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2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
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THANKS
感谢观看
2024/3/24
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周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
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02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
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解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
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错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
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7
02 三角函数诱导公 式与变换
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8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
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例7 求函数 y coxs taxn的定义域.
x 22kx2k, k Z
4.三角函数的符号
sin
cos
tan
1y
0+ +
_o _
不存在
0
x
_0
-1
_o
y
+
1x
_
0
+o
y
+
0x
_
+
-1
sin ,csc
0
不存在
cos,sec tan , cot
已知三角函数值，求角
一、基本概念：
1.角的概念的推广 （1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角， 并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和 零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.
（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与 直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半 轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角 是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个 角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.
(2)象限角、象限界角(轴线角)
①象限角
第一象限角:
(2k<<2k+
2
,
kZ)
第二象限角:
(2k+
2
<<2k+,
kZ)
第三象限角:
(2k+<<2k+
3
2
,
kZ)
第四象限角:
(2k+
3
2
<<2k+2,
kZ
或
2k-
2
<<2k,
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-4
→ → 因为AF＝(－4,3)，BE＝(2，－6)， → → AF· BE → → 所以 cos〈AF，BE〉＝ → → |AF||BE| 13 ＝－50 10. 13 即两直角边中线所成钝角的余弦值为－ 10. 50
例2 程． 剖析
求通过 A(－2，－1)，且平行向量 a＝(3,2)的直线方
→ 在所求直线上任取一点 P(x，y)，则AP∥a，利用向
规律技巧
要证明三点共线，只需要证明包含这三个点的
两个向量共线，从而把点共线问题转化成向量共线问题．
变式训练 1
已知直角三角形的两直角边长为 4 和 6， 求两
直角边中线所成钝角的余弦值．
解析
以直角三角形的顶点为坐标原点，两直角边所在的
直线为 x 轴、 y 轴， 建立如图所示的直角坐标系， 则 A(4,0)， B(0,6)， 设 AF、BE 为直角边 OB、OA 的中线，则 E(2,0)，F(0,3)．
解析
小船的实际速度大小为
102＋22＝ 104＝2 26 m/s.
答案 B
3．过点(－1,3)且与向量 a＝(2,1)垂直的直线方程为( A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0
)
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
解析
设所求直线方程为 2x＋y＋C＝0，
∵该直线过(－1,3)，∴C＝－1. ∴所求直线方程为 2x＋y－1＝0.
(3)法向量： 如果表示向量的基线与一条直线 垂直 ， 那么称这个向量
垂直 该直线．这个向量称为这条直线的法向量．
2．特殊向量 设直线 l 的一般方程 Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线 l 垂直 ，向量(－B，A)与 l 平行． 3．力向量 力向量与自由向量不同，它包括 大小、方向、作用点 三个 要素，在不考虑 作用点 的情况下，可利用向量运算法则进行 计算．
高中数学必修4全册课件ppt人教版
跟踪训练 3．(1)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm， 求扇形的面积； (2)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形的 圆心角的弧度数．
解：(1)扇形的圆心角为 75×1π80＝51π2，扇形半径为 15 cm. ∴扇形的面积 S＝12|α|·r2＝12×51π2×152＝3785π(cm2)．
长及扇形面积． (1)43π；(2)165°. 【解】 (1)l＝|α|·r＝43π×10＝430π(cm)， S＝12|α|·r2＝12×43π×102＝2030π(cm2)．
(2)165°＝1π80×165 rad＝1112π rad. ∴l＝|α|·r＝ 1112π×10＝565π(cm)， S＝12l·r＝12×565π×10＝2675π(cm2)．
③yx叫做 α 的 正切 ，记作 tan α ，即tan α＝yx (x≠0).
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余
【名师点评】 (1)弧长公式 l＝|α|·r 与扇形面积公式 S＝12 |α|·r2＝12l·r 在应用公式时，圆心角 α 的单位必须是弧度． (2)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量：面积 S，弧长 l，圆心角 α，半径 r，已知其中的三个量一定能求得第四 个量(通过方程求得)，已知其中的两个量能求得剩余的两 个量(通过方程组求得)．
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
弧度制
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角 的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，如果 半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，那么，
角a的弧度数的绝对值是 | a | = l / r
l
注：“弧度”不是弧长，它是一
a
个比值。值有正负。
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弧度制的性质
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弧度制的性质
①半圆所对的圆心角为 r .
r
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弧度制的性质
①半圆所对的圆心角为 r .
r
②整圆所对的圆心角为 2 r 2 .
r
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弧度制的性质
①半圆所对的圆心角为 r .
r
②整圆所对的圆心角为 2 r 2 .
