高二数学圆的一般曲线方程
高二数学圆的标准方程 圆的一般方程知识精讲 人教版
高二数学圆的标准方程 圆的一般方程知识精讲 人教版一. 本周教学内容：《解析几何》第二章第二单元§2.5 圆的标准方程；§2.6 圆的一般方程二. 重点、难点：1. 圆的定义：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹，叫做圆。
这定点叫做圆的圆心，通常用C 表示；这定点叫做圆的半径，通常用r 表示。
根据圆的定义，易导出圆的标准方程。
2. 圆的标准方程的导出：设圆心C （a ，b ），半径为r ，设P （x ，y ）是圆C 上任意一点，则 ()()由圆的定义，可知，即PC r x a y b r =-+-=22()()化简，得x a y b r -+-=222此即以（，）为圆心，以为半径的圆的标准方程a b r C（1）由标准方程易得圆心坐标及半径；反之，若已知圆心坐标及半径，易得圆的标准方程。
（2）由标准方程可知，欲确定（求出）一个圆，需三个条件：a ，b ，r ，因此在求圆的方程的时候，通常要列出关于a ，b ，r 为未知的三个方程，求解a ，b ，r ，再写出标准方程。
()()若将圆的标准方程进一步去括号，整理，可得圆的一般方程。
x a y b r -+-=2223022.圆的一般方程：x y Dx Ey F ++++=当且仅当时，上述方程才表示圆，其圆心坐标为，，半径D E F DE 224022+->--⎛⎝ ⎫⎭⎪r D E F =+-12422。
事实上，上述结论可由如下方法得来：把的左式配方变形，得：x y Dx Ey F 220++++= x D y E D E F +⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-22442222 若，则该方程表示以，为圆心，以为半D E F C DE D EF 22224022124+->--⎛⎝ ⎫⎭⎪+-径的圆。
若，则该方程即D E F x D y E 222240220+-=+⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=x D y E DE =-=---⎛⎝ ⎫⎭⎪2222且，此时该方程只有一个解，，它表示一个点。
高二数学圆的一般方程 人教版
高二数学圆的一般方程人教版(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径、掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件、(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程、(3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题、教学重点和难点重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F、难点：圆系的理解和应用、教学过程设计(一)教师讲授：请同学们看出圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r、把圆的标准方程展开，并整理：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0、我们把它看成下面的形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 ①这个方程是圆的方程、反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线是圆、②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示(2)当D2＋E2－4F=0时，方程②表示(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程②不表示任何图形∴当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0、做圆的一般方程、现在我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1)①x2和y2的系数相同，不等于0、②没有xy这样的二次项、同学们不难发现，x2和y2的系数相同，不等于0、且没有xy 这样的二次项，是方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件、但不是充分条件、(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了、(二)研究问题1，求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标、[解法一]设所求圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0、把已知三点的坐标代入，得三个方程，解这三个方程组成的方程组∴所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y=0、[解法二]先求OM1和OM2的中垂线：y－1=(－2)(x－2)2x＋y=5∴所求圆的方程为，(x－4)2＋(y＋3)2=25、[分析]设动点M(x，y)，|MO|、|MA|都可表示出、解设曲线上的动点为M(x，y)、化简得 x2＋y2＋2x－3=0配方 (x＋1)2＋y2=4、∴所求的轨迹是以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆、研究问题3，自P0(x0，y0)作圆x2＋y2=r2的两切线，切点分别为P1、P2，求证：P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r2、[分析]自P0(x0，y0)作图x2＋y2=r2的两切线，切点分别为P1、P2如具体去求P1、P2的坐标，则运动量是非常大的、为此我们要研究较简单的办法、P0P1、P0P2是圆O的两条切线，∠OP1P0=∠OP2P0=90，则O、P1、P0、P2四点共圆，P1、P2为两个圆的交点，为此我们从两个圆的交点入手、即 