高考数学平面向量试题汇编
高考数学真题汇编---平面向量(有解析)
高考数学真题汇编---平面向量学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=||C．∥D．||＞||2．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．23．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣C．﹣D．﹣14．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I35．（2016•新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°6．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C ．6 D．87．（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣9．（2016•四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．10．（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M 满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．二．填空题（共20小题）11．（2017•山东）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=．12．（2017•新课标Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=．13．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=．14．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=．15．（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．16．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．17．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为．18．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．19．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．20．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=．21．（2016•上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．22．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．23．（2016•山东）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为．24．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．25．（2016•浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是．26．（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．27．（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．28．（2016•北京）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．29．（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．30．（2016•浙江）已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则•的最大值是．三．解答题（共1小题）31．（2017•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，= =3，求A和a．﹣6，S△ABC高考数学真题汇编---平面向量参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】由已知得，从而=0，由此得到．【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，∴，解得=0，∴．故选：A．2．【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC•CD=BD•r，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．3．【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B．4．【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C．5．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故选：D．7．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：C．【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故选：B．9．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．10．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．解法二：取AC中点N，MN=，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+=．故选：B．二．填空题（共20小题）11．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．故答案为：﹣3．12．【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，∴=﹣6+3m=0，解得m=2．故答案为：2．13．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+与垂直，∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案为：7．14．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．15．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【解答】解：【方法一】由题意，设=（1，0），=（0，1），则﹣=（，﹣1），+λ=（1，λ）；又夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=﹣λ=2××cos60°，即﹣λ=，解得λ=．【方法二】，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．16．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．17．【分析】设P（cosα，sinα）．可得=（2，0），=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．18．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．19．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．20．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，可得12=﹣2m，解得m=﹣6．故答案为：﹣6．21．【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，sinα+1），由此能求出•的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴=（1，1），=（cosα，sinα+1），=cosα+sinα+1=，∴•的取值范围是[0，1+]．故答案为：[0，1+]．22．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．23．【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），∴t+=（t+6，﹣t﹣4），∵⊥（t+），∴•（t+）=t+6+t+4=0，解得t=﹣5，故答案为：﹣5．24．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．25．【分析】由题意可知，||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，||+||取得最大值，即．【解答】解：||+||=，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴=．故答案为：．26．【分析】设出=（x，y），得到•=x+，令x=cosθ，根据三角函数的性质得到•=sinθ+cosθ=sin（θ+），从而求出•的范围即可．【解答】解：设=（x，y），则=（x，），由A（1，0），B（0，﹣1），得：=（1，1），∴•=x+，令x=cosθ，θ∈[0，π]，则•=sinθ+cosθ=sin（θ+），θ∈[0，π]，故•的范围是[﹣，1，]，故答案为：[﹣1，]．27．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：28．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．29．【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足++=，且点P落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．满足++=，且点P落在第一象限，对应的A i，A j，为：（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法．∴点P落在第一象限的概率是，故答案为：．30．【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．【解答】解：由绝对值不等式得≥|•|+|•|≥|•+•|=|（+）•|，于是对任意的单位向量，均有|（+）•|≤，∵|（+）|2=||2+||2+2•=5+2•，∴|（+）|=，因此|（+）•|的最大值≤，则•≤，下面证明：•可以取得，（1）若|•|+|•|=|•+•|，则显然满足条件．（2）若|•|+|•|=|•﹣•|，此时|﹣|2=||2+||2﹣2•=5﹣1=4，此时|﹣|=2于是|•|+|•|=|•﹣•|≤2，符合题意，综上•的最大值是，法2：由于任意单位向量，可设=，则|•|+|•|=||+||≥||+|=||=|+|，∵|•|+|•|≤，∴|+|≤，即（+）2≤6，即||2+||2+2•≤6，∵||=1，||=2，∴•≤，即•的最大值是．法三：设=，=，=，则=+，=﹣，|•|+|•|=||+||=||≤||，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（+）2取得最大值6，第21页（共22页）由于|+|2+|﹣|）2=2（||2+||2）=10，于是（﹣）2取得最小值4，则•=，•的最大值是．故答案为：．三．解答题（共1小题）31．【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A和c的值，再根据余弦定理即可求出a．【解答】解：由=﹣6可得bccosA=﹣6，①，由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=3，②∴tanA=﹣1，∵0＜A＜180°，∴A=135°，∴c==2，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29∴a=第22页（共22页）。
平面向量--2023高考真题分类汇编完整版
