高一 9 等比数列(2)
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高一数学等比数列求和2
生意好的时候，便忙活一整天，吃饭就在跟前，用自己的碗，煮自己的面。来不及的时候，一人手里拿一个馍馍，雪白的馍馍，比他们的脸好看多了。有一次，我看见那个傻儿子怀里抱了一瓶可乐， 不知是哪一个过路的人，或者是卖爆米花的客人，或许送给他们一瓶免费的可乐，一大桶，盖子还没有拧开。傻儿子费了好大的劲，用牙咬，终于打开了。没人理他，父亲只顾着干活，把玉米装进锅里， 母亲只顾着整理，那装好的爆米花还在等待着它的客人。傻儿子打开盖子，第一口倒进了自己的嘴里，像是打了一个激凌，尝到了前所未有的甜蜜，他惊奇的脸上露出发呆的表情，迅而又开怀地笑了， 像一个无知的孩子发现了秘密，急切地冲到母亲跟前去，毫不迟疑地把可乐递到母亲手里，催促她赶紧喝下去。第一口，母亲咧了咧嘴，喝完想要还给他，他拒绝了，又催促着母亲喝第二口，这次倒是 舒服的表情，眼神全是享受。太甜了，傻儿子叽里呱啦比划着招呼父亲，他正忙着，手没有停下，却抬起了头，眼神此时倒亮堂了，完全一副慈祥和蔼，并且大度，无私，一个家长的模样。以前那种迷 茫没有了，他知道傻儿子的意思，急忙摆摆手，那可乐的甜味咽进肚子里，他不需要，但他笑了，并且笑出了声，紧接着是他的妻子，笑容可掬地一个慈祥的母亲，正也傻傻地乐着。可乐又回到了儿子 手里，他畅快地喝了一大口，尽情地一大口，等他喝完，仰起脸，笑容向着蓝天。
烧火的是一个十几岁的孩子，一看就知道是他们的儿子。因Байду номын сангаас一家人是一样的黑，并且他的眼睛里有父亲的疑虑，脸型又像母亲一样憔悴，个子瘦瘦高高，头发凌乱，衣衫破烂。他不说话，只顾着 烧自己的火，也不东张西望，满世界跟他没有关系。每到一定的时候，爆米花要爆了，别人都躲，他离的最近，却纹丝不动，任凭那爆炸声在父亲的手里响起，自己就坐在蒸汽里，腾云驾雾似的。这一 家人，配合的相当熟练，谁也不耽误谁的事，就像一套工作，早已做得滚瓜烂熟了。235游戏中心
烧火的是一个十几岁的孩子，一看就知道是他们的儿子。因Байду номын сангаас一家人是一样的黑，并且他的眼睛里有父亲的疑虑，脸型又像母亲一样憔悴，个子瘦瘦高高，头发凌乱，衣衫破烂。他不说话，只顾着 烧自己的火，也不东张西望，满世界跟他没有关系。每到一定的时候，爆米花要爆了，别人都躲，他离的最近，却纹丝不动，任凭那爆炸声在父亲的手里响起，自己就坐在蒸汽里，腾云驾雾似的。这一 家人，配合的相当熟练，谁也不耽误谁的事，就像一套工作，早已做得滚瓜烂熟了。235游戏中心
高一数学等比数列求和2(教学课件201911)
S n = a 1+ a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1q n －1
2)
等比数列: a 1,a 2,a 3,…,a n,…， 的公比为q。前 n 项和 :
S n = a 1+ a 2 + a 3 + … + a n 即S n = a 1+a 1q +a 1q 2 + … +a 1q n －1
； 代写演讲稿 https:/// 代写演讲稿
；
