可降阶的二阶微分方程
二阶阶微分方程的解法及应用
f (0) 1
思考: 设 ( x) e x
x
x 0
( x u ) d u, (0) 0,
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
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例3. 设函数
数, 且
内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
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(7) y 2 y 5 y sin 2 x
特征根: 齐次方程通解: Y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) 令非齐次方程特解为 代入方程可得 A 117 ,
原方程通解为 y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
dp f ( x, p ) dx
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2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程
代数法
x 2 y p x y q y f (x) d t 令 x e ,D dt D( D 1) pD q y f (et )
o x x
F x g (20 x) g 2( x 10) g
由牛顿第二定律, 得
d x 20 2 2( x 10) g dt dx 0 x t 0 12 , d t t 0
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2
结束
微分方程通解:
由初始条件得 故定解问题的解为
可降阶的二阶微分方程
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
思考与练习
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或 均可.
例如, 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 为曲边的曲边梯形面积 积记为 区间[ 0, x ] 上以 满足的方程 . 解:
( 99 考研 )
在点 P(x, y) 处的切线倾角为α , 于是
1 2 S1 = y cotα y P S1 1 y α ox x
(一阶线性齐次方程)
dp dp dy dp 则y′′ = = =p dx dy dx dy
故所求通解为
例５. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: k mM d2 y M : 地球质量 m 2 = 2 y dt dt m : 物体质量
积分得
1 2
p2 = 1 e2y + C1 2
利用初始条件, 得C1 = 0, 根据 p y=0 =y′ x=0 =1 > 0, 得 dy = p =e y dx 积分得 e y = x + C2 , 再 y x=0 = 0, 得C2 = 1 由 故所求特解为
1 e y = x
例７.
二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的
高数第4章第4节——可降阶的二阶微分方程
一、 y f ( x) 型的微分方程 二、 y f ( x, y)型的微分方程 三、y f ( y, y) 型的微分方程
四、可降阶二阶微分方程的应用举例
一、y f ( x) 型的微分方程
特点 右端仅含有自变量 x , 只要连续积分 二次即得通解 .
解法
y f ( x)dx C1,
积分后得通解: y2 C1x C2.
例 8 已知曲线 y y( x)满足方 yy 2( y2 y)，其 在(0,1)处的切线为 y 2x 1，求此曲线方程.
解 即求解初值问题：
则 y P dP , dy
代入原方程得
由于y 0, p 0,
y p dP 2( p2 p)
dy
故有
dp 2( p 1)
dy
y
分离变量，得
dp 2 dy p1 y
两边积分，得 ln p 1 ln y2 C1
将 y 1 , P 2 代入 , 得 C1 0 ,
y P y2 1 ,
分离变量，得
dy y2
1
dx
,
两边积分，得 arctan y x C ,
将 x 0 , y 1 代入 , 得 C ,
4
故曲线方程为 y tan( x ) .
4
例9 解令
积分得
代入方程得 即
例10 解初值问题
y e2y 0
y
x0
0
,
y
x0
. 1
解令
代入方程得
积分得
即
利用初始条件,
根据
得
积分得 故所求特解为
五、小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令
一阶微分方程(二) 可降阶的二阶微分方程
e 设 y u( x)e P( x令)d x 是v( xd) y uP((xx)y Q( x)的解. dx 5
设 y u( x)e P( x)d x 是 d y P( x) y Q( x) 的解.
dx
y u( x)e P(x)d x u( x)[P( x)]e P(x)d x ,
将 y, y代入原方程得
P y f (x)
解此微分方程
y ed x C
2
xe
d
x
d
x
o
xx
Ce x 2 x 2, 由 y |x0 0, 得 C 2,
所求曲线为 y 2(e x x 1).
13
例4 求方程 y2 d x (x 2xy y2)d y 0 的通解.
分析：可变形为：d
d
y x
则原方程的通解为 y ( x2 C)esin x .
8
例2求解微分方程
dy dx
3y
e2x满足条件
y x0
0的特解.
解 这是一个一阶非齐次线性方程.
它对应的齐次方程为
d d
y x
3y
0，分离变量得：dyy
3d
x,
积分得：ln y 3x lnC, 即 y Ce3x .
