曲面
解析几何练习之常见曲面
常见曲面习题11.证明：如果2220a b c d ++->，那么由方程2222220x y z ax by cz d ++++++=给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。
证明：将方程配方得222222()()()x a y b z c a b c d +++++=++-，由2220a b c d ++->，得到方程表示球心是(,,)a b c ---2.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。
解：空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为2220x y z ax by cz d ++++++=，得到930,420,10a d b d c d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩球面方程为22294(1)032d dx y z x y d z d ++++---++=，其中d 任意。
过该三点的平面方程是132x yz ++=，所以所求圆的方程可以为 2226()2(9)3(4)6(1)60,23660x y z d x d y d z d x y z ⎧++-+-+-++=⎨++-=⎩ 其中d 任意。
3.证明曲线24224324,1,(,)1,1t x t t t y t t t t z t t ⎧=⎪++⎪⎪=∈-∞+∞⎨++⎪⎪=⎪++⎩在一球面上，并此球面方程。
证明：因为曲线满足2322222224242422242424()()()111()(1)11tt t x y z t t t t t t t t t t y t t t t++=++++++++=++==++++即22211()24x y z +-+=，所以曲线在一个球面上。
4.适当选取坐标系，求下列轨迹的方程（1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹； （2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹； （3）到定平面和定点等距离的点的轨迹。
几何常见曲面以及用途
几何常见曲面以及用途几何中的曲面是指由曲线移动而产生的曲面。
几何常见的曲面有球面、圆锥曲面、圆柱曲面、双曲面、抛物面、椭球面、超曲面等。
每种曲面都有其独特的几何特性和应用领域。
首先，球面是最常见的曲面之一。
球面是以一个点为中心，到该点的距离相等的所有点组成的曲面。
球面在几何学中是最重要和最基本的曲面之一。
在现实生活中，球面具有广泛的应用，比如地球就是一个近似球面，球体在地理学中被用来描述地球的形状和表面特征。
此外，球面也广泛应用于建筑设计、光学、计算机图形学等领域。
第二，圆锥曲面是由一条直线沿着固定点不断旋转所生成的曲面。
具体来说，圆锥曲面是由一条生成线和一个顶点组成的，例如圆锥体的表面就是一个圆锥曲面。
在现实中，圆锥曲面广泛应用于建筑设计、航空航天工程等领域。
比如，高速公路的交叉口通常会设计成圆锥形状，以实现车辆的平稳转弯。
第三，圆柱曲面是由一条直线沿着与其垂直的固定直线不断平移所生成的曲面。
圆柱曲面可分为无限高圆柱曲面和有限高圆柱曲面两种。
无限高圆柱曲面在几何学中是最基本的曲面之一，有许多重要的应用。
在现实中，圆柱曲面广泛应用于建筑设计、工程制图等领域。
比如，很多建筑物的柱子、水管等都可以近似看作圆柱曲面。
第四，双曲面是一类重要的曲面，它由两个嵌入空间的直线族所生成。
双曲面具有许多独特的几何特性，如双曲面上的任意两点之间的最短曲线是双曲线。
双曲面广泛应用于物理学、工程学等领域。
比如，太阳能反射器就常常采用双曲面的形状，以实现对太阳光的聚集。
第五，抛物面是由一条直线沿着固定点不断平移所生成的曲面。
抛物面在几何学中具有重要的地位，有许多重要的应用。
比如，卫星天线常常采用抛物面的形状，以实现对信号的接收和发送。
第六，椭球面是由一个椭圆沿着两个垂直于其平面的固定直线不断旋转所生成的曲面。
椭球面在几何学和物理学中都有着重要的应用。
在几何学中，椭球面是椭球的表面，广泛应用于建筑设计、航空航天工程等领域。
微分几何--第二章1曲面的概念1.2光滑曲面 曲面的切平面和法线
3、切平面的方程 设曲面上一点为 P0( u0 ,v0 )，R (X,Y,Z)为切平面上任一点， 则
( R r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) 0
或写成坐标表示式
X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) 0 zv (u0 , v0 )
（3）如果交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧。
du dv rv dt dt
(u0 ,v0 )
ru
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点有 无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数切方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的 切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
