平面向量的数量积运算

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平面向量的数量积及其运算律

平面向量的数量积及其运算律在物理课中，我们学过功的概念：即一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功：W =|F ||S |cos θ.即功等于运动距离乘以力在运动方向上的投影.如图1.4—1.由此我们引出向量数量积的概念.一.数量积【向量的夹角】已知两非零向量a 和b .在平面上任取一点O,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ab.则∠AOB =θ(0≤θ≤π).叫做向量a 与b 的夹角．想一想:你能指出下列图中两向量的夹角吗？参考答案:①的夹角为0，②OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π，③OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是∠AOB ，④OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是θ.两向量夹角的取值范围[0，π]．注：如果向量a 与b 的夹角是 π2，就称a 与b 垂直，记作a ⊥b .【平面向量的数量积】已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作：a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ. 并规定0∙a =0.这里“·”表示向量的一种乘法运算，称为点乘.【数量积的几何意义】我们把|b|cos θ (|a |cos θa 叫做向量b 在a 方向上(a 在b 方向上)的投影.你能从图中作出|b |cos θ的几何图形吗？①投影不是向量,是数量，它可以是任意的实数. ②当θ为锐角时投影为正值，数量积为正值.当θ为钝角时投影为负值，数量积为负值；当θ为直角时投影为0，数量积为0；当θ = 0时，a 与b 同向，投影为|b |，a ·b =|a ||b |，当θ=π时，a 与b 反向，投影为 -|b |，a ·b = -|a ||b |.a ·b 的几何意义：向量a 与b 的数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影(|b |cos θ的积．【数量积的性质】 ①a ⊥b ⇔a ⋅b =0.②当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |，当a 与b 反向时，a ·b = -|a ||b |.特别地a ·a=|aaa|2. ③|a ⋅b |≤|a |⋅|b |.图1.4—1 图1.4—2图1.4—3④设a 是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与e 的夹角，则e ⋅a =a ⋅e =|a |cos θ. ⑤cos θ=a·b|a ||b|.【数量积的运算律】已知向量a 、b 、c 和实数λ，则： ①a·b = b·a .(交换律). ②(λa ·b =λ(a·b )=a·(λb ).③(a +b ·c=a·c+b·c . (分配律).注意:在实数中，乘法运算满足结合律.向量的数量积没有结合律可言.原因是(a·b )·c 包含的是两种不同的运算，即a· b 是数量积，再乘以c 为实数与向量的积.对于数量积的运算律，其中①、②读者可自证.下面就③给出相应的证明：过a 、b ，a +b 的终点分别向c 引垂线，垂足分别是A 、B 、D. 如图1.4—4.a 、b ，a +b 在c 上的投影分别为OA 、OB 、OD. 又 OD=OB+BD.现证 BD=OA.过a +b 的终点引c 的平行线交BE 于F.易知ΔEFG ≅ΔHAO ,⇒OA=FG,而FG=BD, 故OA=BD.⇒ OD=OA+OB,⇒ (a +b ·c=a·c+b·c .【特别提醒】从实数的运算到向量的数量积运算，发生了如下几个主要变化: (1)在实数运算中，若a ⋅b=0，则a=0或b=0；在数量积中，若a ⋅b=0，则a=0或a b=0或b a ⊥. (2)在实数运算中，已知实数a 、b 、c(b ≠0)，则ab=bc,⇒ a=c.在数量积中，若b 0≠，且a ⋅ba=ab ⋅c 则 aa=aca 吗？如右图1.4—5：a ⋅ba=a|a||b|c os β = |b||OA|， b ⋅ca=a|b||c|cos α = |b||OA| ⇒aa ⋅ba=ab ⋅c ，但a ≠ac .(3)在实数运算中，乘法运算满足结合律(a ⋅b)c = a(b ⋅c). 在数量积中，没有结合律可言.a (4)在实数运算中，|ab|=|a||b|. 在数量积中，|a ⋅b |≤|a |⋅|b |.想一想①:已知向量|a |=2，|b |=1，a 、b 的夹角为600，则|a +b ||a -b |=|a 2-b 2|=3吗?【数量积的坐标形式】设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a·b =x 1x 2+y 1y 2.二.数量积性质的应用平面向量的数量积及性质的应用是非常广泛的，利用它们可以解决许多问题.【性质2的应用】与两非零向量a 、b 垂直的问题可通过a ·b =0来处理.例1.(1)已知向量a ⊥b ，且|a |=2，|b |=3，若(3a +2b )·(k a -b )=0，求k 的值.EOGH A BD Fc baa+b图1.4—4O 图1.4—5 a b cA(2)设c 、d 是非零的向量，d =(b ·c ）·a -(a ·c ）·b ，则c ∥d ，还是c ⊥d ？ (3)已知a 、b 、c 为非零的向量，若|b -a -c |=|a -b -c |且|a +b +c |=|a +b -c |.求证：a ⊥c . 解(1) ∵ a ⊥b ， ∴ a ·b =0 . 由(3a +2b )·(k a -b )=0，⇒3k a 2-2b 2=0.∵ |a |=2，|b |=3 ，得k= 32.(2) ∵ d =(b ·c )·a -(a ·c )·b ，⇒a d ·c =[(b ·c )·a -(a ·c )·b ]·c =(b ·c ·a ·c -(a ·c ·b·c =0.⊥ d ⊥c.(3) ∵ |b -a -c |=|a -b -c | ⇒(b -a -c 2=(a -b -c 2，⇒a ·c -b·c =0. ①由|a +b +c |=|a +b -c | 类似地，⇒a a ·c +ab·c =0. ② ⊥ 由①、② ⇒a a ·c =0 ⇒a ⊥c .例2.如图1.4—6. AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 交于一点H.证明：设BE,CF 交于一点H ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a b ，AH ⃗⃗⃗⃗⃗ =a h .则BH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =h -a ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =h -b ， BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b -a . ∵ BH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴ (h -a )a·b =0，且(h -b )a·a =0，⇒ (h -a )a·b =(h -b )a·a ，⇒(b -a )a·h =0. ∴ AH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 又∵ 点D 在AH 的延长线上，∴ AD 、BE 、CF 相交于一点.例3. 已知a =(√3，-1)，b =(12，√32).设存在实数k 、t 使得x =a +(t 2-3)b ，y = -k a +t b ，且x ⊥y ，试求k+t 2t的值域.解：∵ a =(√3，-1)，b =(12，√32) ， ∴ a ·b =0且|a |=2，|b |=1.a又∵ x ⊥y ，∴x ·y =0，⇒-k a 2+t(t 2-3)b 2=0，⇒k =t(t 2−3)4，⇒k+t 2t=t 2+4t−34=(t+2)2−74(t ≠0). ⇒k+t 2t∈[−74，−34)∪(−34，+∞).说明：此题若采用坐标运算来处理，而不注意灵活地利用a ·b =0，则计算量会增加许多.一般来说，当题设条件中有|a |、|b |为定值，且a ·b =0时.还是采用本题的解法为好.想一想②：设向量a 、b 、c 的模均为1，它们两两间的夹角均为1200，求证：(a -b ⊥c.【性质3的应用】与模有关的问题可通过a 2=|a|2，|a|=√a 2=√x 2+y 2来处理.例4.利用向量证明：平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和.已知：已知平行四边形ABCD.如图1.4—7.求证：2(AB 2+AD 2)=AC 2+BD 2.证明：设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a . AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b . ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =aa -b ， ∴ AC 2+BD 2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(a+b )2+(a -b )2=2(|a |2+|b |2)=2(AB 2+DA 2)， ∴ 2(AB 2+AD 2)=AC 2+BD 2.例5.利用向量证明余弦定理：在△ABC 中，求证：a 2=b 2+c 2-2bc·cosA .证明：如图1.4—8. ∵ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ cosA |AB ||AC |2AC )AB -AC (BC 2222-+==AB ，即：a 2=b 2 +c 2-2bccosA. 同理可得： b 2= a 2+c 2-2accosB ； c 2= a 2+b 2-2abcosC.AB CD E F H 图1.4—6 A BC D 图1.4—7ABCc ab图1.4—8例6.已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，满足：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.求证：△ABC 是正三角形. 思路1.由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，⇒ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ = -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ⇒四边形OADB 是菱形，⇒△AOD 是正三角形， ⇒∠AOB=1200，同理可得：∠AOC=∠BOC=1200，⇒△ABC 是正三角形.思路2.由OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，⇒ O 为重心. 由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC⃗⃗⃗⃗⃗ ||=1，⇒O 为外心. ∴ △ABC 是正三角形. 思路3.由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1及|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2(|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2)， ⇒|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4，⇒ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=3，⇒AB =√3. 同理可得：BC=AC=.√3 ⇒ △ABC 是正三角形. 思路4.由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，⇒ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ = -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，⇒ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ 2 ， ⇒ cos ∠AOB=−12，⇒ ∠AOB=1200. 同理可得：∠AOC=∠BOC=1200.⇒△ABC 是正三角形.想一想③：a a aa a a 设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.若a·b=b ·c=a·c ，求证：△ABC 是正三角形.【性质4的应用】与两向量的夹角有关的问题.可通过cos θ=a⋅b |a||b|=x 1x 2+y 1y 2√x 12+y 12√x 22+y 22来处理.例7.已知向量a 、b 、c 两两所成的角都相等，且|a |=1，|b |=2，|c |=3.求向量a +b+c 的模及a +b+c 与a 的夹角.解：∵ 向量a 、b 、c 两两所成的角都相等，∴ a 、b 、c 两两所成的角为1200或00. ①若a 、b 、c 两两所成的角为00，则|a +b+c |=|a |+|b|+|c|=6.a +b+c 与a 的夹角的夹角为00.②若a 、b 、c 两两所成的角为1200，∵| a +b+c |2=a 2+b 2+c 2+2(a·b+b ·c+a·c )=1+4+9-(131322⨯+⨯+⨯)=3. ∴|aa +b+c |=√3.设a +b+c 与a 的夹角为θ，则cos θ=a⋅(a+b+c)|a||a+b+c|=1−1−32√3=−√32. ∴ a +b+c 与a 的夹角为1500.例8.已知|a |=√2，|b |=3，a 、b 的夹角为450，求使a +λb 与λa +b 的夹角为钝角时，λ的取值范围.解：由a +λb 与λa +b 的夹角为钝角，⇒ (a +λb ·(λa+b )＜0，且a +λb 与λa +b 不共线，⇒λa 2+(1+λ2)a ⋅b +λb 2＜0且λ≠±1，⇒−11+√856<λ<−11+√856，且λ≠−1.想一想④：1.已知|a |=2|b |≠0.关于x 的方程x 2+|a |x+a ·b =0有实根，求a 、b 的夹角的取值范围.2.已知a =(λ，2)，b =(-3，5).若a 、b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.【性质5的应用】与不等式、最值有关的问题通常可通过|a ·b |≤|a ||b |(x 1x 2+y 1y 2≤√x 12+y 12⋅√x 22+y 22) 或||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |来处理.例9.利用向量证明：(1)若a 、b 、c 、d ∈R ，则ac+bd≤√a 2+b 2⋅√c 2+d 2. (2)设a 、b ∈R ，则 |√1+a 2−√1+b 2|≤|a -b|.O ADB x yC 图1.4—9证明：(1) 设m =(a ，b)，n =(c ，d).由|m ·n|≤|m ||n |， | ac+bd|≤√a 2+b 2⋅√c 2+d 2，又∵ x≤|x ，|⇒ ac+bd≤√a 2+b 2⋅√c 2+d 2.(2) 设m =(1，b)，n =(1，a). 由||n |-|m ||≤|n -m |，⇒ |√1+a 2−√1+b 2|≤|a -b|.想一想⑤：1.设向量a =(1，-1)，b =(3，-4)，x =a +λb ，试证：使|x |最小的向量x ，垂直于向量b .2..求函数y =√x 2+a +√(x −c)2+b 的最小值.（其中a 、b 、c 是正实数）【数量积计算的几个形式】与向量数量积计算的相关试题可谓是千变万化，林林总总，不一而足.表面看来似乎纷繁杂陈，眼花缭乱.但是，假若我们静心品味，拨云驱雾，就会发现：这“万变”还是“不离其宗”的.归纳起来,其实主要是围绕如下三个方面展开的： ①直接形式——利用数量积的定义式(包括坐标形式)进行计算；②间接形式——通过变形将所求数量积转化到与已知条件有直接关系后进行计算； ③几何意义——利用数量积的几何意义进行计算.下面，我们将就此展开一些探讨.(1)紧扣定义，直接计算利用数量积的定义式进行计算时，通常要分别确定两向量的模和夹角.若题设条件没有明确给出，就必须根据其它关系式将其导出.例10.如图1.4—10.已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ⃗⃗⃗⃗ ∙PB⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ). A.-4+√2. B. -3+√2. C. -4+2√2. D.-3+2√2.解：设|PA|=|PB|=x ，∵ PA ⃗⃗⃗⃗ ∙PB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2cos ∠APB=x 2(1-2sin 2∠APC) =x 2(1−21+x 2)=x 2−2x 21+x 2=−3+(21+x 2+1+x 2)≥−3+2√2.故应选D.例11.对于两个非零的平面向量α，β.定义α⊙β=α∙ββ∙β .若两个非零的平面向量a ，b ，满足a 与b 的夹角θ∈(π4，π2).当a ⊙b 和b ⊙a 都在集合{n 2|n ∈Z }中时，a ⊙b =( ).A.52.B. 32.C.1.D. 12. 解：由定义知，a ⊙b =|a||b|cos θ|b|2=|a|cos θ|b|. ∴(a ⊙b (b ⊙a )=cos 2θ.又由已知可设a ⊙b= n12，n 1∈Z ，b ⊙a =n 22，n 2∈Z ， ∴(a ⊙b (b ⊙a )=n 1n 24，又∵ θ∈(π4，π2)， ∴cos 2θ∈(0，12). 则0<n 1n 2<2,因此，n 1、n 2只能在{-1，1}中取值，故应选D.想一想⑥：1.如图1.4—11，在∆ABC 中，AD ⊥AB,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,| AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 2.已知A ，B ，C 是圆O ：x 2+y 2=1上的三点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ .则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 当所涉数量积计算的图形是直角三角形或矩形(正方形)时，应考虑通过建立平面直角坐P A B C x 图1.4—10_ BAD C 图1.4—11标系，利用数量积的坐标形式来进行.例12.在Rt ∆ABC 中，∠C=900，若∆ABC 所在平面内的一点P 满足PA → +PB →+λPC → =0. 则(1)当λ=1时，|PA|2+|PB|2|PC|2= ( ). (2)|PA|2+|PB|2|PC|2的最小值为 .解：建立如图1.4—12所示的平面直角坐标系. (1)设等腰直角三角形的边长为a ，当λ=1时，由PA ⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =0，知P 是∆ABC 的重心.设A(0，a)，B(a ，0)，得P(a3，a3).从而可得|PA|2+|PB|2|PC|2=(a 29+4a 29)+(4a 29+a 29)a 29+a 29=5.对于填空题，也可用特值法.即设两直角边长为3，则计算要方便得多. (2)设P(x ，y)，∵|PA|2+|PB|2|PC|2=x 2+(y−a)2+(x−a)2+y 2x 2+y 2=2(x 2+y 2+a 2)−2(ax+ay)x 2+y 2≥2(x 2+y 2+a 2)−(a 2+x 2+a 2+y 2)x 2+y 2=1，当且仅当x=y=a 时取等号.∴ |PA|2+|PB|2|PC|2的最小值为1.想一想⑦：已知Rt ∆ABC 的三边CB ，BA ，AC 成等差数列.点E 为直角边AB 的中点，点D 在斜边AC 上，若AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且CE ⊥BD ，则λ= .(2)有效转换，方便计算有许多数量积的计算题，其所求式与题设条件之间没有直接的关联.这时，我们就必须通过转换与变形，将所求式变为与题设条件有密切关系的式子.我们常用的转换方式有两种：①利用向量加(减)法的三角形法则或平行四边形法则，变形后进行计算；②利用定比分点的向量形式OP → =OA → +λOB→1+λ (其中AP → =λPB → )转换后进行计算.例13.在边长为1的正∆ABC 中，设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗ . 则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BE⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．解:法1.AD → ⋅BE → =(AB → +BC → 2)⋅(CA →3+BC → )=16(2AB → +BC → )⋅(−AB → +2BC → )=16(−2+2+3AB → ⋅BC → )=12cos 1200=−14.法2.由BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，⇒AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，再由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗ ，得 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，⇒BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =16(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )(−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16(−3+2−12)=−14. 说明：一般地，处理此类问题时，可由已知条件出发，将需要求数量积的两个向量，通过向量加法或减法的三角形法则，用已知模和夹角的向量表示出来后，再求值即可.例14.如图1.4—13，P 是∆AOB 所在平面上的一点.向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ab ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ac .且点P 在线段AB 的中垂线上.若|a |=2，|b |=1.，则c·(a -b )= ( ). A. 12. B.1. C. 32. D.2. 解析：∵ BA → =a -b ，c =OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(aa +b ) AC B xy 图1.4—12又DP → ⊥BA → .∴ c·(a -b )=ac=[DP⃗⃗⃗⃗⃗ +12(aa +b )]·(a -b = 12(aa +b a·(a -b = 12(a 2-b 2 = 32. 故应选 C.想一想⑻：1.在∆ABC 中，M 是BC 的中点.AM=3，BC=10.则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC⃗⃗⃗⃗⃗ = . 2.在∆ABC 中，∠BAC=1200，AB=2，AC=1.点D 在BC 边上，且DC=2BD.则AD⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 3.如图1.4—14.已知圆M :(x -3)2+(y -4)2=4.四边形ABCD 为圆M 的内接正方形，点E ，F 分别为AB ，AD 的中点.当正方形ABCD绕圆心M 转动时，ME⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是 .(3)厘清意义，简化计算两向量a ，b 的数量积a·b 的几何意义是：一个向量a 的模|a |，与另一个向量b 在向量a 的方向上的投影的积.如图1.4—15.aa·b =|a |·OD.利用几何意义，我们在处理与三角形的外心或等腰三角形底边上的中线(实质是与线段的中垂线)有关的问题时，常常会收到奇效. 例15.(1)等腰∆ABC 中，若BC=4，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)在∆ABC 中，若AB=3，AC=4，BC=5，AM ⊥BC 于M.点N 为∆ABC 的内部或边上的点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是( ). A..25144 B.2. C.9. D.16..解：(1)AB → ⋅BC → =|AB → |⋅|BC → |cos(π−B)=−|AB → |⋅|BC → |cos B =−12|BC →|2=−8. (2)由条件知∆ABC 为直角三角形，且角A 为直角.易求得AM=125由数量积的几何意义知，当点N 落在BC 上时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值14425故应选A.例16.(1)已知O 是∆ABC 的外心，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10√2.若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且32x+25y=25，求|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |. (2)已知O 是锐角三角形ABC 的外心，若cosBsinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC⃗⃗⃗⃗⃗ =mAO ⃗⃗⃗⃗⃗ . 求证：m=2sinA. 解(1)如图1.4—15.∵ AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且32x+25y=25， ∴ AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2= (xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ )∙ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+y|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4(32x+25y)=100，可得 |AO⃗⃗⃗⃗⃗ |=10. (2) 设∆ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理c=2RsinC ，b=2RsinB.∵ cosBsinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ cosB sinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinBAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AO⃗⃗⃗⃗⃗ =m|AO|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=mR 2，又∵ cosBsinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 22sinC cosB +AC 22sinBcosC =2R 2(sinCcosB+sinBcosC) A BO PD 图1.4—13CA BO 。

