湖南省湘南教研联盟2019-2020学年高二上学期第一次联考数学试题
湖南省湘南教研联盟2019-2020学年高二上学期第一次联考物理试题及答案解析
湖南省湘南教研联盟2019~2020学年高二上学期第一次联考物理试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）一、单选题1．关于点电荷的说法，正确的是（）A．只有体积很小的带电体，才能作为点电荷B．点电荷一定是电量很小的电荷C．体积很大的带电体一定不能看作点电荷D．带电体能否看成点电荷，是看它的形状和大小对相互作用力的影响是否能忽略不计2．关于静电场，下列说法正确的是（）A．电势等于零的物体一定不带电B．电场强度为零的点，电势一定为零C．同一电场线上的各点，电势一定相等D．负电荷沿电场线方向移动时，电势能一定增加3．如图所示，匀强电场中的点A、B、C、D、E、F、G、H为立方体的8个顶点，已知A、B、C、F点的电势分别为-1 V、1 V、2 V、3 V，则H点的电势为（）A．-1 VB．1VC．2VD．3V4．如图所示，实线是匀强电场的电场线，带电粒子q1、q2分别从A、C两点以初速度v垂直射入电场，其运动轨迹分别是图中的ABC、CDA．已知q1带正电，不计粒子的重力和其它阻力．则下列说法中正确的是（）A．q2带负电C．电场力对q1做正功，对q2做负功D．q1的电势能增加、q2的电势能减小5．如图所示的电解槽中，如果在4s内各有4C的正、负电荷通过面积为0.08m2的横截面AB，那么（）A．正离子向左移动，负离子向右移动B．由于正负离子移动方向相反，所以电解槽中无电流C．4s内通过横截面AB的电荷量为4CD．电解槽中的电流为2A6．用两只完全相同的灵敏电流表分别改装成一只电流表和一只电压表。
将它们串联起来接入电路中，如图所示，此时（）A．两只电表的指针偏转角相同B．两只电表的指针都不偏转C．电流表指针的偏转角小于电压表指针的偏转角D．电流表指针的偏转角大于电压表指针的偏转角7．如图所示，平行板电容器上极板带正电荷，且与静电计相连，静电计金属外壳和电容器下极板都接地，在两极板间有一个固定在P 点的正点电荷，以E表示两极板间电场的电场强度，E p表示点电荷在P 点的电势能，θ表示静电计指针的偏角，若保持上极板不动，将下极板向上移动一小段距离至图中虚线位置，则（）A．θ增大，E增大，E p增大B．θ增大，E 增大，E p减小C．θ减小，E不变，E p增大D．θ减小，E不变，E p减小8．如图所示，A、B 为平行金属板，两板相距为d，分别与电源两极相连，两板的中央各有一小孔M 和N.今有一带电质点，自A 板上方相距为d的P 点由静止自由下落(P、M、N在同一竖直线上)，空气阻力忽略不计，到达N孔时速度恰好为零，然后沿原路返回.若保持两极板间的电压不变，则下列说法错误的是（）B．把A板向下平移一小段距离，质点自P点自由下落后将穿过N孔继续下落C．把B板向上平移一小段距离，质点自P 点自由下落后仍能返回D．把B板向下平移一小段距离，质点自P点自由下落后将穿过N孔继续下落9．如图（a）所示，两个平行金属板P、Q竖直放置，两板间加上如图（b）表示的电压．t=0时，Q板比P板电势高5V，此时在两板的正中央M点有一个电子，速度为零，电子在电场力作用下运动．使得电子的位置和速度随时间变化．假设电子始终未与两板相碰，在0＜t＜8×10-10s的时间内，这个电子处于M点的右侧，速度方向向左且大小逐渐减小的时间是（）A．6×10-10s＜t＜8×10-10sB．4×10-10s＜t＜6×10-10sC．2×10-10s＜t＜4×10-10sD．0＜t＜2×10-10s二、多选题10．下列物理量中，哪些与检验电荷无关（）A．电场强度E B．电势φC．电势能E P D．电势差U 11．如图所示，有一带正电的验电器，当一金属球M 靠近验电器的小球N（不接触）时，验电器的金箔张角减小，则（）A．金属球可能不带电B．金属球可能带负电C．金属球可能带正电D．金属球一定带负电12．如图在x轴的-3a和3a两处分别固定两个电荷Q A、Q B，图中曲线是两电荷之间的电势φ与位置x之间的关系图象，图中x = a处为图线的最低点。
2019-2020学年湖南省名校联盟高二12月联考数学试题答案
高二数学参考答案解析及给分细则一、选择题（本题共12小题,每小题5分,共60分）1-5：ABBAC 6-10:DDBCA 11-12:AD1、解析：由B {x x 0}，得A B {x x 0}故选A2、解析：由f [f (2)]f (3)log 2(9a )1a 7.故选B3、解析：f (x )3ax 22，又(1)tan4f ，故3a -2=1,得a =1.故选B4、解析：安全区域为图中阴影部分，其面积22214S故概率4144P，故选A5、解析：由57925a a a 有19959()9452a a S a 。
故选C6、解析：122sin()sin(2)22C y xy x横坐标缩短为原来的曲线化为8右移个单位sin 2()sin(2)824y xx1C 即为曲线,故选D7、 解析：建系如图，设拱桥所在抛物线为2(0)xay a点A （2,-2）在抛物线上，得a = -2抛物线方程为22x y当水面宽为h m,由点)h 在抛物线上，得52h ，故水面下降了12m 。
故选 D8、解析：由题意，222()A x a y b 圆为,与渐近线b y x a 交于M 、N 两点， 0090,AM AN MAN 由知故圆心A 到渐近线距离为2b2222222a b e c b a即，故选 B9、解析：如图，四边形PACB 的面积为22PACS SPA故当PA 最小时，S 有最小值 记圆心到直线距离22,22dPC则226PA CA 又2623S,故选C10、解析：4142224444x x y x yyxyxy由23414m m m 知，故选A 11、解析：如图，过点M 作MH ⊥l 于H ， 由题意3PF MF224333MH PM MHp KFPF12323MMMp MHx x y 由定义1232322MFKS，故选A12、解析：如图，当0x时，()1f x x 与()g x 有1个交点，故0x 时()log a f x x 与()g x 有且仅有5个交点，必有1a 且(5)157(7)1f a f ，故选D二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分） 13、e14、636415、916、2（a -m ）答案解析：13、解析：'''''()2(1)1(1)2(1)(1)xf x f e x f f e f e 由令有 14、解析：法一：可求得1236623*********,,,,12222264a a a a S 法二：记211232222n n n nT a a a a 则22112311222(2)2n n n n T a a a a n两式相减得1112(2)22n nnn a a n由112a 也适合上式，有12n n a ，故661631264S15、解析：几何体的直观图是正四棱锥（如图所示），且高CA 和底面边长为2，在Rt △OAB 中， 由22(2)2R R 有32R， 故249SR16、解析：由已知,如图光线从出发,若先经过双曲线上一点反射,则反射光线相当于光线从设出经过点再到达椭圆上一点反射回到;同理,若先出发经过椭圆上一点反射,则光线沿着直线方向到达双曲线上一点反射后回到,则可知,光线从出发,无论经由那条路线,经过两次反射后必然返回,则讨论光线反射两次后返回的过程,如图,,所以光线经过2次反射后回到左焦点所经过的路径长为2（a-m ）三、解答题 17、解：（1）2000:,10q x R mx mx(或写为：2,10)x R mx mx ……………………4分（2）由p 有：(m +2)(m -1)>0m <-2或m >1 ……………………5分由q 有：若m =0,化为1>0成立 …………………6分若m ≠0,则有040mm ………………………7分∴[0,4)m ……………………………………………8分∵“p q ”为假命题，“q ”为假命题 ∴p 假q 真……………9分∴[2,1][0,4)[0,1]m ………………………………………10分18、解：（1）由正弦定理有：2222ac ac b …………2分由余弦定理 cos B =222222a cb ac……………………4分又(0,)B4B……………………5分（2）由（1）11tan 22a B a……………………6分又22428111(3)()(7)a a a a d a d a d1102a d d dd a …………………………7分 ∴2na n……………………………8分14411122(1)(1)1n n a a n n n n n n 从而………………10分1111111(1)()()()223341n S n n1111nn n …………………………12分19、解：（1）各小组的频率依次为0.1, 0.2, 0.25, 200a , 0.1, 0.05由0.1+0.2+0.25+200a +0.1+0.05=1有a =0.0015…………………………………………………3分 （2）平均金额3000.15000.27000.25900(2000.0015)11000.113000.05x750()元…………………………………………………7分（3）选择方案一：优惠力度为750×（1-80％）=150元………9分 选择方案二：优惠力度为300.1500.21400.251600.32800.13200.05140（元） ……11分故，方案一的优惠力度更大. ……………………12分 20、（1）证明：取AC 的中点O ，连接OS,OB, ∵SA=SC,AB=BC∴AC ⊥SO 且AC ⊥BO. ∴AC ⊥面SBO又SB 面SBO∴AC ⊥SB ………………5分(2)解：由面SAC ⊥面ABC,SO ⊥AC 可得SO ⊥面ABC ………6分故以O 为坐标原点，分别以OA,OB,OS 所在直线为x 轴，y轴，z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 则A(2,0，0),B(O,23,0),C(-2,0,0),S(0,0,2) ∴,1)∴(3,3,0),(2,3,1)CE CF设(,,)n x y z 为平面EFC 的一个法向量由3300230n CE x y n CF xy z1,3, 1.(1,3,1)x yz n 取则……………………9分又(0,0,2)OS为面ABC 的一个法向量由5cos ,552n OS如图知二面角B-CE-F 的余弦值为5………………………………12分 21、解：（1）由图可知函数2()(1)4f x a x 的图象过点F （-3,0）(3)4401f aa ……………………………3分（2）由（1）知2()(1)4f x x当x =0时，f (0)=3 ∴OC=3,又在Rt △OCD 中，6COD3DOE……………………………………………6分（3）由（2）可知2223OD OC CD 易知矩形草坪面积最大时，Q 在OD 上.