2.5.1平面向量应用举例(平面几何)
2.5.1_平面几何中的向量方法(1)
C
1 1 1 AR AC ,同理TC AC , 于是 RT AC 3 3 3 故AT=RT=TC
在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力； 在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力， 你能从数学的角度解释这种现象吗？
在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一 个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运 动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释 这种现象吗？
=a² +2a · b+ b ² 同理
- 2a DB ²= a ² · b+ b ²
A
B
AC ² + DB ²= 2( a ² +b² ) = 2 ( AB ² + AD ²)
平行四边形两条对角线长的平方和等于 两条邻边长的平方和的两倍.
利用向量法解决平面几何问题的基本思路 （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题 中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问 题； （2）通过向量运算，研究集合之间的关系，如距离、 夹角等问题；
B. | v1 || v2 |
C . | v1 || v2 |
D. | v1 || v2 |
2、已知作用在A点的三个力 F1 (3, 4) , F2 (2, 5)
F3 (3,1) ，A(1，1)则合力 F F1 F2 F3 的终点坐
标是（ B ） A.(8,0) B.(9,1) C.(-1,9) D.(3,1)
对角线的长度与两条邻边
长度之间有何关系？
A B
涉及到长度问题常常考虑向量的数量积
AB ² AD ² AC ² DB ²
分析：设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b， AB ² = a ² AD ² = b ² AC ² =AC+AC=(a+b) ·(a-b) =a ·a+b ·b+b ·b ·a+a D C
向量在解决高中数学问题中的应用
向量在解决高中数学问题中的应用【摘要】向量是高中数学中重要的概念，具有广泛的应用价值。
本文首先介绍了向量的概念和性质，包括向量的定义、方向、模长等基本概念。
接着讲解了向量的加法和减法运算，以及向量的数量积和夹角的相关知识。
然后通过举例说明了向量在数学问题中的具体应用，例如求解三角形和平行四边形的问题。
讨论了向量在高中数学中的重要性，以及向量在其他领域中的应用拓展。
总结指出，掌握向量的知识能够帮助我们更好地解决数学问题，提高数学思维能力，是高中数学学习中不可或缺的一部分。
通过本文的学习，读者可以更深入地了解向量在解决高中数学问题中的应用及重要性。
【关键词】向量、高中数学、应用、概念、性质、加法、减法、数量积、夹角、三角形、平行四边形、重要性、拓展、总结。
1. 引言1.1 向量在解决高中数学问题中的应用向量在解决高中数学问题中的应用非常广泛，它可以帮助我们更好地理解和解决复杂的数学问题。
在高中数学中，我们经常会遇到各种与方向、大小和位置有关的问题，而向量恰好可以提供一种简洁而直观的方法来描述这些问题。
通过引入向量的概念和性质，我们可以轻松地进行向量的加法和减法运算，从而解决复杂的方向和位置问题。
向量的数量积和夹角也可以帮助我们求解与向量相关的长度、角度等问题。
通过学习向量的基本性质和运算规律，我们可以更快更准确地解决各种高中数学问题。
在实际应用中，向量还可以帮助我们解决三角形和平行四边形等几何问题。
通过向量的方法，我们可以更直观地理解和证明几何定理，从而提高解题的效率和准确性。
向量在高中数学中扮演着非常重要的角色，它不仅可以简化问题的求解过程，还可以帮助我们更深入地理解数学知识。
向量在解决高中数学问题中的应用是非常广泛且重要的。
通过深入学习和理解向量的概念和性质，我们可以更好地应用向量解决各种复杂的数学问题，提高解题的效率和准确性。
向量对于高中数学的学习和应用具有重要的意义。
2. 正文2.1 向量的概念和性质向量是高中数学中的重要概念之一，它在解决各种数学问题中起着至关重要的作用。
平面向量应用举例
平面向量应用举例一周强化一、一周知识概述向量是区别于数量的一种量，是中学数学中的一个重要概念．向量具有两重性，一是代数属性，二是几何属性，使得数与形的结合体现到极致．向量作为一种重要的数学工具，除在数学中有广泛的应用外，在物理学、工程技术中也有广泛的应用．二、重难点知识归纳讲解1、解决平面几何问题由于平面向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，利用向量可以表示出平面几何的许多性质，如平移，平行，垂直、全等、相似以及夹角等，利用向量可以方便地解决平面几何中的一些问题，思路清晰，运算简单．例1、已知任意凸四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC中点，如图所示．求证：.解析：向量的加法，减法的运算并不困难，但运算的途径很多，十分灵活，如平面任一向量都可以写成两个或多个向量的和．同样任一向量都可以分成两个向量的差等，本题证法较多，这里选取五种.证法一：证法二：在平面上任取一点O，由中线公式得证法三：过点C在平面内作，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点. ∴ EF是△ADG的中位线，∴ EF DG，∴证法四：如图所示，连EB、EC，则有又∵ E是AD的中点，以为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.