第三节平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积及其运算律
平面向量的数量积及其运算律在物理课中，我们学过功的概念：即一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功：W =|F ||S |cos θ.即功等于运动距离乘以力在运动方 向上的投影.如图1.4—1.由此我们引出向量数量积的概念.一.数量积 【向量的夹角】已知两非零向量a 和b .在平面上任取一点O,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ab.则∠AOB =θ(0≤θ≤π).叫做向量a 与b 的夹角．想一想:你能指出下列图中两向量的夹角吗？参考答案:①的夹角为0，②OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π，③OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是∠AOB ，④OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是θ.两向量夹角的取值范围[0，π]．注：如果向量a 与b 的夹角是 π2，就称a 与b 垂直，记作a ⊥b .【平面向量的数量积】已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作：a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ. 并规定0∙a =0.这里“·”表示向量的一种乘法运算，称为点乘.【数量积的几何意义】 我们把|b|cos θ (|a |cos θa 叫做向量b 在a 方向上(a 在b 方向上)的投影.你能从图中作出|b |cos θ的几何图形吗？①投影不是向量,是数量，它可以是任意的实数. ②当θ为锐角时投影为正值，数量积为正值.当θ为钝角时投影为负值，数量积为负值；当θ为直角时投影为0，数量积为0； 当θ = 0时，a 与b 同向，投影为|b |，a ·b =|a ||b |， 当θ=π时，a 与b 反向，投影为 -|b |，a ·b = -|a ||b |.a ·b 的几何意义：向量a 与b 的数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影(|b |cos θ的积．【数量积的性质】 ①a ⊥b ⇔a ⋅b =0.②当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |，当a 与b 反向时，a ·b = -|a ||b |.特别地a ·a=|aaa|2. ③|a ⋅b |≤|a |⋅|b |.图1.4—1 图1.4—2图1.4—3④设a 是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与e 的夹角，则e ⋅a =a ⋅e =|a |cos θ. ⑤cos θ=a·b|a ||b|.【数量积的运算律】已知向量a 、b 、c 和实数λ，则： ①a·b = b·a .(交换律). ②(λa ·b =λ(a·b )=a·(λb ).③(a +b ·c=a·c+b·c . (分配律).注意:在实数中，乘法运算满足结合律.向量的数量积没有结合律可言.原因是(a·b )·c 包含的是两种不同的运算，即a· b 是数量积，再乘以c 为实数与向量的积.对于数量积的运算律，其中①、②读者可自证.下面就③给出相应的证明： 过a 、b ，a +b 的终点分别向c 引垂线，垂足分别是A 、B 、D. 如图1.4—4.a 、b ，a +b 在c 上的投影分别为OA 、OB 、OD. 又 OD=OB+BD.现证 BD=OA.过a +b 的终点引c 的平行线 交BE 于F.易知ΔEFG ≅ΔHAO ,⇒OA=FG,而FG=BD, 故OA=BD.⇒ OD=OA+OB,⇒ (a +b ·c=a·c+b·c .【特别提醒】从实数的运算到向量的数量积运算，发生了如下几个主要变化: (1)在实数运算中，若a ⋅b=0，则a=0或b=0； 在数量积中，若a ⋅b=0，则a=0或a b=0或b a ⊥. (2)在实数运算中，已知实数a 、b 、c(b ≠0)，则ab=bc,⇒ a=c.在数量积中，若b 0≠，且a ⋅ba=ab ⋅c 则 aa=aca 吗？ 如右图1.4—5：a ⋅ba=a|a||b|c os β = |b||OA|， b ⋅ca=a|b||c|cos α = |b||OA| ⇒aa ⋅ba=ab ⋅c ，但a ≠ac .(3)在实数运算中，乘法运算满足结合律(a ⋅b)c = a(b ⋅c). 在数量积中，没有结合律可言.a (4)在实数运算中，|ab|=|a||b|. 在数量积中，|a ⋅b |≤|a |⋅|b |.想一想①:已知向量|a |=2，|b |=1，a 、b 的夹角为600，则|a +b ||a -b |=|a 2-b 2|=3吗?【数量积的坐标形式】设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a·b =x 1x 2+y 1y 2.二.数量积性质的应用平面向量的数量积及性质的应用是非常广泛的，利用它们可以解决许多问题.【性质2的应用】与两非零向量a 、b 垂直的问题可通过a ·b =0来处理.例1.(1)已知向量a ⊥b ，且|a |=2，|b |=3，若(3a +2b )·(k a -b )=0，求k 的值.EOGH A BD Fc baa+b图1.4—4O 图1.4—5 a b cA(2)设c 、d 是非零的向量，d =(b ·c ）·a -(a ·c ）·b ，则c ∥d ，还是c ⊥d ？ (3)已知a 、b 、c 为非零的向量，若|b -a -c |=|a -b -c |且|a +b +c |=|a +b -c |.求证：a ⊥c . 解(1) ∵ a ⊥b ， ∴ a ·b =0 . 由(3a +2b )·(k a -b )=0，⇒3k a 2-2b 2=0.∵ |a |=2，|b |=3 ，得k= 32.(2) ∵ d =(b ·c )·a -(a ·c )·b ，⇒a d ·c =[(b ·c )·a -(a ·c )·b ]·c =(b ·c ·a ·c -(a ·c ·b·c =0.⊥ d ⊥c.(3) ∵ |b -a -c |=|a -b -c | ⇒(b -a -c 2=(a -b -c 2，⇒a ·c -b·c =0. ①由|a +b +c |=|a +b -c | 类似地，⇒a a ·c +ab·c =0. ② ⊥ 由①、② ⇒a a ·c =0 ⇒a ⊥c .例2.如图1.4—6. AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 交于一点H.证明：设BE,CF 交于一点H ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a b ，AH ⃗⃗⃗⃗⃗ =a h .则BH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =h -a ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =h -b ， BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b -a . ∵ BH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴ (h -a )a·b =0，且(h -b )a·a =0，⇒ (h -a )a·b =(h -b )a·a ，⇒(b -a )a·h =0. ∴ AH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 又∵ 点D 在AH 的延长线上，∴ AD 、BE 、CF 相交于一点.例3. 已知a =(√3，-1)，b =(12，√32).设存在实数k 、t 使得x =a +(t 2-3)b ，y = -k a +t b ，且x ⊥y ，试求k+t 2t的值域.解：∵ a =(√3，-1)，b =(12，√32) ， ∴ a ·b =0且|a |=2，|b |=1.a又∵ x ⊥y ，∴x ·y =0，⇒-k a 2+t(t 2-3)b 2=0，⇒k =t(t 2−3)4，⇒k+t 2t=t 2+4t−34=(t+2)2−74(t ≠0). ⇒k+t 2t∈[−74，−34)∪(−34，+∞).说明：此题若采用坐标运算来处理，而不注意灵活地利用a ·b =0，则计算量会增加许多.一般来说，当题设条件中有|a |、|b |为定值，且a ·b =0时.还是采用本题的解法为好.想一想②：设向量a 、b 、c 的模均为1，它们两两间的夹角均为1200，求证：(a -b ⊥c.【性质3的应用】与模有关的问题可通过a 2=|a|2，|a|=√a 2=√x 2+y 2来处理.例4.利用向量证明：平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和.已知：已知平行四边形ABCD.如图1.4—7.求证：2(AB 2+AD 2)=AC 2+BD 2.证明：设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a . AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b . ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =aa -b ， ∴ AC 2+BD 2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(a+b )2+(a -b )2=2(|a |2+|b |2)=2(AB 2+DA 2)， ∴ 2(AB 2+AD 2)=AC 2+BD 2.例5.利用向量证明余弦定理：在△ABC 中，求证：a 2=b 2+c 2-2bc·cosA .证明：如图1.4—8. ∵ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ cosA |AB ||AC |2AC )AB -AC (BC 2222-+==AB ， 即：a 2=b 2 +c 2-2bccosA. 