x2＋y2－x0x－y0y=0、把(2)代入(1)：x0x＋y0y=r2、∴P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r2、这里同学们可能有点不太明白，为什么由方程(1)和(2)变出的关系式x0x＋y0y=r2就是过两圆交点的直线、请同学们回忆一下，我们在前面研究两条曲线交点的有关问题时，研究过这样一个定理、(课本复习题七，24题)“两条曲线的方程是f1(x，y)=0，和f2(x，y)=0，它们的交点是P(x0，y0)、求证：方程f1(x，y)＋λf2(x，y)=0的曲线也经过点P，这里λ是任意实数”、根据这一定理，(x2＋y2－x0x－y0y)＋λ(x2＋y2－r2)=0、表示过两圆交点的曲线，为了消去x2，y2项，我们取λ=－1，得曲线方程，x0x＋y0y=r2，实际上是直线x0x＋y0y=r2、就是说，直线x0x＋y0y=r2过两圆的交点、通过这个题，我们有下面一般的结论：如果圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0，和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0相交、(1)当λ≠－1时，方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0表示过圆C1与C2交点的圆、(2)当λ=－1时，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)=0表示过圆C1和C2交点的直线、这点的证明留给同学们课后去思考，而这个结论同学们今后在解题中将会得到应用、应当注意的是：方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0中由于λ取值的不同，得到不同的圆，这无数个圆形成一个集合，这个集合我们把它叫做一个圆系、这个圆系就是经过两圆交点的所有圆的集合、(三)学生课堂练习1、课本练习题1(1)点(0，0)、2、课本练习题2、(1)圆心为(3，0)，半径为3；(2)圆心为(0，－b)，半径为|b|、3、课本练习题3、(四)作业习题7、75，6，7，8二教学目标1、讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径、2、通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力、教学重点与难点圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用圆的方程为教学难点、教学过程一、复习并引入新课师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程、生：(x－a)2+(y－b)2=r2、师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式、师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？生A：是的、生B：缺少条件A2+B3≠0、师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？(书写课题：“圆的一般方程”的探求)二、新课师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下、大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手、如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的、想求圆的一般方程，怎么办？生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0、令D=－2a，E=－2b，F=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0、(*)师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式、那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？生A：不一定、还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式、生B：也可以像直线方程一样，要有一定条件、师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？生：配方、师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书、)1、当D2+E2－4F＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以3、当D2+E2－4F＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形、教师总结：当D2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程、师：圆的一般方程有什么特点？生A：是关于x、y的二元二次方程、师：刚才生A的说法对吗？生B：不全对、它是关于x、y的特殊的二元二次方程、师：特殊在什么地方？(通过争论与举反例后，由教师总结)师：1、x2，y2系数相同，且不等于零、2、没有xy这样的二次项、(追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件？生：必要条件、师：还缺什么？生：D2+E2－4F＞0、练习：判断以下方程是否是圆的方程：①x2+y2－2x+4y－4=0②2x2+2y2－12x+4y=0③x2+2y2－6x+4y－1=0④x2+y2－12x+6y+50=0⑤x2+y2－3xy+2y+5y=0⑥x2+y2－12x+6y+F=0三、应用举例师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？