高二数学选修4-4《参数方程：直线和圆锥曲线的参数方程》21页PPT
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高中数学人教新课标B版 选修4-4： 2.2.1 直线的参数方程 (共23张PPT)
1
直线
x y
2t 1
sin 200 t cos 200
(t
为参数),
经过定点
(2, - 1，)
倾斜角为 110°
2
直线
x
31t 2
(t 为参数)方程中，t 的几何意义是
（
y
1
3t 2
B）
（A） 一条有向线段的长度
（B） 定点 P0（ 3 ，1）到直线上动点 P(x，y)的有向线段的数量 （C） 动点 P(x，y) 到定点 P0（ 3 ，1）的线段的长 （D） 直线上动点 P(x，y) 到定点 P0（ 3 ，1）的有向线段的数量
(2)若 L 上一点 M 满足M0M=2，求 M 的坐标 (3)若 L 与直线 y=x + 4 3 交与点 M，求M0M
解
（1）直线 L 的参数方程是
x 4
3t
2 （t 为参数）
y
1 2
t
（2） ∵M0M=2 ∴t=2 t= 2
当 t=2 时
x 4 3 y 1
M（ 4 3 ，1）
a2 b2
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
x x0
y
y0
a ( a2 b2 t）
a2 b2
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
设: a = cos; b sin ; a2 b2 t t,则
a2 b2
a2 b2
x y
x0 y0
tcos（t为参数） tsin
t cos t sin
(t是参数）
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
选修4-4数学直线的参数方程【优质PPT】
演
练
参数方程为__________．
课 时
(2)由 α 为直线的倾斜角知 α∈__________，所以
作 业
课
sinα≥0，当 α∈(0，π)时，sinα＞0.
内
讲
练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
课
(3)直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：_____ 内
时 作 业
课 内
y＝3＋2
5 5 t.
讲
练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
经验证易知点
A(3,7)恰好在直线上，所以有
1＋
5 5
课 内
巩
t＝3，即 t＝2 5，即点 M 到点 A 的距离是 2 5.
固
自
而点 B(8,6)不在直线上，所以不能使用参数 t 的几
B．(－3,4)
练
课
C．(－3,4)或(－1,2)
D．(－4,5)或(0,1)
时 作
业
课 内 讲 练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
[解析] d＝ －2－ 2t－22＋3＋ 2t－32＝ 2， 课
内
∴t＝±
2 2.
巩 固
自 主 演
当 t＝ 22时，对应点为(－3,4)，
业
课 内 讲 练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
[解析] (1)因为倾斜角 α＝π6，所以 sinα＝12，
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参数方程第二讲2.3直线的参数方程课件(共37张PPT)
选修4-4 坐标系与参数方程
第二讲 参数方程
三 直线的参数方程
2.3 直线的参数方程
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
一 提出问题
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
x y
x0 y0
t
cos
（t为参数，
t sin
为常量）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
思考：直线参数方程中的 t 的几何意义到底是什么？
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张P3π 4
1
2 t， 2
y 2 t sin 3π 2 4
2 t， 2
（t 为参数）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
探究：直线的参数方程
思考：如何引进一个变量刻画直线上动点的变化？
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
已知过点M0 ( x0 , y0 )，倾斜角为 的直线l
设直线任一点M (x, y),
M 到M 0的距离d M 0M 向量M 0M
直线的参数方程的其他形式
x y
x0 y0
at bt
t 没有明显的几何意义
化为普通方程 y y0 b tan
第二讲 参数方程
三 直线的参数方程
2.3 直线的参数方程
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
一 提出问题
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
x y
x0 y0
t
cos
（t为参数，
t sin
为常量）
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思考：直线参数方程中的 t 的几何意义到底是什么？
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张P3π 4
1
2 t， 2
y 2 t sin 3π 2 4
2 t， 2
（t 为参数）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
探究：直线的参数方程
思考：如何引进一个变量刻画直线上动点的变化？
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
已知过点M0 ( x0 , y0 )，倾斜角为 的直线l
设直线任一点M (x, y),
M 到M 0的距离d M 0M 向量M 0M
直线的参数方程的其他形式
x y
x0 y0
at bt
t 没有明显的几何意义
化为普通方程 y y0 b tan
人教版高中数学选修4-4课件 第2讲-2《圆锥曲线的参数方程》
＝ 55|5cos(θ＋φ)－13|，
从而当 cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中 φ 由 sin φ＝35，cos
φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d
取得最小值8
5
5 .
14
1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越 性．
2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点 M 的 轨迹上的点到直线 C3 距离的最小值，这个最小值归结为求关 于参数 θ 的函数的最小值．
ya22＋bx22＝1(a>b>0)
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ 为参数)
2
2.双曲线的参数方程 普通方程
参数方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0)
x＝asec φ y＝btan φ
(φ 为参数)
3.抛物线的参数方程
x＝2pt2
(1)抛物线 y2＝2px 的参数方程是 y＝2pt
F1(0，－4)与 F2(0,4)．
10
已知曲线 C1：xy＝＝－3＋4＋sinctos t ，(t 为参数)，曲 线 C2：6x42 ＋y92＝1.
(1)化 C1 为普通方程，C2 为参数方程；并说明它们分别表 示什么曲线？
(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t＝π2，Q 为 C2 上的动点， 求 PQ 中点 M 到直线 C3：x－2y－7＝0 距离的最小值．
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．
19
在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的 参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形 式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式 sec2 φ－tan2 φ＝1 的应用．
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
x＝sec θ，
解：把双曲线方程化为参数方程
(θ 为参
y＝tan θ
数)，
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18
设双曲线上点 Q(sec θ，tan θ)，则
|PQ|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝
2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，
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5
2．抛物线的参数方程
如图，抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
x＝2pt2，
____y_＝__2_p_t ____t为参数，t＝tan1
α.
