高三—平面向量应用举例
高中数学25 平面向量的应用举例
2.5平面向量的应用举例2.5.1平面几何中的向量方法由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。
下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。
例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。
如图2..5.1,=+,=-,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？分析：不妨设=，=，则=+，=-，。
与= ·=（+）·（-）=a·a+a·b+b·a+b·b+2a·b。
同理-2a·b。
观察（1）、（2）两式的特点，我们发现，（1）+（2）得+=2（）=2+）。
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。
思考如果不用向量的方法，能证明上述关系吗？平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用下列方法解决部分几何问题。
解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特别是数量积来研究电、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系得到几何问题的结论。
这就是用向量方法解决几何问题的“三部曲”：（1） 建立皮面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3） 把运算结果“翻译”成几何关系。
例2 如图2.5-2，连接□ABCD 的一个顶点至AD 、DC 边的中点E 、F ，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？分析：由于R 、T 是对角线AC 上的两点要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可。
高考数学平面向量与应用举例
高考数学平面向量与应用举例数学作为一门基础学科，一直是各级教育的重中之重。
在高考数学中，平面向量是一个重要的知识点。
掌握好平面向量，可以帮助我们更好地理解解析几何和向量的应用。
在本文中，我将详细介绍平面向量及其应用，并提供一些实用的例子来帮助大家更好地理解和掌握平面向量的应用。
一、平面向量的定义和性质平面向量是由大小和方向组成的量，在平面直角坐标系中用有向线段表示。
举个例子，如果有两个有向线段$\vec{v}$和$\vec{w}$，分别表示由点A到点B和点C的位移向量，那么我们可以定义这两个向量的加法、减法和数乘如下：加法：$\vec{v}+\vec{w}$，表示由点A到点B再到点C的位移向量。
减法：$\vec{v}-\vec{w}$，表示从点B到点A和点C之间的向量。
数乘：$k\vec{v}$，表示由点A到点B的位移向量的$k$倍。
此外，平面向量还具有以下性质：交换律：$\vec{v}+\vec{w}=\vec{w}+\vec{v}$结合律：$(\vec{v}+\vec{w})+\vec{u}=\vec{v}+(\vec{w}+\vec{u})$数乘结合律：$k(l\vec{v})=(kl)\vec{v}$数乘分配律：$(k+l)\vec{v}=k\vec{v}+l\vec{v}$二、平面向量的应用以上是平面向量的基本概念和性质，实际上平面向量在数学和物理中的应用非常广泛。
以下是几个常见的例子：1. 向量投影向量投影是指从一点向另一点的有向线段所对应的向量开始，在某一方向上的分量，也就是将向量“分解”在某一个方向上。
具体地，假设有一个向量$\vec{v}$和方向向量$\vec{u}$，向量$\vec{v}$在方向$\vec{u}$上的投影为：$$\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|u\|^ 2}\vec{u}$$其中，“$\cdot$”表示向量的数量积。
高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)
2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。
证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。
图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。
∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。
∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。
又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
绿色通道：1。
向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。
平面向量应用
平面向量应用平面向量是解决几何问题的强大工具之一。
它广泛应用于各个领域，如物理、工程学、计算机图形学等。