同理可得： b 2= a 2+c 2-2accosB ； c 2= a 2+b 2-2abcosC.AB CD E F H 图1.4—6 A BC D 图1.4—7ABCc ab图1.4—8例6.已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，满足：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.求证：△ABC 是 正三角形. 思路1.由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，⇒ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ = -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ⇒四边形OADB 是菱形，⇒△AOD 是正三角形， ⇒∠AOB=1200，同理可得：∠AOC=∠BOC=1200，⇒△ABC 是正三角形.思路2.由OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，⇒ O 为重心. 由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC⃗⃗⃗⃗⃗ ||=1，⇒O 为外心. ∴ △ABC 是正三角形. 思路3.由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1及|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2(|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2)， ⇒|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4，⇒ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=3，⇒AB =√3. 同理可得：BC=AC=.√3 ⇒ △ABC 是正三角形. 思路4.由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，⇒ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ = -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，⇒ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ 2 ， ⇒ cos ∠AOB=−12，⇒ ∠AOB=1200. 同理可得：∠AOC=∠BOC=1200.⇒△ABC 是正三角形.想一想③：a a aa a a 设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.若a·b=b ·c=a·c ，求证：△ABC 是正三角形.【性质4的应用】与两向量的夹角有关的问题.可通过cos θ=a⋅b |a||b|=x 1x 2+y 1y 2√x 12+y 12√x 22+y 22来处理.例7.已知向量a 、b 、c 两两所成的角都相等，且|a |=1，|b |=2，|c |=3.求向量a +b+c 的模及a +b+c 与a 的夹角.解：∵ 向量a 、b 、c 两两所成的角都相等，∴ a 、b 、c 两两所成的角为1200或00. ①若a 、b 、c 两两所成的角为00，则|a +b+c |=|a |+|b|+|c|=6.a +b+c 与a 的夹角的夹角为00.②若a 、b 、c 两两所成的角为1200，∵| a +b+c |2=a 2+b 2+c 2+2(a·b+b ·c+a·c )=1+4+9-(131322⨯+⨯+⨯)=3. ∴|aa +b+c |=√3.设a +b+c 与a 的夹角为θ，则cos θ=a⋅(a+b+c)|a||a+b+c|=1−1−32√3=−√32. ∴ a +b+c 与a 的夹角为1500.例8.已知|a |=√2，|b |=3，a 、b 的夹角为450，求使a +λb 与λa +b 的夹角为钝角时，λ的取值范围.解：由a +λb 与λa +b 的夹角为钝角，⇒ (a +λb ·(λa+b )＜0，且a +λb 与λa +b 不共线，⇒λa 2+(1+λ2)a ⋅b +λb 2＜0且λ≠±1，⇒−11+√856<λ<−11+√856，且λ≠−1.想一想④：1.已知|a |=2|b |≠0.关于x 的方程x 2+|a |x+a ·b =0有实根，求a 、b 的夹角的取值范围.2.已知a =(λ，2)，b =(-3，5).若a 、b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.【性质5的应用】与不等式、最值有关的问题通常可通过|a ·b |≤|a ||b |(x 1x 2+y 1y 2≤√x 12+y 12⋅√x 22+y 22) 或||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |来处理.例9.利用向量证明：(1)若a 、b 、c 、d ∈R ，则ac+bd≤√a 2+b 2⋅√c 2+d 2. (2)设a 、b ∈R ，则 |√1+a 2−√1+b 2|≤|a -b|.O ADB x yC 图1.4—9证明：(1) 设m =(a ，b)，n =(c ，d).由|m ·n|≤|m ||n |， | ac+bd|≤√a 2+b 2⋅√c 2+d 2，又∵ x≤|x ，|⇒ ac+bd≤√a 2+b 2⋅√c 2+d 2.(2) 设m =(1，b)，n =(1，a). 由||n |-|m ||≤|n -m |，⇒ |√1+a 2−√1+b 2|≤|a -b|.想一想⑤：1.设向量a =(1，-1)，b =(3，-4)，x =a +λb ，试证：使|x |最小的向量x ，垂直于向量b .2..求函数y =√x 2+a +√(x −c)2+b 的最小值.（其中a 、b 、c 是正实数）【数量积计算的几个形式】与向量数量积计算的相关试题可谓是千变万化，林林总总，不一而足.表面看来似乎纷繁杂陈，眼花缭乱.但是，假若我们静心品味，拨云驱雾，就会发现：这“万变”还是“不离其宗”的.归纳起来,其实主要是围绕如下三个方面展开的： ①直接形式——利用数量积的定义式(包括坐标形式)进行计算；②间接形式——通过变形将所求数量积转化到与已知条件有直接关系后进行计算； ③几何意义——利用数量积的几何意义进行计算.下面，我们将就此展开一些探讨.(1)紧扣定义，直接计算利用数量积的定义式进行计算时，通常要分别确定两向量的模和夹角.若题设条件没有 明确给出，就必须根据其它关系式将其导出.例10.如图1.4—10.已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ⃗⃗⃗⃗ ∙PB⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ). A.-4+√2. B. -3+√2. C. -4+2√2. D.-3+2√2.解：设|PA|=|PB|=x ，∵ PA ⃗⃗⃗⃗ ∙PB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2cos ∠APB=x 2(1-2sin 2∠APC) =x 2(1−21+x 2)=x 2−2x 21+x 2=−3+(21+x 2+1+x 2)≥−3+2√2.故应选D.例11.对于两个非零的平面向量α，β.定义α⊙β=α∙ββ∙β .若两个非零的平面向量a ，b ，满足a 与b 的夹角θ∈(π4，π2).当a ⊙b 和b ⊙a 都在集合{n 2|n ∈Z }中时，a ⊙b =( ).A.52.B. 32.C.1.D. 12. 解：由定义知，a ⊙b =|a||b|cos θ|b|2=|a|cos θ|b|. ∴(a ⊙b (b ⊙a )=cos 2θ.又由已知可设a ⊙b= n12，n 1∈Z ，b ⊙a =n 22，n 2∈Z ， ∴(a ⊙b (b ⊙a )=n 1n 24，又∵ θ∈(π4，π2)， ∴cos 2θ∈(0，12). 则0<n 1n 2<2,因此，n 1、n 2只能在{-1，1}中取值，故应选D.想一想⑥：1.如图1.4—11，在∆ABC 中，AD ⊥AB,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,| AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 2.已知A ，B ，C 是圆O ：x 2+y 2=1上的三点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ .则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 当所涉数量积计算的图形是直角三角形或矩形(正方形)时，应考虑通过建立平面直角坐P A B C x 图1.4—10_ BAD C 图1.4—11标系，利用数量积的坐标形式来进行.例12.在Rt ∆ABC 中，∠C=900，若∆ABC 所在平面内的一点P 满足PA → +PB →+λPC → =0. 则(1)当λ=1时，|PA|2+|PB|2|PC|2= ( ). (2)|PA|2+|PB|2|PC|2的最小值为 .解：建立如图1.4—12所示的平面直角坐标系. (1)设等腰直角三角形的边长为a ，当λ=1时，由PA ⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =0，知P 是∆ABC 的重心.设A(0，a)，B(a ，0)， 得P(a3，a3).从而可得|PA|2+|PB|2|PC|2=(a 29+4a 29)+(4a 29+a 29)a 29+a 29=5.对于填空题，也可用特值法.即设两直角边长为3，则计算要方便得多. (2)设P(x ，y)，∵|PA|2+|PB|2|PC|2=x 2+(y−a)2+(x−a)2+y 2x 2+y 2=2(x 2+y 2+a 2)−2(ax+ay)x 2+y 2≥2(x 2+y 2+a 2)−(a 2+x 2+a 2+y 2)x 2+y 2=1，当且仅当x=y=a 时取等号.∴ |PA|2+|PB|2|PC|2的最小值为1.想一想⑦：已知Rt ∆ABC 的三边CB ，BA ，AC 成等差数列.点E 为直角边AB 的中点，点D 在斜边AC 上，若AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且CE ⊥BD ，则λ= .