椭圆C 的左焦点，且与圆O 交于A 、B 两点，且 60=∠AOB ，求直
线l 的方程；
（Ⅱ）如图，若POQ ∆重心恰好在圆上，求m 的取值范围．
22．（本题满分15分）
已知)0()(>-=a e x x f a x
．
（Ⅰ）判断曲线)(x f y =在0=x 的切线能否与曲线x e y =相切？并说明理由； （Ⅱ）若]2,[a a x ∈求)(x f 的最大值； （Ⅲ）若)(0)()(2121x x x f x f <==，求证：a
e x x <2
1．
2013年浙江省高考模拟冲刺卷《提优卷》卷
数学(理科一)答案。