平面向量--高考真题汇编第一节平面向量的概念及线性运算1.（2023新高考II 卷13）已知向量,a b 满足-=a b ，2+=-a b a b ，则=b ______．【解析】解法一（向量运算）:因为-=a b ，所以2223-⋅=a a b +b ①因为2+=-a b a b ，所以2222244+⋅=-⋅a a b +b a a b +b ，化简得22=⋅a a b ，代入①得23=b ，b .解法二（向量运算加减几何意义）：如图所示，OD += a b ，2BC -=a b ，所以OD BC = ，所以四边形OCDB 为等腰梯形，则OB DC ==-=a b .即=b .第二节平面向量基本定理及坐标表示1.（2023新高考I 卷3）已知向量()1,1=a ，()1,1=-b .若()()λμ+⊥+a b a b ，则（）A.1λμ+= B.1λμ+=- C.1λμ= D.1λμ=-【解析】()()()()22202210λμλμλμλμλμ+⋅+=++⋅+=++=+=a b a b a a b b ，所以1λμ=-.故选D.第三节平面向量的数量积及应用1.（2023北京卷3）已知向量,a b 满足()2,3+=a b ，()2,1-=-a b ，则22-=a b （）A.2-B.1-C.0D.1【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)+=-=-a b a b ，所以22||||()()2(2)311-=+⋅-=⨯-+⨯=-a b a b a b .故选B.2.（2023全国甲卷理科4）向量1==a b ，=c ++=0a b c ，则cos ,--=a c b c （）A.15-B.25-C.25D.45【分析】作出图形，根据几何意义求解.【解析】因为++=0a b c ，所以+=-a b c ，即2222++⋅=a b a b c ，即1122++⋅=a b ，所以0⋅=a b .如图所示，设OA = a ，OB = b ，OC =c ，由题知，1OA OB ==，OC =OAB △是等腰直角三角形，AB边上的高22OD =，22AD =，所以23222CD CO OD =+==，1tan3AD ACD CD ∠==，cos ACD ∠=，224cos ,cos cos22cos 1215ACB ACD ACD --=∠=∠=∠-=⨯-=a c b c .故选D.3.（2023全国甲卷文科3）已知向量()3,1=a ，()2,2=b ，则cos ,+-=a b a b （）A.117B.17C.5D.5【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得()(),,+-+⋅-a b a b a b a b ，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【解析】因为(3,1),(2,2)==a b ，所以()()5,3,1,1+=-=-a b a b ，则+==-=a b a b ()()()51312+⋅-=⨯+⨯-=a b a b ，所以()()cos,+⋅-+-==+-a b a ba b a ba b a b.故选B.4.（2023全国乙卷理科12）已知圆O的半径为1，直线PA与圆O相切于点A，直线PB与圆O交于,B C两点，D为BC的中点，若PO=PA PD⋅的最大值为（）A.12+ B.12+ C.1 D.2【解析】依题意PAO△为等腰直角三角形，1PA=，π4APO∠=.因为要求PA PD⋅的最大值，所以,PA PD一定在PO同侧，如图所示，设APDα∠=，π4α<<，则π4OPDα∠=-，πcos4PD PO OPDα⎛⎫=∠=-⎪⎝⎭.所以πcos cos4PA PD PA PDααα⎛⎫⋅=⋅=-⎪⎝⎭ππcos cos2244ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦122⎤≤+⎢⎥⎣⎦=12当π8α=时等号成立，所以PA PD⋅的最大值为12+.故选A.解法三（定义法）：由题意可得：在CDE △中，由余弦定理可得所以cos EC ED EC ED ⋅=∠ 故选B.6.（2023天津卷14）在ABC △中点，若设,AB AC == a b ，则的最大值为_________．【分析】空1：根据向量的线性运算，结合上一空答案，于是AE AF ⋅ 【解析】空1：因为E 为CD 1142AE =+ a b ；空2：因为13BF BC = ，则2FB。
专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =． 故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+． 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美 人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金 分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】 答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点 在中，有即所以圆的方程为 可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以 其中， 所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ． 另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即 ， ，所以，设 ，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离， ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ． 法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高． 即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，． 两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3． 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为 解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通 法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大． 【考点】 平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ． 考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积 难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题 二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题 三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-． 解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________． 【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23． 【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ． 【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=． 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________． 【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以 所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题 【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______． 【答案】 解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想 难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算 难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____． 【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2． 考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。
(完整版)全国卷高考题汇编—平面向量
2011年——2016年高考题专题汇编专题3 平面向量1、（16年全国1 文）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = .2、（16年全国1 理）设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = .3、（16年全国2 文）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.4、（16年全国2 理）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）85、（16年全国3 文）已知向量BA →=（12，2），BC →=（2，12），则∠ABC = （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°6、（16年全国3 理）已知向量1(,)22BA = ,31(),22BC = 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)12007、（15年新课标2 文）向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b aA ．-1B ．0C ．1D ．38、（15年新课标2理）设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．9、（15年新课标1文）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC =（-4，-3），则向量BC =（A ）（-7，-4） （B ）（7,4） （C ）（-1,4） （D ）（1，4） 10、（15年新课标1理）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（A ）1433AD AB AC =-+ (B) 1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D) 4133AD AB AC =-11、（14年新课标3 文）已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -•=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．212、（14年新课标3 理）若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）A ．2BC ．1 D13、（14年新课标2 文）设向量a ,b 满足a ·b=（A ）1 （B ） 2 （C ）3 (D) 514、（14年新课标2 理）设向量a,b 满足|a+b |=|a -b ，则a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 515、（14年新课标1文）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. ADB.AD 21 C. BC 21 D. BC16、（14年新课标1理）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .17、（13全国2 文 理）已知正方形ABCD 的边长为2, E 为CD 的中点,，则 =_______.18、（12全国2 文）已知向量a ,b 夹角为45° ，且|a |=1，|2a －b |=10，则|b |=19、（11全国2 文）若向量a,b 满足1||||1,2a b a b ==⋅=-,则2a b +=A B CD 20、（11全国2 理）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2BCD ．1。
高考数学平面向量试题汇编