如图：(0)3POE23sin23cosQMPN ON32sin3OMQM 又23cos 2sinMN ON OM……………………………8分∴矩形草坪的面积为：223sin (23cos 2sin )12sin cos 43sin 6sin 223cos 223S QM MN43sin(2)236……………………………10分又5023666故，当262即6时，有max23S综上所述，当6时，矩形草坪面积最大………………………12分22、解：（1）由题意知12(2,0),F F2c又离心率22cea 2,2ab 故椭圆C 的方程为22142x y ……………………………………2分（2）证明：设P(x 0,y 0)，则22002x y 由此20001221222y K K x x x（定值）…………………………5分 （3）由（2）知121K K设直线AB 的方程为(2)yk x，则直线CD 方程为1(2)yx k联立22(2)142y k xx y 消去y ，得：2222(12)42440k x k x k记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则221212224244,1212k k x x x x kk ………………………………7分∴222121224(1)1()412k ABk x x x x k同理224(1)2k CD k ………………………………………9分 ∴222222111223334(1)4(1)4(1)4k k k AB CD k k k 由题意：123232cos 44ABCDAB CD AB CD F PF 故121132cos()42323232AB CD F PF AB CD AB CD∴o 1245F PF……………………………………12分。
2019-2020学年湖南省郴州市湘南中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省郴州市湘南中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 【答案】A 【解析】，选A.2．已知数列[}n a 的前n 项和2n S n =，则n a 等于( )A ．nB ．2nC ．21n +D ．21n -【答案】D【解析】由题意得11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，即可得数列{}n a 的通项公式.【详解】当1n =时，21111a S ===，当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，得()22121n a n n n =--=-， 验证当1n =时，12111a =⨯-=满足上式. 故数列{}n a 的通项公式21n a n =-. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的求和公式和通项公式的关系，属于基础题. 3．在数列{}n a 中，111,1n n a a a +==+，则2012a 等于( ) A ．2 013 B ．2 012 C ．2 011 D ．2 010【答案】B【解析】根据等差数列的定义推知数列{}n a 的首项是1，公差是1的等差数列，即可得到通项公式并解答．由11n n a a +=+，得11n n a a +-=，又11a =，∴数列{}n a 是首项11a =，公差1d =的等差数列， ∴等差数列{}n a 的通项公式()111n a n n =+-⋅=，故20122012a =. 故选：B. 【点睛】本题考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式的应用，属于基础题. 4．如果a ＜b ＜0，那么( )． A ．a －b ＞0 B ．ac ＜bc C ．＞D ．a 2＜b 2【答案】C【解析】试题分析：根据题意，由于a ＜b ＜0，则a －b<0 故错误，对于c=0时则不等式ac ＜bc 不成立，对于＞符合倒数性质可知，成立，对于a 2＜b 2，a=-3,b=-2不成立，故答案为C. 【考点】不等式的性质点评：主要是考查了不等式的性质的运用，属于基础题。
湘南新版2019-2020高二数学10月联考试题 文
湖南省湘南三校联盟2018-2019学年高二数学10月联考试题 文第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是 ( )A ．不存在x 0∈R,2x 0>0B ．存在x 0∈R,2x 0>0C ．对任意的x ∈R, 2x ≤0 D．对任意的x ∈R,2x >0 2.已知110a b<<，则下列结论错误的是 ( )A.22a b <B.2ab b >C.2b aa b+> D.2lg lg a ab < 3.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（ ） A ．12-B ．2-C ．1或12-D ．1-或124．设a ，b ∈R ，则“（a ﹣b ）a 2＜0”是“a ＜b ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( )A.116B.103C.56D.537．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c =2a ，则cos B =（ ） A ．B ．C ．D ．8.如图，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD ＝100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( ) A ．米 B ．米 C ．米 D ． 100米 9．已知a ＞0，b ＞0，a +b =2，则的最小值是（ ） A ．B ．4C ．D ．510.已知实数，满足，则的最大值与最小值之和为 （ ） A ．B ．C ．D ．111. 已知数列{}n a ，若112,21n n a a a n +=+=-，则2017a =（ ）A ．2019C ．2017D ． 201612.数列{}n a 是等差数列，若，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n 值等于( ）A ．11B ．17C ．19D ．21第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、在ABC △中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 成等差数列，且边a ，b ，c 成等比数列，则ABC △的形状为________．14．在等比数列{a n }中，若a 3，a 15是方程x 2﹣6x+8=0的根，则= ．15设(5)(2)1,1x x x y x ++>-=+则函数的最小值是______16、如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=． （1）求n a ；（2）若n n b n a =+，求数列{}n b 的前5项的和5S ．18．（本小题满分12分）在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，已知3c =，3C π=，sin 2sin B A =．（1）求a ，b 的值；（2）求ABC △的面积．19．（本小题满分12分）命题p ：关于x 的方程x 2+ax +2=0无实根，命题q ：函数f （x ）=log a x 在（0， +∞）上单调递增，若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”真命题，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分12分）数列}{n a 满足11=a ，111122n na a +=+（*N n ∈）。
湖南省湖湘教育三新探索协作体2019-2020学年高二上学期12月联考数学试题
绝密★启用前湖南省湖湘教育三新探索协作体2019-2020学年高二上学期12月联考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}1A x x =≤，{}21xB x =<，则（ ） A ．{}0A B x x ⋂=< B ．A B R =C ．{}1A B x x ⋃=>D ．{}1A B x x ⋂=≤2．已知函数()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()21f f =⎡⎤⎣⎦，则a =（ ） A ．2- B ．7-C ．1D ．53．已知曲线()321f x ax x =-+在1x =处的切线的倾斜角为4π，则a =（ ） A ．23B ．1C ．32D ．34．一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（ ） A ．14π-B ．4π C ．16π-D ．6π 5．在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，且7925a a =+，则9S 的值为（ ） A ．9B ．36C ．45D ．54…………订…订※※线※※内※※…………订…6．已知曲线1:sin24C y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，2:cosC y x=，若想要由2C得到1C，下列说法正确的是（）A．把曲线2C上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移8π个单位B．把曲线2C上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位C．把曲线2C上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平移4π个单位D．把曲线2C上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移8π个单位7．如图是抛物线拱形桥，当水面在l时，拱顶高于水面2m，水面宽为4m，当水面宽为时，水位下降了（）mA B．2C．1D．128．已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，若0AM AN⋅=uuu r uuu r，则C的离心率为（）A．2B C D9．已知圆()22:22C x y-+=，点P在直线20x y++=上运动，过点P向圆C作切线，切点分别为A、B，则四边形PACB面积的最小值为（）A B．C．D．410．若两个正实数x、y满足411x y+=，对这样的x、y，不等式234xy m m+>-恒成立，则实数m的取值范围是（）A．