r , rv (u0 , v0 ) (u0 , v0 ) v
如果它们不平行，即 面的正常点。
ru× rv 在该点不为零，则称该点为曲
3、正规坐标网 由ru， rv 的连续性，若 ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零， 则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，
于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不 相切，构成一正规坐标网。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
公式、曲面上向量的平行移动）
7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗
氏几何）
1.2
光滑曲面、曲面的切平面和法线
一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函
什么是曲面
什么是曲面
曲面是直线或曲线在一定约束条件下的运动轨迹。
这根运动的直线或曲线，称为曲面的母线；曲面上任一位置的母线称为素线。
母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。
在约束条件中，控制母线运动的直线或曲线称为导线；控制母线运动的平面称为导平面。
当动线按照一定的规律运动时，形成的曲面称为规则曲面；当动线作不规则运动时，形成的曲面称为不规则曲面。
形成曲面的母线可以是直线，也可以是曲线。
如果曲面是由直线运动形成的则称为直线面(如圆柱面、圆锥面等)；由曲线运动形成的曲面则称为曲线面(如球面、环面等)。
直线面的连续两直素线彼此平行或相交(即它们位于同一平面上)，这种能无变形地展开成一平面的曲面，属于可展曲面。
如连续两直素线彼此交叉(即它们不位于同一平面上)的曲面，则属于不可展曲面。
曲面的表示法和平面的表示法相似，最基本的要求是应作出决定该曲面各几何元素的投影，如母线、导线、导面等。
此外，为了清楚地表达一曲面，一般需画出曲面的外形线，以确定曲面的范围。
曲面及其方程
，即
一、曲面方程的概念
整理得 这就是所求曲面上的点的坐标满足的方程，而不在该
曲面上的点的坐标不满足此方程，所以它就是所求曲面的 方程.
以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐 标间的方程来表示.反之，变量x,y和z间的方程通常表示一 个曲面.下面将以旋转曲面为例讨论问题：已知一曲面作为 点的几何轨迹时，如何建立该曲面的方程？以柱面和二次 曲面为例讨论问题：已知坐标x,y,z间的一个方程时，研究 这方程所表示的曲面的形状.
由于旋转轴为z轴，将方程(7-11)中的y改成 到圆锥面的方程
整理得 z2=a2(x2+y2),
其中a=cot α.
,便得
二、旋转曲面
事实上，以前学习过的椭圆、抛物线及双曲 线都是由圆锥面得来的.用一个平面截圆锥面，当截 面与其所有母线都相交，截线为椭圆；当截面与任 一条母线平行，截线为抛物线；当截面与轴线平行， 截线为双曲线的一支.
图 7-30
三、柱面
【例5】
试讨论方程
表示什么样的曲面？
解 方程
在平面解析几何中表示xOy
面上以原点O为中心的椭圆曲线.但在空间直角坐标系中,此
方程表示的应为一个曲面.
三、柱面
事实上，由于此方程不含竖坐标z,则对动点M(x,y,z)，无 论z取何值,只要其横坐标x和纵坐标y满足比方程,那么这些点 就在这曲面上.从而可知，过xOy面上的椭圆
求此曲线C绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面（见图7-27转曲面
设M10,y1,z1为曲线C上的任一点，于是M1的坐标必满
足f(y1,z1)=0.当曲线C绕z轴旋转时，点M1绕z轴转到另一点
M（x,y,z），此时，点M与z轴的距离等于点M1到z轴的距
曲面及其方程 1
(1)
yoz面上的双曲线
y2 z2 b2 c2 1
分别绕 y 轴和 z 轴;
绕 y轴:
y2 b2
z2 x2 c2
1
旋转双叶双曲面
绕 z 轴:
x2 y2 z2 b2 c2 1
旋转单叶双曲面
(2) yoz面上的椭圆
y2 b2
z2 c2
1
分别绕
y 轴和 z 轴;
绕 y轴:
y2 b2
z2 x2 c2
第三节 曲面及其方程-1 一、曲面方程的概念 ◆曲面的实例：水桶的表面、地球的表面等等． ◆在空间解析几何中,曲面被看成 空间点的几何轨迹． ◆曲面方程的定义：
如果曲面S与三元方程F ( x, y, z) 0有如下关系 : (1)曲面S上的点的坐标 都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标 都不满足方程,
展开 x2 y2 z2 Ax By Cz D 0; 反之, 任给 x2 y2 z2 Ax By Cz D 0 的图形 ?
( x A)2 ( y B)2 (z C )2 1 ( A2 B2 C 2 4D),
2
2
24
若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形是球面; 若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形是一个点; 若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形不存在.
