青海省青海师范大学附属第二中学高中数学人教版选修2-1导学案 3.2.3 直线与平面的夹角
青海省青海师范大学附属第二中学高中数学人教版选修2-1导学案 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示学案编号：GEXX2-1T3-2-2【学习要求】1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直．3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题．【学法指导】在证明过程中，体会向量法与几何法证明的不同之处．从不同的角度阐明数学证明的原理，培养我们善于探索、独立思考、集体交流的好习惯.1．平面的法向量：已知平面α，如果________________________，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．2．平面的向量表示：设A是空间任一点，n为空间内任一向量，则适合__________的点M构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为平面的向量表示式．3．设n1，n2分别是平面α、β的法向量，则α∥β或α与β重合⇔________________.α⊥β⇔________⇔__________. 4．三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.探究点一平面的法向量问题1平面的法向量有何作用？是否唯一．问题2怎样求一个平面的法向量？例1已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．跟踪1已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．探究点二利用平面的法向量判断平面与平面平行、垂直问题1设n1，n2分别是平面α，β的法向量，如何利用法向量来判断α，β的关系？问题2根据下列条件，判断相应的直线与平面、平面与平面的位置关系．(1)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，n＝(－1,2，－1)；(2)平面α、β的法向量分别是n1＝(1,3,0)，n2＝(－3，－9,0)；(3)平面α、β的法向量分别是n1＝(1，－3，－1)，n2＝(8,2,2)．例1 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.跟踪2已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.探究点三三垂线定理及应用问题1如图，AB，AC分别是平面α的垂线和斜线，BC是AC在α内的射影，a⊂α，试用三垂线定理或其逆定理说明在上述条件下a ⊥BC 和a ⊥AC 的关系．如何证明？问题2 三垂线定理中，把a ⊂α，改为a ∥α，其他条件不变，三垂线定理仍然成立吗？ 例3 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，E 为CC 1的中点．求证：EO ⊥平面A 1DB .跟踪3 如图，已知PO ⊥平面ABC ，且O 为△ABC 的垂心，求证：AB ⊥PC .【达标检测】1．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是 ( )A ．(0,1,2)B ．(3,6,9)C ．(－1，－2,3)D ．(3,6,8)2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则 ( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确3．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝________. 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，证明：平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.【课堂小结】1．用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．2．利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜率的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果.3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示一、基础过关1．若平面α、β的法向量分别为u ＝(2，－3,5)，v ＝(－3，1，－4)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α、β相交但不垂直D ．以上均不正确2．若直线l 的一个方向向量为a ＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u ＝(1,1，－1)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．A 、C 都有可能3．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B.⎝⎛⎭⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎫1，－3，32D.⎝⎛⎭⎫－1，3，－32 4．若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，n 1＝(1,2，x )，n 2＝(x ，x ＋1，x )，则x 的值为( )A ．1或2B ．－1或－2C ．－1D ．－2 5．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( )A ．2B ．－4C ．4D ．－26．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫33，33，－33 B.⎝⎛⎭⎫33，－33，33 C.⎝⎛⎭⎫－33，33，33 D.⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33 7．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,1,2)，b ＝(x ，－2，3)，且α⊥β，则x ＝________.8．下列命题中：①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v ＝0；②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．正确的命题序号是________．9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．(填序号)二、能力提升10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，试在棱BB 1上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.11.如图所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．求证：平面DEA ⊥平面ECA .12.如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，∠ABC＝60°，P A ＝AB ＝BC ，AD ＝233AB ，E 是PC 的中点． 证明：PD ⊥平面ABE .三、探究与拓展13.如图所示，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AB ＝AD ＝2CD ，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且△P AD 为等腰直角三角形，∠APD ＝90°，M 为AP 的中点． 求证：DM ∥平面PCB .。
青海省青海师范大学附属第二中学高中数学人教版选修2-1导学案 3.1.4 空间向量的直角坐标运算
3.1.4 空间向量的直角坐标运算 学案编号：GEXX2-1T3-1-4【学习要求】1．了解空间向量坐标的定义．2．掌握空间向量运算的坐标表示．3．能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．【学法指导】通过类比平面向量的坐标运算，掌握空间向量运算的坐标表示．空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，可以使一些问题简单化，培养从复杂问题中抽象出简单问题的能力.1．空间直角坐标系及空间向量的坐标(1)建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴、y 轴、z 轴的正方向引单位向量i 、j 、k ，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k }，这个基底叫做______________；单位向量i 、j 、k 都叫做____________．(2)空间向量的坐标：已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，a 1i ，a 2j ，a 3k 分别为向量a 在i ，j ，k 方向上的分向量，有序实数组(a 1，a 2，a 3)叫做向量a 在此直角坐标系中的________．上式可简记作a ＝____________. 23. 123123(1)a ∥b (b ≠0)⇔________⇔⎩⎪⎨⎪⎧当b 与三个坐标平面都不平行时，a ∥b ⇔__________________(2)a ⊥b ⇔________________⇔________________________. 