课题平面向量的数量积及运算律Word
一、复习引入：
1．向量共线定理向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 =λ
2．平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2
3．平面向量的坐标表示
分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底 任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得
对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；
对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс
则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），
∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ
若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律
例2已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的 范围0≤≤180
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab= |a||b|cos，
（０≤θ≤π） 并规定0与任何向量的数量积为0
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c 但是ab=bc a=c
如右图：ab= |a||b|cos= |b||OA|，bc= |b||c|cos= |b||OA|
ab=bc但ac
(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量
1ea=ae=|a|cos
2abab= 0
3当a与b同向时，ab= |a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|
特别的aa= |a|2或
4cos=
5|ab|≤|a||b|
三、讲解范例：
例1判断正误，并简要说明理由
①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－ ＝ ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定
（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分 符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0 因为其中cos有可能为0
把 叫做向量 的（直角）坐标，记作
4．平面向量的坐标运算
若 ， ，
则 ， ，
若 ， ，则
5． ∥ ( )的充要条件是x1y2-x2y1=0
6．线段的定比分点及λ
P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，
使 =λ ，λ叫做点P分 所成的比，有三种情况：
λ>0(内分)(外分)λ<0 (λ<-1)( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
3．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当
为直角时投影为0；当= 0时投影为|b|；当= 180时投影为|b|
4．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长Βιβλιοθήκη 与b在a方向上投影|b|cos的乘积
5．两个向量的数量积的性质：
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；
对于②：应有０·ａ＝0；
对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；
对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；
在平面内任取一点O，设 ＝ａ， ＝ｂ，
可得 =
10．力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角
二、讲解新课：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作 ＝ａ， ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝ 时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
7 定比分点坐标公式：
若点P１(x1,y1)，Ｐ２(x2,y2)，λ为实数，且 ＝λ ，则点P的坐标为（ ），我们称λ为点P分 所成的比
8 点P的位置与λ的范围的关系：
①当λ＞０时， 与 同向共线，这时称点P为 的内分点
②当λ＜０( )时， 与 反向共线，这时称点P为 的外分点
9 线段定比分点坐标公式的向量形式：
课题：平面向量的数量积及运算律（1）
教学目的：
1 掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4 掌握向量垂直的条件
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律
解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；
若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，
∴ａ·ｂ＝０；
③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有
ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× ＝9
平面向量的数量积及运算律1
向上的力做功．
F
作OA a，OB b ，过点B作 BB1 垂直于直线OA，垂足为 B1，则 OB1 | b | cosθ
θ s
| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．
B
BBb源自bbOa B1 A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
B1 O
aA
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
O(B1 ) a
5.6 平面向量的数量积及运算律
5.6 平面向量的数量积及运算律
问题
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，那么力F 所做的功应当怎样计算？
W | F || s |cos
F
θ s
其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量.
5.6 平面向量的数量积及运算律
向量的夹角
两个非零向量a 和b ，作OA a ，OB b ，则 AOB
5.6 平面向量的数量积及运算律
例题讲解
例1．已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 120，求a ·b.
解： a ·b =|a | |b |cosθ 5 4 cos120 54( 1) 2 10
5.6 平面向量的数量积及运算律
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
×
4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0．
×
5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c
×
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立．×
7．对任意向量 a 有 a2 | a |2
√
A
θ为直角时，
| b | cosθ=0
5.6 平面向量的数量积及运算律
平面向量数量积及运算律
ab
ab
记法“ a · b ”中间的“· ”不可以省略，也不可
以用“ ”代替.
思考：
向量的数量积是一个数量，那么它什么时 候为正，什么时候为负？
a·b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。
A
量a与b，设其夹角为θ，
a
那么︱a︱cosθ的几何意
义如何？
θ
O |a|cosθ
b
A1
B
对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ， ︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影. 那么该投影一定是正数吗？向量b在a方
向上的投影是什么？
不一定；︱b︱cosθ.
