人教版高中数学课件7.5 圆的方程
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课件高中数学_人教版必修：圆的一般方程PPT课件_优秀版
的方程的曲线是不是圆？
规律总结：求轨迹方程的常用方法：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数即可．
(2) 2x2+2y2-12x+4y=0
∴过A，B，C三点的圆的方程是x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点
；
形如
的方程的曲线是不是圆？
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5
（1，-2） 2 （-2，2） 5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0) （-a，2） a
动动手
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x 2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
(D)4,-6,-3
2. x2+y2-2ax-y+a=0 表示圆，则a的取值范围是
( A)a 1 2
(B)a 1 2
(C)a=
1 2
(D)a 1 2
D
二、圆的方程的求法
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，
并求出这个圆的半径和圆心坐标.
2．初步掌握求点的轨迹方程的思想方法。
②若已知三点求圆的方程,我们一般采用圆的一般方程求解.
指出下面圆的圆心和半径：
形如
的方程的曲线是不是圆？
一般方程突出形式上的特点：
x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0
1、A＝C ≠ 0
2．初步掌握求点的轨迹方程的思想方法。
高中数学-圆的方程
课题：圆的方程知识点一：圆的方程1．圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=。
2．圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y D x E y F ++++=>，特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E--，半径为22142D E F +-的圆（二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么？ （0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->））；3．圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。
圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin xy r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0)x r y r r t θθ→==≤≤。
4．()()1122A,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如（1）圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（3）如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是__（4）方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____知识点二：点与圆的位置关系：已知点()00M,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>， （1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；（2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；（3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
人教版高中数学第四章 圆的一般方程(共13张PPT)教育课件
凡事 都 是多 棱 镜， 不 同的 角 度会
凡 事都 是 多棱 镜 ，不 同 的角 度 会看 到 不同 的 结果 。 若能 把 一些 事 看淡 了 ，就 会 有个 好 心境 ， 若把 很 多事 看 开了 ，就 会 有个 好 心情 。 让聚 散 离合 犹 如月 缺 月圆 那 样寻 常 ，让 得 失利 弊 犹如 花 开花 谢 那样 自 然， 不 计较 ， 也不 刻意 执 着； 让 生命 中 各种 的 喜怒 哀 乐， 就 像风 儿 一样 ， 来了 ， 不管 是 清风 拂 面， 还 是寒 风 凛冽 ， 都报 以 自然 的微 笑 ，坦 然 的接 受 命运 的 馈赠 ， 把是 非 曲折 ， 都当 作 是人 生 的定
《
《
我
是
算
命
先
生
》
读
同学们加油！
自
己
弄
五
分
钟
就
弄
完
所
以
最
后
通
常
变
成
我
自
己
弄
。
但
这
样
做
有
一
个
不
好
的
后
果
就
是
当
你
真
的
■
电
:
“
色
情
男
女
是
你
和
尔
东
口
罗
其
实
不
是
■电你是否有这样经历，当 你在做某一项工作 和学习的时候，脑 子里经常会蹦出各 种不同的需求。比 如你想安 心下来看2小时的书，大脑会 蹦出口渴想喝水， 然后喝水的时候自 然的打开电视。。 。。。。，一个小 时过去 了，可能书还没看2页。很多 时候甚至你自己都 没有意思到，你的 大脑不停地超控你 的注意力，你就这 么轻易 的被你的大脑所左右。你已 经不知不觉地变成 了大脑的奴隶。尽 管你在用它思考， 但是你要明白你不 应该隶属 于你的大脑，而应该是你拥 有你的大脑，并且 应该是你可以控制 你的大脑才对。一 切从你意识到你可 以控制你 的大脑的时候，会改变你的 很多东西。比如控 制你的情绪，无论 身处何种境地，都 要明白自己所