2.4.1平面向量的数量积及运算律(3)

硬背“在复合句中，修饰某一名词或代词的从句叫做定语从句”这个概念。
3.这个步骤可以使用思维导图或流程图，可以更好加深自己的理解哦~
费曼学习法--
实操
第三步没有任何参考的情况下，仅靠大脑，复述你所获得的主要内容
（三）仅靠大脑复述
1.与上一步不同的是，这一步不能有任何参考，合上你的书本、笔记等，看看此时你的大脑里还剩下了什么； 2.仅凭记忆，如果可以复述很多，说明掌握状况还可以； 3.如果一合上书，就连关系词有哪些都想不起来了，说明还没有掌握，需要继续回顾。
2. 求证：直径所对的圆周角为直角．
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【学习力-学习方法】
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小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑，上课认真，笔记认真，小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩，上课没事儿还调皮气老师，笔记有时让人看不懂，但一考试就挺好…… 小B
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如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也是因为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制在7组之内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要记忆3 组就可以了，记忆效率也会大大提高。

平面向量的运算规则

平面向量的运算规则平面向量是研究平面上有大小和方向的量，常用于解决几何问题和物理问题。

为了对平面向量进行运算，我们需要了解平面向量的运算规则。

本文将介绍平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算规则，以及向量的共线性和平行性。

一、平面向量的加法规则对于平面上的两个向量A和A，它们的加法规则如下：A + A = A + A即向量的加法满足交换律。

二、平面向量的减法规则对于平面上的两个向量A和A，它们的减法规则如下：A - A≠ A - A向量的减法不满足交换律。

减法运算可以通过将减法转化为加法进行计算：A - A = A + (-A)其中，-A表示向量A的反向向量，即大小相等，方向相反。

三、平面向量的数乘规则对于平面上的向量A和一个实数A，它们的数乘规则如下：AA = AA即数乘满足交换律。

数乘后的向量与原向量大小相等，方向与原向量平行或反向。

四、平面向量的数量积规则平面向量的数量积又称为点积或内积。

对于平面上的两个向量A和A，它们的数量积规则如下：A·A = AA cosθ其中，A·A表示向量A和A的数量积，AA为A和A的模的乘积，θ为A和A之间的夹角。

根据数量积的定义，我们可以得到以下结论：1. 若A·A = 0，则A与A垂直，即A和A互相垂直。

2. 若A·A > 0，则A与A夹角为锐角。

3. 若A·A < 0，则A与A夹角为钝角。

五、平面向量的共线性和平行性对于平面上的两个向量A和A，它们的共线性和平行性判断规则如下：1. 共线性判断：若存在一个实数A，使得A = AA，则A与A共线，且方向相同或相反。

2. 平行性判断：若A与A共线且方向相同或相反，则A与A平行。

总结：平面向量的运算规则包括加法、减法、数乘和数量积。

其中，加法满足交换律，减法不满足交换律，数乘满足交换律。

数量积可以判断向量的垂直性和夹角的锐钝性。

同时，共线性和平行性的判断也是平面向量运算中的重要内容。

平面向量数量积的坐标运算证明

平面向量数量积的坐标运算证明
平面向量数量积的坐标运算证明是用来证明两个向量的数量积等于它们的坐标运算的一种方法。

根据定义，平面向量的数量积是两个平面向量的乘积，它有一个关键的特性，即它与向量的坐标运算结果相同。

为了证明这一特性，我们可以使用坐标运算来对比。

假设有一个平面向量A和一个平面向量B，它们的坐标分别是(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)。

它们的数量积可以表示为A×B = (a1*b1 + a2*b2 + a3*b3)。

现在，我们可以将这一结果与两个向量的坐标相乘的结果进行比较，即(a1*b1,a2*b2,a3*b3)，发现它们的结果相同，这也证明了平面向量数量积的坐标运算证明。