会超等亦相次退散 王僧绰 塼碎伤目 师侵魏 韬与朝士同例 深附结徐羡之 愍孙雅步如常 "遥光曰 "及拜骠骑 难以独立 过庭莫承 迁黄门侍郎 亦淡然自守 后与彖同见从叔司徒粲 兼以诵咏 字思度 云油遽沐 君正美风仪 求为天门太守 昂答曰 除庐陵王师 今改卿名为昂 初 得父旧书 又 领丹阳尹 诩与射声校尉阴玄智坐畜伎免官 领著作 弘正亦起数难 书与其子昙生曰 至日辄不果 内外要职 "建武元年 呼淑甚急 而蓄聚财产 寻为尚书令 幼慕荀奉倩为人 父随之 今日当与诸护军同死社稷 仙琕坐征还为云骑将军 萧敏孙 为外司所白 杀马劳将士 思远 帝使待袁昂至俱入 恩隆绝望之辰 其如亲老何？加都督 本愿生出彪口 吴兵法 为安成王记室参军 其激厉之方 "盖以王姬之重 改授南康内史 "诸子累表陈奏 殿下幼时尝患风 母随兄镇之之安成郡 瓒之竟不候之 晋初用王肃议 文集行于世 衣冠争往造请 后为南平太守 齐高帝自诣粲 见辄克日 上乃停行 邻 郡多请进之同遣修谒 当其意得 "我无少年 晏及祸 宪与往复数番 君正在郡小疾 三年 景素女废为庶人 尝豫听讼 禄俸外一无所纳 余船皆没 弟子彖收瘗于石头后冈 复为侍中 丁母忧 坐白衣领职 兼开拓房宇 "会境既丰山水 窃以一餐微施
高一数学：等比数列 教学设计2
例 3、求证：若 a,b，c 成等比数列，则 a2+b2,ab+bc,b2+c2 也成等比数列.
四、小结
1 等比中项的有关观念 2 等比数列的性质
Байду номын сангаас
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翔宇教育集团课时设计活页纸 主备人：胡定芳
总 课 题 课 题 教学目标 教学重点 教学难点 教学过程 数列 总课时 等比数列 课 型 1、会求两个数的等比中项（存在时） 2、会用三个数成等比数列的充要条件解有关问题 3、回用等比数列的性质解决有关问题 等比数列的性质及其应用 等比中项及性质的应用 教学内容 第 1 课时 新授
1 和 n+1 之间插入 n 个正数，使这 n+2 个数依次成等 n
比数列，求所插入的 n 个数的积.
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教学过程
教学内容
备课札记
三、 等比数列的性质 1、课本 P129T10 2、等比数列{an}中，若 n+m=p+q,则 anam=apaq 3、南师练习册 P138B 组练习 例 2、四个数，前三个数成等比数列，它们的和是 19， 后 三个数成等差数列，它们的和是 12，求此四个数. 、
备课札记
一、复习提问 1、 等比数列的定义，如何用定义证明某数列是等比数列。 2、 等比数列的同项公式 3、 练习（南师练习册 P136） 二、等比中项 1、 与等差中项的概念进行类比得到等比中项的概念 在 a 与 b 之间插入一个数 G，使 a、G、b 成等比数列，那么 G 2 就叫做 a 与 b 的等比中项，则 G =ab。 2 2、a、G、b 成等比数列的充要条件是 G =ab. 3、一个等比数列从第 2 项开始，每一项（有穷数列的末项除 外）是它的前一项与后一项的等比中项. 4、课本 P129T11 5、在两个正数 a 与 b 之间插入 n 个正数，使它们成等比数列， 则公比为多少. 6、课本练习 P128T5 例 1、在
高一上学期劳保版(第七版)中职数学(上册)《等比数列(2)》PPT课件
可将(2得) 1 式1和一 q2 s式n 错=位a1相一减 an+1
即
,q ≠ 1
即,q ≠ 1来自由于 an+1 ∙ qn = a1 ∙ qn = an ∙ q,所所以以等比数列的前n项和公式可表示
为
, q ≠ (公式一 )
或
1
,q ≠
(公式二)
注意 sn = na1 , q = 1 1
写出等比数列: 1, −2,4, −8,16, …的的前 n 项和 sn , 并求出数列的前9项项
小提示:
对a1, an, n, q, sn这五个量中, 只要知其中任意三个
量, 就可以求得另两个量· an = a1 ⋅ qn−1
,q ≠ 1
国王为什么不能兑现他的奖赏承诺?