4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式：(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝________________，|b |＝________________. cos 〈a ，b 〉＝___________________________________________. (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝________________________，|AB →|＝________________________________________.探究点一 空间向量的坐标表示及运算问题1 如何确定向量的坐标？ 问题2 向量的坐标和点的坐标有什么联系？例1 设正四棱锥S —P 1P 2P 3P 4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求SP 1→、P 2P 3→的坐标．跟踪1 (1)已知向量a ，b ，c 分别平行于x 轴、y 轴、z 轴，它们的坐标各有什么特点？(2)设O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，求点Q 的坐标． 探究点二 垂直与平行问题问题1 已知a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，a 、b 共线的充要条件为a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，对吗？问题2 a 与b 垂直的充要条件是什么？例2 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．跟踪2 将本例中“若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直”改为“若向量ka ＋b 与a ＋kb 互相平行”其他条件不变，求k 的值．探究点三 向量的夹角与长度计算例3 已知在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)，求顶点B 、C 的坐标，向量AC →及∠A 的余弦值．跟踪3 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题：(1)求EF 与C 1G 所成的角的余弦值； (2)求FH 的长． 【达标检测】1．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3是a ∥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，则5a 与3b 的数量积等于 ( )A ．－15B ．－5C ．－3D ．－1 3．若ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (－3,7，－5)，则顶点D 的坐标为 ( ) A ．⎝⎛⎭⎫72，4，－1B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(－1,13，－3)4．已知A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．已知A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AB →在AC →上的投影为______．【课堂小结】1．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直；可以求向量的模以及两个向量的夹角．2．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决.3.1.4 空间向量的直角坐标运算一、基础过关1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(－1，2,1)，点B 的坐标为(1,3,4)，则( ) A.AB →＝(－1,2,1) B.AB →＝(1,3,4)C.AB →＝(2,1,3)D.AB →＝(－2，－1，－3)2．与向量m ＝(0,2，－4)共线的向量是( )A ．(2,0，－4)B ．(3,6，－12)C ．(1,1，－2)D.⎝⎛⎭⎫0，12，－1 3．设A (3,3,1)、B (1,0,5)、C (0,1,0)，则AB 的中点M 到C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B .532C.532D.1324．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x 等于( ) A ．4 B ．－4 C.12D ．－66．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.65 B.652C ．4D ．8 二、能力提升7．与a ＝(2，－1,2)共线且满足a·z ＝－18的向量z ＝__________.8．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________. 9．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，DD 1＝3，则AC →与BD 1→夹角的余弦值是________．10．单位向量a ＝(x ，y,0)与向量c ＝(1,1,1)的夹角为π4，求：x ＋y 与xy 的值．11．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．12．已知正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面的边长为3，E 是SA 的中点，求BE →与SC →的夹角．三、探究与拓展13．已知a ＝(5,3,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25且a 与b 的夹角为钝角．求t 的取值范围．。
青海省青海师范大学附属第二中学高中数学 2.3.2等差数列的前n项和(二)导学案(无答案)新人教版必修3
2. 3 .2等差数列的前n 项和（二）[学习目标]1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程和思想方法．2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题 [自主学习]1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，n ≥2.2．等差数列前n 项和公式 S n ＝ ＝ .3．若等差数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝An 2＋Bn ＋C ，则A ＝4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________． 探究点一 数列{a n }的前n 项和S n 与a n 的关系问题 我们已经知道，如果通项公式a n 已知，就能求出S n ；反过来，如果已知数列{a n }的前n 项和S n ，能否求出它的通项公式a n?探究 如果数列{a n }的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，求通项公式a n ，并判断这个数列一定是等差数列吗？探究 按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前n 项 n 序号 等差数列 基本量 前n 项和S nS n 的最值1 1,3,5,7,9，…， a 1＝ ， d ＝ . S n ＝(S n )min ＝1，此时n ＝ .2 －5,－3，－1,1,3， …， a 1＝ ， d ＝ . S n ＝(S n )min ＝ ，此时n ＝ 3 4,2,0,－2， －4，…， a 1＝ ， d ＝ . S n ＝ (S n )max ＝ ， 此时n ＝ 4－1,－2，－3,－4，－5，…， a 1＝ ， d ＝ . S n ＝ (S n )max ＝ ， 此时n ＝通过上面的例子，我们看到等差数列前n 项和的最值在项的符号分界点处取到，据此完善下列结论：(1)若a 1＞0，d ＜0，则数列的前面若干项为 项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最 值． (2)若a 1＜0，d ＞0，则数列的前面若干项为 项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最 值； 特别地，若a 1＞0，d ＞0，则S 1是{S n }的最 值;若a 1＜0，d ＜0，则S 1是{S n }的最 值． 【典型例题】例 1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－3n ，求通项公式a n .跟踪训练1 已知数列{a n}的前n项和S n＝3n，求a n.例2 在等差数列{a n}中，a n＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和S n的最小值．跟踪训练2 在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值例3 若等差数列{a n}的首项a1＝13，d＝－4，记T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求T n.跟踪训练3 已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|} 的前n项和T n.[达标检测]1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a n等于( )A．n B．n2C．2n＋1 D．2n－12．数列{a n}为等差数列，它的前n项和为S n，若S n＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )A．