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讲授新课
角的有关概念 ① 角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着 端点从一个位置旋转到另一个位置所 形成的图形.
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②角的名称
B
O
A
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②角的名称
B
O
A
顶点
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②角的名称
B
始边
O
A
顶点
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限角？
y
y
45°
o
x
⑴
x 60°o 30°
⑵
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例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象
限角？
y
y
45°
o
x
⑴
x 60°o 30°
⑵
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例2．在直角坐标系中,作出下列各 角,并指出它们是第几象限的角． ⑴60°； ⑵120°；⑶240°； ⑷300°；⑸420°；⑹480°.
注意 ⑴ k∈Z；
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注意 ⑴ k∈Z；
⑵ 是任一角；
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高一数学(人教A版)必修4精品课件：2-2-1 向量加法运算及其几何意义 公开课一等奖课件
温故知新 1．向量的有关概念：
既有大小又有方向 (1)所谓向量是______________________ 的量，其三要素
始点，大小，方向 ． 是____________________ 大小相等，方向相同 ，所谓共线 (2)相等向量应满足______________________ 方向相同或相反 向量是指___________________ 的向量．
向量和 的方法叫做向量加法的三角形 和，记作a＋b.这种求________
法则．
第二章
2.2 2.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量 a、b(如图乙所 → → → → 示)，作AB＝a，AD＝b，则 A、B、D 三点不共线，以AB，AD为 → 邻边作平行四边形 ABCD， 则向量 AC ＝a＋b， 这种作两个向 量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
第二章
2.2 2.2.1
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自主预习 1．向量的加法
和 的运算，叫做向量的加法．两 (1)定义：求两个向量____ 向量 ． 个向量的和仍然是一个______
(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a，b，在平 → → → 面内任取一点，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做向量a与b的
第二章
2.2 2.2.1
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[拓展]①向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺 次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组 向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个 法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角 形法则的连续应用． ②三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意 义． (4)规定：a＋0＝0＋a＝a. (5)结论：|a＋b|≤|a|＋|b|.
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45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°
理论迁移 例1 在0°～360°范围内，找出
与－950°12′角终边相同的角，并判 定它是第几象限角.
129°48′，第二象限角.
例2 求与3900°终边相同的最小 正角和最大负角.
300°，-60°.
例3 写出终边在直线y=x上的角的集
合S，并把S中适合不等式-360°≤ ＜
B2αO来自Aβ思考6：如果你的手表慢了20分钟，或快 了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多 少度才能将时间校准？
－120°，450°.
思考7：任意两个角的数量大小可以相加、 相减，如 50°＋80°=130°， 50° －80°=－30°，你能解释一下这两个式 子的几何意义吗？
终边在x轴上： S={α|α=k·180°，k∈Z}.
终边在y轴上： S={α|α=90°＋k·180°,k∈Z}.
思考3：第一、二、三、四象限的角的集 合分别如何表示？
第一象限： S={α|k·3600<α<900＋k·3600,k∈Z}；
第二象限： S={α|900＋k·3600<α<1800+k·3600,k∈Z}；
范围就扩展到了任意大小. 对于α ＝210°，
＝－150°，＝－660°，你能用图形表示这
些角吗？你能总结一下作图的要点吗？
画图表示一个大小一定的角， 先画一条射线作为角的始边， 再由角的正负确定角的旋转 γ 方向，再由角的绝对值大小 确定角的旋转量，画出角的 终边，并用带箭头的螺旋线 B1 加以标注.
3.象限角
在直角坐标系中，角的顶点与原点 重合,角的始边与x轴的非负半轴重合. 如果角的终边在第几象限，我们就说这 个角是第几象限的角；如果角的终边在 坐标轴上，就认为这个角不属于如何象 限，或称这个角为轴线角. y
理论迁移 例1 在0°～360°范围内，找出
与－950°12′角终边相同的角，并判 定它是第几象限角.
129°48′，第二象限角.