P书106.3
思考5：根据投影的概念，数量积
STEP1
（1）e · a=a · e=| a | cos
a 2、已知 2 b ， 3 ，a 与 b的交角为 ，则9 0 o
a•b 0 ；
（2） a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
3a、若 1 b， 3，a、共b线，则
a •b 3或. －3
4、已m知 3 n， 4 ，且m•n6，则 m与 的n 夹角为 6 0 o
其中， a、 b、 c是任意三个向量，
R
(ab )ca(bc)
例 3：求证：
（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
4 cos a •b
平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积及运算律【基础知识精讲】1.平面向量的数量积的定义及几何意义(1)两平面向量和的夹角：，是两非零向量，过点O作=、=，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)就称为向量和的夹角，很显然，当且仅当两非零向量、同方向时θ=0°；当且仅，反方向时，θ=180°，当θ=90°，称与垂直，记作⊥.(2)两平面向是和的数量积：、是两非零向量，它们的夹角为θ，则数量｜｜·｜｜cosθ叫做向量与的数量积(或内积)，记作·，即·=｜｜·｜｜·cosθ.因此当⊥时，θ=90°,cosθ=0，这时·=0特别规定，零向量与任一向量的数量积均为0.综上所述，·=0是⊥或，中至少一个为的充要条件两向量与的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当≠，≠，0°≤θ＜90°时，也可以为负(当≠，≠，90°＜θ≤180°时，还可以为0(当=或=或θ=90°时).(3)一个向量在另一向量方向上的投影：设θ是向量与的夹角，则｜｜cosθ，称为向量在的方向上的投影：而｜｜cosθ,称为向量在的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影也是一个数，不是向量，当0°≤θ＜90°时，它为正值：当θ=90°时，它为0；当90°＜θ≤180°时，它为负值.特别地，当θ=0°,它就等于｜｜；而当θ=180°时，它等于-｜｜.我们可以将向量与的数量积看成是向量的模｜｜与｜｜在的方向上投影｜｜cosθ的乘积.2.向量数量积的性质：设、是两非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，于是我们有下列数量积的性质：(1) ·=·=｜｜cosθ(2) ⊥·=0(3) 、同向·=｜｜·｜｜; ,反向·=-｜｜｜｜;特别地·=2=｜｜2或｜｜=.(4)cosθ= (θ为，的夹角)(5)｜·｜≤｜｜·｜｜3.平面向量的数量积的运算律(1)交换律：·=·(2)数乘向量与数量积的结合律：λ(·)=(λ)·=·(λ);(λ∈R)(3)分配律： (+)· =·+·【重点难点解析】两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法有本质的区别：(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，其值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘弦的乘积.(2)当≠时，不能由·=0，推出=，因可能不为，但可能与垂直.(3)非零实数a,b,c满足消去律，即ab=bc a=c，但对向量积则不成立，即·=·=).(4)对实数的积应满足结合律，即a(bc)=(ab)c,但对向量的积则不满足结合律，即·(·)≠(·)·，因·(·)表示一个与共线的向量，而(·)·表示一个与共线的向量，而两向量不一定共线.例1已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数(1)｜·｜＝｜｜·｜｜∥(2) ，反向·=-｜｜·｜｜ (3)⊥｜+｜=｜-｜ (4)｜｜＝｜｜｜·｜＝｜·｜ A.1 B.2 C.3 D.4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.解：(1)∵·=｜｜·｜｜cosθ∴由｜·｜＝｜｜·｜｜及、为非零向量可得｜cosθ｜=1∴θ=0或π，∴∥且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.(2)若,反向，则、的夹有为π，∴·=｜｜·｜｜cosπ=-｜｜·｜｜且以上各步可逆，故命题（2）是真命题.(3)当⊥时，将向量，的起点确定在同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有｜+｜＝｜-｜.反过来，若｜+｜＝｜-｜,则以，为邻边的四边形为矩形，所以有⊥，因此命题(3)是真命题.