(2)有效转换，方便计算有许多数量积的计算题，其所求式与题设条件之间没有直接的关联.这时，我们就必须通过转换与变形，将所求式变为与题设条件有密切关系的式子.我们常用的转换方式有两种：①利用向量加(减)法的三角形法则或平行四边形法则，变形后进行计算；②利用定比分点的向量形式OP → =OA → +λOB→1+λ (其中AP → =λPB → )转换后进行计算.例13.在边长为1的正∆ABC 中， 设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗ . 则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BE⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 解:法1.AD → ⋅BE → =(AB → +BC → 2)⋅(CA →3+BC → )=16(2AB → +BC → )⋅(−AB → +2BC → )=16(−2+2+3AB → ⋅BC → )=12cos 1200=−14.法2.由BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，⇒AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 再由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗ ，得 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，⇒BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =16(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )(−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16(−3+2−12)=−14. 说明：一般地，处理此类问题时，可由已知条件出发，将需要求数量积的两个向量，通过向量加法或减法的三角形法则，用已知模和夹角的向量表示出来后，再求值即可.例14.如图1.4—13，P 是∆AOB 所在平面上的一点.向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ab ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ac .且点P 在线段AB 的中垂线上.若|a |=2，|b |=1.，则c·(a -b )= ( ). A. 12. B.1. C. 32. D.2. 解析：∵ BA → =a -b ，c =OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(aa +b ) AC B xy 图1.4—12又DP → ⊥BA → .∴ c·(a -b )=ac=[DP⃗⃗⃗⃗⃗ +12(aa +b )]·(a -b = 12(aa +b a·(a -b = 12(a 2-b 2 = 32. 故应选 C.想一想⑻：1.在∆ABC 中，M 是BC 的中点.AM=3，BC=10.则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC⃗⃗⃗⃗⃗ = . 2.在∆ABC 中，∠BAC=1200，AB=2，AC=1.点D 在BC 边上，且DC=2BD.则AD⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 3.如图1.4—14.已知圆M :(x -3)2+(y -4)2=4.四边形ABCD 为圆M 的 内接正方形，点E ，F 分别为AB ，AD 的中点.当正方形ABCD绕圆心M 转动时，ME⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是 .(3)厘清意义，简化计算两向量a ，b 的数量积a·b 的几何意义是：一个向量a 的模|a |，与另一个向量b 在向量a 的方向上的投影的积.如图1.4—15.aa·b =|a |·OD.利用几何意义，我们在处理与三角形的外心或等腰三角形底边上的中线(实质是与线段的中垂线)有关的问题时，常常会收到奇效. 例15.(1)等腰∆ABC 中，若BC=4，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)在∆ABC 中，若AB=3，AC=4，BC=5，AM ⊥BC 于M.点N 为∆ABC 的内部或边上的点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是( ). A..25144 B.2. C.9. D.16..解：(1)AB → ⋅BC → =|AB → |⋅|BC → |cos(π−B)=−|AB → |⋅|BC → |cos B =−12|BC →|2=−8. (2)由条件知∆ABC 为直角三角形，且角A 为直角.易求得AM=125由数量积的几何意义知，当点N 落在BC 上时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值14425故应选A.例16.(1)已知O 是∆ABC 的外心，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10√2.若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且32x+25y=25，求|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |. (2)已知O 是锐角三角形ABC 的外心，若cosBsinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC⃗⃗⃗⃗⃗ =mAO ⃗⃗⃗⃗⃗ . 求证：m=2sinA. 解(1)如图1.4—15.∵ AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且32x+25y=25， ∴ AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2= (xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ )∙ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+y|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4(32x+25y)=100， 可得 |AO⃗⃗⃗⃗⃗ |=10. (2) 设∆ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理c=2RsinC ，b=2RsinB.∵ cosBsinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ cosB sinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinBAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AO⃗⃗⃗⃗⃗ =m|AO|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=mR 2， 又∵ cosBsinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 22sinC cosB +AC 22sinBcosC =2R 2(sinCcosB+sinBcosC) A BO PD 图1.4—13CA BO 。
2.4.1平面向量的数量积及运算律(3)
3.这个步骤可以使用思维导图或流程图，可以更好加深自己的理解哦~
费曼学习法--
实操
第三步 没有任何参考的情况下，仅靠大脑，复述你所获得的主要内容
（三） 仅 靠 大 脑 复 述
1.与上一步不同的是，这一步不能有任何参考， 合上你的书本、笔记等，看看此时你的大脑里还剩下了什么； 2.仅凭记忆，如果可以复述很多，说明掌握状况还可以； 3.如果一合上书，就连关系词有哪些都想不起来了， 说明还 没有掌握，需要继续回顾。
2. 求证：直径 所对的圆周角为 直角．
13
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之 内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比 如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆3 组就可以了，记忆效率也会大大提高。
高三数学课件：第四章 第三节 平面向量的数量积
a(b· c)∥a,所以(a· b)c与a(b· c)不一定相等.
(2)若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)²b=0，则a与b的夹
角为_________.
【解析】设a,b的夹角为θ，
∵(2a+b)²b=0，∴2a· b+b2=0，
1 1 ∴ AD AB AC , BE AE AB AC AB， 2 2 1 1 ∴ AD BE (AB AC) ( AC AB) 2 2 1 2 1 2 1 AC AB AB AC 4 2 4 1 1 1 3 1 1 cos60 . 4 2 4 8
1 1 3 3 ( x)( x) ( y)( y) 0 2 2 2 从而有： 2 , ( 1 x) 2 ( 3 y) 2 ( 1 x) 2 ( 3 y) 2 2 2 2 2
3 3 x x 2 2 . 解得 或 y 1 y 1 2 2
(2)由题设知： OC =(－2,－1)，
AB tOC =(3+2t,5+t). 由( AB tOC )⊥ OC 得( AB tOC )²OC =0，
【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－2)、 B(2,3)、C(－2,－1). (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足 AB tOC OC，求t的值.