平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

平面向量数量积的性质及其运算-精品

平面向量数量积的性质及其运算1、平面向量数量积的重要性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，a与b和夹角为仇则：—♦T—♦T—•（1）a•e=e•a=lalcosG；（2）3=Z・E=（）;（判定两向量垂直的充要条件）（3）当W，E方向相同时,a*b=lallH；当彳,E方向相反时，a•b=-Iallbh特别地：W=l孑或可=5客（用于计算向量的模）（4）cose=- （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）lallbl（5）ll*bKldlbl2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a・b二b・a；（2）数乘向量的结合律：（入a）・b=A（a・b）=a・（入b）;（3）分配律：（a•b）・cWa,（b,c）【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①（W土E）2=/±2：**.②（W-E）（；+E）=a 2-b2.®b-C）丰（a-b）-o从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样.【例题解析】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①\n〃=mn”类比得到“黑三品•盛②“（〃z+〃）t=mt+nt ff类比得到“（a+b）e c=a•c+b・c”；③“0,侬=加=〃7=〃”类比得到晨声0,l-c=b->a=b w;④“依•川=|司・|川”类比得到⑤“（〃?•〃）t=m（〃•1）”类比得到“（a•»c=a•（b,c）”；―♦—♦-♦⑥“注二旦”类比得到冬二？第.以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②.beb b,ca解：・・,向量的数量积满足交换律，A u mn=nm n类比得到“黑EV”，即①正确；・・,向量的数量积满足分配律，.•・"（"+〃）t=mt+nf f类比得到“（a+b）・c=a•c+b,c”，即②正确；・・•向量的数量积不满足消元律，J“岸0,/加=加=加=〃”不能类比得到“3#0,W£三a=b"，即③错误；,•,1a•HW|a|・|bl，・・・“依•川=|〃?|・|川”不能类比得到“|，，=可・|讣；即④错误；・・,向量的数量积不满足结合律，・・・“（〃?•〃）t=m（〃•，）”不能类比得到“G4）£=；•£：）”，即⑤错误；・・,向量的数量积不满足消元律，・・.反£二旦”不能类比得到乌工二，beb b-ca即⑥错误.故答案为：①②.向量的数量积满足交换律，由“〃〃?=〃〃?”类比得到二EG"；向量的数量积满足分配律，故“（加+〃）t=mt+nt ff类比得到“G+三）・7=W・丁+b-c";向量的数量积不满足消元律，故"/WO, 不能类比得到“《卢。

高中数学知识点总结(第五章平面向量第三节平面向量的数量积)