－2 B．－1 C．0 D．13．设数列{a n}的通项为a n＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝________.4．首项为正数的等差数列，前n项和为S n，且S3＝S8，当n＝________时，S n取到最大值．2.3.2 等差数列的前n 项和(二) 练习题一、基础过关1．若数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－1，则a4等于( )A ．7B ．8C ．9D ．17 2．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n3，则a5＋a6的值为 ( )A ．91B ．152C ．218D ．279 3．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a5a3＝59，则S9S5等于( ) A ．1B ．－1C ．2D.12 4．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若S3S6＝13，则S6S12等于( ) A.310B.13C.18D.195．数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝n2－n(n ∈N*)，则通项an ＝________. 6．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn 取得最大值时，n 的值为________．7．已知数列{an}的前n 项和公式为Sn ＝2n2－30n. (1)求数列{an}的通项公式an ； (2)求Sn 的最小值及对应的n 值．8．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．二、能力提升9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k为( )A．9 B．8 C．7 D．610．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是( ) A．d<0 B．a7＝0C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值11．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n 项和Sn＞0成立的最大自然数n是________．12．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.三、探究与拓展13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．。
青海省青海师范大学附属第二中学高中数学人教版选修2-1导学案 第三章 空间向量与立体几何
第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算学案编号：GEXX2-1T3-1-1【学习要求】1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．2．掌握空间向量的加减运算及其运算律,能借助图形理解空间向量及其运算的意义,掌握空间向量数乘运算的定义和运算律．【学法指导】把平面向量的有关概念和运算推广到空间，空间向量的概念运算与平面向量类似，学习中要结合直观图形，培养空间想象能力. 1．空间向量的概念2．空间向量的运算法则 如图已知两个不平行的向量a ，b ，作向量OA →＝a ，OB →＝b .这时，O ，A ，B 三点不共线，于是这三点确定一个平面．有以下结论：(1)a ＋b ＝OA →＋OB →＝OA →＋AC →＝________；(2)a －b ＝a ＋(－b )＝OA →＋AD →＝OD →＝BA →＝_______________；(3)当λ>0时，λa ＝QP →＝λOA →；当λ＝0时，λa ＝0；当λ<0时，λa ＝MN →＝λOA →.所以，平面向量求和的__________法则和______________法则，对空间向量同样成立．3．空间向量的运算律 (1)加法交换律：________________；(2)加法结合律：________________________；(3)分配律：___________________，____________________. 探究点一 空间向量的概念问题1 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA →，OB →，OC →，它们和以前所学的向量有什么不同？问题2 向量可以用有向线段表示，是否可以说向量就是有向线段？ 问题3 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，这个结论对吗？例1 给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；②若空间向量a ，b ，满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的命题的个数是 ( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 跟踪训练1 下列说法中正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →探究点二 空间向量的加减运算问题1 怎样计算空间两个向量的和与差？问题2 使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求？例2 如图,已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′,化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′→－CB →； (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′.跟踪训练2 化简：(1)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)；(2)(AB →＋CD →)－ (AC →＋BD →)． 探究点三 空间向量的数乘运算问题 思考实数λ和空间向量a 的乘积λa 的意义？例3设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．跟踪3 如图空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点．证明：EF → ＝12(AB →＋DC →)．【达标检测】1．已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( ) A. AD →B. BD →C. AC →D ．02.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在 下列各结论中正确的共有 ( ) ①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量；②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量； ③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与向量AD →相等的向量共有________个． 4. 12(2a －2b ＋c )－13(a ＋3b －c )＝____________. 5．已知点O 是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1对角线的交点，点P 是空间任一点． 证明：P A →＋PB →＋PC →＋PD →＋P A 1→＋PB 1→＋PC 1→＋PD 1→＝8PO →.【课堂小结】1．空间向量的概念和平面向量类似，向量的模，零向量，单位向量，相等向量等都可以结合平面向量理解．2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，利用平行四边形法则和三角形法则进行．3．空间加法和数乘运算和平面向量一样，满足交换律、结合律、分配律．第三章 空间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算一、基础过关 1．下列说法正确的是( )A ．在平面内共线的向量在空间不一定共线B ．在空间共线的向量在平面内不一定共线C ．在平面内共线的向量在空间一定不共线D ．在空间共线的向量在平面内一定共线 2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形3．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连接AM 、AG 、MG ，则AB →＋12(BD→＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC →4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．如图，空间四边形OABC ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 是BC 的中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 6．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A.AB →＝AC →＋BC →B.AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向7．化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________.8．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →＝____________.9.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点． 若AE →＝12OD →＋xOB →－32OA →，则x ＝________.二、能力提升10.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c .试用a ，b ，c 表示AE →.11．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 1为A 1B 1C 1D 1的中心．化简：A 1D 1→＋CC 1→－CD →＋12(CB →＋B 1A 1→)．12.如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1且以八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量； (4)试写出AA 1→的相反向量．三、探究与拓展13．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简 (1)AB →＋BC →＋CD →； (2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．。