()1,4-B．()4,1-……○………学校:________……○………11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是l 上一点，连接PF 交抛物线于点M ，若3PF MF =，则MFK ∆的面积为（ ） A B C D ．12．已知函数()()()10log 0a x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()g x 是偶函数，且()()2g x g x +=，当[]0,1x ∈时，()21x g x =-，若函数()()y f x g x =-恰好有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．()5,+∞ B ．()5,6C ．()4,6D ．()5,7第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知函数()()21xf x xf e '=-，则()1f '=______．14．已知数列{}n a 满足()21*1232222n n na a a a n N -+++⋅⋅⋅+=∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则6S =______．15．一个几何体的三视图如图，网格中每个正方形的边长为1，若这个几何体的顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为______．16．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1x y C m n-=（0m >，0n >）有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出………外…………线…………………内…………线…………发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过()*2k k N ∈次反射后，首次回到左焦点所经过的路径长为______．三、解答题17．已知命题:p 方程22121x ym m -=+-表示双曲线，命题:q x R ∀∈，210mx mx ++>．（1）写出命题q 的否定“q ⌝”；（2）若命题“p q ∧”为假命题，“q ⌝”为假命题，求实数m 的取值范围．18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin sin sin a A c C C b B +=．（1）求B ；（2）若等差数列{}n a 的公差不为0，且1tan 2a B =，2a 、4a 、8a 成等比数列，求数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ． 19．双十一购物狂欢节，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，目前已成为中国电子商务行业的年度盛事，某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物情况，从这一天交易成功的所有订单里随机抽取了100份，按购物金额（单位：元）进行统计，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表计算）．（1）求a 的值；（2）试估计购物金额的平均数；○…………外…………○………_________班级：_____○…………内…………○………（3）若该商家制订了两种不同的促销方案： 方案一：全场商品打八折； 方案二：全场商品优惠如下表：如果你是购物者，你认为哪种方案优惠力度更大？20．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是正三角形，面SAC ⊥面ABC ，4AB =，SA SC ==E 、F 分别是AB 、SB 的中点．（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角B CE F --的余弦值．21．如图，要在河岸EF 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示坐标系，其中E ，F 在x 轴上，且()3,0F -，道路的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段为二次函数()()214f x a x =++在[]3,0x ∈-时的图像，最高点为B ，道路中间部分为直线段CD ，//CD EF ，且CD =O 为圆心的一段圆弧DE ．………订…………※线※※内※※答※※题※………订…………（1）求a 的值； （2）求DOE ∠的大小；（3）若要在扇形区域ODE 内建一个“矩形草坪”MNPQ ，P 在圆弧DE 上运动，M 、N 在OE 上，记POE α∠=，则当α为何值时，“矩形草坪”面积最大．22．如图，椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的左右焦点1F 、2F 恰好是等轴双曲线22:2E x y -=的左右顶点，且椭圆的离心率为2，P 是双曲线E 上异于顶点的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别记为A 、B 和C 、D ．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1K 、2K ，求证：12K K ⋅为定值； （3）若存在点P 满足324AB CD AB CD +=⋅，试求12F PF ∠的大小．参考答案1．A 【解析】 【分析】求出集合B ，然后利用交集和并集的定义判断各选项中集合运算的正误. 【详解】解不等式0212x <=，得0x <，{}0B x x ∴=<， 所以{}0A B x x ⋂=<，{}1A B x x ⋃=≤. 故选：A. 【点睛】本题考查集合交集和并集的计算，同时也考查了指数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】先计算出()23f =-，然后得出()()231f f f =-=⎡⎤⎣⎦，即可求出实数a 的值. 【详解】()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，()21233f -∴=-=-，则()()()223log 91f f f a =-=+=⎡⎤⎣⎦，得92a +=，解得7a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数值的计算以及对数方程的求解，解题时要结合自变量的取值选择合适的解析式计算，考查计算能力，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】由题意得出()1tan14f π'==，利用导数运算可求出实数a 的值.【详解】()321f x ax x =-+，()232f x ax '∴=-，又()1t a n 14f π'==，故321a -=，得1a =． 故选：B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，涉及了直线的倾斜角与斜率，考查计算能力，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】作出正方形，并作出安全区域，将安全区域的面积与正方形的面积相除可得出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，由于小虫到每个顶点的距离不小于1为安全区域，则安全区域为以正方形每个顶点为圆心半径为1的扇形弧以及扇形以外的部分，为图中阴影部分，其面积22214S ππ=⨯-⨯=-，故概率4144P ππ-==-. 故选：A.【点睛】本题为平面区域型几何概率问题，确定事件所围成的区域是解题的关键，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题. 5．C 【解析】 【分析】由等差中项的性质得出7592a a a =+，可得出5a 的值，然后利用等差数列的求和公式以及等差中项的性质可计算出9S 的值. 【详解】759925a a a a =+=+，55a ∴=，因此，()199599452a a S a +===. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列求和，充分利用等差中项的性质计算可将问题简化，考查计算能力，属于中等题. 6．D 【解析】 【分析】将曲线2C 的解析式化为sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后利用三角函数图象变换规律可得出结论.【详解】曲线2C 化为sin 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）， 可得到函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得函数图象上每点向右平移8π个单位，可得到函数sin 2sin 2824y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，即曲线1C . 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，在变换时要保证两个函数名称要一致，结合三角函数图象变换原则来解决问题，考查推理能力，属于中等题. 7．D 【解析】 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，并设拱桥所在抛物线为()20x ay a =<，根据题意得出点()2,2A -在抛物线上，可求出a 的值，并设拱顶高于水面m h ，可知点)h -在抛物线上，代入抛物线方程可解出h 的值，由此可得出水面下降的高度.【详解】建系如图，设拱桥所在抛物线为()20x ay a =<，点()2,2A -在抛物线上，得2a =-，抛物线方程为22x y =-，当水面宽为m h ，由点)h -在抛物线上，得52h =， 故水面下降了12m . 故选：D.【点睛】本题考查抛物线方程的应用，建立平面直角坐标，将问题转化为抛物线方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 8．