(4)当｜｜＝｜｜但与的夹角和与的夹角不等时，就有｜·｜≠｜·｜，反过来由｜·｜｜＝｜·｜也推不出｜｜＝｜｜.故命题(4)是假命题.综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).说明：(1)两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.(2)对于命题(4)我们可以改进为：｜｜＝｜｜是｜·｜＝｜·｜的既不充分也不必要条件.例2已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.分析：要求与的夹角，首先要求出与的夹角的余弦值，即要求出｜｜及｜｜、·，而本题中很难求出｜｜、｜｜及·，但由公式cosθ=可知，若能把·，｜｜及｜｜中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得与的夹角θ.解：设与的夹角为θ.∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2，解之得 2=2·2=2·∴2=2∴｜｜＝｜｜∴cosθ===∴θ=因此，a与b的夹角为.例3已知++=,｜｜=3,｜｜＝1,｜｜＝4，试计算·+·+·.分析：利用｜｜2＝2,｜｜2＝ 2,｜｜2＝2.解：∵++=∴(++)2=0从而｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·+2·+2·＝0又｜｜＝3，｜｜＝1，｜｜＝4∴·+·+·=-(｜｜2＋｜｜2＋｜｜2) =-(32+12+42) =-13例4已知：向量=-2-4,其中、、是两两垂直的单位向量，求与同向的单位向量.分析：与同向的单位向量为：·解：∵、、是两两垂直的单位向量∴2＝2＝2＝1, ·=·=·=0∴2=(-2-4)(-2-4)=2+42+162-4· -8·+16·=21从而｜｜=∴与同向的单位向量是·= (-2-4)=--例5求证：直径上的圆周角为直角.已知：如图，AC为⊙O的直径，∠ABC是直径AC上的圆周角.求证：∠ABC=90°分析：欲证∠ABC=90°，须证⊥，因此可用平面向量的数量积证·=0证明：设=,=,有=∵=+, =-且｜｜＝｜｜∴·=(+)( -)=｜｜2-｜｜2=0∴⊥∴∠ABC=90°【难题巧解点拔】例1如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是圆O上的任意点.求证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值.分析：由于要证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值，所以需将(i=1,2,3,4)代换成已知向量或长为定值的向量的和(或差)，才能使问题证，而这里的半径、、、、等可供我们选择.证明：由于=+=- (i=1,2,3,4).∴有｜｜2=(-)2=()2-2(·)+()2设⊙O的半径为r，则｜｜2=2r2-2(·)∴｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2＝8r2-2(+++)·=8r2-2··=8r2(定值).例2设AC是□ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE，CF，垂足分别为E，F，如图，试用向量方法求证：AB·AE+AD·AF=AC2分析：由向量的数量积的定义可知：两向量，的数量积·=｜｜·｜｜·cosθ(其中θ是，的夹角)，它可以看成｜｜与｜｜在的方向上的投影｜｜·cosθ之积，因此要证明的等式可转化成：·+·=,而对该等式我们采用向量方法不难得证：证明：在Rt△AEC中｜｜＝｜｜cos∠BAC在Rt△AFC中｜｜＝｜｜cos∠DAC∴｜｜·｜｜=｜｜·｜｜·cos∠BAC=·｜｜·｜｜=｜｜·｜｜cos∠DAC=·∴｜｜·｜｜＋｜｜·｜｜=·+·=(+)·又∵在□ABCD中，+=∴原等式左边=(+)·=·=｜｜2=右边例3在△ABC中，AD是BC边上的中线，采用向量法求证：｜AD｜2= (｜AB｜2+｜AC｜2-｜BC｜2)分析：利用｜a｜2=a·a及=+，=+，通过计算证明证明：依题意及三角形法则，可得：=+=-=+=+则｜｜2=(-)(-)=｜｜2+｜｜2-·｜｜2=(+)(+)=｜｜2+｜｜2+·所以｜｜2＋｜｜2＝2｜｜2＋｜｜2移项得：｜｜2= (｜｜２+｜｜2-｜｜2)例4若(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)，试求，的夹角的余弦值.分析：欲求cosθ的值，根据cosθ=，只须计算即可解：由(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)①×3+②得：2=2∴｜｜2=｜｜2③由①得：·=2-22=｜｜2-2×｜｜2=-｜｜2④由③、④可得：cosθ= ==-∴，的夹角的余弦值为-.