青海师范大学附属第二中学高中数学 3.3.1 利用导数判断函数的单调性导学案 导学案 新人教A版选修11
青海师范大学附属第二中学高中数学 3. 3.1 利用导数判断函数的单调性导学案导学案新人教A版选修1-1【学习要求】1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 【学法指导】结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递f′(x)<0单调递f′(x)＝0常函数探究点一函数的单调性与导函数正负的关系问题1 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？问题2 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？问题 3 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间.(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1 已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4或x<1时，f′(x)<0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状.跟踪训练1 函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状.例2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x(e x－1)－x2； (2)f(x)＝3x2－2ln x. 跟踪训练2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝e xx－2； (3)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x<2π).探究点二函数的变化快慢与导数的关系问题我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3 如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.跟踪训练3已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )【达标检测】1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是 ( )A.单调增函数B.单调减函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 2. f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是 ( )3.函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ C.(0，＋∞)D.(0，a ) 4.(1)函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为______，减区间为______.(2)函数f (x )＝x 3－x 的增区间为______，减区间为______.。
青海省青海师范大学附属第二中学高中数学人教版选修1-1导学案 3.2.3 导数的四则运算法则
3.2.3导数的四则运算法则学案编号：GEXX1-1T3-2-3【学习要求】1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.【学法指导】应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题.要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.导数的运算法则探究点一导数的运算法则问题1我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？问题2应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？例1求下列函数的导数：(1)y＝3x－lg x；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝x5＋x7＋x9x.跟踪训练1求下列函数的导数：(1)f(x)＝x·tan x；(2)f(x)＝2－2sin2x2；(3)f(x)＝x－1x＋1；(4)f(x)＝sin x1＋sin x.探究点二导数的应用例2(1)曲线y＝x e x＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________________.(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________.(3)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s时物体的瞬时速度.跟踪训练2 (1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( ) A.－12B.12C.－22D.22(2)设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值.【达标检测】1.设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A.－2e x cos xB.－2e x sin xC.2e x sin xD.－2e x (sin x ＋cos x )2.曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A.y ＝2x ＋1B.y ＝2x －1C.y ＝－2x －3D.y ＝－2x ＋2 3.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193B.163C.133D.1034.已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.5.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值.【课堂小结】求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.3.2. 3 导数的四则运算法则 练习题一、基础过关1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x2．函数y ＝x1－cos x 的导数是( )A.1－cos x －x sin x 1－cos xB.1－cos x －x sin x (1－cos x )2C.1－cos x ＋sin x (1－cos x )2D.1－cos x ＋x sin x (1－cos x )23．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．04．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于 ( )A ．2 B.12 C ．－12 D ．－25．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________.6．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________． 7．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝(x －2)2； (3)y ＝x －sin x 2cos x2.二、能力提升8．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－129．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2] 10．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.11．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的表达式．12．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．三、探究与拓展13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方程．。
青海省青海师范大学附属第二中学高中数学 2.1数列的概念与简单表示方法(2)导学案(无答案)新人教版必修3