【解析】(1)由题设知 AB =(3,5), AC =(-1,1),
第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例-高考状元之路
第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例预习设计 基础备考知识梳理1．平面向量的数量积 若两个 向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作规定：零向量与任一向量的数量积为两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 ，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是2．平面向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度∣a ∣与b 在a 方向上的投影 的乘积．3．平面向量数量积的重要性质=⋅=⋅e a a e )1((2)非零向量⇔⊥b a b a ,,(3)当a 与b 同向时，=⋅b a当a 与b 反向时，=⋅b a =⋅a a , =||a=θcos )4(||)5(b a ⋅.|||b a4．平面向量数量积满足的运算律=⋅b a )1( （交换律）；=⋅=⋅)())(2(b a b a λλ （A 为实数）；=+c b a ).)(3(5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量),,(),,(2211y x b y x a ==则=⋅b a 由此得到：(1)若),,(y x a =则=2||a ，或=||a(2)设),,(),,(2211y x B y x A 则A ，B 两点间的距离=||AB =||(3)设),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a典题热身1．下列四个命题中真命题的个数为 ( )①若,0=⋅b a 则;b a ⊥②若,c b b a ⋅=⋅且,0=/b 则⋅=c a);().(C b a c b a ⋅⋅=⋅③.)(222b a b a ⋅=⋅④4.A 2.B 0.c 3.D答案：C2．在△ABC 中，,10,2,3===BC AC AB 则=⋅. ( )23.-A 32.-B 32.c 23.D 答案：D3．已知平面向量b a b a +-=-=λ),2,4(),3,1(与a 垂直，则=λ( )1.-A 1.B2.-c 2.D答案：A4．已知),7,4(),3,2(-==b a 则a 在b 上的投影为( )13.A 513.B 565.c 65.D答案：C5．已知,2)(,6||,1||=-⋅==a b a b a 则向量a 与b 的夹角是( )6π⋅A 4π⋅B 3π⋅c 2π⋅D 答案：C课堂设计 方法备考题型一 平面向量的数量积运算和向量的模【例1】已知向量),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos x x b x x a -==且⋅-∈]4,3[ππx (1)求b a ⋅及|;|b a +(2)若|,|)(b a b a x f +-⋅=求)(x f 的最大值和最小值，题型二 利用向量的数量积求其夹角【例2】已知,21)()(,21,1||=+⋅-=⋅=b a b a b a a 求 (l)a 与b 的夹角；(2)a-b 与a+b 的夹角的余弦值．题型三 利用向量的数量积解决平行与垂直问题【例3】设向量,(cos ),cos 4,(sin ),sin ,cos 4(βββαα===c b a ).sin 4β-(1)若a 与b-2c 垂直，求)tan(βα+的值；(2)求||c b +的最大值；(3)若,16tan tan =βα求证：.//b a题型四 平面向量数量积的应用【例4】已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量),,(b a m =),sin ,(sin A B n = ).2,2(--=a b p(1)若,//n m 求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若,p m ⊥边长,2=c 角,3π⋅=C 求△ABC 的面积．技法巧点1．向量数量积性质的应用 向量数量积的性质⇔=⋅⋅=⋅=0,||||cos ,||b a b a b a a a a θ,b a ⊥因此，用平面向量数量积可以解决有关长度、角度、垂直的问题．2．证明直线平行、直线、线段相等等问题的基本方法(1)要证,CD AB =可转化证明22CD =或.||||=(2)要证两线段,//CD AB 只要证存在一实数,0=/λ使等式λ=成立即可．(3)要证两线段,CD AB ⊥只需证.0..= 失误防范1．数量积a ·b 中间的符号“．”不能省略，也不能用“×”来替代．0.2=⋅b a 不能推出0=a ，或.0=b 因为0=⋅b a 时，有可能.b a ⊥)0(.3=/⋅=⋅a c a b a 不能推出.c b =4．一般地，,).()(a c b c b a =/⋅即乘法的结合律不成立．因b a ⋅是一个数量，所以c b a )(⋅表示一个与c 共线的向量，同理右边a c b )(⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下.)()(a C b c b a ⋅=/⋅5．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，><,应为,120 而不是.60随堂反馈1．（2011．清远调研）在△ABC 中，已知a ，b ，c 成等比数列，且,43cos ,3==+B c a 则⋅等于 ( ) 23.A 23.-B 3.c 3.-D答案：B2．（2011,台州一模）已知向量a ，b 的夹角为,1||,120=a ,5||=b 则|3|b a -等于( )7.A 6.B 5.C 4.D答案：A3．(2011．湖北高考)若向量),1,1(),2,1(-==b a 则b a +2与b a -的夹角等于( )4.π-A 6π⋅B 4π⋅c 43.πD 答案：C4．(2011．全国卷)设向量a ，b 满足=⋅==b a b a ,1||||,21-则=+|2|b a ( ) 2.A 3.B 5.c 7.D答案：B5．（2011．江苏高考）已知21,e e 是夹角为32π的两个单位向量，⋅+=-=2121,2e ke b e e a 若,0=⋅b a 则实数k 的值为 答案：45 高效作业 技能备考一、选择题1．(2010．安徽高考)若向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( ) ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a c -.与b 垂直 b a D //. 答案：C2．(2010．重庆高考)若向量a ，b 满足===⋅||,1||,0b a b a ,2则=-|2|b a ( )0.A 22.B 4.C 8.D答案：B3．(2010．四川高考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，如果BC -=+=162那么||等于 ( ) 8.A 4.B 2.C 1.D答案：C4．（2010．辽宁高考）平面上O ，A ，B 三点不共线，若,a =,b =则△OAB 的面积等于( )222)(|.|.b a b a A ⋅- |222)(|.b a b a B ⋅+⋅222)(||||21.b a b a c ⋅-⋅ 222)(21.b a b a D ⋅+⋅ 答案：C5．(2010．杭州质检)向量.2),1,(),2,1(b a c x b a +===,2b a d -=若,//d c 则实数x 的值等于（ ）21.A 21.-B 61.c 61.-D 答案：A6．(2011．汕头模拟)如图所示，在△ABC 中，=∠==ABC BC AB ,4,30 AD 是边BC 上的高，则. 的值等于( )0.A 4.B 8.c 4.-D答案：B二、填空题7．（2011．天津高考）已知直线梯形ABCD 中，,//BC AD ,90 =∠ADC ,2=AD P BC ,1=是腰DC 上的动点，则|3|+的最小值为答案：58．（2010．浙江高考）若平面向量),0(,b a a b a =/=/满足=||b ,1且a 与b-a 的夹角为,120则||a 的取值范围是答案：)332,0(9．（2011．浙江高考）若平面向量βα、满足,1||,1||≤=βα且以向量βα、为邻边的平行四边形的面积为,21则βα和的夹角θ的取值范围是 答案：]65,6[ππ三、解答题10．（2010．江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点).1,2(),3,2()2,1(----C rB A(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足,0)(=⋅-t 求t 的值．11．(2011．湖南高考)已知向量).2,1(),sin 2cos ,(sin =-=b a θθθ(1)若a∥b，求θtan 的值；(2)若,00|,|||π<<=b a 求θ的值．12．(2011．江苏高考)已知向量]).0,[)(sin ,(cos πααα-∈=OA 向量),5,0(),1,2(-==n m 且).(n OA m -⊥(1)求向量;(2)若,0,102)cos(πβπβ<<=-求).2cos(βα-。
高中数学知识点总结(第五章 平面向量 第三节 平面向量的数量积)
第三节 平面向量的数量积一、基础知识1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． (2)范围：夹角θ的范围是[0，π]． 当θ＝0时，两向量a ，b 共线且同向； 当θ＝π2时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ；当θ＝π时，两向量a ，b 共线但反向． 2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a||b| cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a||b|cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b|cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影．(2)a·b 的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量. 4．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b ＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)分配律：(a ＋b)·c ＝a·c ＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c 表示一个与c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．5．