高考数学平面向量试题汇编O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0,那么〔 Ａ 〕Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =〔辽宁3〕假设向量a 与b 不共线,0≠a b ,且⎛⎫ ⎪⎝⎭a a c =a -b a b ,那么向量a 与c 的夹角为〔 D 〕A ．0B ．π6C ．π3D ．π2〔辽宁6〕假设函数()y f x =的图象按向量a 平移后,得到函数(1)2y f x =+-的图象,那么向量a =〔 A 〕 A ．(12)--，B ．(12)-，C ．(12)-，D ．(12)，〔宁夏,海南4〕平面向量(11)(11)==-，，，a b ,那么向量1322-=a b 〔 Ｄ 〕 Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，〔福建4〕对于向量，，a b c 和实数λ,以下命题中真命题是〔 B 〕 A ．假设=0a b ,那么0a =或0b = B ．假设λ0a =,那么0λ=或=0a C ．假设22=a b ,那么=a b 或-a =bD ．假设a b =a c ,那么b =c〔湖北2〕将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移,那么平移后所得图象的解析式为〔 Ａ 〕Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭〔湖北文9〕设(43)=，a ,a 在b ,b 在x 轴上的投影为2,且||14≤b ,那么b 为〔 Ｂ 〕 A ．(214)，B ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．(28)，〔湖南4〕设，a b 是非零向量,假设函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线,那么必有〔 A 〕 A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b〔湖南文2〕假设O E F ，，是不共线的任意三点,那么以下各式中成立的是〔 B 〕 A ．EF OF OE =+ B ．EF OF OE =- C ．EF OF OE =-+D ．EF OF OE =--〔四川7〕设A ｛a ,1｝,B ｛2,b ｝,C ｛4,5｝,为坐标平面上三点,O 为坐标原点,假设方向在与→→→OC OB OA 上的投影相同,那么a 与b 满足的关系式为 〔 A 〕 (A)354=-b a(B)345=-b a (C)1454=+b a(D)1445=+b a〔天津10〕设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ,其中mλα，，为实数．假设2=a b ,那么mλ的取值范围是〔 Ａ 〕 Ａ．[-6,1]Ｂ．[48]，Ｃ．〔-6,1]Ｄ．[-1,6]〔浙江7〕假设非零向量，a b 满足+=a b b ,那么〔 Ｃ 〕 Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a bＤ． 22<+b a b〔浙江文9〕假设非零向量a 、b 满足｜a 一b ｜＝｜b ｜,那么〔Ａ〕 (A) ｜2b ｜＞｜a 一2b ｜ (B) ｜2b ｜＜｜a 一2b ｜ (C) ｜2a ｜＞｜2a 一b ｜ (D) ｜2a ｜＜｜2a 一b ｜〔山东11〕在直角ABC ∆中,CD 是斜边AB 上的高,那么以下等式不成立的是〔 C 〕 〔A 〕2AC AC AB =⋅ 〔B 〕 2BC BA BC =⋅ 〔C 〕2AB AC CD =⋅ 〔D 〕 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=〔山东文5〕向量(1)(1)n n ==-，，，a b ,假设2-a b 与b 垂直,那么=a〔 Ｃ 〕 A ．1BC ．2D ．4〔重庆5〕 在ABC △中,AB =45A =,75C =,那么BC =〔Ａ 〕Ａ．3Ｃ．2Ｄ．3+〔重庆10〕如题〔10〕图,在四边形ABCD 中,4AB BD DC ++=,4AB BD BD DC +=,0AB BD BD DC ==,那么()AB DCAC +的值为〔 Ｃ 〕 Ａ．2Ｂ．Ｃ．4Ｄ．〔上海14〕DCAB题〔10〕图直角坐标系xOy 中,i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中,假设j k i j i+=+=3,2,那么k 的可能值个数是〔 B 〕Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 〔全国Ⅰ3〕向量(56)=-，a ,(65)=，b ,那么a 与b 〔 A 〕 A ．垂直 B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向〔全国Ⅱ5〕在ABC △中,D 是AB 边上一点,假设123AD DB CD CA CB λ==+，,那么λ=〔 A 〕 A ．23B ．13C ．13-D ．23-二、填空题 〔安徽13〕在四面体O ABC -中,OA OB OC D ===，，，a b c 为BC 的中点,E 为AD 的中点,那么OE = 111244++a b c〔用，，a b c 表示〕．〔北京11．〕向量2411()()，，，a =b =．假设向量()λ⊥b a +b ,那么实数λ的值是3-〔北京12．〕在ABC △中,假设1tan 3A =,150C =,1BC =,那么AB =〔广东10. 〕假设向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°,那么b a b a ··+＝ 21.〔湖南12．〕在ABC △中,角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，,假设1a =,b,c =,那么B =5π6 ．〔湖南文12．〕在ABC △中,角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，,假设1a =,3c =,π3C =,那么A = π6 ．〔江西15．〕如图,在ABC △中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M N ，,假设AB mAM =,AC nAN =,那么m n +的值为2 ．〔江西文13．〕在平面直角坐标系中,正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，,(11)B ，,那么AB AC =1．〔陕西15. 〕如图,平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120°,OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1,|OC |＝32,假设OC ＝λOA +μOB 〔λ,μ∈R 〕,那么λ+μ的值为 6 .〔天津15．〕如图,在ABC △中,12021BAC AB AC ∠===，，°,D 是边BC 上一点,2DC BD =,那么AD BC =·83-．〔天津文15〕在ABC △中,2AB =,3AC =,D 是边BC 的中点,那么AD BC =52．〔重庆文〔13〕〕在△ABC 中,AB =1,B C =2,B =60°,那么AC ＝ 3 .〔上海文6．〕假设向量a b ，的夹角为60,1==b a ,那么()a a b -= 21． 三、解做题：35．〔宁夏,海南〕17．〔本小题总分值12分〕如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，,并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ,求塔高AB ．解：在BCD △中,πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠． 所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt △中,tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．36．〔福建〕17．〔本小题总分值12分〕 在ABC △中,1tan 4A =,3tan 5B =． 〔Ⅰ〕求角C 的大小；〔Ⅱ〕假设ABC △最大边的边长为17,求最小边的边长．本小题主要考查两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的根本知识以及推理和运算水平,总分值12分． 解：〔Ⅰ〕π()C A B =-+,1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<,3π4C ∴=． 〔Ⅱ〕34C =π,AB ∴边最大,即17AB =．又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，,∴角A 最小,BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,得17sin 17A =．由sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C==．所以,最小边BC =37．〔广东〕16.〔本小题总分值12分〕△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. 〔1〕假设5=c ,求sin ∠A 的值;〔2〕假设∠A 是钝角,求c 的取值范围.解：(1) (3,4)AB =--, (3,4)AC c =-- 当c=5时,(2,4)AC =-cos cos ,A AC AB ∠=<>==进而sin A ∠==(2)假设A 为钝角,那么AB ﹒AC= -3(c -3)+( -4)2<0 解得c>325显然此时有AB 和AC 不共线,故当A 为钝角时,c 的取值范围为[325,+∞)38．〔广东文〕16．(本小题总分值14分)ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c ,0)． (1)假设0AB AC =,求c 的值；(2)假设5c =,求sin ∠A 的值解: (1) (3,4)AB =-- (3,4)AC c =--由 3(3)162530AB AC c c =--+=-= 得 253c = (2) (3,4)AB =-- (2,4)AC =-cos5AB AC A AB AC∠=== sin 5A ∠==39．〔浙江〕〔18〕〔此题14分〕ABC △1+,且sin sin A B C +=．〔I 〕求边AB 的长； 〔II 〕假设ABC △的面积为1sin 6C ,求角C 的度数．〔18〕解：〔I 〕由题意及正弦定理,得1AB BC AC ++=,BC AC +=,两式相减,得1AB =．〔II 〕由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =,得13BC AC =, 由余弦定理,得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==, 所以60C =．40．〔山东〕20〔本小题总分值12分〕如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的 北偏西105︒的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲船航 行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒方 向的2B 处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里? 解：如图,连结12A B ,22102A B =,122030210260A A =⨯=, 122A A B ∆是等边三角形,1121056045B A B ∠=︒-︒=︒,在121A B B ∆中,由余弦定理得2221211121112222cos 45220(102)220102200B B A B A B A B A B =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=, 1210 2.B B =因此乙船的速度的大小为1026030 2.⨯= 答：乙船每小时航行302海里.41．〔山东文〕17．〔本小题总分值12分〕在ABC △中,角A B C ，，的对边分别为tan 37a b c C =，，，． 〔1〕求cos C ； 〔2〕假设52CB CA =,且9a b +=,求c ．解：〔1〕sin tan cos CC C=∴=又22sin cos 1C C += 解得1cos 8C =±．tan 0C >,C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．〔2〕52CB CA =, 5cos 2ab C ∴=, 20ab ∴=．又9a b +=22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．42．〔上海〕17．〔此题总分值14分〕在ABC △中,a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．假设4π,2==C a ,5522cos =B ,求ABC △的面积S ．解： 由题意,得3cos 5B B =，为锐角,54sin =B ,10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A , 由正弦定理得 710=c , ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=．43．〔全国Ⅰ文〕〔17〕〔本小题总分值10分〕设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,2sin a b A =．〔Ⅰ〕求B 的大小；〔Ⅱ〕假设a =,5c =,求b ．解：〔Ⅰ〕由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC △为锐角三角形得π6B =． 〔Ⅱ〕根据余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-272545=+-7=．所以,b =44．〔全国Ⅱ〕17．〔本小题总分值10分〕在ABC △中,内角A π=3,边BC =B x =,周长为y ． 〔1〕求函数()y f x =的解析式和定义域；〔2〕求y 的最大值．解：〔1〕ABC △的内角和A B C ++=π,由00A B C π=>>3，，得20B π<<3． 应用正弦定理,知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3,2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭．由于y AB BC AC =++,所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭,〔2〕由于14sin sin 2y x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭,所以,当x ππ+=62,即x π=3时,y取得最大值。