B 【解析】 【分析】由题意得知AMN ∆为等腰直角三角形，可得出点A 到渐近线的距离为2，再利用点到2=，从而可求出双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的焦距为()20c c >，离心率为c e a=， 由题意，圆A 为()222x a y b -+=，与渐近线by x a=交于M 、N 两点，由0AM AN ⋅=uuu r uuu r知90MAN ∠=o ，故圆心A 到渐近线距离为2，2bac==，即2be=，解得e=故选：B【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，分析三角形的几何性质是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9．C【解析】【分析】由题意得出四边形PACB的面积为2PACS S PA∆==，由勾股定理知，当PC取最小值时，切线长PA取最小值，利用圆心到直线l的距离作为PC的最小值，并利用勾股定理求出PA的最小值，从而可得出四边形PACB的面积S的最小值.【详解】如图，四边形PACB的面积为2PACS S PA∆==，故当PA最小时，S有最小值，记圆心到直线距离d=PC≥PA=≥S∴≥=故选：C.【点睛】本题考查与圆的切线相关的四边形面积的计算，涉及切线长的计算，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题. 10．A 【解析】 【分析】 将代数式41x y +与4x y +相乘，展开后利用基本不等式求出4xy +的最小值为4，由题意得出234m m -<，解此不等式即可. 【详解】 由基本不等式得4142224444x x y x y y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4x y =时，等号成立，则4xy +的最小值为4. 由题意可得234m m -<，即2340m m --<，解得14-<<m . 因此，实数m 的取值范围是()1,4-. 故选：A 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，考查了基本不等式中“1”的妙用，同时也涉及了一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 11．A 【解析】 【分析】由3PF MF =可计算出点M 的坐标，再利用三角形的面积公式可计算出MFK ∆的面积.【详解】如下图，设点M 的坐标为()00,x y ，抛物线C 的准线方程为1x =-，可设点()1,P p -， 抛物线C 的焦点为()1,0F ，且抛物线的准线与x 轴交于点()1,0K -，3PF MF =，即()()002,31,p x y -=--，()0312x ∴-=，解得013x =，200443y x ==，03y ∴=，因此，MFK ∆的面积为12233MFK S =⨯⨯=△. 故选：A.【点睛】本题考查抛物线中三角形面积计算，同时也考查了利用向量共线求点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 12．D 【解析】 【分析】作出函数()y g x =与函数()y f x =的图象，可知两函数在区间(),0-∞上有且只有一个交点，则两函数在[)0,+∞上有5个交点，结合图象得出()()5171f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】如下图所示，当0x <时，函数()1f x x =+与()y g x =有1个交点， 故0x >时()log a f x x =与()y g x =有且仅有5个交点，必有1a >且()()51log 515771log 71a a f a f ⎧<<⎧⎪⇒⇒<<⎨⎨>>⎪⎩⎩. 因此，实数a 的取值范围是()5,7. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两函数的交点个数，结合图象找出一些关键点列不等式组求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 13．e 【解析】 【分析】对函数()y f x =求导，然后令1x =，可解出()1f '的值. 【详解】由()()21xf x f e ''=- 令1x =有()()()1211f f e f e '''=-⇒=.故答案为：e 【点睛】本题考查导数的计算，考查计算能力，属于基础题. 14．6364【解析】 【分析】记211232222n n n n T a a a a -=+++⋅⋅⋅+=，利用111,12,2n n n n T n a T T n --=⎧=⎨-≥⎩求出12n na =，然后利用等比数列的求和公式可求出6S 的值.记211232222n n n n T a a a a -=+++⋅⋅⋅+=， 则()221123112222n n n n T a a a a a n ----=+++⋅⋅⋅+=≥两式相减得()1112222n n n n a a n -=⇒=≥，由112a =也适合上式，有12n n a =，故661631264S =-=. 故答案为：6364. 【点睛】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于中等题. 15．9π 【解析】 【分析】作出正四棱锥的实物图，找出球心的位置，并设其外接球的半径为R ，根据勾股定理列关于R 的等式，求出R 的值，再利用球体的表面积公式可计算出该几何体外接球的表面积. 【详解】几何体的直观图是正四棱锥（如图所示），且高CA 和底面边长为2，设该正四棱锥的外接球球心为O ，则球心O 在AC 上（A 为底面正方形的中心，C 正四棱锥的顶点），在Rt OAB ∆中，2OA CA OC R =-=-，由勾股定理得222OA AB OB +=，即()222R R -=，解得32R =，故四棱锥外接球的表面积为249S R ππ==. 故答案为：9π.【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了利用三视图还原几何体，以及正四棱锥的外接球，找出球心的位置，并利用几何特征建立等式是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，16．()2a m - 【解析】 【分析】根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点，从而可计算光线经过()2k k N *∈次反射后首次回到左焦点所经过的路径长.【详解】由已知，如图光线从1F 出发，若先经过双曲线上一点B 反射，则反射光线相当于光线从2F 设出经过点B 再到达椭圆上一点A 反射回到1F ；同理，若先出发经过椭圆上一点A 反射，则光线沿着直线2AF 方向到达双曲线上一点B 反射后回到1F ，则可知，光线从1F 出发，无论经由那条路线，经过两次反射后必然返回1F ，则讨论光线反射两次后返回1F 的过程如图，212AF m AF =+，()11211122222BF BA AF a AF AF a m AF AF a m ++=-+=-++=-所以光线经过2次反射后回到左焦点所经过的路径长为()2a m - 故答案为：()2a m -【点睛】本题考查以新定义为素材，考查椭圆、双曲线的定义，考查光线的反射问题，理解定义是解题的关键，考查推理能力，属于难题. 17．（1）见解析；（2）[]0,1. 【解析】 【分析】（1）根据全称命题的否定可得出命题q ⌝；（2）先求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，并求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，由题意可知命题p 为假命题，命题q 为真命题，由此可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题意可知0:q x R ⌝∃∈，20010mx mx ++≤，（或写为：x R ∃∈，210mx mx ++≤）； （2）若命题p 为真命题，由()()2102m m m +->⇒<-或1m >. 若命题q 为真命题，则x R ∀∈，210mx mx ++>. 若0m =，化为10>成立.若0m ≠，则有20440m m m m >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩，[)0,4m ∴∈. “p q ∧”为假命题，“q ⌝”为假命题 p ∴假q 真，[][)[]2,10,40,1m ∴∈-=.因此，实数m 的取值范围是[]0,1. 【点睛】本题考查全称命题否定的改写，同时也考查了利用复合命题的真假求参数，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 18．（1）4B π=；（2）1nn + 【解析】 【分析】（1）利用边角互化思想结合余弦定理求出cos B 的值，再由()0,B π∈，可得出角B 的值； （2）设等差数列的公差为d ，则0d ≠，求出11a =，由题意列出关于d 的方程，求出d 的值，利用等差数列{}n a 的通项公式，然后利用裂项求和法可求出数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ．【详解】（1）由正弦定理有：222a c b +-=，由余弦定理222cos 22a cb B ac +-==，又()0,B π∈ ，4B π∴=；（2）设等差数列的公差为d ，则0d ≠，由（1）11tan 22a B a =⇒=，又()()()2242811137a a a a d a d a d =⇒+=++21a d d ⇒=，0d ≠，12d a ∴==，2n a n ∴=，从而()()14411122111n n a a n n n n n n +===-⋅+++. 11111111223341n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了裂项求和法，涉及正弦定理边角互化思想的应用以及等差数列中基本量的计算，考查计算能力，属于中等题. 19．（1）0.0015a =；（2）750元；（3）方案一的优惠力度更大. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可计算出a 的值；（2）将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，相加即可得出购物金额的平均数； （3）计算出两种方案的优惠金额，从而得出方案一的优惠力度更大. 【详解】（1）各小组的频率依次为0.1、0.2、0.25、200a 、0.1、0.05. 