平面向量数量积的性质设a ，b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a. (4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a·b|≤|a||b|.6．平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则(1)|a|＝x 21＋y 21； (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；(2)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2;_ (4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.二、常用结论汇总1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b)·(a －b)＝a 2－b 2； (2)(a±b)2＝a 2±2a·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．考点一 平面向量的数量积的运算[典例] (1)(2018·新乡二模)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，则m·n ＝( ) A ．0 B ．4 C ．－92D ．－172(2)(2018·天津高考)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→，则BC ―→·OM ―→的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0[解析] (1)∵向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，∴2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，∴m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12， ∴m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172.(2)法一：如图，连接MN . ∵BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→， ∴AM AB ＝AN AC ＝13. ∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13.∴BC ―→＝3MN ―→＝3(ON ―→－OM ―→)． ∴BC ―→·OM ―→＝3(ON ―→·OM ―→－OM ―→2) ＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.法二：在△ABC 中，不妨设∠A ＝90°，取特殊情况ON ⊥AC ，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠MON ＝120°，ON ＝2，OM ＝1，所以O ⎝⎛⎭⎫2，32，C ⎝⎛⎭⎫0，332，M ⎝⎛⎭⎫52，0，B ⎝⎛⎭⎫152，0. 故BC ―→·OM ―→＝⎝⎛⎭⎫－152，332·⎝⎛⎭⎫12，－32＝－154－94＝－6.[答案] (1)D (2)C[解题技法] 求非零向量a ，b 的数量积的策略(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算求解．[题组训练]1．(2019·济南模拟)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC ―→·CB ―→＝( ) A ．1 B ．－1 C.6D ．22解析：选B 设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则a·b ＝0， ∵|a|＝2，|b|＝1，∴AC ―→·CB ―→＝(a ＋b)·(－b)＝－a·b －b 2＝－1.2．(2019·南昌调研)已知向量a ，b 满足a·(b ＋a)＝2，且a ＝(1,2)，则向量b 在a 方向上的投影为( )A.55B ．－55C ．－255D ．－355解析：选D 由a ＝(1,2)，可得|a|＝5， 由a·(b ＋a)＝2，可得a·b ＋a 2＝2， ∴a·b ＝－3，∴向量b 在a 方向上的投影为a·b |a|＝－355.3．(2018·石家庄质检)在△ABC 中，已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，M 为BC 上的一点，且AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则 λμ的值为________．解析：法一：∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→·BC ―→＝0， ∴(λAB ―→＋μAC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝0，∵AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1， ∴－λ|AB ―→|2＋μ|AC ―→|2＝0，即－4λ＋μ＝0，∴λμ＝14.法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y 2y ＝14. 答案：14考点二 平面向量数量积的性质考法(一) 平面向量的模[典例] (1)(2019·昆明适应性检测)已知非零向量a ，b 满足a·b ＝0，|a|＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b|＝( )A ．6B ．32C ．22D ．3(2)(2019·福州四校联考)已知向量a ，b 为单位向量，且a·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c|的最小值为( )A ．1 B.12C.34D.32[解析] (1)∵a ·b ＝0，|a|＝3，∴a·(a ＋b)＝a 2＋a·b ＝|a||a ＋b|cos π4，∴|a ＋b|＝32，将|a ＋b|＝32两边平方可得，a 2＋2a·b ＋b 2＝18，解得|b|＝3，故选D.(2)∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b)(t ∈R)，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c)2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)·a·b ＋t 2b 2， ∵向量a ，b 为单位向量，且a·b ＝－12，∴(a ＋c)2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c|≥32，∴|a ＋c|的最小值为32，故选D. [答案] (1)D (2)D考法(二) 平面向量的夹角[典例] (1)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a|＝1，|b|＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6 B.5π6C.π4D.3π4(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )且b 在a 方向上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________．[解析] (1)因为|a ＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b|＝ 3.又(a ＋2b)·b ＝a·b ＋2|b|2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝a ＋2b ·b|a ＋2b||b|＝343×12＝32， 所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.(2)因为b 在a 方向上的投影为－3，所以|b|cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a|＝12＋32＝2，所以a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉＝－6，又a·b ＝3＋3m ，所以3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，所以|b|＝32＋－332＝6，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝－62×6＝－12，因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为2π3. [答案] (1)A (2)2π3考法(三) 平面向量的垂直[典例] (1)若非零向量a ，b 满足|a|＝223|b|，且(a －b)⊥(3a ＋2b)，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π(2)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，因为|a|＝223|b|，(a －b)⊥(3a ＋2b)， 所以(a －b)·(3a ＋2b)＝3|a|2－2|b|2－a·b ＝83|b|2－2|b|2－223|b|2cos θ＝0，解得cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. (2)由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→ ·BC ―→＝0，即AP ―→ ·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→ )·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. [答案] (1)A (2)712[解题技法]1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[题组训练]1．(2018·深圳高级中学期中)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n)⊥(m －n)，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1解析：选B ∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝m 2－n 2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.2．(2018·永州二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b|＝1，|2a －b|＝1，则|a|＝( ) A.12 B ．1 C.2D ．