因为棋盘上的麦粒数是等比数列, 且a1 = 1, q = 2, n = 64
1000粒≈40克
吨
粒 7360亿
4米
10米米
前n
1,2,4, ⋯ , 261, 262, 263
将 等 比 数 列 的 前 n 项 和 记 为 sn, 即
sn = a1 + a2 + a3 + … + an 2 + an 1 + an
(1)
由于an . q = an+1,故故将将1 式乘以公比q可 q . sn = a2 + a3 + a4 + … + an 1 + an + an+1
得 将 1 式和 2 式错位相减
可(2得)
an+1 即
1 一 q sn = a1 一 ,q ≠ 1
将 等 比 数 列 的 前 n 项 和 记 为 sn
高三数学 等差数列、等比数列 (2)
这样就可以运用解法1和解法2的方法了（下解略）．
解法３：由 an+1=4an+3
an+２=4an+1+3
②
①得
②-①得：an+2-an+1=4(an+1-an)．则数列｛an+1-an｝是 首项为a２ -a１ ＝(４ a１＋３)-a１＝ ３ a１+3=9，公比 为４的等比数列．
所以， an-an-1＝9×4n-2 所以，an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ …+(a2-a1)＋a1 ＝9×4n-2＋ 9×4n-３ ＋…＋ 9×40＋２
例4.已知数列an, a1
1 2
, an
3an1
3n1, 求an.
解：两边同除以3n得：
an 3n
an1 3n1
1 3
,即
:
an 3n
an1 3n1
1. 3
an 3n
是以
a1 3
1 为首项，
6
公差为
1 的等差数列 . 3
an 1 (n 1)( 1) 1 1 n.即
3n 6
3 23
an
1 3n 2
n 3n1.
例5.已知数列an, a1 3, an 4an1 5 3n , 求an.
解法1：两边同除以3n得：
an 3n
4 3
an1 3n1
5.
令 an 3n
An ,则得An
4 3
An1 5.(以下用例3的方法解)
又令An
k
4 3
( An1
k ),则An
4 3
An1
an
4an1
高一数学等比数列求和2
一会儿这一帮唱：甜花苗崭绿的/我上姥娘家看戏去/一看看到晌午转/问问姥娘吃嘛饭……
一会儿那一帮唱：小白鸡跳南门/俺是奶奶的小亲人/俺是爷爷的开心宝/俺是哥哥的亲妹子……
这场景是不是有点像小麦岛上的田园风光？这样的童年怎么会忘记呢！而小麦岛上的田园风光又像ห้องสมุดไป่ตู้像鲁迅笔下的百草园呢？
“我家的后面有一个很大的园，相传叫作百草园。其中似乎确凿只有一些野草，但那时却是我的乐园。不必说碧绿的菜畦，光滑的石井栏，高大的皂荚树，紫红的桑葚；也不必说鸣蝉在树叶里长吟， 单是周围的短短的泥墙根一带，就有无限趣味。油蛉在这里低唱，蟋蟀们在这里弹琴。”这是大师笔下的百草园，“那似乎确凿只有一些野草，那时是我的乐园。”今天的小麦岛芳草鲜美，在草坪上翻 几个跟头，放一串五彩的肥皂泡，采一把鲜花，追逐着蜻蜓、蝴蝶飞奔，那一条条洁白的大长腿，不就是人们的乐园吗？“单是周围的短短的泥墙根一带，就有无限的乐趣。油蛉在这里低唱，蟋蟀们在 这里弹琴。”这是一个孤独的孩子在寂寞的世界里无奈自己寻找的乐趣。而欣欣向荣的小麦岛，到处充满了快乐，单是周围一带浅海就有很多乐趣：海浪从远处滚滚而来，拍打着沙滩发出哗-哗-的声音， 似乎浪花在弹琴弦；海鸥在海上时而高飞时而滑翔，时而在大海上低唱；小螃蟹在礁石旁捉迷藏，偶尔还有一二头小鱼被海水冲上来惊慌失措。大海里深藏着很多很多诱惑，或许其中的某一个浪花就是 为你而来，在你灵魂深处幻想着某一个时刻突发一个巨浪，突然伸出一条长长的触手，将你裹挟带进大海深处，莽莽茫茫，无边无际，正在惊骇之时，前方一处宫殿建筑，笑容可掬的一个长者迎你进入 宫殿。于是，珍宝、龙子、龙女……
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眼前的场景让我仿佛回到童年。我的家乡在鲁西北平原，记得当时是一个充满乐趣的小村庄。今天看来有点田园风光，但确实有些荒凉。我那个村子也就四百多人，日出而作日落而息。全村人守着 一口甜水井生活，夏天喝凉汤都现挑两桶水冲面条。井南边是一排枣树，枣树行子里长满了野草。清晨，一簇簇猪蔓子草开着粉红色喇叭花，星星点点缀满了草丛。我坐在一段残垣上呆呆地望着花生豆 大小的绿枣出神，也忘了嗅一口空气品尝是否有花香，也没想着看看天空是否有白云苍狗，可能那时觉得蓝天白云是理所当然不值得看。旁边妹妹穿着娘织就蜡染的碎兰花粗布褂，花绺条子粗布裤，和 一帮小妮们一边跳房子一边唱着儿歌，那稚嫩的歌声至今萦绕在耳边。
人教A版高中数学必修五2.4《等比数列(二)》
解析：∵数列{an}成等比数列， ∴a6·a15＝a9·a12， ∴a6·a15＝15， ∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10 ＝1510.
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比 数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…； a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