由0.10.20.252000.10.051a +++++=，有0.0015a =； （2）购物金额的平均数为()3000.15000.27000.259002000.001511000.113000.05750x =⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=（元）；（3）选择方案一：优惠力度为()750180%150⨯-=元 选择方案二：优惠力度为300.1500.21400.251600.32800.13200.05140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.故方案一的优惠力度更大． 【点睛】本题考查频率分布直方图中矩形高的计算，同时也考查了频率直方图中平均数的计算以及方案的选择，考查数据处理的能力，属于中等题.20．（1）见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OB ，由等腰三角形三线合一的性质得出AC SO ⊥且AC BO ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AC ⊥面SBO ，从而得出AC SB ⊥； （2）利用面面垂直的性质定理证明出SO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算出二面角B CE F --的余弦值．【详解】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OB ，SA SC =，AB BC =，AC SO ∴⊥且AC BO ⊥．又SO CO O =，AC ∴⊥面SBO ，又SB ⊂面SBO ，AC SB ∴⊥；（2）由面SAC ⊥面ABC ，平面SAC 平面ABC AC =，SO AC ⊥，SO ⊂平面SAC ，可得SO ⊥面ABC .故以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系：则()2,0,0A，()0,B ，()2,0,0C -，()0,0,2S(),0E ∴，()F.()CE ∴=，()CF =，设(),,n x y z =为平面EFC 的一个法向量由300020x n CE n CF x z ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎩⎩，取1x =，则y =1z =． ()1,3,1n ∴=-. 又()0,0,2OS =为面ABC的一个法向量，由cos ,n OS ==如图知二面角B CE F --.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题. 21．（1）1a =-；（2）3DOE π∠=；（3）当6πα=时，矩形草坪面积最大.【解析】 【分析】（1）将点F 的坐标代入函数()y f x =的解析式，可得出实数a 的值；（2）在函数()y f x =的解析式中令0x =，可求出点C 的坐标，由此得出OC ，可求出tan COD ∠，计算出COD ∠，由此可得出DOE ∠；（3）可得出QM PN α==，2sin MN αα=-，从而得出“矩形草坪”的面积S 关于α的表达式，利用三角恒等变换思想将S 关于α的表达式化简为26S πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭α的范围，可计算出S 的最大值以及对应的α值.【详解】（1）由图可知函数()()214f x a x =++的图象过点()3,0F -，()34401f a a ∴-=+=⇒=-；（2）由（1）知()()214f x x =-++，当0x =时，()03f =，3OC ∴=，又CD =Rt OCD ∆中，6COD π∠=，3DOE π∴∠=；（3）由（2）可知OD = 易知矩形草坪面积最大时，Q 在OD 上．如图：03POE παα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，QM PN α∴==，ON α=，又2sin OM α==，2sin MN ON OM αα∴=-=- ∴矩形草坪的面积为：()2sin S QM MN ααα=⋅=-212sin cos 6sin 2226παααααα⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭ 又5023666ππππαα<<⇒<+<，故当262ππα+= 即6πα=时，有max S =综上所述，当6πα=时，矩形草坪面积最大．【点睛】 本题考查二次函数模型以及三角函数模型的应用，涉及锐角三角函数定义以及三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.22．（1）22142x y +=；（2）定值为1，见解析；（3）1245F PF ∠=. 【解析】【分析】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由题意得出c =a ，进而求出b 的值，由此可得出椭圆Γ的方程；（2）设点()00,P x y ，可得出22002x y -=，再结合斜率公式可计算出12K K ⋅的值； （3）设直线AB的方程为(y k x =，可得出直线CD的方程为(1y x k =，将直线AB 的方程与椭圆Γ的方程联立，利用韦达定理和弦长公式计算出AB ，同理得出CD ，利用平面向量数量积的定义得出1211cos F PF AB CD ⎛⎫⎪∠=+⎪⎭，计算出12cos F PF ∠，即可得出12FPF ∠的大小.【详解】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由题意知()1F ，)2F ，c ∴=又离心率2c e a ==，2a ∴=，故b =Γ的方程为22142x y +=； （2）设()00,P x y ，则22002x y -=，可得22002y x =-，由此20122012y K K x ===-（定值）； （3）由（2）知121K K =，设直线AB的方程为(y k x =+，则直线CD方程为(1y x k=，联立(22142y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩消去y ，得：()222212440k x x k +++-=， 记()11,A x y ，()22,B x y，则212212x x k-+=+，21224412k x x k -=+，()2241112k AB k +∴=+=+，同理()22412k CD k +=+， ()()()222222*********414141k k k k k k AB CD +++∴+=+==+++. 由题意：123232cos 4AB CD AB CD AB CD F PF +=⋅=∠， 故12113cos 4233AB CDF PF AB CD AB CD ⎛⎫+⎪∠==+==⎪⎭，1245F PF ∴∠=.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时考查了双曲线中的定值问题，以及焦点三角形中角的计算，涉及到弦长公式、平面向量数量积定义的应用，考查计算能力，属于中等题.。
2019-2020学年湖南省名校联盟高二12月联考数学试题
湖南省名校联盟2019—2020学年高二12月联考数学（本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题：共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1},{21},x A x x B x 则A ．{0}AB x x B ．A B RC ．{1}A B x xD ．{1}A B x x2．已知函数221log ()(0)()3(0)x x a x f x x ，若f [ f (2) ]=1，则a =A ．-2B ．-7C ．1D ．53．已知曲线3()21f x ax x 在x =1处的切线的倾斜角为4，则a = A ．23B ．1C ．32D ．34．一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是 A ．14 B ．4 C ．16D ．65．在等差数列{a n }中，n S 为前n 项和，且7925a a ，则9S 的值为A ．9B ．36C ．45D ．546．已知曲线12:sin(2),:cos 4C y xC y x ，若想要由2C 得到1C ，下列说法正确的是A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移8个单位．B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4个单位．C ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平移4个单位． D ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移8个单位．7．如图是抛物线拱形桥，当水面在l 时，拱顶高于水面2m ，水面宽为4m ，当水面宽为时，水位下降了( )m AB ．2C ．1D ．128．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b 的右顶点为A ,以A 为圆心，b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，若0AMAN ,则C 的离心率为A．2 BC ．2 D9．已知圆22:(2)2C x y ，点P 在直线20x y 上运动，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B,则四边形P ACB 面积的最小值为 AB．C ．D ．410．若两个正实数x,y 满足411xy,对这样的x,y ，不等式234x y m m 恒成立,则实数m 的取值范围是A ．(1,4)B ．(4,1)C ．(,4)(1,)D ．(,1)(4,)11．已知抛物线2:4C y x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ,P 是l 上一点，连接PF 交抛物线于点M ，若3PF MF ,则△MFK 的面积为ABCD ．12．已知函数1(0)()log (0)a x x f x x x ，函数g (x )是偶函数，且(2)()g x g x ，当[0,1]x 时，()21xg x ，若函数y =f (x )-g (x )恰好有6个零点，则a 的取值范围是A ．(5,+∞)B ．(5,6)C ．(4,6)D ．(5,7)二．填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分。
湖南省2019-2020学年高二上学期12月联考数学试卷(PDF版)
130
= =13,
13
∴a^=y^－b^ ¯x=31.2
所以 y 关于 x 的线性回归方程为 ^y=13x+31.2 .