人教版高中数学课件-直线与圆的方程
高考总复习 数学
第九章 直线与圆的方程
高考总复习 数学
第九章 直线与圆的方程
[點評與警示] 根據已知條件，選用最適合的方程形 式．第(1)問已知兩點，從而選用兩點式；第(2)問同樣是兩點， 但兩點都是直線與坐標軸的交點，所以選用截距式；第(3)問由 垂直關係求得斜率，且有y軸上一點，所以選用斜截式．注意將 結果都化為一般式．
第九章 直线与圆的方程
高考总复习 数学
第九章 直线与圆的方程 1．求直線方程的主要方法是待定係數法．在使用待定係 數法求直線方程時，要注意方程的選擇． 設直線方程的一些常用技巧： (1)知直線縱截距b，常設其方程為y＝kx＋b(它要求直線的 斜率存在)； (2)知直線橫截距x0，常設其方程為x＝my＋x0(它不適用於 斜率為0的直線)；
[分析] 要求傾斜角的範圍，應先求其斜率的變化範圍， 再結合傾斜角與斜率關係求解．
[答案] D
高考总复习 数学
第九章 直线与圆的方程
高考总复习 数学
第九章 直线与圆的方程
直線l的傾斜角為α，且0°≤α≤135°，則直線l的傾斜角 取值範圍是________．
[答案] (－∞，－1)∪[0，＋∞)
[答案] x－y＋1＝0
高考总复习 数学
第九章 直线与圆的方程 3．過點P(2,3)，且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是 ________．
[答案] 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
高考总复习 数学
第九章 直线与圆的方程
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第九章 直线与圆的方程
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第九章 直线与圆的方程
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第九章 直线与圆的方程
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第九章 直线与圆的方程
第九章 直线与圆的方程
高考总复习 数学
第九章 直线与圆的方程
[點評與警示] 根據已知條件，選用最適合的方程形 式．第(1)問已知兩點，從而選用兩點式；第(2)問同樣是兩點， 但兩點都是直線與坐標軸的交點，所以選用截距式；第(3)問由 垂直關係求得斜率，且有y軸上一點，所以選用斜截式．注意將 結果都化為一般式．
第九章 直线与圆的方程
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第九章 直线与圆的方程 1．求直線方程的主要方法是待定係數法．在使用待定係 數法求直線方程時，要注意方程的選擇． 設直線方程的一些常用技巧： (1)知直線縱截距b，常設其方程為y＝kx＋b(它要求直線的 斜率存在)； (2)知直線橫截距x0，常設其方程為x＝my＋x0(它不適用於 斜率為0的直線)；
[分析] 要求傾斜角的範圍，應先求其斜率的變化範圍， 再結合傾斜角與斜率關係求解．
[答案] D
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第九章 直线与圆的方程
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第九章 直线与圆的方程
直線l的傾斜角為α，且0°≤α≤135°，則直線l的傾斜角 取值範圍是________．
[答案] (－∞，－1)∪[0，＋∞)
[答案] x－y＋1＝0
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第九章 直线与圆的方程 3．過點P(2,3)，且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是 ________．
[答案] 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
高考总复习 数学
第九章 直线与圆的方程
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第九章 直线与圆的方程
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第九章 直线与圆的方程
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第九章 直线与圆的方程
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第九章 直线与圆的方程
高中数学必修课件第二章圆的标准方程
基本元素
圆心、半径、弧、弦等。
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆的表示方法
通常用圆心坐标和半径长度来表示一个圆，如 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
圆的性质与定理
性质
圆是中心对称图形，也是轴对称图形 ；同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦也相等；垂直于 弦的直径平分这条弦等。
定理
垂径定理、切线长定理、割线定理、 相交弦定理等。
确定圆心坐标和半径
在平面直角坐标系中，圆心坐标为$(a,b)$， 半径为$r$。
列出距离公式
根据两点间距离公式，圆上任一点$P(x,y)$ 到圆心$O(a,b)$的距离为$sqrt{(xa)^{2}+(y-b)^{2}}$。
列出等式并化简
