高考数学理一轮总复习必修部分开卷速查42空间点、直线、平面之间的位置关系(含解析)新人教A版

开卷速查(四十二) 空间点、直线、平面之间的位置关系
A级基础巩固练
1．平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C∉l，C∈β，又AB∩l＝R，如图所示，过A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )
A．直线AC
B．直线BC
C．直线CR
D．直线AR
解析：由已知条件可知，C∈γ，AB∩l＝R，AB⊂γ，
∴R∈γ.又∵C，R∈β，故CR＝β∩γ.
答案：C
2．如图所示，A BCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A．A、M、O三点共线
B．A、M、O、A1不共面
C．A、M、C、O不共面
D．B、B1、O、M共面
解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1、C1、C、A四点共面．
∴A1C⊂平面ACC1A1.
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.
又M∈平面AB1D1，
∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点．
同理OA为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．
∴A、M、O三点共线.
答案：A
3．正方体AC1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交B．异面C．平行D．垂直
解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交.
答案：A
4．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )
①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b ⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b
A．①② B．②③ C．①④D．③④
解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；
如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，
∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
答案：D
5．在正四棱锥V­ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA 与BD所成角的大小为( )
A.π
6
B．
π
4
C.π
3
D.
π
2
解析：如图所示，设AC∩BD＝O ，连接VO ，由于四棱锥V­ABCD 是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD ，故BD⊥VO.又四边形ABCD 是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA，即异面直线VA 与BD 所成角的大小为π2
. 答案：D
6．已知l ，m ，n 是空间中的三条直线，命题p ：若m⊥l，n⊥l，则m∥n；命题q ：若直线l ，m ，n 两两相交，则直线l ，m ，n 共面，则下列命题为真命题的是( ) A ．p∧q
B ．p∨q
C ．p∨(綈q)
D ．(綈p)∧q
解析：命题p 中，m ，n 可能平行、还可能相交或异面，所以命题p 为假命题；命题q 中，当三条直线交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q 也为假命题．所以綈p 和綈q 都为真命题，故p∨(綈q)为真命题．选C .
答案：C
7．下列如图所示是正方体和正四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是______．
①②③④
解析：在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．
答案：①②③
8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是__________．
解析：如图，连接D1M，可证D1M⊥DN.
又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1⊂平面A1MD1，A1D1∩MD1＝D1，∴DN⊥平面A1MD1，
∴DN⊥A1M，即夹角为90°.
答案：90°
9．如图所示，在正三棱柱ABC­A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．
解析：在平面ABC 内，过A 作DB 的平行线AE ，过B 作BH⊥AE 于H ，连接B 1H ，则在Rt △AHB 1中，∠B 1AH 为AB 1与BD 所成角．设AB ＝1，则A 1A ＝2，∴B 1A ＝3，AH ＝BD ＝
32
， ∴cos ∠B 1AH ＝AH AB 1＝12
， ∴∠B 1AH ＝60°.
答案：60°
10．如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC 綊12
AD ，BE 綊12
FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．
(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形．
(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？
解析：(1)由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，
可得GH 綊12
AD. 又BC 綊12
AD ，∴GH 綊BC. ∴四边形BCHG 为平行四边形．
(2)方法一：由BE 綊12
AF ，G 为FA 中点知，BE 綊FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形．
∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，
∴EF∥CH，∴EF 与CH 共面．
又D∈FH，∴C、D 、F 、E 四点共面．
方法二：如图，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M′，
∵BE 綊12
AF ， ∴B 为MA 中点．
∵BC 綊12
AD ， ∴B 为M′A 中点．
∴M 与M′重合，即FE 与DC 交于点M(M′)．
∴C、D 、F 、E 四点共面．
B 级 能力提升练
11．一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体
中( )
A．AB∥CD
B．AB与CD相交
C．AB⊥CD
D．AB与CD所成的角为60°
解析：如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项A，B，C不正确．∴正确选项为D.图2中，BE∥CD，∠ABE为AB与CD所成的角，△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°.
图1
图2
答案：D 12．[2014·课标全国Ⅱ]直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )
A .110
B ．25
C .3010
D .22
解析：建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ，设BC ＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，
M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以BM →＝(1，－1,2)，AN →＝(－1,0,2)，故BM 与AN 所成角θ的余弦
值cos θ＝|BM →·AN →||BM →|·|AN →|＝36×5＝3010. 答案：C
13．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( )
A ．(0，2)
B ．(0，3)
C ．(1，2)
D ．(1，3)
解析：如图所示的四面体ABCD 中，设AB ＝a ，则由题意可得CD ＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD 及三角形BCD 都是以CD 为斜边的等腰直角三角形，显然a>0.取CD 中点E ，连接AE ，BE ，则AE⊥CD，BE⊥CD 且AE ＝BE ＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22，显然A ，B ，E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于
第三边，可得2×
22>a ，解得0<a< 2. 答案：A
14．(1)已知异面直线a 与b 所成的角θ＝60°，P 为空间一点，则过P 点与a 和b 所成角φ＝45°的直线有几条？
(2)已知异面直线a 与b 所成的角θ＝60°，P 为空间一点，则过P 点与a 和b 所成角φ＝60°的直线有几条？
(3)已知异面直线a 与b 所成的角θ＝60°，P 为空间一点，则过P 点与a 与b 所成角φ＝70°的直线有几条？
解析：过点P 作直线a′∥a，b′∥b，且a′与b′所确定的平面为α.
(1)过P 点在平面α外存在两条直线与a 、b 所成的角为45°.
(2)过P点在平面α内存在一条直线(120°的角平分线)与a、b所成的角为60°；过P 点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为60°，则与a、b所成的角为60°的直线有3条．
(3)过P点在平面α外a′、b′成60°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°，过P点在平面α外a′、b′成120°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°，则与a、b所成的角为70°的直线有4条．。