第三节平面向量的数量积一、基础知识1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． (2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．当θ＝0时，两向量a ，b 共线且同向；当θ＝π2时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ；当θ＝π时，两向量a ，b 共线但反向． 2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a||b| cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a||b|cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b|cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影．(2)a·b 的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量. 4．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b ＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)分配律：(a ＋b)·c ＝a·c ＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c 表示一个与c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．5．平面向量数量积的性质设a ，b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a. (4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a·b|≤|a||b|.6．平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则(1)|a|＝x 21＋y 21； (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；(2)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2;_ (4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.二、常用结论汇总1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b)·(a －b)＝a 2－b 2； (2)(a±b)2＝a 2±2a·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．考点一平面向量的数量积的运算[典例] (1)(2018·新乡二模)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，则m·n ＝( ) A ．0 B ．4 C ．－92D ．－172(2)(2018·天津高考)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→，则BC ―→·OM ―→的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0[解析] (1)∵向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，∴2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，∴m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12， ∴m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172.(2)法一：如图，连接MN . ∵BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→， ∴AM AB ＝AN AC ＝13. ∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13.∴BC ―→＝3MN ―→＝3(ON ―→－OM ―→)． ∴BC ―→·OM ―→＝3(ON ―→·OM ―→－OM ―→2) ＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.法二：在△ABC 中，不妨设∠A ＝90°，取特殊情况ON ⊥AC ，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠MON ＝120°，ON ＝2，OM ＝1，所以O ⎝⎛⎭⎫2，32，C ⎝⎛⎭⎫0，332，M ⎝⎛⎭⎫52，0，B ⎝⎛⎭⎫152，0. 故BC ―→·OM ―→＝⎝⎛⎭⎫－152，332·⎝⎛⎭⎫12，－32＝－154－94＝－6.[答案] (1)D (2)C[解题技法] 求非零向量a ，b 的数量积的策略(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算求解．[题组训练]1．(2019·济南模拟)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC ―→·CB ―→＝( ) A ．1 B ．－1 C.6D ．22解析：选B 设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则a·b ＝0， ∵|a|＝2，|b|＝1，∴AC ―→·CB ―→＝(a ＋b)·(－b)＝－a·b －b 2＝－1.2．(2019·南昌调研)已知向量a ，b 满足a·(b ＋a)＝2，且a ＝(1,2)，则向量b 在a 方向上的投影为( )A.55B ．－55C ．－255D ．－355解析：选D 由a ＝(1,2)，可得|a|＝5，由a·(b ＋a)＝2，可得a·b ＋a 2＝2， ∴a·b ＝－3，∴向量b 在a 方向上的投影为a·b |a|＝－355.3．(2018·石家庄质检)在△ABC 中，已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，M 为BC 上的一点，且AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则 λμ的值为________．解析：法一：∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→·BC ―→＝0， ∴(λAB ―→＋μAC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝0，∵AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1， ∴－λ|AB ―→|2＋μ|AC ―→|2＝0，即－4λ＋μ＝0，∴λμ＝14.法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y 2y ＝14. 答案：14考点二平面向量数量积的性质考法(一) 平面向量的模[典例] (1)(2019·昆明适应性检测)已知非零向量a ，b 满足a·b ＝0，|a|＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b|＝( )A ．6B ．32C ．22D ．3(2)(2019·福州四校联考)已知向量a ，b 为单位向量，且a·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c|的最小值为( )A ．1 B.12C.34D.32[解析] (1)∵a ·b ＝0，|a|＝3，∴a·(a ＋b)＝a 2＋a·b ＝|a||a ＋b|cos π4，∴|a ＋b|＝32，将|a ＋b|＝32两边平方可得，a 2＋2a·b ＋b 2＝18，解得|b|＝3，故选D.(2)∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b)(t ∈R)，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c)2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)·a·b ＋t 2b 2， ∵向量a ，b 为单位向量，且a·b ＝－12，∴(a ＋c)2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c|≥32，∴|a ＋c|的最小值为32，故选D. [答案] (1)D (2)D考法(二) 平面向量的夹角[典例] (1)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a|＝1，|b|＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6 B.5π6C.π4D.3π4(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )且b 在a 方向上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________．[解析] (1)因为|a ＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b|＝ 3.又(a ＋2b)·b ＝a·b ＋2|b|2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝a ＋2b ·b|a ＋2b||b|＝343×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.(2)因为b 在a 方向上的投影为－3，所以|b|cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a|＝12＋32＝2，所以a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉＝－6，又a·b ＝3＋3m ，所以3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，所以|b|＝32＋－332＝6，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝－62×6＝－12，因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为2π3. [答案] (1)A (2)2π3考法(三) 平面向量的垂直[典例] (1)若非零向量a ，b 满足|a|＝223|b|，且(a －b)⊥(3a ＋2b)，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π(2)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，因为|a|＝223|b|，(a －b)⊥(3a ＋2b)，所以(a －b)·(3a ＋2b)＝3|a|2－2|b|2－a·b ＝83|b|2－2|b|2－223|b|2cos θ＝0，解得cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. (2)由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→ ·BC ―→＝0，即AP ―→ ·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→ )·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. [答案] (1)A (2)712[解题技法]1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[题组训练]1．(2018·深圳高级中学期中)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n)⊥(m －n)，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1解析：选B ∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝m 2－n 2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.2．(2018·永州二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b|＝1，|2a －b|＝1，则|a|＝( ) A.12 B ．1 C.2D ．2解析：选A ∵非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b|＝1，∴a·b ＝|a|×1×12＝|a|2，∵|2a －b|＝1，∴|2a －b|2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝12，故选A.3．(2019·益阳、湘潭调研)已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，则tan θ＝________.解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝5＋2a·b ＝1＋3，∴a·b ＝－12，∴cos θ＝a·b |a|·|b|＝－14，∴sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154，∴tan θ＝sin θcos θ＝－15. 答案：－15[课时跟踪检测]1．已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b·(2a －b)等于( )A ．2B ．－1C ．－6D ．－18解析：选D ∵a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，∴a·b ＝－3，b·(2a －b)＝2a·b －b 2＝－18.2．已知平面向量a ＝(－2,3)，b ＝(1,2)，向量λa ＋b 与b 垂直，则实数λ的值为( ) A.413 B ．－413C.54D ．－54解析：选D ∵a ＝(－2,3)，b ＝(1,2)，∴λa ＋b ＝(－2λ＋1,3λ＋2)．∵λa ＋b 与b 垂直，∴(λa ＋b)·b ＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－54.3．已知向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(2,1)，且a·b ＝0，则|a －b|＝( ) A.6 B.5 C ．2D.3解析：选A 因为|a|＝1，b ＝(2,1)，且a·b ＝0，所以|a －b|2＝a 2＋b 2－2a·b ＝1＋5－0＝6，所以|a －b|＝ 6.故选A.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(a ＋c)∥b ，c ⊥(a ＋b)，则c ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析：选D 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，因为(a ＋c)∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )，即3m ＋2n ＝－7，又c ⊥(a ＋b)，则有3m －n ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋2n ＝－7，3m －n ＝0.解得⎩⎨⎧m ＝－79，n ＝－73.所以c ＝⎝⎛⎭⎫－79，－73. 5．(2018·襄阳调研)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析：选C 不妨令i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，因为它们的夹角为锐角，所以a·b ＝1－2λ>0且a ，b 不共线，所以λ<12且λ≠－2，故选C.6．(2019·石家庄质检)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝2|b|，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵|a ＋b|＝|a －b|，∴|a ＋b|2＝|a －b|2，∴a·b ＝0.又|a ＋b|＝2|b |，∴|a ＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝3|b|，cos 〈a ＋b ，a 〉＝a ＋b ·a |a ＋b||a|＝a 2＋a·b |a ＋b||a|＝|a|22|b||a|＝|a|2|b|＝32，故a ＋b 与a 的夹角为π6.7．(2018·宝鸡质检)在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC ＝BC ＝1，点P 是斜边上的一个三等分点，则CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝( )A ．0B ．1 C.94D ．－94解析：选B 以点C 为坐标原点，分别以CA ―→，CB ―→的方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C (0,0)，A (1，0)，B (0,1)，不妨设P ⎝⎛⎭⎫13，23，所以CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝CP ―→·(CB ―→＋CA ―→)＝13＋23＝1.故选B.8．(2019·武汉调研)已知平面向量a ，b ，e 满足|e|＝1，a·e ＝1，b·e ＝－2，|a ＋b|＝2，则a·b 的最大值为( )A ．－1B ．－2C ．－52D ．－54解析：选D 不妨设e ＝(1,0)，则a ＝(1，m )，b ＝(－2，n )(m ，n ∈R)，则a ＋b ＝(－1，m ＋n )，所以|a ＋b|＝1＋m ＋n2＝2，所以(m ＋n )2＝3，即3＝m 2＋n 2＋2mn ≥2mn ＋2mn＝4mn ，当且仅当m ＝n 时等号成立，所以mn ≤34，所以a·b ＝－2＋mn ≤－54，综上可得a·b 的最大值为－54.9．已知平面向量a ，b 满足a·(a ＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a 与b 的夹角的正弦值为________．解析：∵a·(a ＋b)＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32. 答案：3210．(2018·湖北八校联考)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且|a|＝1，|b|＝2，若(λa ＋b)⊥(a －2b)，则λ＝________.解析：∵|a|＝1，|b|＝2，且a ，b 的夹角为2π3，∴a ·b ＝1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，又∵(λa ＋b)⊥(a －2b)，∴(λa ＋b)·(a －2b)＝0，即(λa ＋b)·(a －2b)＝λa 2－2b 2＋(1－2λ)a·b ＝λ－8－(1－2λ)＝0，解得λ＝3.答案：311．(2018·合肥一检)已知平面向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，|a ＋b|＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a ＋b|＝3， ∴(a ＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝5＋2a·b ＝3， ∴a·b ＝－1，∴a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－12.答案：－1212.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________.解析：由已知得|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝24，则OC ―→ ·(OB ―→－OA ―→ )＝(OA ―→＋AC ―→ )·AB ―→＝OA ―→ ·AB ―→＋AC ―→ ·AB ―→＝ 2 c os 3π4＋24 ×2＝－12. 答案：－1213．(2019·南昌质检)设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，且|2a －b|＝ 5. (1)求|2a －3b|的值；(2)求向量3a －b 与a －2b 的夹角θ.解：(1)∵|2a －b|2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝4－4a·b ＋1＝5，∴a·b ＝0， ∴|2a －3b|＝4a 2－12a·b ＋9b 2＝4＋9＝13.(2)cos θ＝3a －b ·a －2b |3a －b||a －2b|＝3a 2＋2b 29a 2＋b 2×a 2＋4b 2＝510×5＝22， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.。

平面向量的运算法则

平面向量的运算法则平面向量是二维的有方向和大小的量，通常用箭头表示。

在平面上，我们可以进行平面向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算，下面将详细介绍这些运算法则。

1.平面向量的加法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其加法运算为：⃗A+⃗B=⃗C，其中C是由A和B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。