令 x=7，得 ^y=13×7+31.2=122.2 （百万元）
所以预测该公司 2019Q3 的销售额为 122.2 百万元--------------------(12 分）
20.【答案】以 D 为原点，射线 DA，DC，DD1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直
→ 角坐标系．由已知得 B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，λ)，BC1＝(－2，0,2)，
→
→
FP＝(－1,0，λ)，FE＝(1,1,0)．
→ (1)证明：当λ＝1 时，FP＝(－1,0,1)，
→ 因为BC1＝(－2,0,2)．
→→ 所以BC1＝2FP，可知 BC1∥FP，
19. 解：（I）从 5 个季度的数据中任选 2 个季度，这 2 个季度的销售额有 10 种情况：
（46,56), (46,67), (46,86), (46,96), (56,67) ,(56,86),(56,96),(67,86), (67,96), (86,96)
设‘这 2 个季度的销售额都超过 6 千万元’为事件 A，事件 A 包含（67,86），（67,96）（86,96），
D．105°
8.与圆 C : x2 y2 4x 0 外切，又与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是( )
A. y2 8x
B. y2 8x(x 0) 和 y 0
C. y2 8x(x 0)
D. y2 8x(x 0) 和 y 0(x 0)
9．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆 由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相 生相克的关系.若从 5 类元素中任选 2 类元素，则 2 类元素相生的概率为（ ）
2019-2020年高二上学期第一次联考数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二上学期第一次联考数学试卷（理科）含解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知点A（，1），B（3，﹣1），则直线AB的倾斜角是（）A．60°B．30°C．120°D．150°2．与直线y=﹣3x+1平行，且与直线y=2x+4交于x轴上的同一点的直线方程是（）A．y=﹣3x+4 B．y=x+4 C．y=﹣3x﹣6 D．y=x+3．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=2，BC=3，AA1=4，则此三棱柱的体积等于（）A．24 B．12 C．8 D．44．圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0关于坐标原点对称的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y﹣1）2=6 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=6 C．（x﹣2）2+（y+1）2=6 D．（x+2）2+（y+1）2=65．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．（5+）πB．（20+2）π C．（10+）πD．（5+2）π6．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β7．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P﹣EFGH，下半部分是长方体ABCD﹣EFGH．正四棱锥P﹣EFGH的高为，EF长为2，AE长为1，则该组合体的表面积为（）A．20 B．4+12 C．16 D．4+88．已知圆M：x2+y2﹣2mx+4y+m2﹣1=0与圆N：x2+y2+2x+2y﹣2=0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，则圆M的圆心坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）9．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC 的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．10．已知点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，DB⊥平面ABC，四面体ABCD 的体积为，则这个球的体积为（）A．8πB． C．16πD．11．曲线y=1+与直线kx﹣y﹣k+3=0有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）B．（﹣，0） C． D．[﹣2，﹣）∪（0，]12．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（）①当0＜CQ＜时，S为四边形；②当CQ=时，S为等腰梯形；③当CQ=时，S与C1D1交点R满足C1R1=；④当＜CQ＜1时，S为六边形；⑤当CQ=1时，S的面积为．A．①③④ B．②④⑤ C．①②④ D．①②③⑤二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．过点P（2，﹣1）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为．14．几何体ABCDEF如图所示，其中AC⊥AB，AC=3，AB=4，AE、CD、BF均垂直于面ABC，且AE=CD=5，BF=3，则这个几何体的体积为．15．直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E，F两点，则△EOF（O为坐标原点）的面积等于．16．如图，在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，SA=SB=SC=4，平面DEFH 分别与三棱锥S﹣ABC的四条棱AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H，若直线SB∥平面DEFH，直线AC∥平面DEFH，则平面DEFH与平面SAC所成的二面角（锐角）的余弦值等于．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB．18．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程．（2）当|MN|=2时，求直线l方程．19．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，D是BC的中点．（1）求直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求三棱锥C1﹣ADB1的体积．20．已知点（0，1），（3+2，0），（3﹣2，0）在同圆C上．（1）求圆C方程（2）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（1）证明AD⊥平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角P﹣BD﹣A的正切值．22．如图，圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a=0．（1）若圆C的半径为，求圆C的方程；（2）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O：x2+y2=4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．xx重庆市名校联盟高二（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知点A（，1），B（3，﹣1），则直线AB的倾斜角是（）A．60°B．30°C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】先求出直线AB的斜率k，设倾斜角θ，根据斜率的定义得到tanθ=k．【解答】解：设直线的倾斜角为θ，而直线AB的斜率k==﹣，根据斜率的定义得：tanθ=k 即tanθ=﹣，∵0°＜θ＜180°，∴θ=150°．故选：D．2．与直线y=﹣3x+1平行，且与直线y=2x+4交于x轴上的同一点的直线方程是（）A．y=﹣3x+4 B．y=x+4 C．y=﹣3x﹣6 D．y=x+【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】依题意，可求得所求直线斜率及与x轴交点坐标，利用点斜式即可求得其方程．【解答】解：∵直线y=﹣3x+1的斜率为﹣3，则所求直线斜率k=﹣3，直线方程y=2x+4中，令y=0，则x=﹣2，即所求直线与x轴交点坐标为（﹣2，0）．故所求直线方程为y=﹣3（x+2），即y=﹣3x﹣6．故选C．3．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=2，BC=3，AA1=4，则此三棱柱的体积等于（）A．24 B．12 C．8 D．4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱柱为直三棱柱，则侧棱垂直于底面，故体积V=S ABC•AA1．【解答】解：∵三棱柱为直三棱柱，则侧棱垂直于底面；∴AA1⊥面ABC；V=S ABC•AA1=×2×3×4=12．故选：B4．圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0关于坐标原点对称的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y﹣1）2=6 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=6 C．（x﹣2）2+（y+1）2=6 D．（x+2）2+（y+1）2=6【考点】圆的标准方程．【分析】吧已知圆的方程化为标准形式，求出圆心关于坐标原点对称的圆的圆心，可得要求的圆的标准方程．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0，即（x+2）2+（y﹣1）2 =6，它的圆心为（﹣2，1），故它关于坐标原点对称的圆的圆心为（2，﹣1），故它关于坐标原点对称的圆的方程（x﹣2）2+（y+1）2 =6，故选：C．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．（5+）πB．（20+2）π C．（10+）πD．（5+2）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知这是一个圆柱，上面挖去一个小圆锥的几何体，由图中所提供的数据进行计算即可得到所求的表面积选出正确选项【解答】解：由三视图可知这是一个圆柱，上面挖去一个小圆锥的几何体，圆柱的底面积为π，圆柱的侧面积为2π×2=4π，圆锥的母线长为，侧面积为，所以总的侧面积为，故选A．6．