平面向量高考试题精选(含详细答案)
） 2=| ） ?（
| 2； ）= 2﹣ 2．
6．（ 2015?重庆）若非零向量 ， 满足 | |=
夹角为（
）
A．
B．
C．
D． π
| | ，且（ ﹣ ）⊥（ 3 +2 ），则 与 的
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解： ∵ （ ﹣ ） ⊥（ 3 +2 ），
∴（ ﹣ ） ?（ 3 +2 ） =0，
即 3 2﹣ 2 2﹣ ? =0，
（ 1≤λ2≤， 0≤μ1≤）的点 P 组成，则 D 的面积为
．
17．（ 2012?湖南）如图，在平行四边形 ABCD中， AP⊥BD，垂足为 P，且 AP=3，则
=
．
18．（ 2012?北京）己知正方形 ABCD的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点．则
的值
为
．
19．（ 2011?天津）已知直角梯形 ABCD中， AD∥ BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P 是腰 DC上的
2
2
2
即 ? =3 ﹣2 = ，
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∴cos ＜ ， ＞ =
=
=，
即＜ ， ＞ = ，
故选： A
7．（ 2015?重庆）已知非零向量
角为（
）
A．
B．
C．
D．
满足 | |=4| | ，且 ⊥（
）则
的夹
解：由已知非零向量 的夹角为 θ，
满足 | |=4| | ，且 ⊥（
），设两个非零向量
所以 （?
）=0，即 2
，求点 P 的作标；
（Ⅱ ）设过定点 M（0， 2）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、 B，且 ∠ AOB为锐角（其中 O 为坐标原点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
平面向量高考试题精选含详细答案)
平面向量高测试题精选〔一〕一.选择题〔共14小题〕1. 〔2021?河北〕设D 为△ ABC 所在平面内一点,前二3五,那么〔〕A疝-仁小产:豆2. 〔2021?福建〕正_L 正,|标肝, |正|二t ,假设P 点是△ ABC 所在平面内一点,A. 13B. 15C. 19D. 213. 〔2021?四川〕设四边形 ABCCfe 平行四边形,|画二6, |面=4,假设点M N 满足就二3元,而二2说,那么标•疝二〔〕A. 20B. 15C. 9D. 64. 〔2021?安徽〕△ ABC 是边长为2的等边三角形,向量 E 满足靛=2；,AC =2a +b,那么以下结论正确的选项是〔 〕 A. | b|=1 B. alb C. a?b=1 D. 〔4a+b 〕,前5. 〔2021?陕西〕对任意向量！、b,以下关系式中不恒成立的是〔 〕A. |l^b |<|a || b|B, H-b |<|| ；| 一 |E||C. 〔 a+b 〕 2=| a+b | 2D. 〔a+b 〕 ? 〔 ； Y 〕<2 -百6. 〔2021?重庆〕假设非零向量 a, 七满足|1二组1:|可,且〔1-%〕 ± 〔 3a+2b 〕,那么3 !与E 的夹角为〔〕A. —B. —C. —D.冗 4 247. 〔2021?重庆〕非零向量 * b 满足|b|=4| J ,且a ,〔2a+b 〕那么占与b A J B J C _I D __L 3 2 368. 〔2021?湖南〕在平面直角坐标系中, O 为原点,A 〔- 1, 0〕, B 〔0,立〕,C 〔3, 0〕,动点D 满足|而|=1 ,那么| OA +OB +OD l 的取值范围是〔〕且」 .「|AB| |AC| 那么再•衣的最大值等于〔A. [4, 6]B. [V19-1, V19+1]C. [2 立,2书]D.[由-1,,+1]9. 〔2021?桃城区校级模拟〕设向量%,工满足| a |= |b |=1,二后二,V ■a- c, b-c>=60° ,那么l A的最大值等于〔〕A. 2B. Vs C .& D . 110. 〔2021?天津〕菱形ABCD勺边长为2, /BAD=120 ,点E、F分别在边BGDC上,施"前,谄.,假设凝?谆1赤?正谓,那么入+尸〔〕A. B.二 C.二D 二2 3 6 1211. 〔2021?安徽〕设,,E为非零向量,|而2|十,两组向量*,离,寓,巧和宝, 斤三,斤均由2个；和2个E排列而成,假设耳?宣+中卫+E?三+五?五所有可能取值中的最小值为4| a|2,那么！与芯的夹角为〔〕A 二B 二C 二D. 0 3 3612. 〔2021?四川〕平面向量最〔1, 2〕, b= 〔4, 2〕, c=m+b 〔mGR〕,且彳与1的夹角等于W与Z的夹角,那么m=〔〕A. - 2B. - 1C. 1D. 213. 〔2021?新课标I 〕设D, E, F分别为△ ABC的三边BC CA AB的中点,那么直+而=〔〕A 二B. 一DC. : D. 一：2 214. 〔2021?福建〕设M为平行四边形ABCD寸角线的交点,O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,那么赢+5S+无+而5等于〔〕A. i"B. 2 i“C. 3 i"D. 4 i"二.选择题〔共8小题〕15. 〔2021?浙江〕设司、.为单位向量,非零向量岸x q+y., x、yGR假设司、同的夹角为30.,那么集的最大值等于_________________ .lb |16. 〔2021?北京〕点A 〔1, -1〕, B 〔3, 0〕, C 〔2, 1〕.假设平面区域D由所有满足点二次/+Nm〔1＜入02, 0＜医01〕的点P组成,那么D的面积为.17. 〔2021?湖南〕如图,在平行四边形ABC前,APIBD垂足为P,且AP=3,那么AP .正=.18. 〔2021?北京〕己知正方形ABCD勺边长为1,点E是AB边上的动点.那么而•百的值为.19. 〔2021?天津〕直角梯形ABC前,AD// BC / ADC=90 , AD=2 BC=1, P 是腰DC上的动点,那么|位+3瓦|的最小值为 .20. 〔2021?浙江〕平面向量五,百〔五产万,五卉万〕满足IT 1=1,且五与下的夹角为120.,那么|三|的取值范围是 .21. 〔2021?天津〕如图,在^ ABC中,ADLAB,前4菽那么AC ,箴=.22. 〔2021?天津〕假设等边△ ABC的边长为2加,平面内一点M满足而^^总正,那么6 3而,而=.三.选择题〔共2小题〕23. (2021?上海)定义向量0M= (a, b)的“相伴函数〞为f (x) =asinx+bcosx , 函数f (x) =asinx+bcosx的“相伴向量〞为赢=(a, b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S.(1)设g (x) =3sin (x+21) +4sinx ,求证：g (x) GS; 2(2)h (x) =cos (x+a ) +2cosx,且h (x) GS,求其“相伴向量〞的模；(3)M(a, b) (b乎0)为圆C: (x - 2) 2+y2=1上一点,向量超的“相伴函数〞f (x)在x=x.处取得最大值.当点M 在圆C上运动时,求tan2x.的取值范围._一、_________ 2 n...........................24. (2007?四川)设F I、F2分别是椭圆工+,=1的左、右焦点.4(I)假设P是第一象限内该椭圆上的一点,且西・后己二-总,求点P的作标；(II)设过定点M (0, 2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且/AO的锐角 (其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.平面向量高测试题精选(一)参考答案与试题解析一.选择题(共14小题)1 . (2021?河北)设D为△ ABC所在平面内一点,BC-3CD,那么( )A归工:岳B折,13 0 *s, 0八一 4 一 1 - r —1 4―1 —C—,'4'. D.解：由得到如图由仙二处+8口=标亨岸冠4 国-靛)=-掷号正;应选：A.2. (2021?福建)正1京,I店|[, |正|二t,假设P点是△ ABC所在平面内一点,,那么无•五的最大值等于(A. 13B. 15C. 19D. 21解：由题意建立如下图的坐标系, 可得 A (0, 0), B (工0) , C (0, t),・•・P (1, 4),PB= (-- 1, - 4) , pc= ( - 1 , t -4),PB*PC=- (1-1) - 4 (t -4) =17-(1+4t),t由根本不等式可得l+4t>2^T^=4,.•.17-(1+4t) < 17- 4=13,当且仅当上4t即t6时取等号, .二有•五的最大值为13, 应选：A.3. 〔2021?四川〕设四边形ABCDfe平行四边形,|画二6, |初=4,假设点M N满足而二3元,而二2前,那么氤,而i=〔A. 20B. 15C. 9D. 6解：「四边形ABCM平行四边形,点M N满足面i=3元,丽二2束,.二根据图形可得：= + ?--= . ： . II,4 4洲二MI -蝴,V或•而二标？〔记-讪〕二俞-嬴•福.-1|2=・"2 . : •",・小।-r -.-,-1= ：."21二卜,2. ；3 4 2 '| 'B|=6 , | -1||=4 ,..」「'/二,：：：「12=12-3=9应选：C4. 〔2021?安徽〕△ ABC是边长为2的等边三角形,向量京E满足屈=2£AC=2g+b,那么以下结论正确的选项是〔〕A. | b|=1B. a±bC. a?b=1D. 〔4a+b〕,前解：由于三角形ABC的等边三角形,；,E满足靛=2；,应=2：+%,又正=7B+前, 所以‘：..；,・‘,所以-=2, - ；.=1X2Xcos120 =- 1,4a・b=4X 1X2Xcos120° =- 4,寸=4,所以狐・石+］士=0,即〔4a+b〕*B=0,即〔G+E〕•前=0,所以〔4；+芯〕1BC；应选D.5. 〔2021?陕西〕对任意向量！、b,以下关系式中不恒成立的是〔〕A. |a-b|<|；|| b|B. | a-b l<ll ^l -I bllC 〔髓〕2=| a+b| 2 D. 〔a+b〕? 〔a-b〕=?- b2解：选项A正确,丁 | a p b|=| 君|| b||cos < " Z>|,又|cosv；, b>| <1,,|.讶&G| %| 恒成立；选项B错误,由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|g-E l >ll』-|芯|| ；选项C正确,由向量数量积的运算可得〔a+b〕2=|a+b|2;选项D正确,由向量数量积的运算可得〔彳+E〕?〔1-b〕二2-%2.应选：B6. 〔2021?重庆〕假设非零向量a, 七满足|』=竺|可,且〔：-％〕± 〔3a+2b〕,那么3!与E的夹角为〔〕A.三B.C. 12£D.冗4 2 4解：二 ( a - b) ± ( 3 a+2b),(5-b) ? ( 3 a+2b) =0,即 3.；— 2：,2- ? =0,即就=3；-2寸金2, 3即V a, E>=三, 4应选：A7. 〔2021?重庆〕非零向量b满足lbl=4| J,且a,〔2a+b〕那么祖与b的夹角为〔〕A二B二C三D三3 2 3 6解：由非零向量之,b满足lbl=4| a l ,且a,〔2a+b〕,设两个非零向量a, b的夹角为°,所以a? 〔 2 a+ b〕=0,即2$十| |b|C os9 =.,所以cos 9 =-.,9 Q0 ,九],所以eW；应选C.8. 〔2021?湖南〕在平面直角坐标系中, O为原点,A〔- 1, 0〕, B 〔0,右〕,C 〔3, 0〕,动点D满足l而l=1 ,那么l m+55+55l的取值范围是〔〕A. [4 , 6]B. [ V19- 1, V19+1] C . [2 遮,2<7] D.[邛-1,道+1]】解：•••动点D满足|而|=1 , C 〔3, 0〕,「•可设 D (3+cos 9 , sin 9 ) (6 q0 , 2 兀)).又 A ( - 1, 0), B (0,立),, + 1+ 1= 1 - - - - ■一』I 「+"+0」= 一：:」二二二•,一F"船…,•:飞不、」=倔公斤京西河丁,〔其中sin 6二焉,8s小嚼- 1<sin 〔 9 +〔［〕〕 &1,•,•〔"-1〕 2= * - W748+2VV sin 〔 9 + 小〕< 8+2沂=〔^+1〕2,「.I OA+OB+OD|的取值范围是W7 - I,近+11.应选：D.9. 〔2021?桃城区校级模拟〕设向量I,工满足|l|=|b |=1,.泰-L V b-c>=60°,那么1看的最大值等于〔〕A. 2B.g C . & D . 1解：「I aI二I b |二1,乱〞二一, -W二.W, %的夹角为120° ,设赢二W, OB=b,0C=c那么不二^一与；CB=1一工贝4/AOB=120 ; / ACB=60丁./AOB+ ACB=180・•.A,O, B, C四点共圆.一2• • AB /. AB^/3由三角形的正弦定理得外接圆的直径当OC 为直径时,模最大,最大为 2 应选A10 . 〔2021?天津〕菱形 ABCD 勺边长为2, /BAD=120 ,点E 、F 分别在边BG DC 上,BE = k BC, DF =〔1DC,假设标?m =1, CE ?CF =- 贝U 入+医=〔〕3A. 'B. :C. ' D — 2 3 6 12解：由题意可得假设.•,？•, = 〔 ",+神〕?〔川+】,〕=",, '1+三二 + ■ - -,-i +^-D?' =2X2Xcos120° + 屈,■屈+ 入 75?