例2 已知A(1,2,3), B(2,1,4),求线段AB的中垂面方程. 解 设M ( x, y, z)是中垂面上的任意一点, | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32 x 22 y 12 z 42 ,
化简,得 : 2x 6 y 2z 7 0, 又因为不在曲面上的点的坐标不满足上述方程, 所以, 上述方程即为所求的中垂面方程.
微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线网
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族. 设 A 0 ，则有 du B(u, v) 解之得
(2.14)
dv A(u, v) u (v, c)
F (u, v)
其中，c为待定常数； 每一个c对应曲面上一条曲线，所以（2.14）表示一族曲线。 特别地， 当B = 0或 A = 0 时，有 d u = 0或 d v = 0 ， 此时为坐标曲线(P60) u = c 或 v = c。 此时（2.14）表示坐标曲线的方程。
2、二阶微分方程
A(u, v)du2 2B(u, v)dudv C(u, v)dv2 0
若 [ B(u, v)]2 A(u, v)C (u, v) 0
方程表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。 设
du 2 du A 0 , 则 A( ) 2 B( ) C 0 dv dv 得 du B B 2 AC F1 (u, v)或F2 (u, v) dv A
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族.
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲 面上的曲线网。
特别有 A C 0 时, dudv 0 , 它们表示坐标曲线,从而构成曲纹坐标网(P60)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）
微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念
2、二阶微分方程
2 2 A ( u , v ) du 2 B ( u , v ) dudv C ( u , v ) dv 0
2 若 [ B ( u , v )] A ( u , v ) C ( u , v ) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
du du 2 设 A 0, 则 A ( ) 2 B ( ) dudv C 0 dv dv
y z u u y z v v z x u u z x v v
设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v)
x ( u ,v ) Y y ( u ,v ) Z z ( u ,v ) 用坐标表示为 X x y u u x y v v
若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有
{ x , y , z ( x , y )} 如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r
z z r { 1 , 0 , } { 1 , 0 , p } , r { 0 , 1 , } { 0 , 1 , q } x y x y
X x0 Y y0 Z z0 1 0 0 1 p0 q0 0
以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 r (t ) 。
( 由r t)r u
du dv r v dt dt
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
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Pro/E高级曲面建模实例
Zrong101（simwe会员pro/engineer版版主）
摘要：本文通过对两个具体实例操作的讲解，阐明Pro/E高级曲面建模的基本思路。
关键词：Pro/E 曲面 ISDX
一、前言
因本人水平有限，理论上没有什么大的建树，现就一些实际的曲面构建题目写出我自己的解法，与大家一起探讨，希望对大家有所帮助，共同进步！
版权声明：题目来自论坛，但解法均为本人原创，如有雷同纯属巧合。
二、知识准备
1.主要涉及模块：
Style（ISDX模块）、高级曲面设计模块
主要涉及概念：
活动平面、曲面相切（G1连续）、曲面曲率连续（G2连续）、Style中的自由曲线/平面曲线/cos 曲线、自由曲线端点状态（相切、法向、曲率连续等）
2.主要涉及命令：
高级曲面命令（边界曲面）、曲线命令及Style中的操作命令
三、实例操作
下面我们结合实际题目来讲述。