生：标准方程的几何特征明显能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程、师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径、生B：不用死记，配方即可、师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择、例1 求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求圆心和半径、分析标准方程需定a，b，r；一般方程需定：Ｄ，E，F，显然在没有告诉半径或圆心的情况下选一般方程，解D，E，F时较为简单、解法：设出一般方程，用待定系数法、例2 一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(－4，0)和(4，0)，求它的外接圆方程、解法一设出一般方程，用待定系数法、(由三角形性质知：顶点为(0，5))解法二设出标准式x2+(y－b)2=r2、(由三角形性质知：顶点为(0，5)，且圆心在y轴上)、四、小结注意一般式的特点：1x2，y2系数相等且不为零；2没有xy 这样的项；3D2+E2－4F＞0、另外，大家考虑：D2+E2－4F有点像什么？像判别式，它正是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式、如D、E确定了，则与F的变化有关、五、作业：1、求下列各圆的一般方程：①过点A(5，1)，圆心在点C(8，－3)；②过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)、2、求下列各圆的圆心坐标和半径：①x2+y2－2x－5=0②x2+y2+2x－4y－4=0③x2+y2+2ax＝0④x2+y2－2by－2b2＝03、求证：两圆x2+y2－4x－6y+9=0和x2+y2+12x+6y－19=0相外切、设计思想这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程、因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”、在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，而采用讨论式，引导学生探索，重视探索过程、一方面，把直线一般方程探求过程进行回顾，类比，学生从中领会探求方法；另一方面，“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法、同时，通过类比进行条件的探求“D2+E2－4F”与“Δ”(判别式)类比、在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识、这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程、三一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程、(二)能力训练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力、(三)学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础、二、教材分析1、重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程、(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练、)2、难点：圆的一般方程的特点、(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆、)3、疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0、(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件、)三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板、四、教学过程(一)复习引入新课前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0、可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0、请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题、复习引出课题为“圆的一般方程”、(二)圆的一般方程的定义1、分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形、这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法、2、圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程、(三)圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0、(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)、(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论、当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0、它才表示圆、条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出、教师还要强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件、(四)应用与举例同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆、下面看一看它们的应用、例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0、此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b、同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握、例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程、解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0、例2小结：1、用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程、2、关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程、再看下例：例3 