【典型热点考题】例1设、、是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题①(·)·-(·)·)=;②｜｜-｜｜＜｜-｜;③(·)·-(·)·不与垂直；④(3+2)·(3-2)=9｜｜2-4｜｜2.其中正确的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④解：选D.②正确，因、不共线，在｜｜-｜｜≤｜-｜中不能取等号；④正确是明显的，①错误，因向量的数量积不满足结合律；③错误，因［(·)·-(·)·］·=(·)·(·)-(·)·(·)=0,则(·)·-(·)·与垂直.例2已知+=2-8,-=-8+16,其中,是x轴、y轴方向的单位向量，那么·= .=-3+4, =5-12∴·=(-3+4j)·(5-12)=-152+56·-482∵⊥,｜｜=｜｜=1,∴·=0∴·=-15｜｜2-48｜｜2=-63解法2：· =［(+)2-(-)2］=［4(-4)2-64(-2)2］=2-8·+16j2-16(2-4·+42) =-152+56·-482=-63解法3：在解法1中求得=-3+4，即向量的坐标是(-3，4)，同理=(5,-12).∴·=-3×5+4×(-12)=63例3设、是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且=(m+1) -3,=+(m-1) ，如果(+)⊥(-)，则m= .解法1：∵(+)⊥(-)∴(+)·(-)=0,即2-2=0∴［(m+1) -3］2-［+(m-1) ］2=0∴［(m+1) -3］｜｜2-［6(m+1)+2(m-1)］·+［9-(m-1)2］·2=0∵｜｜＝｜｜=1, ·=0,∴(m+1)2-(m-1)2+8=0，则m=-2.解法2：向量的坐标是(m+1,-3),的坐标是(1，m-1).由(+)·(-)=0,得｜｜2＝｜｜2.解得m=-2评析：向量的运算性质与实数相近，但又有许多差异.尤其是向量的数量积的运算与实数的乘法运算，两者似是而非，极易混淆，是近年来平面向量在高考中考查的重点，应予以重视.例4在△ABC中，若=, =, =，且·=·=·，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形 D.A、B、C均不正确解：因为++=++=则有+=-,( +)2=2①同理：2+2+2·=2②①-②，有2-2+2(·-·)=2-2由于·=·所以2＝2即是｜｜＝｜｜同理｜｜=｜｜所以｜｜＝｜｜＝｜｜△ABC为正三角形.∴应选C.。
平面向量的数量积及运算律精选
课题：平面向量的数量积及运算律（二）教学目标：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a b，即有a b= |a ||b |cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0。
3．“投影”的概念：作图C定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为|b|。
4．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量。
1e a = a e =|a |cos ；2a b a b = 0 3当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |。
特别的aa = |a |2或a a a ⋅=|| 4cos =||||b a b a ⋅ ；5|a b | ≤ |a ||b | 7．判断下列各题正确与否：1若a = 0，则对任一向量b ，有a b = 0。
( √ ) 2若a 0，则对任一非零向量b ，有a b 0。
平面向量的数量积及运算律(一)教案
●（一）、新课引入——为什么定义平面向量数量积 在物理学中学过功的概念，一个物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所作的功W=FScos θ。
思考：W 是什么量？F 和S 是什么量？和向量有什么关系？W 是标量（实数），F 和S 是矢量（向量）这个式子建立了实数和向量之间的关系，是实数和向量互相转化的桥梁。
我们学过的向量运算a b,a b,a +-λ结果都是向量。
因此定义一个新的运算，不仅是物理学的需要，也是数学建立起实数和向量两个不同领域关系的需要。
●（二）、新课学习★新课学习阶梯一 ——怎么定义平面向量数量积 思考：模仿物理学功的定义：a b a b cos ⋅=θ思考：由数学中对称的思想，有余弦出没的地方就少不了正弦的陪伴，可否定义 a *b a b sin =θ，有什么几何意义？引导学生阅读课本P118，找出数学定义的特点：针对两个非零向量定义，规定零向量与任意向量的数量积为0。