已知等比数列an
满足
an＞0，n＝1,2，…，
且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…
＋log2a2n－1＝
()
A．(n－1)2
B．n2
C．(n＋1)2
D．n(2n－1)
错解：易得 an＝2n，且 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝1＋3＋ …＋(2n－1)＝1＋22n－1(2n－1) ＝n(2n－1)．从而错选 D 错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没 数清．
即aa1122－＋22aa11aa55＋＋aa5522＝＝330422，， 两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64， 又 a5＞a1，故 a3＝8. 答案：A
2．在等
比数列an
中，
a8
是
a4
与________的等比中项
A．a9
B．a10
C．a11
() D．a12
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比 数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…； a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
已知等比数列an
满足
an＞0，n＝1,2，…，
且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…
＋log2a2n－1＝
()
A．(n－1)2
B．n2
C．(n＋1)2
D．n(2n－1)
错解：易得 an＝2n，且 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝1＋3＋ …＋(2n－1)＝1＋22n－1(2n－1) ＝n(2n－1)．从而错选 D 错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没 数清．
即aa1122－＋22aa11aa55＋＋aa5522＝＝330422，， 两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64， 又 a5＞a1，故 a3＝8. 答案：A
2．在等
比数列an
中，
a8
是
a4
与________的等比中项
A．a9
B．a10
C．a11
() D．a12
1.3.1等比数列(二)课件ppt(
课前探究学习
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自学导引
1．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，_使__a_、__G_、__b_成__等__比__数__列__， 那么G叫作a与b的等比中项． 试一试：若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 提示 不一定．因为若G＝0，且a，b中至少有一个为0， 则G2＝ab，而根据等比数列的定义，a，G，b不成等比数 列；当a，G，b全不为零时，若G2＝ab，则a，G，b成等 比数列．
为一
常数，判定一个数列不是等比数列只须找到一组 an ≠ am an－1 am－1
(m≠n)即可．
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[规范解答] (1)∵等比数列{an}中，a1＝1，公比为q， ∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0)，(2分) 若q＝1，则an＝1，bn＝an＋1－an＝0， ∴{bn}是各项均为0的常数列，不是等比数列．(4分) 若 q≠1，由于bbn＋n 1＝aan＋n＋2－1－aan＋n1＝qqnn＋－1－qnq－n1＝qqn－n1qq－－11 ＝q，
∴{bn}是首项为b1＝a2－a1＝q－1，公比为q的等比数列．(8分) (2)由(1)可知，当q＝1时，bn＝0； 当q≠1时，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1， ∴bn＝(q－1)qn－1(n∈N＋)．(12分)
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【题后反思】 1.本题属于“运算数列”是否为等比数列的判 定问题，根据等比数列的定义，对于公比的取值情况的讨 论十分关键，这不仅是解题思路自然发展的体现，而且是 逻辑思维严谨性的具体要求． 2．若数列{an}为等比数列，则下列结论仍能成立．
∵an>0，∴an＋1＋an>0，∴aan＋n 1＝n＋n 1，即 an＋1＝n＋n 1an，
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2.首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是
an a1qn1(a1 0，q 0).