1.题目一：带翅膀的飞梭，完成效果见图1：
图1 飞梭最终效果图
原始架构线如图2所示：
图2 飞梭原始架构线图
首先我们门分析一下，先看效果图应该是一个关于通过其中心三个基准面的对称图形，那么从原始架构线出发，我们只要做出八分之一就可以了。
很容易想到应该在中心添加于原有曲线垂直面上边界曲线，根据实际情况，我先进入Style中做辅助线，如图3所示：
图3 Style辅助线操作图
图3中标示1处选择绘制曲线为平面曲线（此时绘制的曲线在活动平面上，活动平面为图中网格状显示平面），标示2设置曲线端点处垂直于平面，标示3处设置曲线端点曲率连续。
设置方法为，左键点击要设置的端点，出现黄色操纵杆，鼠标放于黄色操纵杆上，按住右键1秒钟以上便会出现菜单，如图4左图所示。
图4 绘制曲线操作图
设置时先选设置属性（相切、曲率连续等），再选相关联的曲面或平面（含基准平面），黄色操纵杆长短可调整，同时可打开曲率图适时注意曲率变化，如图4右图所示。
有了图4辅助线后就可以做面了，此处我用高级曲面命令（boundaries），注意线的选取顺序，第一方向选取曲线1，2，第二方向选曲线3（如不能直接利用曲线选项选取，可用链选项，另一个选项也可自己尝试一下），见图5。
图5 构面时线的选取顺序图
如选择完边界直接完成，则生成的曲面并不满足要求，因此我们必须定义边界条件，如图6左图所示。
图6 曲面边界条件定义图
边界1、2定义垂直基准平面，边界3定义与提供原曲面相切（此处定义曲率连续不能再生，原因是边界曲线1与提供原曲面结合出的端点未达到曲率连续），设定后生成的曲面才是我们想要的结构，效果如图6右图。
直接复制—镜像得到另一半，如图7左图。
图7 曲面复制—镜像图
大家以为继续复制—镜像就完成了，不忙，我们用曲面分析看看我们的曲面状况，如图7右图（图7中图红圈处高斯分析放大图），发现有明显收敛，曲面质量不好，常用的办法就是把收敛处切掉（如图8左图）再补一块（如图8中图，注意边界条件的设置），高斯分析（如图9右图）可知，已无收敛，满足要求。
图8 曲面修补图
对如图8图边界设置不清楚的朋友，请看图9。
图9 曲面修补边界设置图
图标1，选择状态，图标2选取活动平面，图标3绘制/修改曲线，图标4绘制投影曲线，图标5生成4边面（只能用4条封闭边界曲线，且各边界曲线不能相切），图标6修改曲面边界属性（即定义边界相切、曲率连续等），具体操作请大家动手实践。
做到这步，实质性工作已经完成，下面的工作就是合并曲面，复制生成新的整体曲面后，再复制镜像直至最后合并，相信大家都能轻松完成，不再赘述!完成图如图10，并附上目录树。
图10 最终完成（目录树）图
再看一下分析图11。
图11 曲面质量分析图
图11中红圈处，有一些扭曲，如要精益求精，可在进行调整，有兴趣可以自己捉摸。
题目一相对来说比较简单，主要是想让初步接触ISDX的朋友有个概念性的东西，知道怎样操作，也符合由浅入深，循序渐进的学习原则，先培养大家的兴趣，树立大家的信心，下面我们再来看一个稍微复杂一点的题目。
2.题目二：变形车座，同样我们先来看一下最终的效果图，
图12 车座最终效果图
原始架构线如图13。
图13 车座原始架构线图
我们先分析一下架构线，很显然两端比较难处理，怎样拆面会得到比较好的效果呢！个人因刚接触曲面时，对边界曲面（boundaries）命令比较偏好，所以向上题的方法靠拢，尽管让两端成为三边曲面（因为用boundaries）可以解决。
如图14左图所示，进入Style中做出如下两条辅助曲线，个人感觉应取曲线3曲率变化最大处（相对而言）的点比较合适（别处因时间问题不做尝试，有兴趣的可自己练习一下），根据最后的效果可能要进行反复修改，见图14左图。
图14 Style辅助线图
下面当然是用boundaries命令生成两端的曲面，选择顺序如图14右图，另一端用同样的顺序（很多朋友可能会问选不到图示的曲线，你可以用链选项试试）。
为什么这样选择？从题目一我们可以看出，此法作出的曲面是有收敛区域的，图示顺序是将收敛处至于两端，图中端部紫色圈。
完成如图15左图。
图15 车座曲面造型图
下面的工作比较容易了，可以再用boundaries命令作出中间的面，同样别忘了设置边界条件或者进入Style补上中间的面也可以，如果两端的收敛不接受，就如题目一的办法切掉后再补上了。
过程不再罗索，完成后，高亮曲线分析如图15右图所示。
上面的操作提道boundaries命令选择曲面的顺序，我们改变一下选择顺序看看效果，如图16左图顺序选择曲线，做两端曲面如图16右图，收敛在黄圈处。
图16 boundaries曲面构建图
然后可以将两收敛处切掉，再用boundaries命令或在Style中不全中间部分。
要对曲线作些处理，这在刚开始就要计划好，这里不过多说调整线条的过程，给出最后效果参考。
图17 车座最终完成图
四、小结
今日写教程自觉收获颇多，感觉题目二还可以先用变截面扫描（好像扫描就可以了）做两端，有兴趣可以练练，这里不再讨论。
上面两个题目都比较简单，主要起个抛砖引玉的作用，把基本操作和一点基本思路与大家共享。
不当之处，敬请大家指出，欢迎交流！。