求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程、(0，2)、设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10、这时，教师指出：(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程、(2)此题也可以用圆系方程来解：设所求圆的方程为：x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：由圆心在直线l上得λ=-2、将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0、此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念、的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线、此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形、(五)小结1、圆的一般方程的定义及特点；2、用配方法求出圆的圆心坐标和半径；3、用待定系数法，导出圆的方程、五、布置作业1、求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)、2、求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程、3、等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么、4、A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使∠APB=∠BPC，求动点P的轨迹、作业答案：1、(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=02、x2+y2-x+7y-32=03、所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，x≠5)，轨迹是以4、以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a＞0，c＞0)，P(x，y)，可得方程为：(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0、当a=c时，则得x=0(y≠0)，即y轴去掉原点；当a≠c时，则得(x-与x轴的两个交点、六、板书设计四教学目标(1)了解曲线的参数方程的含义，参数方程和普通方程的区别、(2)掌握圆的参数方程，能根据参数方程确定圆的圆心和半径，在解题中灵活运用、会把圆的参数方程与普通方程进行互化、(3)掌握确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的判别方法、教学重点和难点重点：圆的参数方程，圆的参数方程与普通方程的互化、利用距离判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系、难点：参数方程的理解、点与圆、直线与圆、圆与圆位置的判断、教学过程设计(一)学生阅读课本、(P973、圆的参数方程到P98例6前)、(二)导入新课，设圆O的圆心在原点，半径是r、根据三角函数的定义：P点的横坐标x，纵坐标y都是Q的函数、我们把这个方程叫做圆心为原点，半径为r的圆的参数方程、如果圆的圆心为O1(a，b)，半径为r，我们可以看成是由圆心在原点O，半径为r的圆按向量V=(a，b)平移而得到、即(x，y)=(rcosθ，rsinθ)＋(a，b)=(a＋rcosθ，b＋rsinθ)这个方程表示圆心在(a，b)点，半径为r的圆、消去参数就得到圆的标准方程、(x－a)2＋(y－b)2=r2、相对于参数方程来说，我们前面学过的方程叫曲线的普通方程、例1 如图，已知点P是圆x2＋y2=16上的一个动点，点A是X轴上的定点，坐标为(12，0)，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？[分析] 这个问题符合我们前面学过的用“转化法”求轨迹的特征，我们先用“转化法”作一下、然后再考虑其它方法、[解法一] 设动点M的坐标为(x，y)，P点的坐标为(x′，y′)、则(2x－12)2＋(2y)2=16、(x－6)2＋y2=4、∴M点的轨迹是圆心为(6，0)点，半径是2的圆、[解法二] P点在圆x2＋y2=16上，P点的坐标为(4cosθ，4sinθ)设动点M(x，y)则由此可知，M点的轨迹是圆心为(6，0)点，半径是2的圆、显然用参数方程表示出P的坐标，直接把圆的条件用进去，使解法简化、例2 经过圆x2＋y2=4上任一点P作X轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程、于是Q点的坐标为(2cosθ，0)、(三)新课堂练习、2、课本练习题2、(1)(x－1)2＋(y＋3)2=4，(2)(x－2)2＋(y－2)2=1、(四)教师讲授、我们已经研究了圆的三种形式的方程，现在我们来研究圆与点，圆与直线，圆与圆的位置关系、M3(1，0)与圆C的位置关系、把圆C的参数方程化为普通方程，(x－1)2＋(y－2)2=4、即x2＋y2－2x－4y＋1=0、∴M1在圆C的外部、把M2(2，1)代入圆的一般式的左边，x2＋y2－2x－4y＋1=－2＜0、∴M2在圆C的内部、把M3(1，0)代入圆的一般式的左边，x2＋y2－2x－4y＋1=0、∴M3在圆上、小结：由上面我们得出判断一个点在圆内、圆外、圆上的基本方法；即把这点M(x0，y0)代入圆的一般式f(x，y)=0的左边，f(x0，y0)＞0点M(x0，y0)在圆外；f(x0，y0)=0点M(x0，y0)在圆上；f(x0，y0)＜点M(x0，y0)在圆内、同学们想想，这是为什么？