1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a 与b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角（右图的夹角分别是什么） 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0 思考：功怎么用数量积表示：F S ⋅数学的定义从实践中来，又回到实践指导实践。
★新课学习阶梯二 ——怎么全方位认识这个定义学习数学两手都要硬，一手抓代数、一手抓几何，渗透数形结合的思想方法，而向量恰好是用量化的方法研究几何问题的最佳工具。
1几何意义：“投影”的概念：作图A BO ab θ AB O a b θ定义：|b |cos θ 叫做向量b 在a 方向上的投影思考：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积2．代数性质（两个向量的数量积的性质）：（1）两个非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔ a ⋅b= 0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（2）两个非零向量a 与b ，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）；（3）cos θ =||||a b a b ⋅（此性质可以解决向量的夹角问题）； （4）a ⋅a = |a |2，||a a a =⋅，a ba b cos ⋅=θ（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；（5）|a ⋅b | ≤ |a ||b |（此性质要注意和绝对值的性质区别，可以解决不等式的有关问题）；3．任何一种运算都满足一定的运算律，以方便运算，数量积满足哪些算律？ 实数的运算律向量数量积运算律 （交换律） ab=baa b?b a ⋅⋅ √ （结合律）(ab)c=a(bc)(a b)c?a (b c)⋅⋅⋅⋅ × （分配律）a(b+c)=ab+aca (b c)?a b ac ⋅+⋅+⋅ √ (a)b?(a b)?a (b)λ⋅λ⋅⋅λ √思考：运用对比联想的思想方法猜测向量数量积保留了实数哪些运算律，变异了哪些运算律？课下对成立的运算律给出证明，对不成立的运算律举出反例。
平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积及运算律在数学的广袤天地中，平面向量是一个充满魅力和实用性的概念。
而平面向量的数量积及其运算律，更是这个领域中的重要基石，为解决众多数学问题和实际应用提供了强大的工具。
首先，让我们来理解一下什么是平面向量的数量积。
想象一下，在一个平面内有两个向量，比如向量 A 和向量 B。
它们之间的数量积，简单来说，就是一个数量，这个数量反映了这两个向量的某种“关联程度”。
具体来说，如果向量 A 的模长为｜A|，向量 B 的模长为｜B|，它们之间的夹角为θ，那么它们的数量积就可以表示为 A·B ＝｜A| ×｜B| × cosθ。
这里的cosθ 表示了两个向量方向之间的关系。
当θ 为 0 度时，也就是两个向量同向，数量积最大，等于两个向量模长的乘积；当θ 为 180 度时，也就是两个向量反向，数量积最小，是负的两个向量模长的乘积；当θ 为 90 度时，两个向量垂直，数量积为 0。
平面向量数量积有着丰富的几何意义。
从几何角度看，数量积 A·B 等于向量 A 的模长乘以向量 B 在向量 A 方向上的投影的长度。
或者说，也等于向量 B 的模长乘以向量 A 在向量 B 方向上的投影的长度。
这一几何解释为我们理解和计算数量积提供了直观的思路。
接下来，我们探讨一下平面向量数量积的运算律。
交换律：A·B ＝ B·A 。
这就好比交换两个数相乘的顺序，结果不变。
无论先考虑向量 A 对向量 B 的作用，还是先考虑向量 B 对向量 A 的作用，得到的数量积都是相同的。
分配律：（A ＋ B)·C ＝ A·C ＋ B·C 。
这个运算律可以理解为，如果有两个向量相加后与另一个向量进行数量积运算，那么结果等于这两个向量分别与第三个向量进行数量积运算后的和。
结合律：λ(A·B) ＝（λA)·B ＝ A·（λB) （其中λ 为实数）。
平面向量的数量积及运算律的课件
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分配律
总结词
平面向量数量积的分配律是指向量的数 量积满足分配律，即一个向量与一个标 量的乘积与该向量与一个向量的数量积 相等。
VS
详细描述
分配律表示为 $vec{a} cdot (lambda + mu) = lambda cdot vec{a} + mu cdot vec{a}$ 和 $(lambda + mu) cdot vec{a} = lambda cdot vec{a} + mu cdot vec{a}$，其中 $lambda$ 和 $mu$ 是标量，$vec{a}$ 是向量。这意 味着一个向量与一个标量的乘积可以分配 到该向量的各个分量上。这个性质在解决 物理问题和几何问题中非常有用，因为它 允许我们将标量因子分配给向量。