3.（1）数列单调性的概念
一般地，一个数列 an ，如果从第2项起，每一项都大于它前
面的一项，即an1 an ，那么这个数列叫作递增数列. 如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 an1 an ，那
ka
2
ka4
2 9 2
, ,
81
k a
2
1
,
a
3
1 3
舍去
f
(x)
2
1 3
x
，则an
2
1 n 3
.
(2)
an
显然为等比数列
Q
a1
2 3
0且0
q
1 3
1
an为递减数列.
1.等比数列 an a1qn1 a1 0，q 0 的单调性
a1
q的范围
a1 0
a1 0
0 q 1 q=1 q 1 0 q 1 q=1 q 1
江西省2020年寒假及春季学期延期开学期间线上教育课程
北师大版 高中数学 必修5 第一章 数 列
§3.1等比数列（第2课时）
授课教师：景德镇二中 李昊
复习回顾 1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的 比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做
等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示（首项a1 0且q 0）.
an 为递增数列.
方法二
an =f (n) 3g2n1可以看作定义域为正整数集的指数型函
数，根据指数型函数单调性的判断得出an为递增数列.
引例（答2）：已如an知何=3等？g若比12a数nn该列1 数a3列ng为的12递通n减项1，数公该列式数；为列ana的n =单3g3调12g性12n又1，n为如1该递何数增？列数的列单. 调性
尽？
解 （1）如果每时平均毁林约48hm2 ，则每年平均毁林
48 24365=420480 hm2 .
所以
1.9 107 420480
45.2 ，故剩下的森林大约经过45年将被毁尽.
例3 据报载，中美洲地区毁林严重，据统计，在20世纪80年代末，每
时平均毁林约48 hm2 ，森林面积每年以3.6%~3.9%的速度减少，迄今被毁 面积已达1.3107 hm2，目前还剩 1.9107 hm2 ，请你回答以下几个问题：
3 2
an
2 3
n2
.
例2
在各项为负数的数列an 中，已知2an
3an1，且a2 ga5 =
8. 27
（2）判断数列an的单调性；
解
（2）Q
a1 =-
3 2
且q
2 3
根据an 为递增数列
aq1
0 1
或
0a1
q
0
1
数列an 为递增数列.
另解
由（1）可知 an f (n)
定数列 an为递增数列.
a1 0
q0
an的单调性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列 摆动数列
2.等比中项：如果在 a与b中间插入一个数 G ,使a、G、b 成等比数列，那么G叫做a与b 的等比中项.
课后作业
课本P29 练习2中（1）（3）题
（1）已知数列a, a1 a, a 1 a2 , 是等比数列，则实数 a 的取值范围是（ ）.
A.a 1
B.a 0或a 1
C.a 0
D.a 0且a 1
（3）求下列各组数的等比中项. (1) 45和 80; (2)7 3 5和7 3 5; (3)(a b)2 和(a b)2.
（3）若按3.6%的速度减少，估算经过150年后，经过200年后，经过250 年后及经过300年后森林面积的情况，经过多少年森林将被毁尽？
解（3）经过150年后，还剩约7.77104 hm2 ；
经过200年后，约剩1.24104 hm2 ； 经过250年后，约剩 1986hm2 ；
树木拥有绿色，地 球才有脉搏.从来就没 有取之不尽用之不竭的
例3 据报载，中美洲地区毁林严重，据统计，在20世纪80年代末，
每时平均毁林约48 hm2 ，森林面积每年以3.6%~3.9%的速度减少，迄今 被毁面积已达1.3107 hm2 ，目前还剩 1.9107 hm2，请你回答以下几个问题：
（1）如果以每时平均毁林约48 hm2 计算，剩下的森林经过多少年将被毁
不存在等比中项.