证法五：例2、如图所示，正方形ABCD中，P为线段BD上任一点，PECF为矩形，求证：（1）PA=EF；（2）PA⊥EF.解析：平面几何问题，有的用向量的方法来处理，会有简洁的解法．此题可设坐标，利用坐标运算．证明：以D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立坐标系.设C（1，0），A（0,1），P（x，x），则E（x，0），F（1，x）2、解决函数问题结合函数的图象，利用向量解决函数有关问题.例3、过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，过A、B分别作x轴的垂线交函数y=log2x的图象于C，D两点．求证：O，C，D三点在一条直线上．分析：将共线证明转化为论证向量共线的关系式．证明：如图，设A(x1,log8x1)，B(x2,log8x2)，根据已知共线，∴x1log8x2－x2log8x1=0．又根据已知C(x1,log2x1)，D(x2,log2x2)，∴∵x1log2x2－x2log2x1=x1log8x23－x2log8x13=3(x1log8x2－x2log8x1)=0，∴共线，即O，C，D三点在一条直线上．三、向量在物理中的应用运用向量解决物理问题时，必须清楚哪些物理量是向量，可以从以下几方面理解：1、力，速度，加速度都是向量;2、力，速度，加速度，位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成;3、动量是数乘向量;4、功定义即力与所产生位移的内积.例4、如图，重力为的均匀小球放在倾角为α的斜面上，球被与斜面夹角为θ的木板挡住，球面、木板均光滑，若使球对木板压力最小，则木板与斜面间的夹角θ应为多大？分析：本题可以通过把球对木板的压力N表示为关于木板夹角θ的函数，再去求N的最小值.解：小球受力如图：重力，斜面弹力（垂直于斜面），木板弹力（垂直于木板），其中与合力大小恒为︱︱，方向向上，方向始终不变，随着木板的转动，的大小均在变化.=，当sinθ取最大值1时，︱︱min=︱︱sinα,此时θ=.点评：对于本题的解答，要结合到物理知识即会对物理进行受力分析，才能探讨出N1与θ的函数关系式.例5、今有一小船位于d=60m宽的河边P处，从这里起，在下游L=80m处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布.若河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小5m/s为，如图所示，为了小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？分析：本题可分别从数学和物理两个方面进行剖析，因而可以给出以下两种解法.解法一：设船的划速为，方向与上游河岸的夹角为，如图，将正交分解为,,则船同时参与两个分运动：一个是沿方向的速度为的匀速直线运动，另一个是沿方向的速度为的匀速直线运动，这两个分运动的时间和必相等，设船到达对岸时，极其靠近河流与瀑布的交界处.由∴令.显见，当时，有最小值为3m/s.此时解法二：在题设条件下，船的临界合速度沿图的PQ方向，设，从A向PQ作垂线，垂足为B，有向线段 AB即表示最小划速的大小和方向，，，可见当时，划速方向与解法一相同.点评：对于本题的两种解法中，分别从速度的分解与合成入手，体现了数形结合的密不可分的关系．。
高中数学25 平面向量的应用举例
2.5平面向量的应用举例2.5.1平面几何中的向量方法由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。
下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。
例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。
如图2..5.1,=+,=-,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？分析：不妨设=，=，则=+，=-，。
与= ·=（+）·（-）=a·a+a·b+b·a+b·b+2a·b。
同理-2a·b。
观察（1）、（2）两式的特点，我们发现，（1）+（2）得+=2（）=2+）。
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。
思考如果不用向量的方法，能证明上述关系吗？平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用下列方法解决部分几何问题。
解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特别是数量积来研究电、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系得到几何问题的结论。
这就是用向量方法解决几何问题的“三部曲”：（1） 建立皮面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3） 把运算结果“翻译”成几何关系。
例2 如图2.5-2，连接□ABCD 的一个顶点至AD 、DC 边的中点E 、F ，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？分析：由于R 、T 是对角线AC 上的两点要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可。
2.5平面向量应用举例
ur G
|
,
分 的析 关绳 系子？受到的拉力大小FuFr 1与两绳子间的夹角θ
u ur
u ur
F1 F2
uur | F1
|
ur |G |
2
cos
2
ur G
2020/1/16
uu r
