杆梁结构的有限元分析原理
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杆梁结构的有限元分析原理
e
下面考察该简单问题的FEA求解过程。 (1) 离散化
两个杆单元，即：单元①和单元②
(2) 单元的特征及表达
对于二结点杆单元，设该单元的位移场为 么它的两个结点条件为
，那
设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）
利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即
将系数a0和a1代入
，可将
表达成结点位移(u1, u2)的关系，即
其中， 为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为 整体坐标系下的结点力，即
由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的 结点位移向量 取一阶极小值，有整体坐标系中 的刚度方程
对于本节给出的杆单元，具体有
4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换
就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还 是 而整体坐标系中的结点位移为
这时由全部结点位移[0 u2 u3]分段所插值 出的位移场为全场许可位移场。
由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求 一阶导数），有
可解出
(5) 计算每个单元的应变及应力
在求得了所有的结点位移后，由几何方程
可求得各单元的应变
由方程 可求得各单元的应力
(6) 求结点1的支反力
就单元 ①的势能，对相应的结点位移求极值，可以 建立该单元的平衡方程，即
其中
由一维问题几何方程和物理方程，则该单元 的应变和应力为
其中
单元的势能
其中 叫做单元刚度矩阵。
叫做单元结点外载。
在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元 结点外载后，就可以计算该单元的势能，因 此，计算各单元的矩阵 和 是一个关 键，下面就本题给出了个单元的 和 。
具体就单元①，有 单元①的结点位移向量
(5) 单元的刚度方程
2_杆系结构有限元分析1
( x) Nii N j j
x x N 1 , N 其中 i 为形函数。 j l l
由材料力学扭转可知
d dN e e M GI p GI p θ GI p B θ dx dx
其中 B
dN 1 1 dx l l
§1-2 扭转杆单元
e
外力势能 V u
e
e T
fe
e
1 e T e e e T 总势能 U V u K u u f e 2
e e
§1-1 拉(压)杆单元
1 e T e e e T U V u K u u f e 2
e e e
根据最小势能原理，势能泛函取驻值的必要条件
空间杆单元坐标变换矩阵
0 T 0
单元在两个坐标系中刚度矩阵转换关系同样有
K e T T K ' T
e
矩阵中仅仅包含有坐标的倾角，仅平行移动坐标轴，刚度矩阵 中元素值不变，矩阵的阶数也不改变。
§1-2 扭转杆单元
结点位移向量θe i , j
T
结点力向量
平衡关系
杆单元结点力向量
f U i
e
Uj
T
单元在外力和内力作用下处于平衡状态，反映单元平衡状态 的关系式就是刚度方程。下面利用最小势能原理推导单元的 刚度方程。 最小势能原理：在满足连续条件和边界条件的位移中，满足 平衡条件的位移其总势能最小，反之亦然。 单元总势能
e U e V e
M e Mi , M j
T
杆件发生自由扭转时，待求位移是截面的扭转角 ( x) 在局部坐标系中，每一个点将具有一个基本未知位移，最简单 的单元位移函数可以设为
2 杆系结构有限元法
{F } = [K ]{δ }
[K ]
称为对应于施加在系统上各节点力的刚度矩阵。
问题： 1、复杂结构其刚度矩阵是多少阶的？ 2、如何求出？ 3、为什么着重讨论系统的刚度矩阵？ 系统的整体刚度矩阵－求出所受外力作 用下各杆件节点处的位移－计算各杆件的 受力和应力
2-2 弹簧系统的刚度矩阵
一、单个弹簧的刚度矩阵
0 u1 = 0 − kb u 2 k b u3
从而可得到定解。通过解上述方程可得到各个节点的位移，利用已求得的位 移就可计算出每个弹簧所受力的大小。
弹簧1－2受力 pa＝ka×（弹簧1－2长度的变化量） pa＝ka×（u2-u1）
有限元方法求解弹簧系统受力问题的基本步骤： ①形成每个单元的刚度矩阵
(b) F1c
u1＝0
2-3 有压力kbu2 F2b = (k a + kb )u2 分别对两弹簧求静力平衡，有 F1b = −k a u 2 , F3b = − kbu2
ka
F2c
u2＝0
kb
u3,F3c
3) 只允许节点3有位移u3，类似于情况1），有
F3c = kb u3 , F2 c = − F3c = −kbu3
0 0 0 k 2 22 2 0 k32
0 2 k 23 2 k33
三、方程求解（约束条件的引入）
由式（2－6）和式（2－8）可知，刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列 式的值为零，矩阵的逆不存在。 对应线性代数方程组式（2－7）和式（2－9）无定解。 物理概念解释：对整个系统的位移u1、 u2和 u3，没有加以限制，从而在 任何外力的作用下系统会发生刚体运动。
− ka k a + kb − kb
杆梁结构的有限元分析原理[详细]
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le
EAe
le
EAe
u1 u2
P1
le
P2
u1 u2
1 qeTK eqe PeTqe 2
刚度矩阵
节点力列阵
3）离散单元的装配
在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以
求出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分
e 1 2
1 q1T K1q1 q2T K 2q2 P1Tq1 P2Tq2 2
第4章 杆系结构的有限元分析原理
杆梁单元概述
讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统. 从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件 承受轴力或扭矩的杆件成为杆 杆梁问题都有精确解 承受横向力和弯矩的杆件称为梁 平面桁架 平面刚架 连续梁 空间刚架 空间桁架等 承受轴力或扭矩的杆件称为杆 将承受横向力和弯矩的杆件称为梁 变截面杆和弯曲杆件
单元节点条件：u(0)=u1， u(l)=u2
从而得
a0 ui ,
a1
uj
le
ui
i
1,
j