例题讲解
例4 (1) 2+1与 2 1的等比中项是 1 ；
（2）在等比数列 an中，已知 a2 2，a6 8，则a4 =
.
解 （1）设等比中项为G，则G2 2 1 2 1 1
G 1.
（2）在等比数列 an中，已知 a2 2，a6 8，则a4 =
.
辨析
Q a4 a1q3 q2 a2 a1q
0
a4 4
Q
aa11qq5
2 8
解得
a1 2 或 a1 2 q 2 q 2
a4 a1q3 4
注意：在等比数列中，使用等比中项公式计算某项时，要对此项 正负进行判断.
1.等比数列 x，2x 2,3x 3，的第四项是 ( B) .
A.0
B. 27
C.1
D. 27
2
2
解 2x 22 =xg3x 3 x2 5x 4 0 x 1或-4
当x 1时，前三项分别为-1，0,0
显然不符合等比数列中任何一项都不为零，故舍去 x 1
当x 4时，前三项分别为-4，-6,-9
公比q 6 3，则第四项等于 9 3 27 .
4 2
22
2.已知数列{an}的图像是函数f(x)=k·ax(a>0,且a≠1)图像上一群孤立
的点,且点
2，2 9
例题讲解
例1 以下数列中，递增数列的是 (1)(4) ，递减数列的是 (2)(3)
（横线上填入数列的序号）.
(1)an 3n1；
(2)an
2g
1 3
n1
；
(3)an 2g3n；
(4)an
2g
1 3
n
；
(5)an (1)n.
思考3 等比数列an中，公比 q 0 时，该数列的是否具有单调性？
显然，在等比数列中，首末两项除外，每一项都是它前后两 项的等比中项.
2.等比中项
思考 (1)任意两个实数 a、b的等差中项是否存在；若存在，是否唯一？ 答：存在唯一的一个数 a b 是 a、b 的等差中项.
2
(2)任意两个实数 a、b的等比中项是否存在；若存在，是否唯一？ 答：当 agb 0 时，a、b存在等比中项 ab ，当 agb 0 时，
例如：an
1 2
n
的图像如右图
显然不具有单调性，该数列我们称 为：摆动数列.
an
1
4 13 5
O
结
等比数列 an a1qn1 a1 0，q 0 的单调性
a1
q的范围
a1 0
0 q 1 q=1
a1 0
q 1 0 q 1 q=1 q 1
a1 0
q0
an的单调性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列 摆动数列
例题讲解
例2
在各项为负数的数列an
中，已知2an 3an1
，且a2
ga5
=
8 27
.
（1）求证：an是等比数列，并求出通项；
解 （1）Q an1 2 an 3
数列an是公比q
2 的等比数列， 3
又Q
a2 ga5
8 27
，则a1qga1q
4
8 27
，可得a12
=
3 2
2
，
Q
各项为负数 a1=
2 3
n，2
由函数单调性可直接确
例2
在各项为负数的数列an 中，已知2an
3an1，且a2 ga5 =
8. 27
（3）试问- 16 是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项； 81
如果不是，请说明理由.
解
（3）由-
2 3
n
2
16 81
2 3
4
可转化为
n 2 4，即n 6
因此， 16 是这个等比数列的第6项. 81
么这个数列叫作递减数列.
如果数列an 的各项都相等，那么这个数列叫作常数列.
（2）常用判断方法 ①作差比较法，即判断 an1 an 的值与0的大小关系； ②根据 an =f (n) 的函数特征进行判断.
引例（1）已知等比数列an的通项公式为 an 3g2n1，判断该数列的单
调性？
方法一 Q an1 an 3g2n 3g2n1 3g2n1 0
和
4，2 81
是其中的两个点.
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的增减性.
2.已知数列{an}的图像是函数f(x)=k·ax(a>0,且a≠1)图像上一群孤
立的点,且点
2，2 9
和
4，2 81
是其中的两个点.
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的增减性.
解
(1)由已知得
同理可得
a6 =q2 a4
a4 a6 a2 a4
即a4是a2和a6的等比中项
a42 a2 ga6 2 8 16 a4 = 4
上述分析过程 是否正确？为 什么？
（2）在等比数列 an中，已知 a2 2，a6 8，则a4 = 4 .