经过研究大家发现，(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，(x0－a)2＋(y0－b)2－r2＞0，∴f(x0，y0)＞0、类似地可推出M点在圆上，圆内的情况、问题2、K为怎样的值时，圆(x－1)2＋y2=1与直线y=Kx＋2(1)相切，(2)相交，(3)相离圆(x－1)2＋y2=1的圆心为(1，0)，半径为r=1、有些同学通过交点的个数去判断、Δ=(4K－2)2－16(1＋K2)=(－4)(4K＋3)小结：通过以上研究，给我们提供了判断圆与直线位置关系的两条途径、1、从距离考虑：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，d=r，圆与直线相切；d＜r，圆与直线相交；d＞r圆与直线相离、2、从交点考虑：设圆与直线组成方程组，得出一个一元二次方程，其判别式为Δ、Δ=0，圆与直线相切；Δ＞0圆与直线相交；Δ＜0圆与直线相离、这两种办法中，方法1更为普遍、而方法2有时计算量过大，应用起来不方便、问题3、a为何值时，圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－9=0与圆x2＋y2=4(1)外切，(2)内切，(3)相交，(4)外离，(5)内含、根据平面几何中两圆位置关系的研究，我们应从两圆连心线的距离与两圆半径间的关系去判断两圆的位置关系、圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－9=0的圆心(－a，2a)，半径R= 3、圆x2＋y2=4的圆心(0，0)，半径r=2、小结：通过上例我们可知，两圆的位置关系，可以由两圆连心线的长度d，与两圆半径R与r(R＞r)的数量关系去判断、(五)作业、习题7、79、10、11、圆的方程及应用教学目标1、使学生掌握圆的标准方程，能根据所给有关圆心和半径的具体条件，准确写出圆的标准方程，并能由所给圆的方程正确地求出圆心和半径，通过圆的标准方程的推导，培养学生分析问题和解决问题的能力、2、掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径、3、理解掌握圆与直线及其它圆锥曲线图形与方程之间的关系，能根据图形特点，写出曲线方程之间的关系；能根据代数方程，画出曲线与曲线之间的各种图形，有利于问题的简化，达到解题的目的、4、努力学会充分利用平面几何中有关圆的性质和定理解题，要充分利用数形结合的思想和方程的思想，由图形来探索解题的方法、重点难点1、圆的标准方程和一般方程的特点，根据具体题目条件，选用圆的一般方程解决问题、2、直线和圆的各种位置关系，重点掌握直线与圆相切的有关问题、3、难点是如何适当的利用平面几何中圆的有关性质和定理解题、虽然解析几何中讨论圆的问题主要是利用代数方程，但灵活应用平面几何中的有关定理在有些时候对解题会有很大的帮助，这一点在复习圆及有关问题时应予以足够的重视、教学过程圆是大家很熟悉的特殊的二次曲线，用坐标法，从圆的特征性质导出圆的方程，再通过圆的方程来研究与圆有关的问题、由于圆的特殊性和其广泛的应用，所以在复习圆的过程中应着重掌握好以下几个方面的问题、1、圆的方程的各种情况及其应用；2、圆的切线方程；3、有关圆的轨迹问题；4、直线与圆结合的应用问题、例题部分例1 求圆心在直线4x+y=0上，且与直线x+y-1=0切于点P(3，-2)的圆的方程、分析由于已知条件涉及到圆的圆心和半径，所以设所求圆的方程为：(x-a)2+(y-b)2=R2，根据题意，则有以下方程组成立评述这是一道典型的例题，它充分体现了点在曲线上，点的坐标满足曲线方程的主导思想；圆的半径由点到切线的距离来描述，圆心由它所适合的方程组来决定，本题实际上给出了确定圆的方程的基本方法、前面已经提到了复习圆这一节时要充分利用圆的有关平面几何的性质和定理，如能考虑到这一点，本题的解法则可能会更简单：如图1，设所求圆的圆心为C，则PC垂直于直线x+y-1=0，例2 已知经过点A(0，1)和点B(4，a)，且与x轴相切的圆只有一个，求此时a的值及相应的圆的方程、分析因为该圆与x轴相切，故圆心纵坐标的绝对值即为该圆的半径，所以用圆的标准方程解本题、解因为所求圆与x轴相切、所以可设所求圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=y02、因为A(0，1)，B(4，a)在圆上，所以消去y0，得(x0-4)2+a2=a(x02+1)即(1-a)x02-8x0+(a2-a+16)=0、③ (2)当a≠1时，若适合题意的圆只有一个，方程③必须有二等根，即有Δ=b2-4ac=0、得64+4(a-1)(a2-a+16)=0，整理该方程有a[(a-1)2+16]=0，评述本题的特点是由数形结合的思想出发，画出草图，做出定量分析，在此基础上建立与题意相适应的代数方程，并通过解方程组使问题得到解决、例3 已知抛物线y2=2px(p＞0)的内接三角形的一个顶点在原点，三边上的高线都通过焦点F，求此三角形的外接圆方程、分析先求三角形另两个顶点A，B的坐标，再求过O，A，B三点的圆的方程、解如图(2)所示，设△OAB为抛物线y2=2px的内接三角形，AD，因为OA⊥BE，所以KOAKBE=-1，即例4 求过点P(2，4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程、解因为(2-1)2+(4+3)2=50＞1，所以点P(2，4)在圆(x-1)2+(y+3)2=1的外部、4=k(x-2)、①把①代入圆的方程得(x-1)2+[k(x-2)+4+3]2=1，即(1+k2)x2-(4k2-14k+2)x+4k2-28k+49=0，其判别式Δ=56k-192、的一条切线的方程、因为圆心(1，-3)到该直线的距离d=1，所以x=2是所求的另一条切线方程、综合(1)、(2)，所求的两条切线方程是x=2和24x-7y-20=0、评述在解决这类问题的时候，一定要注意两点，第一是先判断点P(2，4)与圆的位置关系，点P(2，4)必须在圆上或圆外才有解，第二要考虑斜率k不存在的情况，以免漏解、这样考虑问题较细致，但计算量相应较大，如能利用平面几何中圆的切线定义，根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一点，则计算量相应减少，解法简化、由圆心为(1，-3)，半径R=1，将切线方程改写成直线的一般形式在的特殊情况x=2，这样就可得两条切线方程、例5 