加法满足以下性质：-交换律：⃗A+⃗B=⃗B+⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)+⃗C=⃗A+(⃗B+⃗C)2.平面向量的减法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其减法运算为：⃗A-⃗⃗B=⃗C，其中C是由A的箭头指向B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。

3.平面向量的数乘：设有平面向量A和实数k，表示为⃗A和k，其数乘运算为：k⃗A=⃗B，其中B的大小等于A的大小乘以k，方向与A相同（若k>0），或相反（若k<0）。

数乘满足以下性质：- 结合律：k(l⃗A) = (kl)⃗A-分配律：(k+l)⃗A=k⃗A+l⃗A4.平面向量的点乘（数量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其点乘运算为：⃗A · ⃗B = ABcosθ，其中A和B的夹角θ的余弦值等于点乘结果与两个向量大小的乘积的商。

点乘满足以下性质：-交换律：⃗A·⃗B=⃗B·⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)·⃗C=⃗A·⃗C+⃗B·⃗C-数乘结合律：(k⃗A)·⃗B=k(⃗A·⃗B)特殊情况下：-若⃗A与⃗B垂直，即⃗A·⃗B=0，则称⃗A与⃗B是正交的或垂直的。

-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B>0，则夹角θ为锐角。

-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B=0，则夹角θ为直角。

-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B<0，则夹角θ为钝角。

5.平面向量的叉乘（向量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其叉乘运算为⃗A × ⃗B = nABsinθ⃗n，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量，θ为A和B 的夹角。