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．【解答】解：A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n ⊂α，∴α⊥β；C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．故选B．7．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P﹣EFGH，下半部分是长方体ABCD﹣EFGH．正四棱锥P﹣EFGH的高为，EF长为2，AE长为1，则该组合体的表面积为（）A．20 B．4+12 C．16 D．4+8【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】求出正四棱锥P﹣EFGH的斜高，即可求出该组合体的表面积．【解答】解：由题意，正四棱锥P﹣EFGH的斜高为=2，该组合体的表面积为2×2+4×2×1+4×=20，故选A．8．已知圆M：x2+y2﹣2mx+4y+m2﹣1=0与圆N：x2+y2+2x+2y﹣2=0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，则圆M的圆心坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意在Rt△AMN中，|AM|2=|AN|2+|MN|2，即可求圆M的圆心坐标．【解答】解：由题意，圆M的圆心坐标为（m，﹣2），半径为圆N的圆心N（﹣1，﹣1），半径为2，N为弦AB的中点，在Rt△AMN中，|AM|2=|AN|2+|MN|2，∴5=4+（m+1）2+1，∴m=﹣1，∴圆M的圆心坐标为（﹣1，﹣2）．故选C．9．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC 的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB 与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选D．10．已知点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，DB⊥平面ABC，四面体ABCD 的体积为，则这个球的体积为（）A．8πB． C．16πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】将四面体扩充为长方体，体对角线为=2，求出球的半径，即可求出球的体积．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．∵DB⊥平面ABC，四面体ABCD的体积为，∴=，∴DB=2，将四面体扩充为长方体，体对角线为=2，∴球的半径R=则这个球的体积为：S=π（）3=．故选B．11．曲线y=1+与直线kx﹣y﹣k+3=0有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）B．（﹣，0） C． D．[﹣2，﹣）∪（0，]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得到结论．利用数形结合作出图象进行研究即可．【解答】解：由kx﹣y﹣k+3=0知直线l过定点（1，3），将y=1+两边平方得x2+（y﹣1）2=4，则曲线是以（0，1）为圆心，2为半径，且位于直线y=1上方的半圆．当直线l过点（﹣2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点此时﹣2k﹣1﹣k+3=0，解得k=，当直线l过点（2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点此时2k﹣1﹣k+3=0，解得k=﹣2，当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0，1）到直线kx﹣y﹣k+3=0的距离d==2，解得k=0或﹣要使直线kx﹣y﹣k+3=0与曲线y=1+有两个交点时，则实数k的取值范围是[﹣2，﹣）∪（0，]，故选：D．12．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（）①当0＜CQ＜时，S为四边形；②当CQ=时，S为等腰梯形；③当CQ=时，S与C1D1交点R满足C1R1=；④当＜CQ＜1时，S为六边形；⑤当CQ=1时，S的面积为．A．①③④ B．②④⑤ C．①②④ D．①②③⑤【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由已知情况根据CQ的不同取值，分别作出图形，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：当CQ=时，S为等腰梯形，②正确，图如下：当CQ=1时，S是菱形，面积为=，⑤正确，图如下：当CQ=时，画图如下：C1R=，③正确当时，如图是五边形，④不正确；当0＜CQ＜时，如下图，是四边形，故①正确故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．过点P（2，﹣1）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为2x+y﹣3=0．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】设与直线x﹣2y+3=0垂直的直线的方程为2x+y+c=0，把点P（2，﹣1）的坐标代入求出c值，即得所求的直线的方程．【解答】解：设所求的直线方程为2x+y+c=0，把点P（2，﹣1）的坐标代入得4﹣1+c=0，∴c=﹣3，故所求的直线的方程为2x+y﹣3=0，故答案为2x+y﹣3=0．14．几何体ABCDEF如图所示，其中AC⊥AB，AC=3，AB=4，AE、CD、BF均垂直于面ABC，且AE=CD=5，BF=3，则这个几何体的体积为26．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】如图所示，延长BF到M，使FM=2，连接EM，MD，则几何体ABC﹣DEM为直三棱柱，F﹣DEM为三棱锥，FM⊥底面DEM．利用三棱柱与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，延长BF到M，使FM=2，连接EM，MD，则几何体ABC﹣DEM 为直三棱柱，F﹣DEM为三棱锥，FM⊥底面DEM．∴几何体ABCDEF的体积V=﹣=26．故答案为：26．15．直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E，F两点，则△EOF（O为坐标原点）的面积等于．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】先求出圆心O1（2，﹣3）到直线的距离，由弦长公式求得|EF|，再利用点到直线的距离公式求出O到l的距离，代入三角形的面积公式进行运算．【解答】解析：如图：圆心O1（2，﹣3）到直线l：x﹣2y﹣3=0的距离为，则由弦长公式可得|EF|=2=4，O到l的距离d==，=d|EF|=，故S△OEF故答案为：．16．如图，在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，SA=SB=SC=4，平面DEFH 分别与三棱锥S﹣ABC的四条棱AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H，若直线SB∥平面DEFH，直线AC∥平面DEFH，则平面DEFH与平面SAC所成的二面角（锐角）的余弦值等于．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取AC的中点O，连结连结OB，交DE于N，连结SO，交HF于M，由已知条件推导出∠NMO为平面DEFH与平面SAC所成角的平面角，由此能求出结果．【解答】解：∵D、E、F、H分别是AB、BC、SA、SC的中点，∴DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB．EF∥SB，则四边形DEFH是平行四边形，∵SA=SB=SC=4，△ABC是边长为2的正三角形，且HD=EF==2，DE=HF==1，取AC的中点O，连结OB，交DE于N，连结SO，交HF于M，∵SA=SC=SB=4，AB=BC=AC=2，∴AC⊥SO，AC⊥OB，∵S0∩OB=O，∴AO⊥平面SOB，∵HF∥AO，∴HF⊥平面MON，∴MO⊥HF，MN⊥HF，∵平面DEFH∩平面SAC=HF，∴∠NMO为平面DEFH与平面SAC所成角的平面角，∵MN=，MO=，NO=，∴cos∠NMO==．故答案为：．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PD的中点M，由三角形的中位线定理，结合已知条件，易证明四边形MEBF 是平行四边形，且BE∥MF，结合线面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF；（2）连接BD，由∵∠BAD=45°，AB=2，AD=，F为AB的中点，可得DF⊥AB，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥DF，结合线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PDF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）取PD的中点M，∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线，∴ME∥FB，∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF，∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF．（2）连接BD，∵∠BAD=45°，AB=2，AD=，F为AB的中点，∴DF⊥AB，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DF，又由PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB，又∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．18．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程．（2）当|MN|=2时，求直线l方程．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．【解答】解：（1）意知A（﹣1，2）到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r，∴，∴圆A方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20（2）垂径定理可知∠MQA=90°．且，在Rt△AMQ中由勾股定理易知设动直线l方程为：y=k（x+2）或x=﹣2，显然x=﹣2合题意．由A（﹣1，2）到l距离为1知．∴3x﹣4y+6=0或x=﹣2为所求l方程．