求经过点A(4，-1)，且与已知圆C：(x+1)2+(y-3)2=5相外切于点B(1，2)的圆的方程、解如图3，设所求的圆C′的方程为(x-a)2+(y-b)2=R2、因为C′既在弦AB的垂直平分线上，又在直线BC上，AB 中垂线方程为3x-y-6=0，BC所在直线的方程为x+2y-5=0，所以圆心C′的坐标应满足方程组解得a=3，b=1、因为所求圆C′过点A(4，-1)，所以(4-3)2+(-1-1)2=R2=5、所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5、评述确定一个圆的方程主要是两个数据：圆心和半径、本题解决的关键是要确定圆心C′的位置，C′一确定，半径即为|C′A|、由已知条件得出C′满足的条件有两个，一是C′在线段AB的垂直平分线上；二是圆C和C′相外切，C′一定在直线CB上，由此建立(a，b)所满足的方程组，问题即可得解、例6已知与圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，相切的直线l交x轴、y轴分别于A，B点，设O为原点，|OA|=a，|OB|=b(a＞2，b＞2)、(1)求证圆C与直线l相切的充要条件是(a-2)(b-2)=2；(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)求△AOB面积的最小值、解 (1)因为l与圆心相切，且a＞2，b＞2，所以可设直线l的方评述讲解本题的目的，是为了锻炼学生解决综合题的能力，其中第(1)小题被反复应用多次，特别是(3)建立在(1)的基础上的恒等变形技巧值得借鉴、例7 AB为定圆的直径，C为该圆上异于A，B的任一点，l为过C点的圆的切线，过B引BP⊥l，且交AC的延长线于P，求点P的轨迹、解法一如图4所示，以圆心O为原点，AB 所在的直线为x轴，建立坐标系，则定圆方程为x2+y2=r2、(因为C是动点，点P因点C动而动，故可)设P点坐标为(x，y)，C点坐标为(x1，y1)、(P点是直线AC，BP的交点，所以P点受直线AP和BP的制约，因此建立直线AP与BP的方程，来确定P点与C点坐标之间的关系式、)因为C点不与点A，B重合，所以y1≠0，由过C点的切线l的方程为x1x+y1y=r2，直线BP⊥l，所以y1x-x1y-y1r=0①，点P在直线AC=r2，即(x-r)2+y2=4r2(y≠0)即为所求P点的轨迹方程，其轨迹要除去x轴上的两个点、评述本题特点是动点P随着相关点C的运动而运动，如果能用动点P的坐标(x，y)，表示相关点C的坐标(x1，y1)，则按照相关点C所满足的条件列出方程，就能得动点P的轨迹方程、这种方法通常称为相关点法，在解析几何中经常用到，应给予足够的重视、解法二因为BP⊥l，OC⊥l，所以OC∥BP、因此|BP|=2|OC|=2r、这说明当点C运动时，动点P距定点B的距离总等于常数2r、根据定义可得到：P点轨迹是以点B(r，0)为圆心，以2r为半径的圆、因为C点不与A，B点重合，所以y≠0，所以点P的轨迹方程为(x-r)2+y2=4r2(y≠0)、例8 从直线x=-2上一动点P向圆x2+y2=1引两条切线，求以两切点为端点的弦AB的中点M的轨迹方程、分析如图5，本题解决的思路是如何建立起切点弦AB所在直线的方程、如图所示，OP⊥AB，。
2.1.1-2.1.2 圆的标准方程 圆的一般方程(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第一册)
解： 法一：待定系数法
设所求的方程是 （ − ) + ( − ) = ①
因为 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）三点都在圆上，所
以它们的坐标都满足方程①.
（ − + − =
+ − − + =
02
圆的一般方程
问题：
前面，我们学习直线方程，都研究了哪些问题 ？
提示：
确定直线位置的几何要素：点、
方向
直线的倾斜角和斜率
直线的点斜式方程、直线的两点
式方程等
直线的一般式方程
问题2
类比直线方程的研究过程，我们如何研究圆的方程？
提示：
确定圆的几何要素：圆心、半径
圆的标准方程
圆的一般式方程？
问题3
圆心O的坐标是方程组 + + = 的解.
半径是 =
圆心O（2，-3）
( − ) +( + ) =
所以，△ABC的外接圆的标准方程是（ − ) + ( + ) = .
例3 已知圆心为C的圆经过A（1，1） B（2，-2）两点，且圆心C在直线 l: x-y+1=0 上，
圆的标准方程是 (
)
A.(x-1)2+(y-2)2=5
B.(x-5)2+y2=25
C.(x-1)2+(y-2)2=25
D.(x-5)2+y2=5
解析: 因为圆的一条直径的端点分别是 A(0,0),B(2,4),
所以利用中点坐标公式求得圆心为(1,2),
2
2
从而可求得半径为 (0-1) + (0-2) = 5,
圆的一般方程课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册 (2)
标准方程
2.一般方程
展开
3.方程形式的选用：
①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程;
②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.
4.轨迹方程的求法：待定系数法、相关点法
两点；
（2）经过A（4,0），B（3，-3），C（1,1）三点
分析：方法一：待定系数法：设圆的一般方程，根据已知条件，
建立关于D,E,F的方程组；解方程组，求出D,E,F的值
方法二：直接法。即根据条件直接求出圆心和半径，得到圆的方
程，这种方法一般用在圆心比较明确，易于确定圆心坐标的题目。
答案：（1）x2+y2-2x-2y-3=0
答案:D
2.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于(
3
2
A.
答案:B
3
2
B.-
C.3
D.-3
)
课堂小结
1.任何一个圆的方程可以写成2 + 2 + + + = 0（1）的形式，但方程（1）表示的不一定是圆，只
1
有2 + 2 − 4 > 0时，方程表示圆心 − 2 , − 2 为半径为 = 2 2 + 2 − 4.