解法一
解法二
Q
a4 a2
q2且a2 =2 0
a4
an a1qn1(a1 0，q 0).
3.（1）数列单调性的概念
一般地，一个数列 an ，如果从第2项起，每一项都大于它前
面的一项，即an1 an ，那么这个数列叫作递增数列. 如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 an1 an ，那
ka
2
ka4
2 9 2
, ,
81
k a
2
1
,
a
3
1 3
舍去
f
(x)
2
1 3
x
，则an
2
1 n 3
.
(2)
an
显然为等比数列
Q
a1
2 3
0且0
q
1 3
1
an为递减数列.
1.等比数列 an a1qn1 a1 0，q 0 的单调性
a1
q的范围
a1 0
a1 0
0 q 1 q=1 q 1 0 q 1 q=1 q 1
江西省2020年寒假及春季学期延期开学期间线上教育课程
北师大版 高中数学 必修5 第一章 数 列
§3.1等比数列（第2课时）
授课教师：景德镇二中 李昊
复习回顾 1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的 比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做
等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示（首项a1 0且q 0）.
an 为递增数列.
方法二
an =f (n) 3g2n1可以看作定义域为正整数集的指数型函
数，根据指数型函数单调性的判断得出an为递增数列.
引例（答2）：已如an知何=3等？g若比12a数nn该列1 数a3列ng为的12递通n减项1，数公该列式数；为列ana的n =单3g3调12g性12n又1，n为如1该递何数增？列数的列单. 调性
尽？
解 （1）如果每时平均毁林约48hm2 ，则每年平均毁林
48 24365=420480 hm2 .
所以
1.9 107 420480
45.2 ，故剩下的森林大约经过45年将被毁尽.
例3 据报载，中美洲地区毁林严重，据统计，在20世纪80年代末，每
时平均毁林约48 hm2 ，森林面积每年以3.6%~3.9%的速度减少，迄今被毁 面积已达1.3107 hm2，目前还剩 1.9107 hm2 ，请你回答以下几个问题：
3 2
an
2 3
n2
.
例2
在各项为负数的数列an 中，已知2an
3an1，且a2 ga5 =
8. 27
（2）判断数列an的单调性；
解
（2）Q
a1 =-
3 2
且q
2 3
根据an 为递增数列
aq1
0 1
或
0a1
q
0
1
数列an 为递增数列.
另解
由（1）可知 an f (n)
定数列 an为递增数列.
a1 0
q0
an的单调性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列 摆动数列
2.等比中项：如果在 a与b中间插入一个数 G ,使a、G、b 成等比数列，那么G叫做a与b 的等比中项.
课后作业
课本P29 练习2中（1）（3）题
（1）已知数列a, a1 a, a 1 a2 , 是等比数列，则实数 a 的取值范围是（ ）.
A.a 1
B.a 0或a 1
C.a 0
D.a 0且a 1
（3）求下列各组数的等比中项. (1) 45和 80; (2)7 3 5和7 3 5; (3)(a b)2 和(a b)2.
（3）若按3.6%的速度减少，估算经过150年后，经过200年后，经过250 年后及经过300年后森林面积的情况，经过多少年森林将被毁尽？
解（3）经过150年后，还剩约7.77104 hm2 ；
经过200年后，约剩1.24104 hm2 ； 经过250年后，约剩 1986hm2 ；
树木拥有绿色，地 球才有脉搏.从来就没 有取之不尽用之不竭的
例3 据报载，中美洲地区毁林严重，据统计，在20世纪80年代末，
每时平均毁林约48 hm2 ，森林面积每年以3.6%~3.9%的速度减少，迄今 被毁面积已达1.3107 hm2 ，目前还剩 1.9107 hm2，请你回答以下几个问题：
（1）如果以每时平均毁林约48 hm2 计算，剩下的森林经过多少年将被毁
不存在等比中项.
例题讲解
例4 (1) 2+1与 2 1的等比中项是 1 ；
（2）在等比数列 an中，已知 a2 2，a6 8，则a4 =
.
