专转本高数培训之多元函数微积分学

由方程
z z , . 确定，求 x y
第二节 二重积分
1.二重积分的定义 （1）曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面
D
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面
求其体积. 解法: 类似定积分解决问题的思想:
“大化小,常代变,近似和,求极限 ”
z
u v
z z u z v f11 f 21 x u x v x
z z u z v f12 f 22 y u y v y
x
y x
y
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
z x x 2 z
设 F ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z 则 Fx 2x ,
Fz 2 z 4

Fx z x x z2 2 z x Fz
(2)设函数
由方程
确定，
z z . 求 , x y
(3)设函数
x, y 称为积分变量
积分域 被积函数 面积元素
如果 f ( x, y ) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划 分区域D , 这时 也常 因此面积元素 记作 d x d y, 二重积分记作

0
D
n
f ( x, y)dxdy
lim f ( i ,i )xi yi
i 1
V
z 2 e x2y y
2z 2 e x2y x y
z 4 e x2y y2
2
z 2 e x2y y x
2
(2)求下列函数的二阶偏导数.
z x ln( x y)
y z arctan x
二、全微分
y f (x) z f ( x, y )
dy Fx Fy x 0 dx x 0
ex y cos y x x 0, y 0
2. 函数
由方程
所确定的隐函数.
F ( x, y , z ) 0
两边对 x 求偏导
z Fx Fz 0 x
同样可得
F Fx z x F x Fz z
成立的是( )
u v A. x y
u v B. x x
u v C. y x
u v D. y y
u (2006-11)设 u e sin x, _______ . x
xy
2.高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z f x( x, y ) , x
2
z f y( x, y ) y
按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数：
z 2z z z ( ) ( ) 2 f xx ( x, y ); f xy ( x, y ) y x x y x x x
同样可定义对 y 的偏导数
f y ( x0 , y0 ) lim
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
z x
( x0 , y 0 )
;
f1( x0 , y0 ) .
即
f x( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x 0 x
dy ( x0 ) lim f ( x0 x) f ( x0 ) f x 0 d x x x0 x

b
y

a
1 ( x)
1 ( y) x 2 ( y) 若区域 D ( x, y) c yd
D为Y –型区域
V f ( x, y )dxdy
D
[
c
d

2 ( y )
1 ( y)
f ( x, y ) d x ] d y

y d x 1 ( y) y c o
z
dz z du z d v dt u dt v dt
( 全导数公式 )
例5-4.(1)设 ，而
u
t
，求
v
t
2. 两个中间变量是二元函数的情形 x,y是自变量，z对x,y求偏导
z f (u, v) , u ( x, y) , v ( x, y)
1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2 , , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 小曲顶柱体 2)“常代变”
f ( k , k )
( k , k )
D
k
在每个
中任取一点
则
Vk f ( k , k ) k
3)“近似和”
n
(k 1, 2 ,, n)
(2005-17)设z f (sin x, y 2 ) ,其中 f (u, v) 的二阶偏导数
z 2 z 存在，求 、 . x xy
y (2008-18) 设 z f ( x y, ) ，其中函数 f 具有二阶连续 x
z 偏导数，求 . xy
2
(2007-17) 设 z f (2 x 3 y, xy) ，其中函数 f 具有二阶
3. 有一个中间变量是二元函数的情形 x,y是自变量，z对x求偏导，
z f ( x, v) , v ( x, y) 对y求导
z f x x
f1 f 2 1
z f
z y
x
v
x y
f 2 2
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
（2）设
，而
z z , . ，求 x y
（3）设
，而
z z , . ，求 x y
4. 抽象的二元复合函数的情形
抽象的一元复合函数
例5-5.设
，其中
具有二阶连续偏
导数，求
(2006-20)设 z xf ( x 2 , xy),其中 f (u, v) 的二阶偏导数
z 2 z 存在，求 、 . y yx
y 2 ( x)
z
被积函数 f ( x, y) 0
y
D
1 ( x) y 2 ( x) 若区域 D ( x, y ) a xb D为 X – 型区域
o
a x0 b x y 1 ( x)
y 2 ( x)
2 ( x ) f ( x, y ) d y dx D D f ( x, y) dx d y a 1 ( x) x b 2 ( x ) o a y ( x) b x 两次积分 1 dx f ( x, y ) d y
z 连续偏导数，求 . xy
2
四、隐函数求导
1. 设函数 例5-6. 函数 由方程 由方程 所确定. 确
定，求
方法1. 利用第二章讲过的隐函数求导法，即直接对方 程求导. 解: 方程两边对 x 求导
ex y y x 0 cos y x (0,0)
方法2. 利用本章讲过的二元函数的偏导数.
z 2 z z z ( ) 2 f yy ( x, y ) ( ) f yx ( x, y ); y y y x y y x
2
例5-2. (1)求函数 z 解:
e
x 2 y 的二阶偏导数.
z e x2y x
2 z e x2y 2 x
两边对 x 求导
Fx dy dx Fy
F x F y
在方程中把y当做常数，对x求导. 在方程中把x当做常数，对y求导.
解: 令 F ( x, y ) sin y e x x y 1, 则
Fx e y,
x
Fy cos y x
对y求偏导
对x求偏导
F Fy z y F y Fz z
例5-7. (1)设 x 2 y 2 z 2 4 z 0 ，求 解法1 利用隐函数求导
z . x
在方程中对x求导，把y当做常数，把z看成x,y的函数.
z z 2x 2z 4 0 x x
解法2 利用公式
1 1 A. dx dy 2 2
)
1 1 1 1 1 1 B. dx dy C. dx dy D. dx dy 2 2 2 2 2 2
x (2007-11)设 z ，则全微分 y
dz _______
三、复合求导(链式法则） 1.中间变量是一元函数的情形
t是自变量，z对t求导
例5-3. 计算函数 解:
dy f ( x)dx dz f x( x, y)dx f y ( x, y)dy
在点（2,1）处的全微分.
z z xy xe x y ye , y x
z e2 , x (2,1) z 2e 2 y (2,1)
y (2008-5)函数 z ln 在点(2, 2) 处的全微分 dz 为（ x
2.二重积分的性质
(1) k f ( x, y)dxdy k f ( x, y)dxdy ( k 为常数)
D D
(3) f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy
坐标计算二重积分

2 ( y)
1 ( y)
f ( x, y) d x
y y 1 ( x) c x o a bx
D2 D1 D3