由于点$P$在圆上，其到圆心的距离等于半 径$r$，因此有$sqrt{(x-a)^{2}+(yb)^{2}}=r$，平方后得到圆的标准方程$(xa)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$。
例如，对于圆$(x-1)^2+(y-2)^2=4$ 和点$P(2,3)$，因为$(2-1)^2+(32)^2=2<4$，所以点$P$在圆内。
若$(x_0-a)^2+(y_0-b)^2<r^2$，则 点$P$在圆内。
求解与圆有关的最值问题
利用圆心到直线的距离公式求解最值问题。 例如，求圆$(x-1)^2+(y-2)^2=4$上的点到 直线$3x+4y-10=0$的距离的最大值和最小 值。
点与圆、直线与圆的位置关系
点与圆的位置关系
点在圆内、点在圆上、点在圆外。
直线与圆的位置关系
直线与圆相交、直线与圆相切、直线与圆相离。
圆心、半径、弧、弦等。
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆的表示方法
通常用圆心坐标和半径长度来表示一个圆，如 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
圆的性质与定理
性质
圆是中心对称图形，也是轴对称图形 ；同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦也相等；垂直于 弦的直径平分这条弦等。
定理
垂径定理、切线长定理、割线定理、 相交弦定理等。
确定圆心坐标和半径
在平面直角坐标系中，圆心坐标为$(a,b)$， 半径为$r$。
列出距离公式
根据两点间距离公式，圆上任一点$P(x,y)$ 到圆心$O(a,b)$的距离为$sqrt{(xa)^{2}+(y-b)^{2}}$。
列出等式并化简
由于点$P$在圆上，其到圆心的距离等于半 径$r$，因此有$sqrt{(x-a)^{2}+(yb)^{2}}=r$，平方后得到圆的标准方程$(xa)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$。
例如，对于圆$(x-1)^2+(y-2)^2=4$ 和点$P(2,3)$，因为$(2-1)^2+(32)^2=2<4$，所以点$P$在圆内。
若$(x_0-a)^2+(y_0-b)^2<r^2$，则 点$P$在圆内。
求解与圆有关的最值问题
利用圆心到直线的距离公式求解最值问题。 例如，求圆$(x-1)^2+(y-2)^2=4$上的点到 直线$3x+4y-10=0$的距离的最大值和最小 值。
点与圆、直线与圆的位置关系
点与圆的位置关系
点在圆内、点在圆上、点在圆外。
直线与圆的位置关系
直线与圆相交、直线与圆相切、直线与圆相离。
高中数学必修二课件：圆的一般方程
问题引入：
直线方程有五种不同的形式，
它们之间可以相互变通，每一
y
M(x,y) O
种形式都是关于x,y的一次方程，
我们学习了圆的标准方程，它 的方程形式具备什么特点呢？ 还有其他形式吗？
C
x
圆的一般方程
1.圆的标准方程
展开得
x y 2ax 2by a b r 0
2 2 2 2 2
练习2.证明A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)、D(6,0)四点共圆, 并求出此圆的圆心和半径. 解法一:设所共圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将A、B、D三点坐标代入得
2 D 2 E F 8 0, D 8, 5 D 3E F 34 0, 解得 E 2, 6 D F 36 0. F 12.
2
2
D E 圆心 - , 2 2
D 2 E 2 4F r 2
注：圆的一般方程的特点:
(1)x2 , y2 的系数为1 (2)没有xy项
(3)D2 +E2 -4F＞0
思考问题:当D=0，E=0或F=0时，圆 x y Dx Ey F 0 的位置分别有什么特点？
方法二：几何法 由两条弦的中垂线的交点得到圆 心，由圆心到圆上一点得到半径
C(2,-8)
方法三：待定系数法
2 解：设所求圆的方程为： x 2
待定系数法
y Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)都在圆上
D 4 5 1 5D E F 0 2 E 6 2 7 (1) 7 D E F 0 F 12 2 2 82 2 D 8 E F 0
高中数学(新人教A版)选择性必修一：圆的标准方程【精品课件】
化：化简
这也是求轨迹方程的步骤！
新知探究
探究二：求圆的标准方程
课堂练习
例1 求圆心为(， − )，半径为5的圆的标准方程，并判断点
y
(−
两个点中，一个
，
(， − )，,
，−
)是否在这个圆上.
在圆上，一个点在圆内；
解:圆心为A(2，−3)
，半径为5的圆的标准方程是
那我们该如何判断点与圆
数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设——设所求圆的方程为(－)＋(－)＝；
②列——由已知条件，建立关于，，的方程组；
③解——解方程组，求出，，；
④代——将，，代入所设方程，得所求圆的方程．
随堂练习
1.写出下列圆的标准方程:
(1)圆心为C(− 3，4)，半径是 ;
(2)圆心为C(− 8，3)，且经过点M(− 5，− 1).
解析：(1) + + − =
(2) + + − = .
随堂练习
3.已知 (4，9)， (6，3）两点，求以线段 为直径的圆的
标准方程，并判断点 (，)，(，)，(，) 在圆上、圆内，
求△AOB的外接圆的标准方程.
解析：设圆的标准方程为 − + − = (r>0)
∵ A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)都在圆上，
− + =
∴ + − =
+ =
=
，解得 = .
=
∴ △AOB外接圆的标准方Байду номын сангаас是 −
这也是求轨迹方程的步骤！
新知探究
探究二：求圆的标准方程
课堂练习
例1 求圆心为(， − )，半径为5的圆的标准方程，并判断点
y
(−
两个点中，一个
，
(， − )，,
，−
)是否在这个圆上.