2
回代得
u(x) a0 a1x
ui
u j ui le
x
1
x le
ui
x le
u
j
Niui N ju j
其中Ni，Nj是形函数。
写成矩阵形式为
q Niu Nqe
N
ju
ui u j
1 2
u1
EA1
u2
l1 EA1
l1
EA1
l1
EA1
u1 u2
R1
l1
0
u1 u2
1 2
u2
EA2
杆梁结构有限元分析
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（1）平面压杆有限元法的直接法
由节点平衡有： 即有：
U1(1)u1 U1(1)u2 N1
U
u (1)
21
(U
(2 2
)
U
(1) 2
)u2
U
(2 2
)u3
F1
U
(2 3
)
u2
U
(2 3
)
u3
F2
EA1 l1
u1
EA1 l1
u2
N1
EA1 l1
u1
( EA1 l1
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
杆梁结构是指长度远大于其横截面尺寸的构件组成的杆 件系统，例如机床中的传动轴，厂房刚架与桥梁结构中的梁 杆等,可以用杆单元或梁单元来进行离散化。
空间杆系：平面杆系是指各杆轴线和外力作用线位于一 个平面内，若各杆轴线和外力作用线不在一个平面内。 （1）平面压杆有限元法的直接法
单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面 问题，每列元素之和为零。
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法 2）节点位移与节点力之间的关系
Ui
Vi
k11
k21
M i U j
k31
k41
V
j
M j
k51
k61
他们在轴和轴的投影之和等于零：
vi
6EI l2
i
12EI l3
vj
6EI l2
j
M
j
6EI l2
vi
2EI l
i
6EI l2
vj
4EI l
第五章杆系结构的有限元法
第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。
其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。
杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。
杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。
显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。
杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。
因此，本章将采用这种方法进行单元分析。
至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。
5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。
3． 外载荷均为作用于节点的集中力。
由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。
5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。
两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。
图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。
由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。
有限元-梁系结构的有限元法
4x l
3x 2 l2
) i
x l
(3x l
2)
j
容易验证 ： x 0： u ui v vi i x l： u u j v v j j
(3-1a)，(3-1b)或(3-2a)，(3-2b)称为平面梁单元的位移插值 函数
二、建立节点位移与节点力关系
1、 轴向节点力
E Fx A
拉压杆问题的回顾
1、杆的基本概念：
杆--轴线为直线的细长构件，沿轴线承受 拉（压）载荷； 杆模型--平面假设将杆简化为一维问题， 可由杆轴线代表； 杆变形特点--只与轴向位移相关；
拉压杆问题的回顾
2、杆有限元的基本概念
节点位移—轴向位移，每节点1个自由度； 节点力—轴力； 结构离散：轴线划分为若干直线段； 单元分析：建立节点力与节点位移关系； 节点平衡：对每一节点，建立相关节点力与 外力的平衡关系，得到一线性方程组； 约束处理：引入已知节点位移，使方程组可解
梁系结构实例
2、平面梁系
1、节点力平衡的需求--单元节点力（在 局部坐标系中）向整体坐标系的变换； 2、单元分析的需求--节点位移（在整体 坐标系中）向局部坐标系的变换； 3、结构对称性的利用（练习，作业3）。
l2 2EI
l
0
Vi
i
u
j
（3-4）
6EI l2
4EI
V
j j
l
（3－4）式是用矩阵表示的梁节点力与节点位移的关系
式（3-4）还可写成：
F
e
K e
e
（3-5）
e
F
——称为局部坐标下的节点力列向量
e ——称为局部坐标下的节点位移列向量
e
K
第5章 杆、梁结构有限元分析
Q1l 2 M 1l 转角： i 0 2EI EI 6EI M i 2 a21 l M j Qi l M i a41
即求得了单元刚度矩阵[Ｋ]中第一列的四个元素：（分别等于上述四个结点力）
12EI a11 3 l
6EI a21 2 l
12EI a31 3 l
5.2 平面梁单元
5.2.4 铰结点的处理
在杆件系统中会遇到一些杆件通过铰结点和其它杆件相联结。 如图的框架结构，4根杆件汇交于结点4，杆件②与结点4铰接，其它杆则为 在这种结点(结点4)上应该注意到: 刚接。 (1) 结点4上各杆具有相同的线位移， 但截面转动不相同。
刚接于结点上的各杆具有相同的截面转动， 而与之铰接的杆件却具有另外的截面转动。 例如在图示结构中，在受载后，在结点4，杆 件③，④，⑥将具有相同的截面转动，而杆 件②则具有与其它杆件不同的截面转动。
(2) 结点上具有铰接的杆端不承受弯矩，因此在结点上只有刚接的各 杆杆端弯矩参与结点的力矩平衡。
杆件②在铰接端的杆端弯矩为零，只有杆件③，④，⑥在结点4上与外弯矩保 持平衡。
单元②的铰接端，只有位移自由度参加总体集成，而转动自由度是不参加集 成的。 对于单元②来说，此自由度属于内部自由度性质，为算法的方便起见，在总 体集成前，应在单元层次上将此自由度凝聚掉。具体方法 (参见王勖成的有 限单元法基本原理)，略。 对于一端为铰接的单元：
e e {a } [T ]{a}
同理：
e e {P } [T]{P}
e
K
[T ] K [T ]
T e
5.1 平面杆单元
5.1.4 任意取向的平面杆单元
{a}e [T ]{a}e {P}e [T]{P}e