再用常数变易法，把 C 换成新函数 u u(x)
x
x
解 (用常数变易法)
先求
y
1 x
y
0 的解，分离变量：d y y
dx x
,
两边积分ln y ln x lnC，得通解：y C
再用常数变易法求
y
1
y
sin
x
x
的解，
x
x
设 y u( x) 是原方程的解，则 y
第五节可降阶的二阶微分方程
第五节 可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.内容分布图示★ ())(x f y n =型★ 例1★ 例2 ★ 例3★ ),(y x f y '=''型★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ ),(y y f y '=''型★ 例8★ 例9 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—5★ 返回内容要点：一、 )(x f y =''型在方程)(x f y =''两端积分，得1)(C dx x f y +='⎰ 再次积分，得[]21)(C dx C dx x f y ++=⎰⎰注：这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程)()(x f y n =，只要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解.二、),(y x f y '=''型这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，).,(p x f p ='设其通解为),,(1C x p ϕ=然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程).,(1C x dxdy ϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21⎰+=C dx C x y ϕ三、),(y y f y '=''型这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有.dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样就将原方程就化为 ).,(p y f dydp p = 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为),,(1C y p y ϕ=='这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21C x C y dy +=⎰ϕ例题选讲：)(x f y =''型例1（讲义例1）求方程x ey x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 例2（讲义例2）求方程0)3()4(=-y xy 的通解.例 3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数: ).(t F F = 在开始时刻0=t 时,)0(0F F = 随着时间t 的增大, 此力F 均匀的减少, 直到T t =时, .0)(=T F 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.),(y x f y '=''型例4（讲义例3）求方程02)1(222=-+dx dy x dxy d x 的通解. 例5 求微分方程初值问题. ,2)1(2y x y x '=''+ ,10==x y 30='=x y的特解.例6 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.例7（讲义例4）设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.),(y y f y '=''型例8（讲义例5）求方程02='-''y y y 的通解.例9 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解.课堂练习1. 求方程x y ln ='''的通解.2.求微分方程223y y =''满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解. 3.一质量为m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.。
第二讲：高阶和线性微分方程及其微分方程的应用(13 题)
( 米/秒) 秒
dv k k ⇒ = − dt ⇒lnv = − t + c1 v m m k − t 10 m 10 10 ⇒v = e ⇒ c1 = ln 由 v(0) = 3 3 3 k − 20 5 10 m ⇒ k = ln2 5 又 v(20) = ( 米/秒) ⇒ = e 秒 m 20 3 3 3 ln2 − t 10 20 10 −2ln2 5 ∴ v= e ⇒ v(40) = e = 3 3 6 ln2 − t ds 10 20 , s(0) = 0 积分得 = e (2) 由 dt 3 ln2 175 (米) − t 200 米 20 ) ⇒ s(60) = s(t ) = (1− e 3ln2 3ln2
π
π
y''cos x − 2 y'sin x + 3y cos x = e x
化简 , 并求出原方程的通解 解
d2 y
dy du = secx + usecxtan x dx dx
du d 2u 3 = 2secx tan x + secx 2 + usecx tan2 x + usec x dx dx2 dx
积分得
1 ln( p −1) = ln y + c1 2
由 x = 0 , y =1, p = 2 ⇒c1 = 0 ⇒ p = 1+ y2
1+ y π 令 x = 0 , y =1 ⇒ c2 = , 4
dy ⇒ =1+ y2 dx
⇒
dy
2
= dx
⇒arctan y = x + c2
所以特解: 所以特解 y = tan( x + )
重点可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的定义和解(精)
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
2 [例 2] 求方程 2 xy y 1 ( y ) 的通解. 解 令 y p ( x) ,则 y( x) p( x) ，将其代入所给方 2 2 x p p 1 p , 程,得
2 pd p d x 分离变量得 , 两边积分得 2 1 p xLeabharlann 第七章微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
[例 3] 求方程yy
y 0的通解.