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考点71 平面向量的数量积运算1．（13天津T12）在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若1AC BE =, 则AB 的长为 .【测量目标】向量的线性运算，平面向量的数量积运算. 【难易程度】简单【参考答案】12【试题解析】用,AB AD表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算.由已知得AC =AD AB + ，12BE BC CE AD AB =+=-，∴AC BE =221122AD AB AD AB AD AB -+-211122AB AD AB =+- 2111cos 60122AB AD AB ︒=+-= ，（步骤1）∴12AB = .（步骤2）jxq592.（13新课标Ⅰ T13）已知两个单位向量,a b 的夹角为60，c ＝t a ＋(1－t )b 若b c ＝0，则t ＝__________.【测量目标】平面向量的数量积. 【难易程度】容易【参考答案】2t =【试题解析】∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b c ＝t a b ＋(1－t )|b |2.（步骤1）又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60，b ⊥c ，∴0＝t |a | |b |cos 60＋(1－t )， 0＝12t ＋1－t .∴t ＝2.（步骤2） 3.（13江西T12）设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为π3,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________. 【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易【参考答案】52【试题解析】121(3)2||cos ||||||||2θ+===e e e a b a b a a a b b 2112π2611cos2653.222+⨯⨯⨯+=== e e e 4．(13福建T7)在四边形ABCD 中，(1,2)AC = ，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（）AB． C ．5 D ．10 【测量目标】向量的数量积运算. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】∵AC BD ＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC ⊥BD.（步骤1）又|AC ||BD |==S 四边形ABCD ＝12|AC||BD |＝5.（步骤2）5.（13陕西T3）设a ，b 为向量，则“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【测量目标】平面向量的数量积运算，充分、必要条件. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】若,= a b a b 若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ；（步骤1）若a ，b 中均不为零向量，则cos ,,==a b a b a b a b cos ,1∴=a b ,π⇒=a b 或0，∴a ∥b ，即= a b a b ⇒a ∥b .（步骤2）若a ∥b ，则,π=a b 或0，cos ,∴== a b a b a b a b ，（步骤3）其中若a ，b 中有零向量也成立，即a ∥b ⇒= a b a b ；（步骤4）综上知：“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件.（步骤5）6．（13浙江T17）设12,e e 为单位向量，非零向量12x y +b =e e ，,x y ∈R ，若12,e e 的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于________.【测量目标】向量模的计算，向量的数量积，不等式性质. 【难易程度】较难【参考答案】2【试题解析】∵12,e e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于30°，（步骤1）∴12 e e =1×1×cos30°=2.∵非零向量12x y +b =e e ，（步骤2）∴===b （步骤3）∴x====b故当x y=x b取得最大值为2，故答案为 2. （步骤4）7.（13山东T15）已知向量 AB 与 AC 的夹角为120，且3,2.== AB AC 若λ=+ AP AB AC ，且⊥AP BC ，则实数λ的值为____________.【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】中等【参考答案】712【试题解析】∵AP ＝AB λ ＋AC ，AP ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ，∴(AC －AB) (AC＋AB λ )＝0.∴AC 2＋AB λ AC －AB AC －AB λ 2＝0，即4＋(λ－1)×32⨯×12⎛⎫- ⎪⎝⎭－9λ＝0，即7－12λ＝0，∴λ＝712. 8．（12浙江T15）在ABC △中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC＝______________．Yxj 63【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】中等【参考答案】16-【试题解析】设AMB θ∠=,则,AMC θ∠=π-又,AB MB MA =- ,AC MC MA =-(步骤1)2()()AB AC MB MA MC MA MB MC MB MA MA MC MA ∴=--=--+ ，2553cos 35cos(θθ=--⨯-⨯π-)+9=-16故答案为16-.（步骤2）9.（12重庆T6）设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)x y ===-a b c 且,⊥a c b c ，则+=a b( )C. D.10【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】,240,2,x x ⊥∴=-==a c a c （步骤1） ,1(4)2,2,y y ∴⨯-==- cb （步骤2）(3,1),∴+=-∴+=a b a b （步骤3）10.(12新课标T13)已知向量a,b 夹角为45，且|a |=1，|2a -b 则|b |= . 【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】由题意得，222224444cos 45-=-+=-+a b a a b b a b b ，则244cos 4510-+=⇒=a b b b 11.（11辽宁T10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0= a b ，()()0-- …a c b c ，则||+-a b c 的最大值为 ( )A.12-B.1C.2D.2【测量目标】平面向量的数量积运算.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】∵2()()0()0--⇒-++ 剟a c b c a b c a b c又∵,,a b c 为单位向量，且 a b =0，∴()1+ …c a b ，（步骤1）而222222()+-=+++-+a b c a b c a b c a b =32()321-+-= …c a b . ∴+-a b c 的最大值为1．（步骤2）12.（11江苏T10）已知12，e e 是夹角为2π3的两个单位向量，12122k =-=+，，a e e b e e 若0= a b ，则k 的值为【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易【参考答案】54【试题解析】解：∵12，e e 是夹角为2π3的两个单位向量 ∴1212=-e e （步骤1） ∴1212(2)()k =-+ a b e e e e=2211212222k k -+- e e e e e e =522k -（步骤2） ∵0= a b ∴5202k -=（步骤3）解得54k =故答案为：54（步骤4）13．（11广东T3）若向量,a b,c 满足a b ∥且⊥a c ，则(2)c a +b= （）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 0 【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】∵a b ∥且⊥a c ，∴(2)20=c a +b c a +c b =． 14.（11重庆T12）已知单位向量i j e ,e 的夹角为60，则2_____i j -=e e ．【测量目标】平面向量数量积. 【难易程度】容易.【试题解析】22i j -e e =2(2)i j -e e=2244i i j j -+e e e e =54cos60-=3∴2i j -=e e 15.(11新课标T10)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题其中的真命题是（）12:10,3p θπ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 22:1,3p θπ⎛⎤+>⇔∈π ⎥⎝⎦a b3:10,3p θπ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 4:1,3p θπ⎛⎤->⇔∈π ⎥⎝⎦a bA.14,p pB.13,p pC.23,p pD.24,p p【测量目标】不等式比较大小及平面向量的数量积运算.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】1+==>a b 得， 1cos 2θ>-，2π0,3θ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭，（步骤1）由1-==a b 得1cos 2θ<π,π3θ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦，选A （步骤2）16．(10重庆T2)已知向量a ，b 满足 a b ＝0，|a |=1，|b |=2，则|2-a b |＝ ( )A ． 0C. 4D. 8【测量目标】平面向量的数量积运算.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】2-=a b ===17.(10安徽T3)设向量11(1,0),(,)22==a b ，则下列结论中正确的是（）A.||||=a bB.=a b C.-与a b b 垂直 D.a b【测量目标】平面向量的坐标运算和数量积运算. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由于a =（1，0），b =（21，21），那么|a |=1，|b |=22，选项A 错；（步骤1） a •b =1×21+0×21=21，选项B 错；（步骤2）（a －b ）•b =（21，－21）•（21，21）=21×21－21×21=0，即a －b 与b 垂直，选项C 正确；（步骤3）112≠210，选项D 错.（步骤4） 18.(10广东T10)若向量()1,1,x =a ,()1,2,1=b ，()1,1,1=c ,满足条件()()22-=-c a b g ,则x = .【测量目标】平面向量的坐标运算和数量积运算. 【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】()0,0,1x -=-c a ，()()()()()220,0,11,2,1212x x -=-=-=-c a b g g 解得2x =．19．（09福建T9）设a b c ，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，⊥ac ，=a c ，则 b c 的值一定等于 ( )A ．以a ，b 为两边的三角形面积 B ．以b ，c 为两边的三角形面积 C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积 D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积【测量目标】平面向量的数量积运算，三角形面积．【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】依题意可得cos(,)sin(,)S === b c b c b c b a a c ，故选C ． 20.（09广东T16）已知向量(sin ,2)θ=-a 与(1,cos )θ=b 互相垂直，其中π(0,)2θ∈．（1）求sin θ和cos θ的值；（2）若πsin()102θϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．【测量目标】平面向量的数量积运算和两角和与差的余弦.【难易程度】中等【试题解析】（1）∵ 向量()sin ,2θ=-a 与()1cos θ，b =互相垂直，∴ sin 2cos 0θθ=-= a b ，即θθcos 2sin =①，（步骤1）又 1cos sin 22=+θθ ②① 代入②，整理，得51cos 2=θ，（步骤2）由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知0cos >θ， ∴55cos =θ，（步骤3）代入①得552sin =θ.故55cos =θ， 552sin =θ.（步骤4）（2）ππππ0,0,,2222ϕθθϕ<<<<∴-<-< （步骤5）则()cos θϕ-=（步骤6）()()()cos cos cos cos sin sin ϕθθϕθθϕθθϕ∴=--=-+-=⎡⎤⎣⎦（步骤7）21.（09江苏T2）已知向量a 和向量b 的夹角为°30,||2,||==a b ，则向量a 和向量b 的数量积= a b .【测量目标】向量的数量积运算. 【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】23== a b . 22．（09江苏T15）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .【测量目标】向量的数量积运算，同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式. 【难易程度】中等【试题解析】（1）由a 与2b c -垂直，(2)20-=-= a b c a b a c ，（步骤1）即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，tan()2αβ+=；（步骤2）（2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c （步骤3）222||sin 2sin cos cos ββββ+=+++b c 2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，最大值为32，（步骤4）所以||+b c 的最大值为（步骤5）（3）由tan tan 16αβ=得sin sin 16cos cos αβαβ=，（步骤6）即4cos 4cos sin sin 0αβαβ-= （步骤7）所以a ∥b .（步骤8）23.（09全国Ⅰ T6）设a 、b 、c 是单位向量，且0=a b ，则()()-- a c b c 的最小值为（）A.2- 2 C.1- D.1【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】,, a b c 是单位向量()()()2∴--=-++ a c b c a b a b c c ()11,1=-+=-<+>- …a b c a b c 故选D.24.（09辽宁T3）平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)=a ，1=b 则2+=a b ( )B. C. 4 D. 12 【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由已知2222,2444421cos 60412︒=+=++=+⨯⨯⨯+=a ab a a b b ,∴2+=a b25.（09全国Ⅱ T6）已知向量()2,1,10,||=∙=+=a a b a b 则||=b （）A.B.C.5D. 25【测量目标】平面向量的数量积运算.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】222250||||2||520||=+=++=++ a b a a b b b ，||5∴=b .故选C.26．（09重庆T7）设ABC △的三个内角,,A B C ，向量,sin )A B =m ，(cos )B A =n ，若1cos()A B =++ m n ，则C =（）A ．π6 B ．π3C ．2π3 D ．5π6【测量目标】平面向量的数量积运算、两角和与差的正弦．【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】cos sin )1cos()A B A B A B A B ==+=++m n g g g ，πA B C ++=1cos C C =-cos 1C C +=，π2sin 16C +=（）π1sin(62C ⇒+=），由题π5π66C +=，即2π3C =．。