2解析：选A ∵非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b|＝1，∴a·b ＝|a|×1×12＝|a|2，∵|2a －b|＝1，∴|2a －b|2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝12，故选A.3．(2019·益阳、湘潭调研)已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，则tan θ＝________.解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝5＋2a·b ＝1＋3，∴a·b ＝－12，∴cos θ＝a·b |a|·|b|＝－14，∴sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154，∴tan θ＝sin θcos θ＝－15. 答案：－15[课时跟踪检测]1．已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b·(2a －b)等于( )A ．2B ．－1C ．－6D ．－18解析：选D ∵a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，∴a·b ＝－3，b·(2a －b)＝2a·b －b 2＝－18.2．已知平面向量a ＝(－2,3)，b ＝(1,2)，向量λa ＋b 与b 垂直，则实数λ的值为( ) A.413 B ．－413C.54D ．－54解析：选D ∵a ＝(－2,3)，b ＝(1,2)，∴λa ＋b ＝(－2λ＋1,3λ＋2)．∵λa ＋b 与b 垂直，∴(λa ＋b)·b ＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－54.3．已知向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(2,1)，且a·b ＝0，则|a －b|＝( ) A.6 B.5 C ．2D.3解析：选A 因为|a|＝1，b ＝(2,1)，且a·b ＝0，所以|a －b|2＝a 2＋b 2－2a·b ＝1＋5－0＝6，所以|a －b|＝ 6.故选A.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(a ＋c)∥b ，c ⊥(a ＋b)，则c ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析：选D 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)， 因为(a ＋c)∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )， 即3m ＋2n ＝－7，又c ⊥(a ＋b)，则有3m －n ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋2n ＝－7，3m －n ＝0.解得⎩⎨⎧m ＝－79，n ＝－73.所以c ＝⎝⎛⎭⎫－79，－73. 5．(2018·襄阳调研)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析：选C 不妨令i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，因为它们的夹角为锐角，所以a·b ＝1－2λ>0且a ，b 不共线，所以λ<12且λ≠－2，故选C.6．(2019·石家庄质检)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝2|b|，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵|a ＋b|＝|a －b|，∴|a ＋b|2＝|a －b|2，∴a·b ＝0.又|a ＋b|＝2|b |，∴|a ＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝3|b|，cos 〈a ＋b ，a 〉＝a ＋b ·a |a ＋b||a|＝a 2＋a·b |a ＋b||a|＝|a|22|b||a|＝|a|2|b|＝32，故a ＋b 与a 的夹角为π6.7．(2018·宝鸡质检)在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC ＝BC ＝1，点P 是斜边上的一个三等分点，则CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝( )A ．0B ．1 C.94D ．－94解析：选B 以点C 为坐标原点，分别以CA ―→，CB ―→的方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C (0,0)，A (1，0)，B (0,1)，不妨设P ⎝⎛⎭⎫13，23，所以CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝CP ―→·(CB ―→＋CA ―→)＝13＋23＝1.故选B.8．(2019·武汉调研)已知平面向量a ，b ，e 满足|e|＝1，a·e ＝1，b·e ＝－2，|a ＋b|＝2，则a·b 的最大值为( )A ．－1B ．－2C ．－52D ．－54解析：选D 不妨设e ＝(1,0)，则a ＝(1，m )，b ＝(－2，n )(m ，n ∈R)，则a ＋b ＝(－1，m ＋n )，所以|a ＋b|＝1＋m ＋n2＝2，所以(m ＋n )2＝3，即3＝m 2＋n 2＋2mn ≥2mn ＋2mn＝4mn ，当且仅当m ＝n 时等号成立，所以mn ≤34，所以a·b ＝－2＋mn ≤－54，综上可得a·b 的最大值为－54.9．已知平面向量a ，b 满足a·(a ＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a 与b 的夹角的正弦值为________．解析：∵a·(a ＋b)＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32. 答案：3210．(2018·湖北八校联考)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且|a|＝1，|b|＝2，若(λa ＋b)⊥(a －2b)，则λ＝________.解析：∵|a|＝1，|b|＝2，且a ，b 的夹角为2π3，∴a ·b ＝1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，又∵(λa ＋b)⊥(a －2b)，∴(λa ＋b)·(a －2b)＝0，即(λa ＋b)·(a －2b)＝λa 2－2b 2＋(1－2λ)a·b ＝λ－8－(1－2λ)＝0，解得λ＝3.答案：311．(2018·合肥一检)已知平面向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，|a ＋b|＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a ＋b|＝3， ∴(a ＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝5＋2a·b ＝3， ∴a·b ＝－1，∴a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－12.答案：－1212.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________.解析：由已知得|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝24，则OC ―→ ·(OB ―→－OA ―→ )＝(OA ―→＋AC ―→ )·AB ―→＝OA ―→ ·AB ―→＋AC ―→ ·AB ―→＝ 2 c os 3π4＋24 ×2＝－12. 答案：－1213．(2019·南昌质检)设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，且|2a －b|＝ 5. (1)求|2a －3b|的值；(2)求向量3a －b 与a －2b 的夹角θ.解：(1)∵|2a －b|2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝4－4a·b ＋1＝5，∴a·b ＝0， ∴|2a －3b|＝4a 2－12a·b ＋9b 2＝4＋9＝13.(2)cos θ＝3a －b ·a －2b |3a －b||a －2b|＝3a 2＋2b 29a 2＋b 2×a 2＋4b 2＝510×5＝22， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.。
平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积及运算律【基础知识精讲】1.平面向量的数量积的定义及几何意义(1)两平面向量和的夹角：，是两非零向量，过点O作=、=，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)就称为向量和的夹角，很显然，当且仅当两非零向量、同方向时θ=0°；当且仅，反方向时，θ=180°，当θ=90°，称与垂直，记作⊥.(2)两平面向是和的数量积：、是两非零向量，它们的夹角为θ，则数量｜｜·｜｜cosθ叫做向量与的数量积(或内积)，记作·，即·=｜｜·｜｜·cosθ.因此当⊥时，θ=90°,cosθ=0，这时·=0特别规定，零向量与任一向量的数量积均为0.综上所述，·=0是⊥或，中至少一个为的充要条件两向量与的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当≠，≠，0°≤θ＜90°时，也可以为负(当≠，≠，90°＜θ≤180°时，还可以为0(当=或=或θ=90°时).(3)一个向量在另一向量方向上的投影：设θ是向量与的夹角，则｜｜cosθ，称为向量在的方向上的投影：而｜｜cosθ,称为向量在的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影也是一个数，不是向量，当0°≤θ＜90°时，它为正值：当θ=90°时，它为0；当90°＜θ≤180°时，它为负值.特别地，当θ=0°,它就等于｜｜；而当θ=180°时，它等于-｜｜.我们可以将向量与的数量积看成是向量的模｜｜与｜｜在的方向上投影｜｜cosθ的乘积.2.向量数量积的性质：设、是两非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，于是我们有下列数量积的性质：(1) ·=·=｜｜cosθ(2) ⊥·=0(3) 、同向·=｜｜·｜｜; ,反向·=-｜｜｜｜;特别地·=2=｜｜2或｜｜=.(4)cosθ= (θ为，的夹角)(5)｜·｜≤｜｜·｜｜3.平面向量的数量积的运算律(1)交换律：·=·(2)数乘向量与数量积的结合律：λ(·)=(λ)·=·(λ);(λ∈R)(3)分配律： (+)· =·+·【重点难点解析】两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法有本质的区别：(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，其值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘弦的乘积.