菽+入标?医 7S = 一 2+4医+4入 + 入d X2X2Xcos120° =4入+4医一2入医—2=1, 「•4人+4d 一2入医=3①CE ?CF =- EC ?〔-而〕=EC*FC = 〔1 -入〕前？〔1 -医〕DC = 〔1 -入〕而？〔1 -医〕总=〔1 一入〕〔1 —医〕X2X2Xcos120° = 〔1一入一医+入医〕〔一2〕= - 2, 3即一人一〔1 +入［L = ~ —②.3 由①②求得入+医=总 故答案为：!11 .〔2021?安徽〕设己,b 为非零向量,| b|=2| a| ,两组向量工,器,工,V?和行, 々,¥3' V/均由2个日和2个b 排列而成,假设町？为+工2?方+工3?%+%？%所有可 能取值中的最小值为4|；|2,那么：与E 的夹角为〔解：由题意,设！与E 的夹角为民, 分类讨论可得]? y I + X?? y ?+工3?y § + Xq ?% =为？为+ a ?2+b ?b+b? b=10| 君| ,不满足2KA — B.3 C. D. 0②T^^T+T^r+F?丁+『??=：?；+：?%+%?：+Z?Z=5| a|1 2+4| a| 2cos 民,不满足；1 J12 J23 734 J4③7j?元+7；?卫+三?同+3?耳=4!?岸8| a| 2cos a =4| a| ：满足题意,此时COS a」2・•. W与E的夹角为—. 3应选：B.12. (2021?四川)平面向量短(1, 2), b= (4, 2), c=m+b (m GR),且W与；的夹角等于W与E的夹角,那么m=( )A. - 2B. - 1C. 1D. 2解：二向量a= (1, 2), b= (4, 2),=m + = (m+4, 2m+2 ,又丁［与；的夹角等于1与Z的夹角,k I • | a | I c |* |b |•••飞一’ — f )lai |b|二’解得m=2应选：D13. (2021?新课标I )设D, E, F分别为△ ABC的三边BC CA AB的中点,那么冠+而= ( )A. . ।B. DC. ：,D.2 2【解答】解：:D, E, F分别为AABC的三边BC, CA, AB的中点, .•.而+而=(丽+丽+ ( FE+EC) =FB+EC=1 (屈+近)=15,应选：A14. 〔2021?福建〕设M为平行四边形ABCD寸角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,那么加+而+枳+而等于〔〕A. I"B. 2 i"C. 3 I" D〕. 4 I"解：丁0为任意一点,不妨把A点看成O点,那么加+无+权+玩=1+/+而+元,・「M是平行四边形ABCD勺对角线的交点,,0 + AB+AC+AD=2AC=4OM应选：D.二.选择题〔共8小题〕15. 〔2021?浙江〕设二司为单位向量,非零向量E=x6+y G,x、yGR.假设]、, 的夹角为30.,那么集的最大值等于 2 .Ib| -------解：为单位向量,T和U的夹角等于30° ,,U・£=1X1X cos30.二亚•「非零向量Z=x4+y',•./而后二J/+ 2工y T] W +产J X2+我盯旷,. 44=,.—=I」= | I 2 = I1 2 ,旧寸J+V^v+v? *+行中+,,l打巧工0〕V〔7垮〕£故当2=-立时,&取得最大值为2,x 2 |b故答案为2 .16. 〔2021?北京〕点A 〔1, -1〕, B 〔3, 0〕, C 〔2, 1〕.假设平面区域D由所有满足获:人五+P•豆〔1＜入02, 0＜医01〕的点P组成,那么D的面积为 3 .解：设P的坐标为〔x, y〕,那么靛二(2, 1), AC= (1, 2), AP= (x—1, y+1), < 7?二工m+U 正,\ - 1=2 + |A 宿万一/ 日_解N得,y+l= X+2Uy+11<?|工-当-1<2,- K入02, 0<医01, ..•点P坐标满足不等式组,04 - £工+"|^1<1作出不等式组对应的平面区域,得到如图的平行四边形CDE极其内部其中C (4, 2), D (6, 3), E (5, 1), F (3, 0)二|CF|二；一丁一卜：二 _ 二,,点E (5, 1)到直线CF: 2x—y—6=0的距离为d1上士工^1二■还V5 5「•平行四边形CDEF勺面积为S=|CF|X d=V^x2四=3,即动点P构成的平面区域D 5的面积为3故答案为：317. (2021?湖南)如图,在平行四边形ABC前,APIBD垂足为P,且AP=3,那么族•近二18 .【解答】解：设AC与BD交于点O,那么AC=2AO/APIBD AP=3,在Rt^APO中,AOcos/ OAP=AP=3・•・I 面cos /OAP=2|瓦| XcosZOAP=2|AP|=6 ,由向量的数量积的定义可知, 6•正二|6||正|cos/PAO=3 6=18故答案为：1818. (2021?北京)己知正方形ABCD勺边长为1,点E是AB边上的动点.那么DE-CB 的值为1 .【解答】解：由于血,后=而瓜=应卜iXlcosC正♦瓦>=5丁=1.故答案为：119. (2021?天津)直角梯形 ABC 前,AD// BG / ADC=90 , AD=2 BC=1, P是腰DC 上的动点,那么|位+3瓦|的最小值为 5 .解：如图,以直线 DA DC 分另U 为x, y 轴建立平面直角坐标系,那么 A (2, 0), B (1, a), C (0, a), D (0, 0)设 P (0, b) (0<b<a)那么m =(2, - b), PB = (1, a- b),PA+3PB = (5, 3a-4b)•- IPA+3PB l =/25+ (3a-4b) 2>5-故答案为5.20. (2021?浙江)平面向量 五,J (五通,五产下)满足|T 1=1,且五与 方-五的夹角为120° ,那么|无|的取值范围是 (0,当鸟_.3解：令用 屈二无、AC =T,如以下图所示：那么由萩书-五,又二云与E-W 的夹角为120° ,・ ./ABC=60又由AC=|下一-：| 向 G (0, ^p ］ 故|五|的取值范围是(0, 二］故答案：(0,芋］21. (2021?天津)如图,在4ABC 中,ADLAB,前一画,|75 I =1,那么说・75=_立【解答】解：AC-A S=|AC IHADicosZDAC,■-n ,由正弦定理sinC sin60.得:..一•一■. .. ■:: II-,.-- . .A,,cos/DAC=sinZ BAQAC *AD= lAC |-|AD|cosZDAC= | AC|-cosZDAC= | AClsinZBAC ,在△ ABC中,由正弦定理得里L=变形得|AC|sin / BAC=|BC|sinB, sinB sin/BACAC*AD=| AC !* | AD|cosZEAC= | AC |-cosZDAC= | AC|sinZBAC ,二|BC|sinB= |BC|・-需-=V5,故答案为V3 •22. 〔2021?天津〕假设等边△ ABC的边长为273,平面内一点M满足而卫司+2而,那么6 3瓦,诬=-2 .解：以C点为原点,以AC所在直线为x轴建立直角坐标系,可得C 10,01, R 〔2"^,.〕,B〔V3,3〕,• • CB =三〕,CA二〔2^3 〕.〕,••乐翔翁二〔¥,y,“：■ , 1,"」1,MA*MB=〔亚,--〕?〔-近,-〕=-2.2 2 2 2故答案为：-2.三.选择题〔共2小题〕23. (2021?上海)定义向量 0M = (a, b)的“相伴函数〞为 f (x) =asinx+bcosx , 函数f (x) =asinx+bcosx 的“相伴向量〞为 赢=(a, b)(其中O 为坐标原点).记 平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为 S.(1)设 g (x) =3sin (x+21) +4sinx ,求证：g (x) GS; 2(2)h (x) =cos (x+a ) +2cosx,且h (x) GS,求其“相伴向量〞的模； (3)M(a, b) (b 乎0)为圆C: (x - 2) 2+y 2=1上一点,向量超的“相伴函数〞 f (x)在x=x .处取得最大值.当点 M 在圆C 上运动时,求tan2x .的取值范围.【解答】 解：(1) g (x) =3sin (x+—) +4sinx=4sinx+3cosx ,其‘相伴向量'0M = (4, 3), g (x) GS.(2) h (x) =cos (x+a) +2cosx =(cosxcos a - sinxsin a ) +2cosx =-sin a sinx+ (cos a +2) cosx 函数 h (x)的‘相伴向量’ 丽=(-sin a , cos a +2).那么 | 皿=q (一式11al —= ( cos a+2)―2=5+4曲口 .(3) OM 的'相伴函数'f ( x) =asinx+bcosx= ^^^sin (x+([)),其中cos 小=> ^ sin 小=Va 2 + b Z —,kGZ 时,f (x)取到最大值,故 x0=2k % +—-小,kGZ. 2 2-'.tanx 0=tan (2k % +- -([)) =cot ([)—, 2 b2tan x 口tan2x 0二 1-tan x o 1-(① b 也为直线OM 勺斜率,由几何意义知：-q -VI, 0) u (0, a a 3a 2 + b 2当 x+([)=2k % +___= r a b令m=,贝U tan2x0=—mq —亚,0) U ( 0,立｝.③川」 3 3rr当-亚0m<0 时,函数tan2xo=—J单调递减,,0< tan2xo<Vs；3IT当0Vm<立时,函数tan2x 0=—片单调递减,/.- 加&tan2x0<0.rr综上所述,tan2x°q -遮,0) U (0,a]. .............. 、 c 24. (2007?四川)设Fi、F2分别是椭圆工+/=1的左、右焦点.4(I)假设P是第一象限内该椭圆上的一点,且可■玩二-求点P的作标；(II)设过定点M (0, 2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且/AO的锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.】解：(I)易知a=2, b=1,钎我.•• Fi (一〃,0),F2(如,0) •设P 那么PF；・PF；二(-百一工,-y)(伤一小x +y =4 x2=i m联立,2 ,解得" 2 3n a,P?儿卜=4(n)显然x=0不满足题设条件.可设l V..V 2联立,瓦+y n = (kx+2) gn (1+£y=kx+2. 一12 * 16k1 • #1 K n- °,及i + 乂力一r.1^1+4/ 1上l+4k Z^△= (16k) 2-4? (1+4k2) ?12>016k2- (x, y) (x>0, y>0).2一/二K./- 3二- "1,又亍+yJl,£1,喙)•的方程为y=kx+2,设 A (x1, y., B (x2, Ik") z2+16kx+12=03 (1+4k2) >0, 4k2- 3>0,得①),又yM二(kxi+2) (kx2+2) =k2XiX2+2k(X1+X2) +4 ..xiX2+yiy2= (1 +k2) xiX2+2k (X1+X2) +4=(1+k2) ,—(--^5) +4 1+41 1+4 k 2_12 (1+ k2) 2k*16k .------------ 2- ------------ r+4l+4k2l+4k2l+4k2综①②可知••.k的取值范围是(-2, -亨)U (亨2)•。
专题07 平面向量-2022年高考真题和模拟题数学分类汇编(解析版)
专题07 平面向量1．【2022年全国乙卷】已知向量a ⃑=(2,1)，b ⃑⃑=(−2,4)，则|a ⃑−b ⃑⃑|（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a ⃑−b ⃑⃑，然后求得|a ⃑−b ⃑⃑|. 【详解】因为a ⃑−b ⃑⃑=(2,1)−(−2,4)=(4,−3)，所以|a ⃑−b ⃑⃑|=√42+(−3)2=5. 故选：D2．【2022年全国乙卷】已知向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=1,|b ⃑⃑|=√3,|a ⃑−2b ⃑⃑|=3，则a ⃑⋅b ⃑⃑=（ ） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵|a ⃗−2b ⃑⃗|2=|a ⃗|2−4a ⃗⋅b ⃑⃗+4|b ⃑⃗|2， 又∵|a ⃗|=1,|b ⃑⃗|=√3,|a ⃗−2b ⃑⃗|=3, ∴9=1−4a ⃗⋅b ⃑⃗+4×3=13−4a ⃗⋅b ⃑⃗， ∴a ⃗⋅b ⃑⃗=1 故选：C.3．【2022年新高考1卷】在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=m ⃑⃑⃗，CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=n ⃑⃗，则CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ） A ．3m ⃑⃑⃗−2n ⃑⃗ B ．−2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗C ．3m ⃑⃑⃗+2n ⃑⃗D ．2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗【答案】B 【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D 在边AB 上，BD =2DA ，所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)， 所以CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑= 3CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3n ⃑⃑−2m ⃑⃑⃑ =−2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗． 