2
dP 解 设 y P( y ), 则 y P , dy
dP dP 2 P 0, 即 P ( y 代入原方程得 y P P ) 0, dy dy dy dP 由 y P 0， 可得 P C1 y , C1 y , dx dy
0
1 x y ' 1 y ' 2 dx a 0
取原点O到点A的距离为定值 a
1 2 y ' ' 1 y ' a 于是有 y (0) a, y(0) 0
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
a 2 2C1 1 p 将初始条件 y ' (0) p(0) 0 代入①式，解得
a 将 C 2 0 代入②式， 解得曲线方程为 y (e e ). 2
x a
x a
此曲线为悬链线．
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
方程的特点：方程右端不显含未知函数y. 方程的解法： 令 y p( x) ,则 y p( x), 将它们
代入方程得
p( x) f ( x, p( x))
微积分：二阶微分方程
二、二阶常系数线性微分方程
一般形式 y+by+cy=f(x)
当f（x）=0时，称为齐次的， 当f（x） 0时，称为非齐次的。
1、解的结构 引进微分算子：L[y] y+b y+cy 则方程分别记为
L[y]=f(x)， L[y]=0 性质1
L[cy]=cL[y]，c为常数。
性质2
L[y1+y2]= L[y1]+ L[y2]。
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x ;
例4 解方程y 6 y 9 y 0. 解 特征方程 r 2 6r 9 0 (r 3)2 0
r1 r2 3 故通解 y (C1 C2 x)e3x .
若有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
比较系数
2b0 3,2b0 b1 1.
b0
3, 2
b1
4.
y* x( 3 x 4)e x
2
通解
y
C1e x
C2e2x
x(
3 2
x
4)e x .
例3 求y 3x 1的一个特解。
解 r 2 0 0是重根，
设 y* x 2 (b0 x b1 )e0x 将y *、y *、y * 代入微分方程,
C2 x)e x
]
则，方程组的解为
z (C1 C2 x)e x
y
1 2
(2C1
C2
2C2 x)e x .
例2 解方程组
3
dx
dt dx
dy
dt dy
x y
0 et
(1) (2)
dt dt
微分方程组的应用：
例3 捕食 — 被捕食模型
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§12.5 可降阶的二阶微分方程内容概要1．求下列微分方程的通解：★(1)x e y x sin 3+='' ；知识点：)()(x f y n =型解：积分一次 133cos 31)sin (C x e dx x ey xx+-=+='⎰， 积分两次 21313sin 91)cos 31(C x C x e dx C x e y xx ++-=+-=⎰，原方程的通解为 213sin 91C x C x e y x++-=。
★(2)21y y '+=''；知识点：既是),(y x f y '=''型又是),(y y f y '=''型，两种方法均可尝试，选择相对简单的。
解： 令y x p '=)(，则原方程化为 21p p +='， 即dx dp p =+211， 两边积分得 1arctan C x p += ，即)tan(1C x p y +=='，从而211|)cos(|ln )tan(C C x dx C x y ++-=+=⎰，原方程的通解为21|)cos(|ln C C x y ++-=。
★(3)x y y +'=''，知识点：),(y x f y '=''型解：令y x p '=)(， 则原方程化为 x p p =-'，由一阶线性非齐次方程的通解公式得：1)()(111--=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰--x e C C dx xe e C dx e x e p x x x dxdx ，即11--='x e C y x ，于是221121)1(C x x e C dx x e C y x x +--=--=⎰，原方程的通解为 22121C x x e C y x +--=。
★★ (4)012=-'+''yy y ; 知识点：),(y y f y '=''型 解： 令y x p '=)(， 则dydp py =''， 原方程化为012=-+y p dy dp p， 即dy y dp p 111-=， 两边积分得 1ln 1ln lnC y p +-=， 即)1(1-=y C p ，故)1(1-='y C y ， 即dx C dy y 111=-， 两边积分得原方程的通解 211lnC x C y +=-。