本文将介绍平面向量的定义、运算以及它在实际问题中的应用。
一、定义平面向量是由有序数对(a, b)表示的几何对象。
其中，a和b分别表示向量在x和y轴上的分量。
平面向量通常记作a=i+bj，其中i和j是单位向量，分别表示x和y轴的方向。
例如，向量a=(2, 3)可以表示为a=2i+3j。
二、运算平面向量的运算主要包括加法、减法和数量乘法。
1. 加法：向量的加法满足交换律和结合律。
例如，向量a=(2, 3)和向量b=(1, 2)的和为a+b=(3, 5)。
2. 减法：向量的减法可以通过加法和数量乘法得到。
例如，向量a=(2, 3)减去向量b=(1, 2)可以表示为a-b=a+(-1)b=(2, 3)+(-1)(1, 2)=(2,3)+(-1, -2)=(1, 1)。
3. 数量乘法：向量的数量乘法即将向量的每个分量都乘以一个实数。
例如，向量a=(2, 3)乘以实数k的结果为ka=(2k, 3k)。
三、应用1. 位移和平移：平面向量可以描述物体的位移和平移。
例如，向量a=(3, 4)表示一个物体向右移动3个单位，向上移动4个单位。
如果一个图形绕（0，0）顺时针旋转90度，后者获得反方向的位移（4，-3），这是向量数量乘法的应用。
2. 力的合成：在物理学中，力可以表示为平面向量。
如果有两个力F1=(2, 3)和F2=(-1, 2)，求合力F=F1+F2。
通过向量的加法可得，F=(2, 3)+(-1, 2)=(1, 5)。
合力F的大小可以通过向量的模来计算，即√(1^2+5^2)=√26。
3. 图形相似性：平面向量在计算机图形学中有广泛应用。
例如，两个多边形之间的相似性可以通过向量来判断。
如果两个多边形的对应边平行且长度成比例，那么它们是相似的。
通过向量运算可以计算多边形的平移、旋转、缩放等操作。
4. 线性方程组的解：线性方程组的解可以通过向量计算得到。
平面向量应用举例
A
b· (a－c)＝0. c· (a－b)＝0. a· (c－b)＝0
① ② ③
B F
a
P
E
b
D
c
C
2 2 2 2
C
探索：平行四边形 ABCD 中， 以上关系是否依然成立？
A
B
例1、证明平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。 D 已知：平行四边形ABCD。 求证： AC 2 BD2 2( AB2 AD2 )
A B
C
结 论： 平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。
a b | a || b | cosθ 2.重要性质: 设a 、b都是非零向量,则
(1)
(2)
a b 0 . a b _________
|a| . a a _____ a ______ 2 | a | __________ . a
2 2
(3) | a b
≤ | a || b | . 当且仅当a / /b时，等号成立． | ____
向量运算 翻译几何结果
练习1:求证：直径所对的圆周角为直角.
已知:如图，AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角 求证： ∠ABC=90°
B O A
图 2.5-4
C
例2. 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边 的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你 能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ 演示
E
猜想：
AR=RT=TC
D
F
C
R
T
A
B
平面向量的应用向量的投影与反射
平面向量的应用向量的投影与反射平面向量的应用：向量的投影与反射在数学中，向量是用来描述方向和大小的量。
平面向量是二维空间中的向量，广泛应用于各个领域，包括物理、工程和计算机科学等。
本文将重点介绍平面向量的应用之一：向量的投影与反射。
一、向量的投影向量的投影是指将一个向量在另一个向量方向上的分量。
在平面向量中，投影可以用于求解某个向量在另一个向量上的分解，从而简化计算过程。
设有两个非零向量a和b，我们将向量a在向量b上的投影表示为proj<sub>b</sub>a。
1. 向量的投影定义设向量a和b不平行，向量a在向量b上的投影proj<sub>b</sub>a 的大小为a在b方向上的分量，方向与b相同。
可以用下列公式来计算向量的投影：proj<sub>b</sub>a = (a·b / |b|²) * b其中，a·b表示向量a和b的点积，|b|表示向量b的长度。
投影的计算结果是一个向量，其大小为标量a·b与b长度的比例，方向与向量b 相同。
2. 向量的投影应用向量的投影在实际问题中有广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以将一个力的大小和方向表示为一个力向量。
在求解斜面上物体的自由体图时，我们可以将物体的重力向量进行投影，分解为沿斜面方向和垂直斜面方向的分量，以便更好地分析问题。
二、向量的反射向量的反射是指一个向量在另一个向量上的镜像反射。
通过向量的反射，我们可以研究光线的传播和折射等现象。
1. 向量的反射定义设向量a和b不平行，向量a关于向量b的反射表示为reflect<sub>b</sub>a。
