第九章第2节

L
AO : y x , x : 1 0 OB : y x , x : 0 1 x yd x AO x yd x OB x yd x
y
B(1,1)
y x
解法2 取 y 为参数, 则
1
2 x d x 4 0 5
1
3 2
o
y x A(1, 1)
2 x y d x y y 2 y d y L x 1
4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y P d x Q d y R d z
18
作业 122页习题9—2
2,3,4,5,6 6.
19
处受 力F 的作用, 备用.设一个质点在 F 的大小与M 到原点 O 的距离成正比, F 的方向与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,此质点由点 沿椭圆
2
(2)
的参数方程为
B
R
0
y

AB
2
14
A
kt kdt
0
每一点 上， 123页B6 设在 椭圆 都作用力 其大小 等于 从 到椭圆中心的距离 方向 指向 椭圆 中心， 今有一质量为 的质点 在椭圆 沿逆时针移动，求 （1） 经过 第一象限的椭圆弧段时， 所作的功 （2） 走遍 全椭圆时， 所作的功 解 （1 ）
4

性质 (1)若 L= L1+L2 则
P ( x , y ) d x Q( x , y ) d y L P ( x , y ) d x Q( x , y ) d y L
1 2

L
P ( x , y ) d x Q( x , y ) d y
(2) 用L－ 表示 L 的反向曲线 , 则
{ P [ x , ( x )] Q [ x , ( x )] ( x )}d x a x (t ) y ( t ) t : ,类似有 对空间曲线 : z (t )
b

( t ) Q [ ( t ) , ( t ) , ( t )] ( t ) ( t ) ( t ) P [ , , ] ( t )
P ( x , y )d x Q( x , y )d y
P ( x , y )d x Q( x , y )d y
L
5
三、对坐标的曲线积分的计算法
定理: 设 在有向曲线 L 上
连续,
L 的参数方程为 y (t )
x (t )
t : ,
( t ) dt ( t ) dt
y

x

2 0
o
?
/2
0
15
（2 ）
内容小结 1. 定义 2. 性质

(1)若 L=L1+L2 则
L
P ( x , y )d x Q( x , y )d y
1 2
P ( x , y )d x Q( x , y )d y P ( x , y )d x Q( x , y )d y L L
1
y
x y
o
2
(1,1) (3) 原式 [ x x 3 ( x 3 x ) 3 x 2 ]d x 0
3
1
yx
( x 3 x 3 x 3 )d x
4 5
0
1
x
11
例3. 求
z
其中
2
从 z 轴正向看 为顺时针方向. 解: 取 的参数方程
1 y
o
x
x cos t t: 0 y sin t , z cos t sin t 2
7

R[ ( t ) , ( t ) , ( t ) ] ( t ) }d t
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
设L为xoy面内 x 轴上 从点(a, 0) 到点(b, 0) 例如，
的一段直线，计算
相当于一元函数 P(x,0)
从 a 到 b的定积分。
8
例1.计算 L x y d x 其中L 为沿抛物线 y 2 x 从点 A(1, 1) 到B(1, 1) 的一段. 解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB
y
B(0, b)
按逆时针方向移动到 求力F 所作的功W. 解: OM ( x , y ),F k ( y , x )
F M ( x, y)
A(a ,0)x
o
x a cos t AB : y b sin t t :0 2
2 2 F k x y 且OM F 则
W F ds k y dx xd y AB AB
2
( 2 2cos t sin t ) cos t

2 0
(2sin t 2cos t 1 2cos 2t )dt 2
13
例4.设在力场 沿移动到
质点由 作用下, 其中为
试求力场 对质点 所作的功. 解:(1)
z
( R 2 k 2 t )d t 0
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 ,则
P ( x , y )d x Q( x , y )d y P ( x , y )d x Q( x , y )d y
L
•对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
16
3. 计算
x (t ) t : • 对有向光滑弧 L : y (t )
第二节 对坐标的曲线积分
一、基本概念
第九章
二、对坐标的曲线积分的概念与性质 三、对坐标 的曲线积分 的计算法
1
一、基本概念
曲线
弧微分
t : , ds 2 (t ) 2 (t ) 2 ( t ) d t
( ( t ), ( t ),
规定了 方向 的曲线叫有向曲线,
则曲线积分 存在, 且有
{ P [ ( t ) , ( t ) ] ( t ) Q [ ( t ) , ( t )] ( t ) dt
6
特别是, 如果 L 的方程为 y ( x ), x : a b, 则
d y ( x )d x ,
{ P [ ( t ), ( t )] ( t ) Q [ ( t ), ( t )] ( t ) dt

• 对有向光滑弧 L : y ( x ) ,
x :a b

P [ x , ( x )] Q [ x , ( x )] ( x ) d x a
平面 变力 F F ( x , y ) (P ( x , y ) , Q( x , y ) ) 将质点 从点 A 沿曲线 移动到 点 B 所作的功.
W F d r


P ( x , y ) d x Q ( x , y )d y
对坐标的曲线积分 或第二类曲线积分
B A

F d r W lim 0 F i r i
n
Fi
M i 1
Mi
B

P d x Q d y R dz 对坐标的曲线积分 或第二类曲线积分 (P
i 1
ห้องสมุดไป่ตู้
A

F Q
R
)ds
对弧长的曲线积分 r i ) 或第一类曲线积分 A( xi , yi , ziB 3
切向量:
( t ))
单位 切向量:
同样
d x ( t ) d t d y (t ) d t d z (t ) d t
ds ds ds
2 ds ( t ) ( t )
2
若记 d r (d x ,d y ,d (t ) z) 其中 2 则 dr (t ) 2
b
17
3.对空间光滑曲线弧 :
x (t ) y (t ) t : , 有 z (t )

P [ ( t ), ( t ) , ( t )] ( t )

Q [ ( t ), ( t ) , ( t )] ( t ) R [ ( t ), ( t ) , ( t )] ( t ) }d t
二、对坐标的曲线积分的概念与性质
空间 变力 F F( x , y , z ) (P ( x , y , z ) , Q( x , y , z ) , R( x , y , z ) ) 将质点 从点 A 沿曲线 移动到 点 B 所作的功. 特别 常力 沿直线 所作的功 W F AB ―取极限” 解决办法: ―大化小”―常代变” ―近似和”
kab (sin t cos t )dt
2 0 2 2

2
kab 20
9
例2.计算 L y d x ,其中 L 为 (1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向 (2) 从点 A ( a , 0 ) 沿 x 轴 到点 B (– a , 0 ). 解: (1) 取L的 参数方程为
2
2 2 a sin t ( a sin t )dt 则 L 0 4 3 3 2 2a 1 a 3 3 y (2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a ,
y dx
2


B a
o
A a x
则 L y d x
2
10
122页1
计算
其中L为
(1) 直线 L : y x ,
(2) 抛物线 到 那一段
(3) 立方抛物线 L : y x 3 上从 解: (1) 原式
2 2 )d y 2 y y y ( y y (2) 原式 0