故选：B ．4．【2022年新高考2卷】已知向量a ⃑=(3,4),b ⃑⃑=(1,0),c ⃑=a ⃑+tb ⃑⃑，若<a ⃑,c ⃑>=<b ⃑⃑,c ⃑>，则t =（ ） A ．−6 B ．−5 C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：c ⃗=(3+t,4),cos 〈a ⃗,c ⃗〉=cos 〈b,c ⃗〉,即9+3t+165|c⃗|=3+t|c ⃗|,解得t =5,故选：C5．【2022年北京】在△ABC 中，AC =3,BC =4,∠C =90°．P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC =1，则PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围是（ ） A ．[−5,3] B ．[−3,5]C ．[−6,4]D ．[−4,6]【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P (cosθ,sinθ)，表示出PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C (0,0)，A (3,0)，B (0,4)，因为PC =1，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动， 设P (cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π]，所以PA⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(3−cosθ,−sinθ)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−cosθ,4−sinθ)， 所以PA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−cosθ)×(3−cosθ)+(4−sinθ)×(−sinθ) =cos 2θ−3cosθ−4sinθ+sin 2θ=1−3cosθ−4sinθ=1−5sin (θ+φ)，其中sinφ=35，cosφ=45，因为−1≤sin (θ+φ)≤1，所以−4≤1−5sin (θ+φ)≤6，即PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑∈[−4,6]； 故选：D6．【2022年全国甲卷】已知向量a ⃑=(m,3),b ⃑⃑=(1,m +1)．若a ⃑⊥b ⃑⃑，则m =______________．【答案】−34##−0.75 【解析】 【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：a ⃑⋅b ⃑⃑=m +3(m +1)=0，解得m =−34.故答案为：−34.7．【2022年全国甲卷】设向量a ⃑，b ⃑⃑的夹角的余弦值为13，且|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=3，则(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅b ⃑⃑=_________． 【答案】11 【解析】 【分析】设a ⃑与b ⃑⃑的夹角为θ，依题意可得cosθ=13，再根据数量积的定义求出a ⃑⋅b ⃑⃑，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设a ⃑与b ⃑⃑的夹角为θ，因为a ⃑与b ⃑⃑的夹角的余弦值为13，即cosθ=13， 又|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=3，所以a ⃑⋅b ⃑⃑=|a ⃑|⋅|b ⃑⃑|cosθ=1×3×13=1， 所以(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅b ⃑⃑=2a ⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2=2a ⃑⋅b ⃑⃑+|b ⃑⃑|2=2×1+32=11． 故答案为：11．8．【2022年浙江】设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2⋯A 8的边A 1A 2上，则PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑12+PA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑82的取值范围是_______． 【答案】[12+2√2,16] 【解析】 【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P(x,y)，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗12+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗22+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗82=8(x 2+y 2)+8，然后利用cos22.5∘≤|OP|≤1即可解出． 【详解】以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A 1(0,1),A 2(√22,√22),A 3(1,0),A 4(√22,−√22),A 5(0,−1),A 6(−√22,−√22),A 7(−1,0),A 8(−√22,√22)，设P(x,y),于是PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗12+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗22+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗82=8(x 2+y 2)+8，因为cos22.5∘≤|OP|≤1，所以1+cos45∘2≤x 2+y 2≤1，故PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗12+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗22+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗82的取值范围是[12+2√2,16].故答案为：[12+2√2,16]．1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中的三点(),3M m ，()4,N n ，()2,2E -，若向量OM 与ON 在向量OE 方向上的投影相等，则m 与n 的关系为（ ）A ．7m n +=B ．3m n -=C ．m n =D ．m n =-【答案】A 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影的定义列式可求出结果. 【详解】(),3OM m =,(4,)ON n =,(2,2)OE =-,向量OM 在向量OE 方向上的投影为||OM OE OE ⋅==向量ON 在向量OE 方向上的投影为8||ON OE OE ⋅=，=7m n +=. 故选：A.2．（2022·山东潍坊·三模）已知a ，b 是平面内两个不共线的向量，AB a b λ=+，AC a b μ=+，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是（ ）A ．1λμ-=B ．2λμ+=C ．1λμ=D ．1λμ= 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线的充要条件有AB mAC =且R m ∈，即可得答案. 【详解】由A ，B ，C 三点共线的充要条件是AB mAC =且R m ∈，所以1m mμλ=⎧⎨=⎩，故1λμ=.故选：C3．（2022·江苏苏州·模拟预测）在ABC 中，π3A =，点D 在线段AB 上，点E 在线段AC 上，且满足22,2AD DB AE EC ====，CD 交BE 于F ，设AB a =，AC b =，则AF BC ⋅=（ ）A ．65B ．175C ．295D ．325【答案】B 【解析】 【分析】根据平面共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平面向量的加法的几何意义进行求解即可. 【详解】设DF DC λ=，EF EB μ=，因为11111()(),33333AF AD DF AB DC AB DA AC AB AB AC AB AC λλλλλ-=+=+=++=+-+=+11111()(),22222AF AE EF AC EB AC EA AB AC AC AB AC AB μμμμμ-=+=+=++=+-+=+所以有21531152λλμμμλ-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，因此AF BC ⋅=2212121()()55555+-+=-+-⋅AB AC AB AC AB AC AC AB ，因为π3A =，3AB =，4AC =，所以AF BC ⋅=1211179163455525⋅=-⨯+⨯-⨯⨯⨯=AF BC ，故选：B4．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若(2,3a =-，(2sin ,2cos)66b ππ=，下列正确的是（ ） A ．//()b a b -B ．()b a b ⊥-C ．a 在b 方向上的投影是12-D ．()a b a b +⊥-（）【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示判断A ，根据向量垂直的坐标表示判断BC ，根据向量的投影的定义判断C. 【详解】由已知(2,3a =-，(1,3)b =，所以(((2,3=1,a b -=---，((()2,3=3,0a b+=-+， 因为1(10⨯-≠，所以b ab -，不平行，A 错， 因为(10⨯-≠，所以b a b -，不垂直，B 错，因为a 在b 方向上的投影为2211cos ,=21a b a a b b ⋅⨯-==-+，C 对，因为(13+00⨯-⨯≠，所以a b a b +-，不垂直，D 错， 故选：C.5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b 满足1a =，2b =，()235a a b ⋅+=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律得到a b ⋅，再根据cos a b a bθ⋅=⋅计算可得；【详解】解：因为1a =，2b =，()235a a b ⋅+=，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅=，所以1a b ⋅=，设a 与b 的夹角为θ， 则1cos 2a b a bθ⋅==⋅，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=； 故选：B6．（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠=，则DB CD ⋅=（ ） A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a【答案】A 【解析】 【分析】将,DB CD 分别用,BA BC 表示，再根据数量积的运算律即可得出答案. 【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=-.故选：A.7．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量(,3)a m =，(1,)b m =，若a 与b 反向共线，则3a b -的值为（ ）A ．0B ．48C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由向量反向共线求得m =3a b -. 【详解】由题意23m =，得m =又a 与b 反向共线，故m =3(23,6)a b -=-， 故3=43a b -. 故选：C.8．（2022·山东淄博·三模）如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（ ）A ．15-B ．13-C ．13D ．15【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积； 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ， 又3CE =，8CB =，12AB =，则10CF ， 即310CE FC =，即710FE FC =， 则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭， 则,552851EA ⎛⎫=-⎪⎝⎭，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．