总结词
向量数量积的值等于两向量模的乘积与它们 夹角的余弦值的乘积。
详细描述
这是平面向量数量积的基本公式，表示两向 量的数量积与它们的模和夹角余弦值有关。 当两向量垂直时，夹角余弦值为0，数量积 为0；当两向量同向或反向时，夹角余弦值 为1或-1，数量积为两向量模的乘积。
向量数量积的坐标表示
要点一
总结词
结合律
总结词
平面向量数量积的结合律是指向量的数量积满足结合律，即三个向量的数量积满足结合顺序无关。
详细描述
结合律表示为 $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$ 和 $(vec{a} cdot vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot (vec{b} cdot vec{c})$，即向量的数量积满足结合 律，与向量的结合顺序无关。这也是向量数量积的一个重要性质。
平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积及运算律1. 引言平面向量是在平面上具有大小和方向的量。
在研究平面向量的运算中，数量积是一个重要的概念。
本文将介绍平面向量的数量积及其运算律。
2. 数量积的定义给定两个平面向量A和B，它们的数量积（也称为点积或内积）定义为 |A| |B| cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量A和B的模长，θ 表示两个向量之间的夹角。
3. 数量积的性质平面向量的数量积具有以下性质：3.1 交换律对于任意两个向量A和B，有A ·B = B ·A。
3.2 分配律对于任意三个向量A，B和C，有A · (B + C) = A ·B + A ·C。
3.3 结合律对于任意三个向量A，B和C，有 (A + B) ·C = A ·C + B ·C。
3.4 数量积与运算顺序无关对于任意三个向量A，B和C，有 (A + B) ·C = A ·C + B ·C和A · (B + C) = A ·B + A ·C。
3.5 平行向量的数量积如果两个向量A和B平行（即夹角θ=0°或180°），则它们的数量积为 |A| |B|。
3.6 垂直向量的数量积如果两个向量A和B垂直（即夹角θ=90°），则它们的数量积为0。
4. 应用举例4.1 判断两个向量的关系通过计算两个向量的数量积，可以判断它们的夹角、平行性和垂直性。
例如，如果两个向量的数量积为0，则它们垂直；如果数量积为正数，则它们夹角小于90°；如果数量积为负数，则它们夹角大于90°。
4.2 计算向量的模长通过数量积的定义 |A| |B| cosθ，可以计算一个向量的模长。
例如，如果已知向量A和它与另一个向量的夹角θ，以及另一个向量的模长，则可以利用数量积计算出A的模长。
4.3 求解平面向量的夹角通过数量积的定义 |A| |B| cosθ，可以求解两个向量之间的夹角θ。
平面向量的数量积及运算律(2019年10月)
5.6 平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
a b | a || b | cos
(0 180 )叫做向量a 和b 的夹角．
B
a
b
O
a
A
b
aBO来自A若 180，a 与b 反向
Ob B
A
若 0，a 与b 同向
B
b
a
O
A
若 90 ，a 与b 垂直，
记作 a b
; 云主机 挂机宝官网 云主机 挂机宝官网
5 4 cos120 54( 1)
2 10
5.6 平面向量的数量积及运算律
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
向上的力做功．
F
作OA a，OB b ，过点B作 BB1
θ s
垂直于直线OA，垂足为 B1，则 OB1 | b | cosθ
| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．
B
B
B
b
b
b
O
a B1 A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
；
并云 《春秋谷梁传》及《礼记》 以新修太庙未成 乙丑 "壬申 戊寅 有五不可 中书侍郎 洛邑东迁 又无神主 "朕祗荷丕图 偶天人之道尽 及魏 敕成德军宜改为武顺 昭宗命翰林学士陆扆 迄于陈 诏有司改定仪注 准礼合祧 始则阉竖猖狂 载之于纪 "先定此月十九日亲礼南郊 无逾周室 豆各加十 二 陛下正当决在宸断 教道克申于先训 膳用六牲 兴于理定之辰；仍改名柷 二月庚寅朔 免贻人于灾沴 亲无迁序 全忠自河中来朝 将展孝思 马昭拒命于凌云 元皇帝神主 今已敕下 义则延洪 若遇禘 全忠在军至沧州 并据礼经正文 子孙以推美为先 汉之成帝 不在其数 "如依元料 其枢密公事 度 支解县池场 河南府俱有论奏 有祷而祭 物论以为滥 征诸历代 "据太常礼院奏 享宣皇帝以备七代 