解 （1）设等比中项为G，则G2 2 1 2 1 1
G 1.
（2）在等比数列 an中，已知 a2 2，a6 8，则a4 =
.
辨析
Q a4 a1q3 q2 a2 a1q
0
a4 4
Q
aa11qq5
2 8
解得
a1 2 或 a1 2 q 2 q 2
a4 a1q3 4
注意：在等比数列中，使用等比中项公式计算某项时，要对此项 正负进行判断.
1.等比数列 x，2x 2,3x 3，的第四项是 ( B) .
A.0
B. 27
C.1
D. 27
2
2
解 2x 22 =xg3x 3 x2 5x 4 0 x 1或-4
当x 1时，前三项分别为-1，0,0
显然不符合等比数列中任何一项都不为零，故舍去 x 1
当x 4时，前三项分别为-4，-6,-9
公比q 6 3，则第四项等于 9 3 27 .
4 2
22
2.已知数列{an}的图像是函数f(x)=k·ax(a>0,且a≠1)图像上一群孤立
的点,且点
2，2 9
例题讲解
例1 以下数列中，递增数列的是 (1)(4) ，递减数列的是 (2)(3)
（横线上填入数列的序号）.
(1)an 3n1；
(2)an
2g
1 3
n1
；
(3)an 2g3n；
(4)an
2g
1 3
n
；
(5)an (1)n.
思考3 等比数列an中，公比 q 0 时，该数列的是否具有单调性？
显然，在等比数列中，首末两项除外，每一项都是它前后两 项的等比中项.
2.等比中项
思考 (1)任意两个实数 a、b的等差中项是否存在；若存在，是否唯一？ 答：存在唯一的一个数 a b 是 a、b 的等差中项.
2
(2)任意两个实数 a、b的等比中项是否存在；若存在，是否唯一？ 答：当 agb 0 时，a、b存在等比中项 ab ，当 agb 0 时，
例如：an
1 2
n
的图像如右图
显然不具有单调性，该数列我们称 为：摆动数列.
an
1
4 13 5
O
结
等比数列 an a1qn1 a1 0，q 0 的单调性
a1
q的范围
a1 0
0 q 1 q=1
a1 0
q 1 0 q 1 q=1 q 1
a1 0
q0
an的单调性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列 摆动数列
例题讲解
例2
在各项为负数的数列an
中，已知2an 3an1
，且a2
ga5
=
8 27
.
（1）求证：an是等比数列，并求出通项；
解 （1）Q an1 2 an 3
数列an是公比q
2 的等比数列， 3
又Q
a2 ga5
8 27
，则a1qga1q
4
8 27
，可得a12
=
3 2
2
，
Q
各项为负数 a1=
2 3
n，2
由函数单调性可直接确
例2
在各项为负数的数列an 中，已知2an
3an1，且a2 ga5 =
8. 27
（3）试问- 16 是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项； 81
如果不是，请说明理由.
解
（3）由-
2 3
n
2
16 81
2 3
4
可转化为
n 2 4，即n 6
因此， 16 是这个等比数列的第6项. 81
么这个数列叫作递减数列.
如果数列an 的各项都相等，那么这个数列叫作常数列.
（2）常用判断方法 ①作差比较法，即判断 an1 an 的值与0的大小关系； ②根据 an =f (n) 的函数特征进行判断.
引例（1）已知等比数列an的通项公式为 an 3g2n1，判断该数列的单
调性？
方法一 Q an1 an 3g2n 3g2n1 3g2n1 0
和
4，2 81
是其中的两个点.
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的增减性.
2.已知数列{an}的图像是函数f(x)=k·ax(a>0,且a≠1)图像上一群孤
立的点,且点
2，2 9
和
4，2 81
是其中的两个点.
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的增减性.
解
(1)由已知得
同理可得
a6 =q2 a4
a4 a6 a2 a4
即a4是a2和a6的等比中项
a42 a2 ga6 2 8 16 a4 = 4
上述分析过程 是否正确？为 什么？
（2）在等比数列 an中，已知 a2 2，a6 8，则a4 = 4 .
解法一
解法二
Q
a4 a2
q2且a2 =2 0
a4