|G u r(4|)如20果0绳3N 子,的θ在最什大么承范受围力内为,绳|F 子1|才2 不0会0N 断u,r ？
关系？
D
C
结论：
A2C D2B 2(A2B A2D )
A
B
矩形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和 的两倍。
探索：
平行四边形 ABCD中，以上关系是否
依然成立？
2020/1/16
结例1、论证：明平行四边形两条对角线的平方和等于两
条条邻邻边边平平方方和和的的两两倍倍。。
D
C
已知：平行四边形ABCD。
（3）问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物 理现象.
2020/1/16
如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬 挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根 绳子的拉力是____1_0_N__.
120º
|
uur F1
|
ur |G |
2 cos
ur
2
G
2020/1/16
例艘4船.如从图A处,一出u条ur发河到的河两对岸岸平,已行知,河船的的宽速度度d=|5vur10| 01m0k,m 一/h, ,水流速度 |v2|2km/h,问行驶航程最短时,所用时间 是多少？(精确到0.1min)
F
由
200 2 cos
3
2
必修四2-5-1~2平面向量应用举例
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
→ ＝a，AD → ＝b，由 E、F 分别为对应边的三等分点，得 解 设AB 1 1→ → → → FO＝FA＋AO＝－ a＋ AC 3 2 1 1 1 1 ＝－3a＋2(a＋b)＝6a＋2b. 1→ 1 → 1 1 1 1 → → → OE＝OC＋CE＝2AC＋3CD＝2(a＋b)－3a＝6a＋2b. → ＝OE → ，又 O 为其公共点，故 E、O、F 在同一直线上． ∴FO
2．5 平面向量应用举例
2．5.1 平面几何中的向量方法 2．5.2 向量在物理中的应用举例
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】 1． 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、 力学问题及 其他一些实际问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，提高运 算能力和解决实际问题的能力． 3． 掌握用向量方法解决实际问题的基本方法； 向量方法解决几 何问题的“三步曲”． 【核心扫描】 1．用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问 题．(重点) 2．用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛 1．用向量解决平面几何问题的步骤及方法 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
可简述为：图形到向量→向量的运算→向量和数到图形．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)一般可选择以下两种方法： ①基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基 底表示相关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算． ②坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化 为向量的坐标运算．
课前探究学习
课堂讲练互动
第二章 平面向量应用举例
思路分析：由题目可获取以下主要信息： ①△ABC 的三个顶点坐标已知； ②D、E、F 分别为三边的中点． 解答本题可利用向量共线及垂直关系进行处理．
人教A版必修四· 新课标· 数学
版块导航
解：(1)由已知得点 D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)， 设 M(x，y)是直线 DE 上任意一点， → → → → 则DM∥DE.DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)． ∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0， 即 x－y＋2＝0 为直线 DE 的方程． 同理可求，直线 EF，FD 的方程分别为 x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
人教A版必修四· 新课标· 数学
版块导航
人教A版必修四· 新课标· 数学
版块导航
平面向量在平面几何中的应用 【例 1】 已知 Rt△ABC，∠C＝90° ，设 AC＝m，BC ＝n， 1 (1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD＝ AB； 2 (2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F，求 AF 的长度(用 m，n 表示)．
答案：B
人教A版必修四· 新课标· 数学
版块导航
4． 一艘船从 A 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸 的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为 4 km/h，则河水的 2 km/h 流速大小为________．
解析：
由图可知 v 水＝2 km/h.