2. 1 数列的概念与简单表示方法（2）[学习目标]了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与 的关系。
经历数列知识的感受及理解运用的过程。
[自主学习]1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的 公式．2．数列可以看作是一个定义域为 (或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列 ．3．一般地，一个数列{a n }，如果从 起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做 数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做 数列．如果数列{a n }的各项都 ，那么这个数列叫做常数列．4．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝1，则a n ＝ ，从单调性来看，数列是单调 数列． 数列的表示方法：通项公式法、图象法、递推公式法（递推公式也是给出数列的一种方法）、列表法。
探究点一 数列的函数特性问题 数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识．探究1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试根据这一结论，求解下列问题．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，试求通项a n .探究点二 由简单的递推公式求通项公式探究2 若数列{a n }中各项均不为零，则有：a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立．试根据这一结论求解下列问题．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n(n≥2)，试求通项a n.例1 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．(n≥2)，试求通项a n .n a跟踪训练1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1.求证：数列{a n }为递增数列．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1，其中a 、b 均为正常数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是 ( )A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 的取值相关例3 已知a n ＝9nn ＋110n(n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．跟踪训练3 在数列{a n }中，a n ＝n 3－an ，若数列{a n }为递增数列，试确定实数a 的取值范围．[达标检测]1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是 ( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是 ( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥23．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列中最大项的值是( )A ．107B ．108C ．10818D ．1094．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于 ( )A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－n D ．3－n2. 1 数列的概念与简单表示方法（2）一、基础过关1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1B.12C.34D.58 2．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于 ( )A.259B.2516C.6116D.31153．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第7项是 ( )A .116B.117C.119D.1254．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1， 则b 6的值是 ( )A ．9B ．17C ．33D ．655．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，n ∈N *，则使a n >100的n 的最小值是________． 6．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋1，n ∈N *，则通项公式a n ＝________. 7．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．8．已知函数f (x )＝2x －2－x，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是递减数列．二、能力提升9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n⎝⎛⎭⎪⎫0≤a n<12，2a n－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 012的值为 ( )A.67B.57C.37 D.1710．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 3011．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．12．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．三、探究与拓展13．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，求{a n }的通项公式．。
青海省青海师范大学附属第二中学高中数学 3.2.2 复数
"青海省青海师范大学附属第二中学2014高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算导学案 理 新人教A 版选修2 "_______________ 学习目标 1. 理解共轭复数的概念；2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算.学习过程一、课前准备68~ P 70，找出疑惑之处）复习1：计算（1）(14)(72)i i +-+（2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[复习2：计算：2()a b ±=(32)(32)a b a b +-=(32)(3)a b a b +--=二、新课导学学习探究探究任务一：复数代数形式的乘法运算规定，复数的乘法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++=()()ac bd ad bc i -++ 即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可.问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？试试：计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+（3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+ （4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[新知：对于任意123,,z z z C ∈，有1221z z z z ⋅=⋅123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅1231213())z z z z z z z +=+反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律.探究任务二：共轭复数新知：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.试试：34i +的共轭复数为 a bi +的共轭复数为bi 的共轭复数为问：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系为：（2）12z z ⋅是一个怎样的数？探究任务三：复数的除法法则2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++(0)c di +≠典型例题例1 计算：（1）(34)(34)i i +-； （2）2(1)i +变式：计算：（1）(32)(32)i i +-+； （2）2(1)i -；（3）(2)(12)i i i --小结：复数的乘法运算类似于实数集上的乘法运算. 例2 计算（1）(12)(34)i i +÷-；（21996+变式：计算（1）232(12)i i -+，（2）23(1)1ii -+-小结：复数的除法运算类似于实数集上的除法运算。
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3.2.3 直线与平面的夹角学案编号：GEXX2-1T3-2-2
【学习要求】1．理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性，合理性．
2．会求直线AB与平面α的夹角θ.