圆的一般方程: 2 ＋ 2＋＋＋＝0（2 + 2 − 4 > 0）
结构特征：
①方程中二次项2， 2的系数相等且均为1；
②方程中不含x与y的乘积项
圆的标准方程与
圆的一般方程各
有什么特点？
①圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半
径，几何特征明显；②圆的一般方程明确
表明其形式是一种特殊的二元2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否
高二数学圆的方程知识点
高二数学圆的方程知识点圆是几何中的重要概念之一，它在数学中有着广泛的应用。
在高二数学中，我们需要掌握圆的方程及相关的知识点。
本文将介绍高二数学圆的方程知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、圆的基本概念圆是由平面上距离一个固定点（圆心）距离相等的所有点构成的图形。
圆由圆心和半径唯一确定。
二、圆的一般方程圆的一般方程形式为：(x-a)² + (y-b)² = r²其中，(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
三、圆的标准方程圆的标准方程形式为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E、F为常数，表示圆心及半径的信息。
四、圆的参数方程圆的参数方程形式为：x = a + r*cosθy = b + r*sinθ其中，(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度，θ为参数。
五、圆的切线方程圆的切线方程与切点的坐标有关，一般可以通过求导数来得到。
切线方程的一般形式为：y - y₀ = k(x - x₀)其中，(x₀, y₀)为切点的坐标，k为切线的斜率。
六、圆与直线的位置关系1. 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
2. 直线与圆外切：直线与圆相切，且切点位于圆的外部。
3. 直线与圆内切：直线与圆相切，且切点位于圆的内部。
4. 直线与圆相离：直线与圆没有交点。
七、圆与圆的位置关系1. 外离：两个圆没有交点，且它们的圆心间的距离大于两个圆的半径之和。
2. 外切：两个圆有且仅有一个切点，且它们的圆心间的距离等于两个圆的半径之和。
3. 相交：两个圆有两个交点，且它们的圆心间的距离小于两个圆的半径之和。
4. 内切：两个圆有且仅有一个切点，且它们的圆心间的距离等于两个圆的半径之差。
5. 内含：一个圆完全包含在另一个圆的内部。
八、圆的相关性质1. 直径垂直于弦：如果一条弦的两个端点都在圆的直径上，那么这条弦垂直于直径。
2. 弦的性质：如果两条弦相交于圆上的一个点，那么这两条弦的交点到各自弦上任意一点的线段长度相等。
2.4.2 圆的一般方程(与圆有关的轨迹问题) (教学课件)——高二上学期数学人教A版(2019)
三、典型例题
例3 已知圆O的直径AB=4，动点M到点A的距离是它到点B的距离的 2 倍,试探究动点M的轨迹.
三、典型例题
如果把本例中的“ 2倍”改 为“k(k>0)倍”，你能分析并解 决这个问题吗?
四、课堂小结
求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法： 设动点坐标,直接得出坐标所满足的关系式,而求出轨迹方程,
(其中圆心为4（F->0D2),-
E 2
），半径为
Hale Waihona Puke 1 2D2 + E2 - 4F )
二、轨迹问题
点的轨迹方程是指点的坐标(x，y)满足的关系式．轨迹是指 点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把图形 看作点的轨迹（集合).
三、典型例题
例1 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上
运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A
M
B
O
x
三、典型例题
方法归纳 求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法: 能直接根据题目提供的条件列出方程; 2.代入法(相关点法): 找到所求动点与已知动点的关系,代入 已知动点所在的方程.
三、典型例题
例2 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P、 Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
第二课时 (与圆有关的轨迹问题)
一、知识回顾
1.圆的标准方程：(x-a)2 +(y-b)2 =r2 (1)(a，b)表示圆心坐标, r表示圆的半径. (2)确定圆的标准方程必须具备三个条件.
高二数学圆的一般方程
x
2
y
2
2
Dx Ey F 0
D E 4F 0
2 2
2
思 方程Ax Bxy Cy Dx Ey F 0 考 表示圆的充分必要条件是什么?
A C 0, B 0, D E 4 AF 0.
2 2
练习1:下列方程各表示什么图形? 原点(0,0) (1)x y 0 ________
练习2 ：将下列各圆方程化为标准方程， 并求圆的半径和圆心坐标.
(1) x y 6 x 0,
2 2
(2) x y 2by 0,
2 2
(3) x y 2ax 2 3ay 3a 0
2 2 2
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
(3)圆心(a, 3a), 半径 | a | .
D E , )为圆心， 2 2
(2)当D2 E 2 4F 0时,
方程x
2
y
2
D E Dx Ey F 0表示点( , ) 2 2
2
(3)当D E 4F 0时,
2
方程x
y
2
Dx Ey F 0不表示任何图形.