9．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点,,O G H 分别为任意ABC 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）A ．12OG OH =B ．23OH GH =C ．23AO AHAG +=D ．23BO BHBG +=【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线和长度关系可知AB 正误；利用向量的线性运算可表示出,AG BG ，知CD 正误. 【详解】,,O G H 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，12OG GH ∴=，13OG OH ∴=，32OH GH =，A 错误，B 错误；()112333AO AHAG AO OG AO OH AO AH AO +=+=+=+-=，C 错误； ()112333BO BHBG BO OG BO OH BO BH BO +=+=+=+-=，D 正确. 故选：D.10．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知,,OA OB OC 均为单位向量，且满足102OA OB OC ++=，则AB AC ⋅的值为（ ） A ．38B ．58C ．78D ．198【答案】B 【解析】 【分析】通过向量的线性运算进行化简求值即可. 【详解】()2,32AO OB OC AB OB OC =+=+，同理23AC OB OC =+()()2274(),,32238AO OB OC OB OC AB AC OB OC OB OC =+∴⋅=-⋅=++2291566136688OB OC OB OC =++⋅=+-=． 故选：B.11．（2022·辽宁沈阳·三模）已知椭圆()22:40C x y m m +=>的两个焦点分别为12,F F ，点P是椭圆上一点，若12PF PF ⋅的最小值为1-，则12PF PF ⋅的最大值为（ ） A ．4 B ．2C ．14D ．12【答案】D 【解析】 【分析】设00(,)P x y ，求出焦点坐标，利用向量的坐标运算得出12PF PF ⋅，再根据椭圆的范围利用二次函数求最值即可得解. 【详解】设00(,)P x y ，由()22:40C x y m m +=>可知1(F ，2F ，100(,)PF x y ∴=---，0023(,)2PF x y =--， 22222012000033311(4)44442x m m PF PF x y x m x m ∴⋅=-++=-++-=-，0m x -≤≤00x ∴=时，12PF PF ⋅的最小值为112m -=-，解得2m =.当0x =12PF PF ⋅的最大值为312142⨯-=.故选：D12．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则a b -与a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出a b ⋅，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由a b a b +=-得：22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得0a b ⋅=，因此，22()1cos ,2||||2||a b a a a b a b a a b a a -⋅-⋅〈-〉===-，而,[0,π]a b a 〈-〉∈，解得π,3a b a 〈-〉=，所以a b -与a 的夹角为3π. 故选：B13．（2022·浙江省江山中学模拟预测）在ABC 中，E ，F 分别为,AC BC 的中点，点D 是线段AF （不含端点）内的任意一点，AD mAB nAE =+，则（ ） A ．(0,1)m ∈ B ．(0,2)n ∈ C ．2n m = D ．1m n +=【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算的定义和平面向量基本定理确定,m n 的关系和范围. 【详解】因为点D 是线段AF （不含端点）内的任意一点， 所以可设(01)AD AF λλ=<<， 因为E ，F 分别为,AC BC 的中点，所以11112222AF AB BF AB BC AB AC AB AE =+=+=+=+，所以2AD AB AE λλ=+，又AD mAB nAE =+，所以10,22m λ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()0,1n λ=∈，2n m =，32m n λ+=， 所以A ，B ，D 错误，C 正确， 故选：C.14．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知向量(1,0)a =，(1,1)b =，向量a b 与a 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．1【答案】C 【解析】 【分析】由题得()0λ+⋅=a b a 化简即得解. 【详解】 因为ab 与a 垂直，所以()20,0λλ+⋅=∴+⋅=a b a a a b ， 所以1+(10)0,1λλ⨯+=∴=-. 故选：C.15．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知不共线的平面向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,4,7a b a b c ==++=，则c =（ ）A B ．2 C ．3 D ．2或3【答案】D 【解析】 【分析】 先求出23πθ=，转化2()7a b c a b c ++=++=，列方程即可求出. 【详解】由不共线的平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，可设为θ，则23πθ=.设|c |=m. 因为147a b a b c ==++=，，，所以27a b c ++=， 即2222227a a b b b c a c c +⋅++⋅+⋅+=，所以2222221214cos424cos 21cos 7333m m m πππ+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+= 即2560m m -+=，解得：2m =或3. 所以|c |=2或3 故选：D16．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知()1,2a =，()2,1b =-，()1,c λ=，且()c a b ⊥+，则λ=______． 【答案】3- 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示计算可得． 【详解】由题意()()3,1a b +=，又()c a b ⊥+，则()()()1,3,130c a b λλ⋅+=⋅=+=，故3λ=-． 故答案为：3-．17．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知向量,a b 的夹角为23π，4a =，3b =，则a b +=___________．【解析】 【分析】根据2222a b a a b b +=+⋅+求解即可. 【详解】 21cos43632a b a b π⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 则()222222426313a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=， 则13a b +=．18．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量||1b =，向量(1,3)a =，且|2|6a b -=，则向量,a b 的夹角为___________.【答案】2π##90 【解析】 【分析】由|2|6a b -=两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量,a b 的夹角 【详解】因为(1,3)a =，所以(21+a =因为|2|6a b -=，所以2222+26a ab b -=，又||1b =，所以426b -⋅+=，所以0a b ⋅=， 向量,a b 的夹角为θ,则cos 0a b θ⋅= 所以cos 0θ=，则2πθ=.故答案为：2π. 19．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形ABCD 中，11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====AC DB ⋅值为__________． 【答案】94##2.25【解析】 【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有22D AC DB C CB ⋅=-，再由1313AE BC DC AF DC BC⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩结合数量积运算律，即可得结果. 【详解】由题设可得如下图：,AC AD DC DB DC CB =+=+，而AD CB =-，所以22D AC DB C CB ⋅=-， 又11,,2,622DE EC BF FC AE AF ==== 所以1313AE AD DE BC DC AF AB BF DC BC ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩，则22222143921639BC BC DC DC DC BC DC BC ⎧+⋅+=⎪⎪⎨⎪+⋅+=⎪⎩，故228()29DC BC -=，可得2294DC BC -=，即94AC DB =⋅. 故答案为：9420．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设,a b 为不共线的向量，满足,342(,R)c a b λμλμλμ=++=∈，且c a c b c --==，若3a b -=，则()22()⋅⋅-a ba b 的最大值为________． 【答案】324【解析】 【分析】采用建系法，令,,a OA b OB c OC ===，将各个点用坐标表示，然后表达出OAB 面积的最大值，进而求得()22()⋅⋅-a b a b 的最大值；【详解】令,,a OA b OB c OC ===，又因为c a c b c --==， 即==OC CA CB ，则点C 为OAB 的外心，因为3-==a b AB ， 设33,0,,0,(0,)22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B AC m ，不妨取0m >则点()00,O x y 在圆2229:()4+-=+C x y m m 上， 由OC OA OB λμ=+，代入坐标，()00000033,,,22λμ⎛⎫⎛⎫---=--+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x m y x y x y ，解得003(),211-+=⋅-=----mx y m μλμλλμλμ，联立342+=u λ和2229:()4+-=+C x y m m ，解得12λ⎫<⎪⎭m，故0()1μλλμ+=+--m y m622λ=≤-+ ⎪⎝⎭，1λ=-时取“=”. 故01||92=⋅≤OABSAB y ，于是 ()22222max max(||||)()||||1cos a b a b OA OB AOB ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅=⋅⋅-∠⎣⎦⎣⎦ ()2222maxmax||||sin 4324OAB OA OB AOB S ⎡⎤=⋅⋅∠==⎣⎦△.故答案为：324 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．。