【学法指导】通过对公式①的推导过程，体会探究思想在数学知识中的应用．通过本节的学习，培养我们探求知识的欲望，感受数学知识间的相互联系，同时通过相互交流，达到共同提高目的．
1．直线与平面所成的角
探究点一定义法求直线与平面所成的角
问题1斜线和平面所成的角具有什么性质？
试一试P A、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条射
线夹角都是60°，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为________．
问题2怎样利用定义求直线与平面的夹角？
例1 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.
求BD与平面P AB所成的角．
跟踪训练1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角．
探究点二 用向量法求线面角
问题 怎样利用向量求直线和平面所成的角？
例2 如图在五棱锥P －ABCDE 中，P A ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC ∥ED ，AE ∥BC ，∠ABC ＝45°，AB ＝22，BC ＝2AE ＝4，三角形P AB 是等腰三角形．
(1)求证：平面PCD ⊥平面P AC ；(2)求直线PB 与平面PCD 夹角的大小．
跟踪训练2 如图所示，在几何体ABCDE 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，BE 和CD 都垂直于平面ABC ，且BE ＝AB ＝2，CD ＝1，点F 是AE 的中点．求AB 与平面BDF 所成角的正弦值．
【达标检测】
1．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为 ( )
A. 13
B. 223
C. 22
D. 23
2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12
，则l 与α所成的角为 ( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
3．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角等于
( )
A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．以上均错
4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值为 ( ) A. 24 B. 23 C. 63 D. 32
【课堂小结】1．线面角可以利用定义在直角三角形中解决．
2．线面角的向量求法：设直线的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与平面所成的角为θ,则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a·n ||a|·|n |
. 3.2.3 直线与平面的夹角
一、基础过关
1．平面的一条斜线和这个平面所成角θ的范围是
( ) A ．0°<θ<90° B ．0°≤θ<90° C ．0°<θ≤90° D ．0°<θ<180°
2．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，B 1C 与平面ABCD 所成的角是
( ) A ．90° B ．30° C ．45° D ．60°
3．正四面体ABCD 中棱AB 与底面BCD 所成角的余弦值为
( ) A.12 B.13 C.33
D. 3 4．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是 ( ) A.32 B.22 C.104 D.64
5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为
( ) A.23 B.33 C.23 D.63
6．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(1,0,1)，b ＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是________．
二、能力提升
7．已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA
＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( ) A.34 B.54 C.74 D.34
8.如图，∠BOC 在平面α内，OA 是平面α的一条斜线，若∠AOB ＝∠AOC ＝60°，OA ＝OB ＝OC ＝a ，BC ＝2a ，OA 与平面α所成的角为________．
9．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中侧棱长为2，底面边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是_____.
10．在正四面体ABCD 中，E 为棱AD 的中点，连接CE ，求CE 和平面BCD 所成角的正弦值．
ABCD.PD＝DC，E是PC的中点．求EB与平面ABCD夹角的余弦值．
12.如图，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
三、探究与拓展
13.已知几何体EFG—ABCD如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边
长为1，点M在边DG上．
(1)求证：BM⊥EF；
(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°，若存在，
试求点M的位置；若不存在，请说明理由．。