人教A版必修四· 新课标· 数学
版块导航
答案：B
Байду номын сангаас
人教A版必修四· 新课标· 数学
版块导航
3．用力 F 推动一物体 G，使其沿水平方向运动 s，F 与 垂直方向的夹角为 θ，则 F 对物体 G 所做的功为( ) A．F· cosθ s· B．|F|· sinθ |s|· C．|F|· cosθ s· D．|F|· sinθ s·
2.5 平面向量应用举例
0
三、垂心
三角形三边上的高交于一点， 这一点叫三角形的垂心。
A
E
F o D
AB OC, BC 3
B
D
C
二、外心
三角形三边的中垂线交于一点， 这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
A
O
A
O
A C
B
C
B
例题2 若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
则 O 是 ABC 的（ B ） A．内心 B．外心 解析：由向量模的定义知 O 到 C．垂心 D．重心
一、向量四种运算总结：
运算类型 代数式运算 几何运算
a
b
坐标运算
运算性质
ab ba (a b) c a (b c) AB BC AC
a b a (b) AB BA OB OA AB
加 法 减 法
ab
a b
ab ( x1 x2 , y1 y2 )
a b ( x1 x2 , y1 y 2 )
a
b
数 乘
a
ab 数量积 a b cos
0 0 0
a
a (x1, y1 )
a
b
a· b=|b|·（向量a在b方向上的投影）
a b x1 x2 y1 y2
a∥b a∥ b x1 y2 x2 y1 0
O是 ABC 的垂心
B
C
O A O B O B O C O C O A
例3. 点O是Δ ABC所在平面上一点， 若 OA OB OB OC OC OA， 则点O是Δ ABC的（ D ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 B （C）三条中线的交点 （D）三条高线的交点
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小结：
B
Q
由PO=mOA, QO=nOB可知：
O PO m OA , QO n OB 即O分PA 的比为-m，O分QB 的比为-n
3
3
·
G
P
A
求得 P ( ma , 0 ) Q ( nb , nc )
a b c a b c PG ( ma , ) GQ ( nb , nc ) 3 3 3 3 由向量 PG // GQ 可得：
已知：平行四边形ABCD。 D 2 2 2 2 2 2 AB BC CD DA AC BD 求证：
C B
A
例2 如图， ABCD中，点E、F分别 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别 与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
D E A R F T B C
你能总结一下利用向量法解决平面几何问 题的基本思路吗？
例3.已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 A
H B D
E
C
练习.PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：1 1 3 m n
B
Q
·
O
G
P
A
证：如图建立坐标系， 设P ( x , 0 ) Q ( x , y ) A ( a , 0 ), B ( b , c ) 1 2 2 ab c ( , ) 所以重心G的坐标为
2.5平面向量应用举例
2.5.1平面几何的向量方法
平面几何中的向量方法
由于向量的线性运算和数量积运算具 有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质， 如平移、全等、相似、长度、夹角都可以 由向量的线性运算及数量积表示出来，因 此，利用向量方法可以解决平面几何中的 一些a b cc a b 3 ( ma )( nc ) ( nb ) 0 化简得： m n 3 33 3
练习2.如图ABCD是正方形,M是BC的中点，将正方形 折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积 为64，求△AEM的面积
D F C M
N A E
B