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6
温馨提示 t＝sin1 α(α 是以射线 OM 为终边的角)，即 参数 t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
第二讲 参数方程
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1
二、圆锥曲线的参数方程 第 2 课时 双曲线的参数方程和
抛物线的参数方程
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2
[学习目标] 1.了解抛物线和双曲线的参数方程，了 解抛物线参数方程中参数的几何意义(重点)． 2.利用抛 物线和双曲线的参数方程处理问题(重点、难点)．
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当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4时，
|PQ|2 取最小值 3，此时有|PQ|＝ 3.
即 P、Q 两点间的最小距离为 3.
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19
[迁移探究] (变换条件)已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一点 Q，求 P，Q 两点间 距离的最小值．
解：设 Q(sec θ，tan θ)， 由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
选修4-4直线的参数方程优秀课件
设直线 l的倾斜角为 ，定点 M 0、动点 M的坐标 分别为 ( x0 , y0 )、 ( x, y )
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
人教版A版高中数学选修4-4：二 圆锥曲线的参数方程
基础回顾
一、参数方程的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是 某个变数 t 的函数
x＝f（t）， y＝g（t）， (*) 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点 M(x，y)都在这 条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变 数 t 叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言，直接给出点的横、纵坐标间关系的方程叫做普 通方程．
题型二：直线的参数方程
4.
5.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为
x 1
2t 2
y
2
2t 2
(t 为参数)，
直线 l 与抛物线 y 2 4 x 交于 A，B 两点，
求线段 AB 的长。
题型二方法总结：
1. 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 θ 的直线的参数方程 为yx＝＝yx00＋＋ttscionsθθ，(t 为参数)
的参数方程是
y
a
sin
(φ 为参数)．
其中参数 φ 的范围为 φ∈[0，2π )．
题型一：参数方程与普通方程的互化
1.
2.
3.
题型一方法总结：
1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过 程，常用的消参方法有：代入消参，加减消参，三角 恒等式消参等。 2.注意：参数的取值范围对普通方程中变量的取值范 围的影响。
(1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆锥曲线 C
的普通方程；
(2)若直线 l 过曲线 C 的焦点且倾斜角为 60°，求直线 l 被圆锥曲线
C 所截得的线段的长度．
t 是直线上的定点 M0(x0，y0)到动点 M(x，y)的有向线段M→0M的数量， 即|M0M|＝|t|， 当点(x，y)在点(x0，y0)的上方时，t＞0； 当点(x，y)在点(x0，y0)的下方时，t<0， 当点(x，y)与点(x0，y0)重合时，t＝0.
一、参数方程的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是 某个变数 t 的函数
x＝f（t）， y＝g（t）， (*) 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点 M(x，y)都在这 条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变 数 t 叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言，直接给出点的横、纵坐标间关系的方程叫做普 通方程．
题型二：直线的参数方程
4.
5.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为
x 1
2t 2
y
2
2t 2
(t 为参数)，
直线 l 与抛物线 y 2 4 x 交于 A，B 两点，
求线段 AB 的长。
题型二方法总结：
1. 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 θ 的直线的参数方程 为yx＝＝yx00＋＋ttscionsθθ，(t 为参数)
的参数方程是
y
a
sin
(φ 为参数)．
其中参数 φ 的范围为 φ∈[0，2π )．
题型一：参数方程与普通方程的互化
1.
2.
3.
题型一方法总结：
1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过 程，常用的消参方法有：代入消参，加减消参，三角 恒等式消参等。 2.注意：参数的取值范围对普通方程中变量的取值范 围的影响。
(1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆锥曲线 C
的普通方程；
(2)若直线 l 过曲线 C 的焦点且倾斜角为 60°，求直线 l 被圆锥曲线
C 所截得的线段的长度．
t 是直线上的定点 M0(x0，y0)到动点 M(x，y)的有向线段M→0M的数量， 即|M0M|＝|t|， 当点(x，y)在点(x0，y0)的上方时，t＞0； 当点(x，y)在点(x0，y0)的下方时，t<0， 当点(x，y)与点(x0，y0)重合时，t＝0.
人教版A选修4-4-圆锥曲线的参数方程 (共19张PPT)
时, d 有最大值, 面积最大
题型示例——圆锥曲线参数方程的应用
【练3】 (2008· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x，y)是
x2 2 椭圆 ＋y ＝1 上的一个动点，求 S＝x＋y 的最大值． 3 x＝ 3cos φ ， x2 2 解 因椭圆 ＋ y ＝ 1 的参数方程为 3 y＝ sin φ (φ 为参数 )，
为______. 3/2
题型示例——圆锥曲线参数方程的应用
例3：已知点P（x，y）是圆x2+y2 -6x -4y+12=0上动点， 求（1） x2+y2 的最值； （2）x+y的最值； （3）P到直线x+y -1=0的距离d 的最值。
解：圆x2+y2- 6x -4y+12=0即（x - 3）2+（y - 2）2=1， 用参数方程表示
2
x 3cos (1) y 5 sin
x 8cos (2) y 10 sin
x 2cos 练2. 已知椭圆的参数方程为 ( y sin 是参数), 则此椭圆的长轴长为 ____, 4 短轴
( 3 ,0) 离心率 长为____, 2 焦点坐标为_________,
1、圆的参数方程
y
M(x,y)
r o
M0
x
x r cos { (为参数) y r sin 这也是圆心在原点 O，半径为r的圆的参数方程 其中参数的几何意义是OM 0 绕点O逆时针旋转 到OM的位置时，OM 0 转过的角度。
思考：圆心为O1(a,b),半径为r 的圆的参数方程是什么呢？
r
P 1 ( x1 , y1 )
5
o