在圆上，一个点在圆内；
解:圆心为A(2，−3)
，半径为5的圆的标准方程是
那我们该如何判断点与圆
数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设——设所求圆的方程为(－)＋(－)＝；
②列——由已知条件，建立关于，，的方程组；
③解——解方程组，求出，，；
④代——将，，代入所设方程，得所求圆的方程．
随堂练习
1.写出下列圆的标准方程:
(1)圆心为C(− 3，4)，半径是 ;
(2)圆心为C(− 8，3)，且经过点M(− 5，− 1).
解析：(1) + + − =
(2) + + − = .
随堂练习
3.已知 (4，9)， (6，3）两点，求以线段 为直径的圆的
标准方程，并判断点 (，)，(，)，(，) 在圆上、圆内，
求△AOB的外接圆的标准方程.
解析：设圆的标准方程为 − + − = (r>0)
∵ A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)都在圆上，
− + =
∴ + − =
+ =
=
，解得 = .
=
∴ △AOB外接圆的标准方Байду номын сангаас是 −
新人教版高中数学《圆的标准方程》公开课PPT课件
方法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
b＝0
则(5－a)2＋(2－b)2＝r2 (3－a)2＋(－2－b)2＝r2，
a＝4
解得b＝0 r＝ 5.
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
方法二：因为圆过 A(5,2)，B(3，－2)两点， 所以圆心一定在线段 AB 的中垂线上， AB 中垂线的方程为 y＝－12(x－4)． 令 y＝0，得 x＝4，即圆心坐标 C(4,0)， 所以 r＝|CA|＝ (5－4)2＋(2－0)2＝ 5. 所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
3．已知圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则原点与圆的位置关系是 () A．原点在圆内 B．原点在圆上 C．原点在圆外 D．以上都不对
【解析】∵(0－1)2＋(0＋2)2＝5，∴(0,0)点在圆上． 【答案】B
4．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的 圆的方程为________． 【解析】因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的 圆心为(2，－3)．又 r＝ (2＋1)2＋(－3－1)2＝5， 所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 【答案】 (x－2)2＋(y＋3)2＝25
若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点吗？ 【答案】 不是，因为从几何意义上讲圆指的是“圆圈”， 圆上的点并不含圆心．从点与圆的位置关系看，圆心应该 在圆内．
自我尝试
1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 【解析】圆的半径 r＝ (1－0)2＋(1－0)2＝ 2，圆心坐标 为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 【答案】D
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32 42
5
∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为
d+r= 6 +1= 11 ，最小值为d-r= 6 -1= 1 .
5
5
55
（2）设t=x-2y, 则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.
2t
1. 5 2 t 5 2,
12 22
∴tmax= 5 -2，tmin=-2- 5 . （3）设k= y 2 , 则直线kx-y-xk+12=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，
1 2
12
(3
2)2
5
1
(6)2 4
4m
.
∴m=3.∴半径为
5 2
,圆心为
1 2
,3.
方法三 设过P、Q的圆系方程为
x2+y2+x-6y+m+ (x+2y-3)=0.
由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.
m 3 0,即m 3.
∴圆系方程可化为
x2+y2+x-6y+3 + x+2 y-3 =0 即x2+(1+ )x+y2+2( -3)y=0.
§7.5 圆的方程
基础知识 自主学习
要点梳理 1.圆的定义
在平面内，到 定点 的距离等于定长的点的集合 叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是 圆心 和 半径 . 3.圆的标准方程 （x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0）,其中 (a,b)为圆心, r 为半径.
4.圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是
a=1,b=3,r2=9或a=-1,b=-3，r2=9.
故所求的圆的方程是
(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.
方法二 设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，
圆心为
D 2
,
E 2
,
半径为
1 2
D2 E2 4F.
令y=0，得x2+Dx+F=0,
由圆与x轴相切，得Δ=0，即D2=4F.
知能迁移3 已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0）， B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点. （1）求线段AP中点的轨迹方程； （2）若∠PBQ=90°，求PQ中点的轨迹方程. 解（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式 可知，P点坐标为（2x-2,2y）. ∵P点在圆x2+y2=4上， ∴（2x-2）2+（2y）2=4. 故线段AP中点的轨迹方程为（x-1)2+y2=1.
2
2
方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，
∵O1M⊥PQ，∴ kO1M 2.
∴O1M的方程为y-3=2 x 1 ,
即：y=2x+4.
2
由方程组
y x
2x 4 2y 3
, 0
解得M的坐标为（-1，2）.
则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.
∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上. ∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2. 在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.