★★★(5)xy x y y x '+'=''sin解法一：令y x p '=)(， 则p y '=''，代入原方程化简得 x p x p p x sin+='， 即xp x p p sin +='， 为齐次微分方程，令)(x u xp=，则u u x p +'='， 代入方程得u u u u x sin +=+'，为可分离变量方程，两边积分⎰⎰=dx x dp u 1sin 1，解得1ln ln 2tan ln C x u +=，化简得 x C u1arctan 2=，即x C xy 1arctan 2='，从而x C x y 1arctan 2='，两边积分得⎰⎰==211arctan arctan 2xdx C xdx C x ydx x C x C x C x ⎰+-=22121121arctandx xC C C x C x C x ⎰+-+-=221112112111arctan ， ⎰⎰++-=dx xC C dx C x C x 22111121111arctan 解得2121112arctan 1arctan C x C C C x x C x y ++-=，)0(1≠C ； 若01=C ，则0='y ，2C y =。
解法二：令xy x p '=)(， 则p p x y +'=''， 代入原方程化简得 p x xp xp p xsin 2+=+'， 即p p x sin ='为可分离变量方程，两边积分⎰⎰=dx x dp p 1sin 1，解得1ln ln 2tanln C x p+=，化简得x C p 12tan =，x C p 1arctan 2=，即x C xy 1arctan 2='， 从而x C x y 1arctan 2='，两边积分⎰⎰==211arctan arctan 2xdx C xdx C x ydx x C x C x C x ⎰+-=22121121arctandx xC C C x C x C x ⎰+-+-=221112112111arctan ⎰⎰++-=dx x C C dx C x C x 22111121111arctan ，解得)0(,arctan 1arctan 12121112≠++-=C C x C C C x x C x y ， 若01=C ，则0='y ，2C y =。
★★★ (6)y y y '+'=''3。
知识点：既是),(y x f y '=''型又是),(y y f y '=''型。
解： 令y y p '=)(， 则dydp py =''， 原方程化为p p dy dp p+=3， 即0)]1([2=+-p dydpp . 由0=p 得C y =， 这是原方程的一个解；由0)1(2=+-p dydp得1arctan C y p -=即)tan(1C y p y -=='， 从而 )sin(ln )tan(1112C y dy C y C x -=-=+⎰， 故原方程的通解为12arcsin C e y C x +=+。
★★ 2. 求微分方程223y y =''满足初始条件10==x y ，10='=x y 的特解。
知识：),(y y f y '=''型 解：令y x p '=)(，则dydp py =''， 原方程化为223y dy dp p=， 即dy y pdp 223=， 两边积分得 132212121C y p +=， 即13C y y +±='。
由10==x y ，10='=x y 得01=C ，所以23yy ='， 从而dx dy y =-23， 两边积分得 2212C x y +=--，由10==x y ，得22-=C ，故原方程的特解为2)2(4--=x y 。
★★3. 试求x y =''的经过点)1,0(M 且在此点与直线12+=xy 相切的积分曲线。
解：原题转化成求x y =''在初始条件10==x y ， 21|0='=x y 的特解。
方程两边积分：1221C x y +='，21361C x C x y ++=。
代入初始条件21|0='=x y 得211=C ， 再由10==x y ，得12=C ，因此所求曲线为 121613++=x x y 。
★★★ 4.已知某曲线在第一象限内且过坐标原点，其上任一点M 的切线MT ，M 的纵坐标MP ，x 轴所成的三角形MPT 的面积与曲边三角形OMP 的面积之比恒为常数)21(>k ，又知道点M 处的导数总为正，试求该曲线的方程。
解：设所求曲线方程为)(x y y =任一点M 坐标为),(y x ， 由题意得 TPMPy ='=θtan ， 即yyTP '=，三角形MPT y y y TP MP S ='⨯⨯=⨯=2121曲边三角形OMP 的面积⎰=xdx x y S)(，由两面积之比为常数得⎰='x dx x y k y y 02)(2， 两边关于x 求导得 )(2222x ky y y y y y y ='''-'' ， 即2)1(2y k y y '-=''， 令y y p '=)(， 则dydp py =''， 原方程化为2)1(2p k dy dp yp-=， 即0])1(2[=--p k dydp y p 。
由0=p 得C y =， 这是原方程的一个解. 但不合题意舍去。
由0)1(2=--p k dydpy，得 )1(21k y C p -= ，即)1(21k y C y -=' ，从而 121221-=+-k y C x C k ，由曲线过原点，得00==x y ，代入得02=C 。
所求曲线为x C k y k 112)12(-=-，由1C 的任意性，曲线可表示为121-=k Cxy ，C 为任意常数。