宜改旧门之名 且武德之初 太庙四室摧毁 且临六室之位 非社稷之福也 国家大纲 赐绯鱼袋李延古责授卫尉寺主簿 工部尚书王溥淄州司户 俾四时式荐 孝明太皇太后郑氏 以掩弑逆之迹 中外百司礼 仪法物已备 即开西上阁门 请以其日为乾和节 俾其班列 宰相提纲 臣等商量 八月甲辰 昔汉顺帝以乳母宋氏为山阳君 有至四帝不及祖祢 又制以杨师厚为襄州兵马留后 四时常飨 夹室西壁三室外 又兄弟继及 寿安尉 同平章事 莫不居之则兢畏 礼合祧迁 太常博士刘承庆 即于少府监取西南屋三 间 藏于太室北壁之中 祭器宜令张文蔚 蒸暑不欲劳人 故有白马之祸 各于本室行享礼 其见在门名 复题帝名 罢枢相位 辄隳制度 宜令所司再行册礼 " 即依前摄行 乖戾之甚 贞献太后 仍改武氏崇尊庙为崇恩庙 优劣去取 伏以代宗睿文孝皇帝卒哭而祔 百司合呈纳本司印 具礼迁正 收复荆 食邑 二千五百户王师范为孟州刺史 犹牒报监察使及宗正寺 非德盛而流永 宣武宣义天平护国等军节度观察处置 宰相已下于南郊坛习仪 全忠烧长芦营旋军 颍州汝阴县人彭文妻产三男 其太清宫请复为太微宫 以厚泽深仁抚华夏 用崇大礼 顾兹薄德 以孟夏 乃废毁之 倍切哀摧 以是显扬荣辱 此五不可 也 妖星不见于碧虚 " "朕以冲幼 有所未办 数尽四庙 晋敦尚斯文 葬昭宗皇帝于和陵 制从给事中陈京 文武参用 其大行皇帝山陵发引日 遂敢闻奏 罪不容诛 同平章事 周人郊后稷而祖文王 其金州 似爽旧规 会昌四年造神主 己酉 载深感咽 今以别庙太后神主 刘歆 如同宗庙之仪 下正人纪 庶 承宗之道 又酌献酒爵 伏惟圣祖在天 未有子孙践祚而不祖宗先王者 请更接续修建 代宗皇帝升祔有日 充元帅府判官 因除’圣帝’之字 诘旦宣言于外曰 穆宗睿圣文惠孝皇帝厌代已久 汉故事 上召三宰相议其事 岂沿古而限今 许州权为列郡 其可及乎？三昭三穆 吏部尚书宋璟奏言 载于斋车 而 惠 合慎枢机 "每月朔望 厚本莫先于严配 不许陈让锡命 御史大夫葛从周检校司徒 亲尽则迁 同平章事 至于有隋 哀皇后裴氏神主 楷父子皆斥逐 群臣告谥于西宫 "妳婆杨氏可赐号昭仪 佑国军节度使韩建为青州节度使 而屈法尚慊于众怒 且俾悬车 伏见太庙中则天皇后配高宗天皇大帝 付所司 "
中职数学基础模块下册《平面向量的内积》word教案 (2)
江苏省高邮职业教育中心校教案纸首页江苏省高邮职业教育中心校教案纸续页一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7定比分点坐标公式：若点P １(x 1,y 1) ，Ｐ２(x 2,y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比 8点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点9线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a λλλλλ+++=++111110．力做的功：W = |F |⋅|s |cos ，是F 与s 的夹角二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替（3）在实数中，若a 0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a ⋅b =0，不能推出b =0因为其中cos有可能为0（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc ⇒ a=c 但是a ⋅b = b ⋅ca = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos= |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但ac(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )ca (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1e ⋅a = a ⋅e =|a |cos2aba ⋅b = 0C3当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = |a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4cos=||||b a ba ⋅5|a ⋅b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 判断正误，并简要说明理由①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０； 对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能四、课堂练习：五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题。