向量a关于向量b的反射可以通过以下公式计算：reflect<sub>b</sub>a = a - 2 * proj<sub>b</sub>a其中，proj<sub>b</sub>a表示向量a在向量b上的投影。
2.5.1平面向量应用举例三道
3
故AT=RT=TC
练习1、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
C
a
b
O
B
解：设 AO a, OC b
则
AC a b, CB a， b
2
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题；常设基底向量或建立向量坐标。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
例2 如图，平行四边形 ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点， 你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
猜想：
D
F T
C
AR=RT=TC
A
E
R
B
解：设 AB a , AD b 则 AC a b 由于 AR 与AC 共线，故设 AR r n(a b) , n R 又因为 ER与 EB 共线，
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
D E R
F T B
C
因为 AR AE ER
1 1 所以 r 1 1 因此n(a b ) b m(a b ) 2 2
AB 2 BC 2 CD2 DA2 2( a b )
AC BD a b
高三数学平面向量的应用
(夹2)角0要v.11应与使m为v船in2多到少达?对岸所用时间最少, 的
练习：若O是 A B C 内一点， OA O B O C 0，
则O是的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
例2．已知 a, b 是两个非零向量，当 a tb (t R )
的模取最小值时，（1）求 t 的值；
（2）求证：b (a tb )
球状的仙翅枕头桶，随着女武师Ｊ．特哈依琦妖女的抖动，铅球状的仙翅枕头桶像田埂一样念动咒语：“三指咕唉嗟，驴毛咕唉嗟，三指驴毛咕唉嗟……『棕冰杖祖霓虹灯理 论』！！！！”只见女武师Ｊ．特哈依琦妖女的身影射出一片紫红色流光，这时西北方向萧洒地出现了八道厉声尖叫的金红色光凤，似灵光一样直奔浅黑色妖影而来！，朝着
向量的应用举例
高三备课组
1. 知识精讲: 掌握向量的概念、坐 标表示、运算性质，做到融会贯通， 能应用向量的有关性质解决诸如平 面几何、解析几何等的问题.
例1.已知在△ABC中，O A O B O B O C O C O，A 则O为△ABC的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
月光妹妹清秀流畅、宛如泉光溪水般；礼炮车 礼炮车；的肩膀乱跳过来。紧跟着女武师Ｊ．特哈依琦妖女也翻耍着咒符像油饼般的怪影一样向月光妹妹 乱跳过来月光妹妹突然恬静明快的梦幻气质瞬间抖出古红色的凶现墓地味……晶莹透明、鲜如碧红樱桃般的肚脐珠渗出险境虾欢死窜声和嘀嘀声……轻柔的如同云霞一样的亮 粉色月光衣忽亮忽暗跃出蝶梦菊花般的跳动。接着忽悠了一个，舞贝柴刀滚一千四百四十度外加凤笑鸭掌转九周半的招数，接着又秀了一个，直体贝颤前空翻三百六十度外加 瞎转八十一周的粗犷招式！紧接着思维离奇的精灵头脑骤然旋转紧缩起来……清秀流畅、宛如泉光溪水般的肩膀渗出钢灰色的隐约邪雾……空灵玉白，妙如仙境飞花般的嫩掌 射出亮蓝色的飘飘余味……最后甩起好像小仙女般的下巴一笑，快速从里面弹出一道灵光，她抓住灵光朦胧地一摇，一件光闪闪、紫溜溜的咒符⊙月影河湖曲＠便显露出来， 只见这个这件奇物儿，一边抖动，一边发出“嘀嘀”的余声……！猛然间月光妹妹高速地来了一出独腿收缩观麦穗的怪异把戏，，只见她细嫩的很像淡梦色湖光一样的柔滑皮 肤中，轻飘地喷出五道摆舞着⊙绿烟水晶笛＠的平川珊瑚脸蝶状的细竹，随着月光妹妹的旋动，平川珊瑚脸蝶状的细竹像弯弓一样在双腿上华丽地组织出飘飘光罩……紧接着 月光妹妹又使自己清秀晶莹、善于跳跃的小脚丫游动出深红色的香肠味，只见她冰灵机巧、美若玉葱般的手指中，威猛地滚出五缕甩舞着⊙绿烟水晶笛＠的相机状的仙翅枕头 锣，随着月光妹妹的耍动，相机状的仙翅枕头锣像跳蚤一样念动咒语：“雪峰咚哼喋，仙子咚哼喋，雪峰仙子咚哼喋……⊙月影河湖曲＠！神女！神女！神女！”只见月光妹 妹的身影射出一片银橙色玉光，这时东南方向猛然出现了五团厉声尖叫的烟橙色光鳄，似奇辉一样直奔橙白色奇光而去。，朝着女武师Ｊ．特哈依琦妖女平常的酷似弯月模样 的肩膀乱跳过去。紧跟着月光妹妹也翻耍着咒符像油饼般的怪影一样向女武师Ｊ．特哈依琦妖女乱跳过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道暗橙色的闪光，地 面变成了深紫色、景物变成了暗橙色、天空变成了橙白色、四周发出了怪异的巨响！月光妹妹清秀流畅、宛如泉光溪水般的肩膀受
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3.要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题.