(2)当≠时，不能由·=0，推出=，因可能不为，但可能与垂直.(3)非零实数a,b,c满足消去律，即ab=bc a=c，但对向量积则不成立，即·=·=).(4)对实数的积应满足结合律，即a(bc)=(ab)c,但对向量的积则不满足结合律，即·(·)≠(·)·，因·(·)表示一个与共线的向量，而(·)·表示一个与共线的向量，而两向量不一定共线.例1已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数(1)｜·｜＝｜｜·｜｜∥(2) ，反向·=-｜｜·｜｜ (3)⊥｜+｜=｜-｜ (4)｜｜＝｜｜｜·｜＝｜·｜ A.1 B.2 C.3 D.4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.解：(1)∵·=｜｜·｜｜cosθ∴由｜·｜＝｜｜·｜｜及、为非零向量可得｜cosθ｜=1∴θ=0或π，∴∥且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.(2)若,反向，则、的夹有为π，∴·=｜｜·｜｜cosπ=-｜｜·｜｜且以上各步可逆，故命题（2）是真命题.(3)当⊥时，将向量，的起点确定在同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有｜+｜＝｜-｜.反过来，若｜+｜＝｜-｜,则以，为邻边的四边形为矩形，所以有⊥，因此命题(3)是真命题.(4)当｜｜＝｜｜但与的夹角和与的夹角不等时，就有｜·｜≠｜·｜，反过来由｜·｜｜＝｜·｜也推不出｜｜＝｜｜.故命题(4)是假命题.综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).说明：(1)两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.(2)对于命题(4)我们可以改进为：｜｜＝｜｜是｜·｜＝｜·｜的既不充分也不必要条件.例2已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.分析：要求与的夹角，首先要求出与的夹角的余弦值，即要求出｜｜及｜｜、·，而本题中很难求出｜｜、｜｜及·，但由公式cosθ=可知，若能把·，｜｜及｜｜中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得与的夹角θ.解：设与的夹角为θ.∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2，解之得 2=2·2=2·∴2=2∴｜｜＝｜｜∴cosθ===∴θ=因此，a与b的夹角为.例3已知++=,｜｜=3,｜｜＝1,｜｜＝4，试计算·+·+·.分析：利用｜｜2＝2,｜｜2＝ 2,｜｜2＝2.解：∵++=∴(++)2=0从而｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·+2·+2·＝0又｜｜＝3，｜｜＝1，｜｜＝4∴·+·+·=-(｜｜2＋｜｜2＋｜｜2) =-(32+12+42) =-13例4已知：向量=-2-4,其中、、是两两垂直的单位向量，求与同向的单位向量.分析：与同向的单位向量为：·解：∵、、是两两垂直的单位向量∴2＝2＝2＝1, ·=·=·=0∴2=(-2-4)(-2-4)=2+42+162-4· -8·+16·=21从而｜｜=∴与同向的单位向量是·= (-2-4)=--例5求证：直径上的圆周角为直角.已知：如图，AC为⊙O的直径，∠ABC是直径AC上的圆周角.求证：∠ABC=90°分析：欲证∠ABC=90°，须证⊥，因此可用平面向量的数量积证·=0证明：设=,=,有=∵=+, =-且｜｜＝｜｜∴·=(+)( -)=｜｜2-｜｜2=0∴⊥∴∠ABC=90°【难题巧解点拔】例1如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是圆O上的任意点.求证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值.分析：由于要证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值，所以需将(i=1,2,3,4)代换成已知向量或长为定值的向量的和(或差)，才能使问题证，而这里的半径、、、、等可供我们选择.证明：由于=+=- (i=1,2,3,4).∴有｜｜2=(-)2=()2-2(·)+()2设⊙O的半径为r，则｜｜2=2r2-2(·)∴｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2＝8r2-2(+++)·=8r2-2··=8r2(定值).例2设AC是□ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE，CF，垂足分别为E，F，如图，试用向量方法求证：AB·AE+AD·AF=AC2分析：由向量的数量积的定义可知：两向量，的数量积·=｜｜·｜｜·cosθ(其中θ是，的夹角)，它可以看成｜｜与｜｜在的方向上的投影｜｜·cosθ之积，因此要证明的等式可转化成：·+·=,而对该等式我们采用向量方法不难得证：证明：在Rt△AEC中｜｜＝｜｜cos∠BAC在Rt△AFC中｜｜＝｜｜cos∠DAC∴｜｜·｜｜=｜｜·｜｜·cos∠BAC=·｜｜·｜｜=｜｜·｜｜cos∠DAC=·∴｜｜·｜｜＋｜｜·｜｜=·+·=(+)·又∵在□ABCD中，+=∴原等式左边=(+)·=·=｜｜2=右边例3在△ABC中，AD是BC边上的中线，采用向量法求证：｜AD｜2= (｜AB｜2+｜AC｜2-｜BC｜2)分析：利用｜a｜2=a·a及=+，=+，通过计算证明证明：依题意及三角形法则，可得：=+=-=+=+则｜｜2=(-)(-)=｜｜2+｜｜2-·｜｜2=(+)(+)=｜｜2+｜｜2+·所以｜｜2＋｜｜2＝2｜｜2＋｜｜2移项得：｜｜2= (｜｜２+｜｜2-｜｜2)例4若(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)，试求，的夹角的余弦值.分析：欲求cosθ的值，根据cosθ=，只须计算即可解：由(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)①×3+②得：2=2∴｜｜2=｜｜2③由①得：·=2-22=｜｜2-2×｜｜2=-｜｜2④由③、④可得：cosθ= ==-∴，的夹角的余弦值为-.【典型热点考题】例1设、、是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题①(·)·-(·)·)=;②｜｜-｜｜＜｜-｜;③(·)·-(·)·不与垂直；④(3+2)·(3-2)=9｜｜2-4｜｜2.其中正确的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④解：选D.②正确，因、不共线，在｜｜-｜｜≤｜-｜中不能取等号；④正确是明显的，①错误，因向量的数量积不满足结合律；③错误，因［(·)·-(·)·］·=(·)·(·)-(·)·(·)=0,则(·)·-(·)·与垂直.例2已知+=2-8,-=-8+16,其中,是x轴、y轴方向的单位向量，那么·= .=-3+4, =5-12∴·=(-3+4j)·(5-12)=-152+56·-482∵⊥,｜｜=｜｜=1,∴·=0∴·=-15｜｜2-48｜｜2=-63解法2：· =［(+)2-(-)2］=［4(-4)2-64(-2)2］=2-8·+16j2-16(2-4·+42) =-152+56·-482=-63解法3：在解法1中求得=-3+4，即向量的坐标是(-3，4)，同理=(5,-12).∴·=-3×5+4×(-12)=63例3设、是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且=(m+1) -3,=+(m-1) ，如果(+)⊥(-)，则m= .解法1：∵(+)⊥(-)∴(+)·(-)=0,即2-2=0∴［(m+1) -3］2-［+(m-1) ］2=0∴［(m+1) -3］｜｜2-［6(m+1)+2(m-1)］·+［9-(m-1)2］·2=0∵｜｜＝｜｜=1, ·=0,∴(m+1)2-(m-1)2+8=0，则m=-2.解法2：向量的坐标是(m+1,-3),的坐标是(1，m-1).由(+)·(-)=0,得｜｜2＝｜｜2.解得m=-2评析：向量的运算性质与实数相近，但又有许多差异.尤其是向量的数量积的运算与实数的乘法运算，两者似是而非，极易混淆，是近年来平面向量在高考中考查的重点，应予以重视.例4在△ABC中，若=, =, =，且·=·=·，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形 D.A、B、C均不正确解：因为++=++=则有+=-,( +)2=2①同理：2+2+2·=2②①-②，有2-2+2(·-·)=2-2由于·=·所以2＝2即是｜｜＝｜｜同理｜｜=｜｜所以｜｜＝｜｜＝｜｜△ABC为正三角形.∴应选C.。
高二数学向量数量积的运算律
ab
a b 0 ∣AC∣=∣BD∣=
22
a b
即：AC=BD，长方形对角线相等
平面向量数量积运算律
小结：平面向量数量积运算规律
作业： （1）第111页练习A、B （2）预习2.3.3，并做课后练习A
不要做思想的巨人， 行动的矮子
；网客多拓客获客软件系统 网客多拓客获客软件系统 ；
互相垂直？
解：若向量a kb与a kb垂直， 根据向量垂直的性质，则
（a kb）（ a kb）=0
（a
k
b）（ a
k
b）
a2
-
k
a
b
k
a
b
-
k
2
2
b
∣a∣2 -k 2∣b∣2 9 16k 2 0
解得 : k 3 或k 3
44ຫໍສະໝຸດ 平面向量数量积运算律所以（a b) （ a) b a (b)
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
o
而∣a∣∣ b∣=∣b∣∣ a∣
B1 B
所以| b || a | cos b, a | a || b | cos a,b
即： a b b a 交换律
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
平面向量的数量积
平面向量的数量积可以用于判 断两条直线是否平行或垂直
平面向量的数量积可以用于计 算平面上点的坐标和轨迹
04
平面向量的数量积 与向量的模的关系
数量积与向量模的关系
数量积的定义：两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积之和 的平方根
数量积的性质：两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦 值的乘积
值
投影：向量a 在向量b上的 投影长度等于 向量a的数量 积除以向量b
的长度
方向：向量a 与向量b的数 量积的正负号 表示两向量的 夹角是锐角还
是钝角
数量积的性质
非零向量的数量积为实数
向量的数量积满足交换律和分配律
向量的数量积为0的充分必要条件是两个向量垂直 向量的数量积与向量的模长和夹角有关，可以用来描述两个向量的 相似程度
05
平面向量的数量积 的运算技巧
代数法计算数量积
定义：两个向量的数量积定义为它们的对应坐标的乘积之和 性质：数量积满足交换律和分配律 坐标法：利用向量的坐标进行计算，公式为：a·b=x1x2+y1y2 几何意义：数量积表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积