则圆C的方程为
（ B）
A.（x+1）2+(y-1)2=2
B.（x-1）2+(y+1)2=2
C.（x-1）2+(y-1)2=2
D.（x+1）2+(y+1)2=2
解析 由题意可设圆心坐标为（a,-a）,则
aa aa4
,解得a=1，故圆心坐标为
2
2
（1，-1），半径r=
11
2,
所以圆的方
2
程为（x-1）2+(y+1)2=2.
得5y2-20y+12+m=0.
设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件： y1+y2=4,y1y2= 12 m .
5 ∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.
而x1=3-2y1,x2=3-2y2
∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2 27 4m . .
∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为5 1 ,3 ，半径r= 5 .
cos sin
1, 1,
（θ为参数）的普通方程为 ( C )
A.（x-1）2+(y+1)2=1
B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y-1)2=1
D.(x-1)2+(y-1)2=1
解析
移项, 得xy
1 1
cos ,由sin2 sin ,
cos2
1,
得(x+1)2+(y-1)2=1.
3k 2 1.3 3 k 3 3 ,
k2 1
4
4
kmax
3 4
3 , kmin
3 4
3.
题型三 与圆有关的轨迹问题 【例3】设定点M（-3，4），动点N在圆x2+y2=4上
运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP， 求点P的轨迹. 思维启迪 先设出P点、N点坐标，根据平行四边 形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标,代 入圆的方程可求.
于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求 该圆的圆心坐标及半径. 思维启迪 （1）利用垂直列出坐标之间关系， 再化为m的方程求解；（2）OP⊥OQ得到O点 在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解； （3）利用圆的性质列出m的方程求解.
解 方法一 将x=3-2y,
代入方程x2+y2+x-6y+m=0,
∵|CA|2=|CB|2，
∴（a-1）2+（2-a+1）2=（a+1）2+（2-a-1）2，
∴a=1，b=1.∴r=2，∴方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
题型分类 深度剖析
题型一 求圆的方程
【例1】求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被 直线x-y=0截得的弦长为2 7 的圆的方程.
思维启迪 由条件可设圆的标准方程求解，也可设 圆的一般方程，但计算较繁琐.
④
又圆心
D 2
,
E 2
到直线x-y=0的距离为
DE 2 2, 2
D E 2
由已知，得
2 2 ( 7)2 r2, 2
即（D-E）2+56=2（D2+E2-4F）
⑤
又圆心
D 2
,
E 2
在直线3x-y=0上，
∴3D-E=0.
⑥
联立④⑤⑥，解得
D=-2,E=-b
与圆相2切 0时，b 纵 截3距, b取得最大值或6 最小值， [ 3分]
此时 2
解得b=-2± .
[5分]
2 6,
2 6.
（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由
平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交
点处取得最大值和最小值.
[ 9分]
又圆心到原点的距离为 (2 0)2 (0 0)2 2, [10分] 所以x2+y2的最大值是 (2 3)2 7 4 3,
故所求圆的方程是x2+y2-2x-6y+1=0
或x2+y2+2x+6y+1=0.
探究提高 求圆的方程，一般用待定系数法.圆的 一般式和标准式均有三个未知数，合理选择方程 形式可以减少运算量，若已知与圆的圆心和半径 有关的条件，应优先选择圆的标准形式.
知能迁移1（2009·辽宁）已知圆C与直线
x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，
解 方法一 设所求的圆的方程是
（x-a）2+（y-b）2=r2， 则圆心（a，b）到直线x-y=0的距离为 a b ，
2 ∴r2= a b 2 ( 7)2,
2
即2r2=(a-b)2+14
①
由于所求的圆与x轴相切，∴r2=b2.
②
又因为所求圆心在直线3x-y=0上，
∴3a-b=0.
③
联立①②③，解得
1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值
范围是
（
A.a＜-2或a＞ 2
B. 2 ＜a＜0
3 C.-2＜a＜0
3 D.-2＜a＜
2
解析 方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 3
D）
转化为
x
a 2
2
+(y+a)2= 3 a2-a+1, 4
所以若方程表示圆，则有 3 a2 a 1 0,
题型二 与圆有关的最值问题 【例2】(12分)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. （1）求y-x的最大值和最小值； （2）求x2+y2的最大值和最小值. 思维启迪 根据代数式的几何意义，借助于平面 几何知识，数形结合求解.
解题示范 解 圆的标准方程为(x-2)2+y2=3.
[1分]
（1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线
4
∴3a2+4a-4＜0,∴-2＜a＜2 .
3
2.圆x2+y2-2x+2y+1=0的圆心到直线x-y+1=0的距离