例2 求与3900°终边相同的最小 正角和最大负角.
300°，-60°.
例3 写出终边在直线y=x上的角的集
合S，并把S中适合不等式-360°≤ ＜
B2αO来自Aβ思考6：如果你的手表慢了20分钟，或快 了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多 少度才能将时间校准？
－120°，450°.
思考7：任意两个角的数量大小可以相加、 相减，如 50°＋80°=130°， 50° －80°=－30°，你能解释一下这两个式 子的几何意义吗？
终边在x轴上： S={α|α=k·180°，k∈Z}.
终边在y轴上： S={α|α=90°＋k·180°,k∈Z}.
思考3：第一、二、三、四象限的角的集 合分别如何表示？
第一象限： S={α|k·3600<α<900＋k·3600,k∈Z}；
第二象限： S={α|900＋k·3600<α<1800+k·3600,k∈Z}；
范围就扩展到了任意大小. 对于α ＝210°，
＝－150°，＝－660°，你能用图形表示这
些角吗？你能总结一下作图的要点吗？
画图表示一个大小一定的角， 先画一条射线作为角的始边， 再由角的正负确定角的旋转 γ 方向，再由角的绝对值大小 确定角的旋转量，画出角的 终边，并用带箭头的螺旋线 B1 加以标注.
3.象限角
在直角坐标系中，角的顶点与原点 重合,角的始边与x轴的非负半轴重合. 如果角的终边在第几象限，我们就说这 个角是第几象限的角；如果角的终边在 坐标轴上，就认为这个角不属于如何象 限，或称这个角为轴线角. y
人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT
解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
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2100
6600
-1500
特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这时形成了一个角，并把这个角 叫做零度角（0º）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了
① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660.
4．终边相同的角
⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同.
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到 360的角与k(k∈Z)个周角的和： 390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1)
30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4) 1770=305×360 (k=－5)
课堂练习
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是 否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间 (0º,90º)内的角是锐角吗？
答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定 是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐 角．
2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边 落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指 出它们是哪个象限的角？ (1)420º，(2) －75º，(3)855º，(4) －510º．
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，
绕着它的端点O按逆时针方向
旋转到另一位置OB，就形成角B
α．
旋转开始时的射线OA叫做
角α的始边，旋转终止的射线
O
Aห้องสมุดไป่ตู้
OB叫做角α的终边，射线的端
点O叫做角α的顶点．
⑵．“正角”与“负角”、“0º角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做
正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β= －150°，γ=660°，
(2) S={β| β=k·360º－21º(k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º．
(3) β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 －2×360º+363º14’=－356º46’； －1×360º+363º14’=3º14’； 0×360º+363º14’=363º14’．
答：(1)第一象限角； (2)第四象限角， (3)第二象限角， (4)第三象限角.
3、已知α,β角的终边相同，那么α －β的终边 在（ A） A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上
⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’， ∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同， 它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在－360º~720º间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(1) S={β| β=k·360º+60º(k∈Z) }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º．
例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
解：⑴∵－120º=－360º+240º， ∴240º的角与－120º的角终边相同， 它是第三象限角．
⑵ ∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同， 它是第四象限角．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量）
（1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根 据以往的经验，我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示，那么许多问题就可以解 决了；
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360º， 角度的绝对值可大于360º.于是就会出现 720º， － 540º等角度.
⑶ 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构
成一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z)
即：任何一个与角终边相同的角，都可 以表示成角与整数个周角的和
⑷注意以下四点： ① k∈Z； ② 是任意角； ③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应 看成k·360º+(－30º)； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360º的整数倍.
3．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标
系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合
于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几 象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的
终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象 限）
例如：30、390、330是第Ⅰ象限角， 300、 60是第Ⅳ象限角， 585、1300是第Ⅲ象限角， 135 、2000是第Ⅱ象限角等
1.1.1 任意角的概念
1、角的概念
初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理
解，但它是从图形形状来定义角，因此角的 范围是[0º, 360º)，
这种定义称为静态定义，其弊端在于 “狭隘”.
生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体720º，跳水运动员向内、 向外转体1080º； 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多 少度？ 这些例子不仅不在范围[0º, 360º) ，而且 方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。
② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）
3周（360×3=1080） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
角的概念推广以后，它包括任意大小的正 角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．