19．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，D是BC的中点．（1）求直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求三棱锥C1﹣ADB1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结A1C交AC1于E，连结DE，由三角形中位线性质可得∠C1DE为直线A1B 与C1D所成的角，然后由已知求解直角三角形得到三角形C1DE的三边长，利用余弦定理求得直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）直接利用等积法把三棱锥C1﹣ADB1的体积转化为三棱锥A﹣DB1C1的体积求解．【解答】解：（1）连结A1C交AC1于E，连结DE，∵D为BC中点，E为A1C的中点，∴DE∥A1B，∴∠C1DE为直线A1B与C1D所成的角．∵侧棱长和低面边长均为2，∴，，，在△C1DE中，cos=；（2）∵C1C⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴C1C⊥AD，在正三角形ABC中，D为BC中点，∴AD⊥BC，则AD⊥平面BCC1B1，∴=．20．已知点（0，1），（3+2，0），（3﹣2，0）在同圆C上．（1）求圆C方程（2）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．【分析】（1）设出圆的标准方程，把三个点代入，联立方程组求得．（2）设出点A，B的坐标，联立直线与圆的方程，消去y，确定关于x的一元二次方程，已知的垂直关系，确定x1x2+y1y2=0，利用韦达定理求得a．【解答】解：（1）∵圆过（3+2，0），（3﹣2，0）点，故圆心的横坐标为3，设圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣n）2=r2，把点（3+2，0）代入圆的方程得8+n2=r2，①把点（0，1）代入圆的方程得9+（1﹣n）2=r2，②①②联立求得n=1，r2=9，故圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），若OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，联立直线与圆的方程，2x2+2（a﹣4）x+（a﹣1）2=0，x1x2+y1y2=x1x2+（a+x1）（a+x2）=2x1x2+a（x1+x2）+a2=0，代入两根之和与两根之积，解得a=﹣1．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（1）证明AD⊥平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角P﹣BD﹣A的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过就是PA2+AD2=PD2，证明AD⊥PA．结合AD⊥AB．然后证明AD⊥平面PAB．（Ⅱ）说明∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB，判断△PBC是直角三角形，然后求解异面直线PC与AD所成的角正切函数值．（Ⅲ）过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE，证明∠PEH是二面角P ﹣BD﹣A的平面角．RT△PHE中，．【解答】（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设，可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA．在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB．（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为：．（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影．由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．由题设可得，，，于是再RT△PHE中，．所以二面角P﹣BD﹣A的正切函数值为．22．如图，圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a=0．（1）若圆C的半径为，求圆C的方程；（2）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O：x2+y2=4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）由r=，得=，由此求得a的值，从而求得所求圆C的方程．（2）先求出所以M（1，0），N（a，0），假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入x2+y2=4，利用韦达定理，根据NA、NB的斜率之和等于零求得a的值．经过检验，当直线AB与x轴垂直时，这个a值仍然满足∠ANM=∠BNM，从而得出结论．【解答】解：（1）由r=得=，所以a=1或a=0，故所求圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣y+1=0或x2﹣x+y2=0；（2）令y=0，得x2﹣（1+a）x+a=0，即（x﹣1）（x﹣a）=0，求得x=1，或x=a，所以M（1，0），N（a，0）．假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入x2+y2=4得，（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），从而x1+x2=，x1x2=．因为NA、NB的斜率之和为+=，而（x1﹣1）（x2﹣a）+（x2﹣1）（x1﹣a）=2x1x2﹣（a+1）（x2+x1）+2a=，因为∠ANM=∠BNM，所以，NA、NB的斜率互为相反数， +=0，即=0，得a=4．当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM=∠BNM，即NA、NB的斜率互为相反数．综上，存在a=4，使得∠ANM=∠BNM．xx12月7日。
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B．
C．
D．
11. 已知椭圆
的短轴长为2，上顶点为 ，左顶点为 ，
分别是椭圆的左、右焦点，且
的面积为
，
点 为椭圆上的任意一点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
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12. 已知抛物线
点，若 A． C．
的焦点为F，点 ，则抛物线C的方程是（ ）
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一、单选题
1. 已知集合 A．
， B．
，则
（） C．
2. 设向量
，
A．2
，若 B．4
，则实数 等于（ ） C．6
D． D．-3
加入试卷
3. 已知数列 是公比为 的等比数列，且
成等差数列，则公比 的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
4. 已知
15. 已知
分别为双曲线
，则双曲线的离心率为________.
的左、右焦点，过 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点 ，若
三、解答题
16. 已知命题p：方程
有两个不相等的实数根；命题q：
．
若p为真命题，求实数m的取值范围；
若
为真命题，
为假命题，求实数m的取值范围．
17. 设 是等差数列， （1）求 的通项公式 （2）求数列 的前 项和
与轨迹 交于 两点，点 为轨迹 上异于 的任意一点，直线
分别与直线
交于
两点.问： 轴正半轴上是否存在定点使得以 为直径的圆过该定点？若存在，求出符合条件的定点坐标；若不存在，请说明理由.
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是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线
交于E，G两
B． D．
二、填空题
13. 有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红､黄､蓝､绿､紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率 为____________.
14. 若命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是 ______.
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
B．
D．
对
恒成立
8. 已知正数a，b满足a+b=3.则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9. 已知直线 A．
与双曲线 B．
交于
两点，且线段 C．
的中点
的横坐标为 ，则该双曲线的离心率为（ ） D．
10. 在矩形 A．
中，
，以 ， 为焦点的双曲线经过 ， 两点，则此双曲线的离心率为
20. 如图，过椭圆
的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ，点 和点 分别为椭圆的右顶点和上顶点，
．
（1）求椭圆的离心率 ； （2）过右焦点 作一条弦
，使
，若
的面积为
，求椭圆的方程．
21. 从抛物线
上任意一点 向 轴作垂线段垂足为 ，点 是线段 上的一点，且满足
.
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）设直线
，且
成等比数列.
18.
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求C；Biblioteka （2）若，，求
的面积.
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.
19. 已知M,N是焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上两个不同的点,线段MN的中点A的横坐标为
.
(1)求|MF|+|NF|的值; (2)若p=2,直线MN与x轴交于点B,求点B的横坐标的取值范围.
，则
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 若双曲线
的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
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C．
D．
6. 已知m为非零实数，则“ A．充分不必要条件 C．充要条件
”是“
”的（ ）
7. 下列命题中，真命题的是（ ） A． C．