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高考数学平面向量试题汇编已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（ Ａ ）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r（辽宁3）若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且⎛⎫ ⎪⎝⎭g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ）A ．0B ．π6C ．π3D ．π2（辽宁6）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--，B ．(12)-，C ．(12)-，D ．(12)，（宁夏，海南4）已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，（福建4）对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b =B ．若λ0a =，则0λ=或=0aC ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（湖北文9）设(43)=，a ，a 在b 上的投影为2，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)，B ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．(28)，（湖南4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b（湖南文2）若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ）A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u rB ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u rC ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u rD ．EF OF OE =--u u u r u u u r u u u r（四川7）设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向在与→→→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ） (A)354=-b a(B)345=-b a (C)1454=+b a(D)1445=+b a（天津10）设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中mλα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（ Ｃ ） Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a bＤ． 22<+b a b（浙江文9）若非零向量a r 、b r 满足｜a r 一b r ｜＝｜b r｜，则（Ａ） (A) ｜2b r ｜＞｜a r 一2b r ｜ (B) ｜2b r ｜＜｜a r 一2b r｜ (C) ｜2a r ｜＞｜2a r 一b r ｜ (D) ｜2a r ｜＜｜2a r 一b r｜（山东11）在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ C ）（A ）2AC AC AB =⋅u u u r u u u r u u u r （B ） 2BC BA BC =⋅u u u r u u u r u u u r（C ）2AB AC CD =⋅u u u r u u u r u u u r （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r （山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ Ｃ ） A ．1BC ．2D ．4（重庆5）在ABC △中，AB =45A =o ，75C =o，则BC =（ Ａ ）Ａ．3Ｃ．2Ｄ．3+（重庆10）如题（10）图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=u u u r u u u r u u u r， 4AB BD BD DC +=u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，0AB BD BD DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r g g ， 则()AB DC AC +u u u r u u u r u u u rg 的值为（ Ｃ ）Ａ．2Ｂ．Ｃ．4Ｄ．（上海14）DCAB题（10）图直角坐标系xOy 中，i j r r，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若j k i j i ρρρρ+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ B ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 （全国Ⅰ3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ A ） A ．垂直 B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（全国Ⅱ5）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则λ=（ A ） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23-二、填空题 （安徽13）在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===u u u r u u u r u u u r，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =u u u r111244++a b c （用，，a b c 表示）．（北京11．）已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是3-（北京12．）在ABC △中，若1tan 3A =，150C =o，1BC =，则AB =（广东10. ）若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝ 21.（湖南12．）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b，c =则B =5π6 ．（湖南文12．）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，3c =，π3C =，则A = π6 ．（江西15．）如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r，则m n +的值为2 ．（江西文13．）在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =u u u r u u u rg1．（陕西15. ）如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝32，若OC ＝λOA +μOB （λ，μ∈R ）,则λ+μ的值为 6 .（天津15．）如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则ADBC =u u u r u u u r· 83-．（天津文15）在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC =u u u r u u u rg 52．（重庆文（13））在△ABC 中，AB =1,B C =2,B =60°，则AC ＝ 3 。
（上海文6．）若向量a b r r ，的夹角为ο60，1==b a ，则()a a b -=r r r g 21．三、解答题：35．（宁夏，海南）17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠． 所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．36．（福建）17．（本小题满分12分） 在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．解：（Ⅰ）π()C A B =-+Q ，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<Q ，3π4C ∴=． （Ⅱ）34C =πQ ，AB ∴边最大，即17AB =．又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭Q ，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得17sin 17A =．由sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C==g ．所以，最小边BC =37．（广东）16.（本小题满分12分）已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. （1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.解：(1) (3,4)AB =--u u u r,(3,4)AC c =--u u u r当c=5时，(2,4)AC =-u u u rcos cos ,A AC AB ∠=<>==u u u r u u u r进而sin A ∠==(2)若A 为钝角，则AB ﹒AC= -3(c -3)+( -4)2<0 解得c>325显然此时有AB 和AC 不共线，故当A 为钝角时，c 的取值范围为[325，+∞)38．（广东文）16．(本小题满分14分)已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC =g ，求c 的值；(2)若5c =，求sin ∠A 的值解: (1) (3,4)AB =--u u u r (3,4)AC c =--u u u r由 3(3)162530AB AC c c =--+=-=u u u r u u u r g 得 253c =(2) (3,4)AB =--u u u r (2,4)AC =-u u u rcos AB AC A AB AC∠===u u u r u u u rg u u u r u u u r gsin 5A ∠== 39．（浙江）（18）（本题14分）已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数． （18）解：（I）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得13BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=g22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==g g ， 所以60C =o．40．（山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的 北偏西105︒的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲船航 行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒方 向的2B 处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里? 解：如图，连结12A B ，22102A B =，122030210260A A =⨯=， 122A A B ∆是等边三角形，1121056045B A B ∠=︒-︒=︒，在121A B B ∆中，由余弦定理得2221211121112222cos 45220(102)220102200B B A B A B A B A B =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=， 1210 2.B B =因此乙船的速度的大小为1026030 2.⨯= 答：乙船每小时航行302海里. 41．（山东文）17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan 37a b c C =，，，． （1）求cos C ；（2）若52CB CA =u u u r u u u r g ，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan cos CC C=∴=Q又22sin cos 1C C +=Q 解得1cos 8C =±． tan 0C >Q ，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =u u u r u u u r Q g ， 5cos 2ab C ∴=， 20ab ∴=．又9a b +=Q22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．42．（上海）17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ． 解： 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=g ．43．（全国Ⅰ文）（17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =，5c =，求b ．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）根据余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-272545=+-7=．所以，b =44．（全国Ⅱ）17．（本小题满分10分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3． 应用正弦定理，知sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===π3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭．因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值。