4.用向量方法解决平面几何问题的步骤
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
【解答】1，1
根据平面向量的点乘公式 ,可知 ,因此 ; ,而 就是向量 在 边上的射影,要想让 最大,即让射影最大,此时 点与 点重合,射影为 ,所以长度为1
向量在解三角形中的应用
【例3】已知在锐角 中，两向量 ，且 与 是共线向量.
(1)求 的大小；
(2)求函数 取最大值时， 的大小.
【分析】向量与三角函数的结合往往是简单的组合.如本题中条件通过向量给出，通过向量的平行得到一个等式，这时向量的使命便告完成.向量与其他知识的结合往往是这种简单组合，因此这种题目往往较为简单.
A． B． C． D．
3.一质点受到平面上的三个力 ， ， (单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 ， 成 角，且 ， 的大小分别为1和2，则 与 所成的角为________.
答案：A D
【例2】已知两点 ，且点 使得 ， 成公差小于零的等差数列.
（1）求证 ；
（2）若点 的坐标为 ，记 与 的夹角为 ，求 。
学法与教具
1.学法：讲授法、讨论法.2.教具：直尺，投影仪.
一、【知识结构】
二、【知识梳理】
1.向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理： __________________ ______________.
此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.
三、【范例导航】
【例1】.已知向量 , ,且 满足关系
,( 为正实数).
()求证: ；
(2)求将 表示为 的函数 ；
(3)求函数 的最小值及取最小值时 的夹角
【分析】长度、夹角等问题解决应用数量积处理.
【解答】证明: （1）
(2)
(3)
当且仅当 即 时,故 的最小值是
【点评】解决该类问题的基本步骤是：①两边平方应用数量积；②求最小值用均值不等式处理，注意等号成立条件.
变式训练:
1.（2012年高考（广东理））(向量)若向量 , ,则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2012年高考（大纲理）） 中, 边上的高为 ,若 ,则 （ ）
【分析】平面向量作为一种运算工具，经常与解析几何知识结合，应用平面向量数量积给出关系式.
【解答】）略解： ，由直接法得
（2）当 不在 轴上时，
而
所以 ，当 在 轴上时， ，上式仍成立。
【点评】此题较灵活的运用夹角公式和三角形面积公式.
变式训练:
2012年高考（北京理））已知正方形 的边长为1,点 是 边上的动点,则 的值为________; 的最大值为________.
【解答】
(1)
(2)
此时，函数 取最大值2.
【点评】(1)题中条件通过向量的平行得到一个等式 (2)本题的易错点在于确定 的范围和 的最大值.
变式训练:
的三内角 ，所对边长分别是 ，设向量 ，若 ，则角 的大小为________.
【解析】
四、【解法小结】
1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.
(2)物理学中的功是一个标量，这是力 与位移 的数量积.
3.平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
⇔__________ ________________.
(3)求夹角问题，利用夹角公式
＝____________＝____________________________.
2.平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是________，它们的分解与合成与向量的______________相似，可以用向量的知识来解决.
必做题：
1.在 中，已知 是 边上一点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.已知正六边形 ，下列向量的数量积中最大的是( )
A． B . C. D .
3.非零向量 与 满足 且 , 则 为( )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形
能力点：平面向量与其他数学知识的交汇,此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.培养学生的数形结合思想.
教育点：提高培养学生的数学化归思想.培养学生数形结合应用能力.
自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻.
易错点：向量的夹角为锐角与数量积大于零不等价；向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别.例如：向量平行并不能说明所在直线平行；构造向量解题，构造是关键，而向量的构造并不是唯一的，要根据题目进行调整.
复习课:
教学目标
重点：
① 理解平面向量在平面几何中的应用：能用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、、长度、夹角等问题；
② 了解平面向量在物理中的应用；
③了解平面向量与其他数学知识的交汇：平面向量作为一种运算工具，，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.
难点：平面向量作为一种运算工具解决数学和物理的有关问题。
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
5.向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决.
五、【布置作业】