几何法计算数量积
定义：两个非零向量的夹角余弦值乘以两个向量模的乘积
数量积的运算方法
定义：两个向量的数量积定义为 它们的模长和夹角的余弦值的乘 积
几何意义：表示两个向量在垂直 方向上的投影长度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
性质：数量积满足交换律和分配 律
计算公式：a · b = |a||b|cosθ， 其中θ为两向量的夹角
03
平面向量的数量积 的应用
在三角形中的应用
平面向量的数量积
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三节平面向量的数量积及运算律【例1】判断下列各命题的真假，并说明理由。
（1）在△ABC中，若0·<，则△ABC是锐角三角形；（2）在△ABC中，若0·>，则△ABC是钝角三角形；（3）△ABC为直角三角形的充要条件是0·=BCAB；（4）△ABC为斜角三角形的必要不充分条件是0·≠BCAB【例2】已知a，b均为非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a 与b的夹角。
【例3】已知|a|=6，|b|=4，a，b夹角为60°，求|a + b|、|a -3b|【例4】已知a + b + c=0，且|a|=3，|b|=5，|c|=7，求a与b的夹角。
【例5】如图，以)0,0(O和)2,5(A为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，求点B的坐标。
【例6】已知平面向量a=)1,3(-，b=)23,21(（1）证明：a ⊥b；（2）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t 2 - 3)b，y =-ka + tb，且x⊥y，试求函数关系式)(tfk=；（3）据（2）的结论，确定函数)(tfk=的单调区间。
【例7】设平面内两个向量a=)sin,(cosαα，b=)sin,(cosββ，且πβα<<<（1）证明：(a + b)⊥(a - b)；（2）若两个向量ka + b与a - kb的模相等，求αβ-的值),0(Rkk∈≠【例8】如图所示，在△ABC内求一点P使22CPBPAP++最小。
双基训练1、若a、b、c为任意向量，Rm∈，则下列不等式一定不成立的是（）A、(a + b) + c = a + (b + c)B、(a + b)·c = a·c + b·cC、m(a + b) = ma +mbD、(a·b)c = a(b·c)2、若a=(2，3)，b=(-4，7)，则a在b方向上的投影为（）A、3B、513C、565D、653、正方形ABCD 边长等于1，=AB a ，=BC b ，=AC c ，则a + b + c 的模等于（ ） A 、0B 、3C 、2D 、224、已知△ABC 中，=a ，=b ，a ·b <0，415=∆ABC S ，|a |=3，|b |=5，则a 与b 的夹角为（ ） A 、30° B 、-150° C 、150°D 、30°或150°5、以)3,2(,)1,3(,)2,1(-=-C B A 为顶点的三角形一定是（ ）A 、直角三角形B 、等腰直角三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形6、已知|a |=2，|b |=2，a 与b 的夹角为45°，要使λb -a 与a 垂直，则λ= 。
7、已知|a |=213， b =（-2，3），且a ⊥b ，则a 的坐标为 。
8、设a 、b 是两个不共线的非零向量)(R t ∈（1）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，31(a + b )三向量的终点在一直线上；（2）若|a |=|b |且a 与b 的夹角为60°，那么t 为何值时，|a –t b |的值最小？9、向量321,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++=，1||||||321===OP OP OP ， 求证321P P P ∆是等边三角形。
10、设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2te 1+7e 2与向量e 1+te 2夹角为钝角，求实数t 的取值范围。
知识升华1、设向量a = (3，m )，b = (2，-1)，且a - 3b 与a - b 垂直，则实数m 的值是（ ）A 、m =0B 、m =-4C 、m =0或m =-4D 、m =0或m =42、已知a ⊥b ，|a |=2，|b |=3，且3a +2b 与λa -b 垂直，则λ等于（ ）A 、32B 、23-C 、23± D 、13、设a 、b 是两个非零向量，则(a + b )2=a 2+b 2是a ⊥b 的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分又非必要条件4、已知A 、B 、C 三点共线，且)2,5(,)6,3(--B A ，若C 点的横坐标为6，则它的纵坐标为（ ） A 、13-B 、13C 、9D 、9-5、在△ABC 中，若=a ，=b ，=c 且a ·b =b ·c =c ·a ，则△ABC 的形状是（ ）A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等边三角形D 、不确定 6、已知△ABC 中，顶点A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，a =3，b =1，c =30°，则·等于（ ） A 、343B 、323 C 、343-D 、323-7、已知四个点)3,10(,)6,6(,)6,2(,)3,2(D C B A -，则对四边形ABCD 的形状的判定是（ ） A 、梯形 B 、邻边不相等的平行四边形 C 、菱形，但非正方形 D 、正方形8、已知向量a =3e 1-2e 2，b =4e 1+e 2，e 1=(1,0)，e 2=(0,1)，则|a + b |= 。
9、已知|a |=2，|b |=3，a 与b 夹角为45°，求使向量a +λb 与λa + b 的夹角是锐角时，λ的取值范围是 。
10、设}{n a 为首项是-10，公差是2的等差数列，}{n b 为首项是21-，公差是21的等差数列，O 为坐标原点，向量)1,1(,)1,1(=-=，点列n P 满足··n n n b a OP +=)(*N n ∈（1）证明：n P P P ,,,21 共线；（2）若点)(*N k P k ∈表示点列n P 中处于第一象限的点，求k 的值。
11、设a )sin ,cos 1(αα+=，b )sin ,cos 1(ββ-=，c ),0(,)0,1(πα∈=，a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且621πθθ=-，求sin4αβ-的值。
12、如图，在△OAB 中，21,41==，AD 与BC 交于M 点，设=a ， =b（1）用a 、b 表示；（2）在已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设q p ==,，求证：17371=+qp挑战高考1、已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |=（ ） A 、7B 、10C 、13D 、42、若向量a 与b 的夹角为60°，|b |=4，(a +2b )(a -3b )=-72，则向量a 的模为（ ）A 、2B 、4C 、6D 、123、已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A 、6πB 、3πC 、32πD 、65π4、已知平面上直线l 的方向向量e =)53,54(-，点)0,0(O 和)2,1(-A 在l 上的射影分别是O /和A /，则e A O λ=/，其中=λ（ ）A 、511 B 、511- C 、2 D 、-2 5、给出下列命题：①若a ·b =0，则a =0或b =0；②若e 为单位向量，且a e ，则a=|a | e ； ③a ·a ·a =|a |3；④若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线。
其中正确命题的个数是 A 、0 B 、1 C 、2 D 、36、已知向量a 与b 不共线，且|a |=|b |≠0，则下列结论中正确的是（ ） A 、向量a + b 与a -b 垂直 B 、向量a -b 与a 垂直 C 、向量a + b 与a 垂直 D 、向量a + b 与a -b 共线7、已知向量)sin 2,cos 2(,)2,2(,)0,2(αα===，则与夹角的范围是（ ）A 、]4,0[πB 、]125,4[ππC 、]125,12[ππD 、]2,125[π8、设i 、j 是不共线的单位向量，a =5i +3j ，b =3i - 5j ，则a ⊥b 是i ⊥j 的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分又非必要条件 9、已知向量)1,4(,)2,2(==，在x 轴上一点P 使·有最小值，则P 点的坐标是（ ） A 、)0,3(- B 、)0,2( C 、)0,3( D 、)0,4( 10、锐角三角形ABC 中，已知1||,4||==，三角形ABC 的面积为3，则·的值为（ ）A 、2B 、2-C 、4D 、4-11、已知向量a =(1，1)，b =(2，-3)，若ka -2b 与a 垂直，则实数k 等于 。
12、平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，|b |=1，且a ·b = 5，则向量b = 。
13、已知平面直角坐标系xoy 中，向量j = (0，1)，△OFP 的面积为32，且3·,OF FP t OM OP ==+j（1）设344<<t ，求向量与PF 的夹角θ的取值范围；（2）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且2)13(,||c t c -==，当||取最小值时，求椭圆的方程。
14、设在平面上有两个向量a =)3600(,)sin ,(cos≤≤ααα，b =)23,21(-（1）试证：两向量a + b 与a - b 垂直；（2）两个向量ka + b 与a – kb (k ≠0)的模相等时，求解α15、已知向量a =)sin 2,cos 2(αα，b =)cos ,sin (αα-，x = a +(2t -3)b ，y =-ka + tb ，且x ·y = 0（1）求函数)(t f k =的表达式；（2）若]3,1[-∈t ，求)(t f 的最大值与最小值。
16、已知向量a =,)sin ,(cos x x b =,)2cos 1,2(sin x x - c =(0，1),),0(π∈x （1）向量a ，b 是否共线？请说明理由；（2）求函数c b a b x f ·)(||)(+-=的最大值。
17、已知向量a =)2,(sin x ，b =)21,sin 2(x ，)1,2(cos x c =，d =)2,1(，又二次函数)(x f 的图象开口向上，其对称轴为1=x ，当],0[π∈x 时，求使不等式f (a ·b )> f (c ·d )成立的x 的范围。