[定义] : 圆的一般方程
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
思考题：
已知圆C:x 2 y 2 m 0与直线x y 1 0相交于P, Q两点， O为坐标原点，若OP OQ, 求m的值。
2024年新高二数学提升精品讲义圆的一般方程(思维导图+3知识点+6考点+过关检测)(原卷版)
2024年新高二数学提升精品讲义圆的一般方程（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解圆的一般方程及其特点；2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化；3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.知识点1圆的一般方程1、圆的一般方程：当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程．其中,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径．2、圆的一般方程的形式特点（1）22,x y 项的系数相同且不等于0（2x 和2y 的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）；（2）不含xy 项；（3）2240D E F +->．3、一般方程与标准方程关系：对方程220x y Dx Ey F ++++=的左边配方，并将常数移项到右边，得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据圆的标准方程可知：（1）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，知识点2圆的一般方程判断点和圆的位置关系已知点()00,M x y ，和圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）则知识点3轨迹与轨迹方程1、轨迹方程和轨迹的定义已知平面上一动点(,)M x y ，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标(,)x y 满足的关系式。
轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别：（1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；（2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．3、坐标法求轨迹方程的步骤（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；（2）设点：用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任意一点的M 的坐标；（3）列式：列出关于.x y 的方程；（4）化简：把方程化为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．考点一：二元二次方程与圆例1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆22:4650O x y x y +-++=，则圆心O 和半径r 分别为（）A ．()2,3,O r -=B ．()2,3,O r -=C ．()2,3,O r -=D ．()2,3,O r -=【变式1-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）若32,1,0,,14a ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，则方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示的圆的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1-2】（23-24高二上·广东江门·期末）方程22210x y x m ++--=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．()1,-+∞C ．(),2-∞-D ．()2,-+∞【变式1-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）（多选）已知方程()()2224232141690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆，则实数m 可能的取值为（）A ．－1B ．0C ．12D ．1考点二：求圆的一般方程例2.（23-24高二上·内蒙古·期末）已知圆C 经过点()1,1-和点()1,3B ，且圆心在y 轴上，则圆C的方程为（）A ．()2222x y ++=B ．()22210x y -+=C ．()2222x y +-=D ．()22210x y ++=【变式2-1】（23-24高二上·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（）A ．22230x y x y +--=B ．22230x y x y ++-=C ．22230x y x y +-+=D ．22230x y x y +++=【变式2-2】（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知(2,0)A ，(4,2)B ，O 为原点，则AOB 的外接圆方程为.【变式2-3】（23-24高二上·安徽·月考）已知在ABC 中，AB 边所在直线的方程为360x y --=，AC 边所在直线的方程为20x y --=，AC 边上的中线所在直线的方程为20x y +-=．(1)求C 点的坐标；(2)求ABC 的外接圆方程．考点三：点与圆的位置关系例3.（22-23高二上·天津和平·月考）已知圆C ：22220x y x y +--=，则点(3,1)P 在（）A ．圆外B ．圆上C ．圆内D ．以上情况均有可能【变式3-1】（23-24高二上·内蒙古·期中）若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（）A ．(4,)-+∞B ．1,2⎛⎫-∞ ⎝C ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1(,4),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【变式3-2】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆C 的方程为222245330x y mx my m m +-++-+=，若点(1,2)m -在圆外，则m 的取值范围是（）A ．(,1)(4,)-∞+∞B ．(1,)+∞C ．(1,4)D ．(4,)+∞【变式3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）若点()1,1a a +-在圆22240x y ay +--=的内部，则a 的取值范围是（）.A ．1a >B ．01a <<C ．115a -<<D ．1a <考点四：与圆有关的轨迹问题例4.（23-24高二上·北京·期末）已知点(2,0)B 和点(2,4)C ，直角ABC 以BC 为斜边，求直角顶点A 的轨迹方程.【变式4-1】（23-24高二上·上海青浦·月考）已知两点(5,0)A -，(5,0)B ，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，则点P 的轨迹方程是．【变式4-2】（23-24高二上·山东威海·期末）（多选）已知A ，B 是平面内两个定点，且||6AB =，则满足下列条件的动点P 的轨迹为圆的是（）A ．||||6PA PB +=B ．1PA PB ⋅=-C ．||2||PA PB =D ．22||||18PA PB +=【变式4-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）已知点(6,0)A ，O 为坐标原点，若动点(,)P x y 满足2OP PA =．(1)试求动点P 的轨迹方程；(2)过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．考点五：圆过定点问题例5.（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆:²²250C x y ax ay ++--=恒过的定点为（）A ．()()2,1,2,1--B ．()()1,2,2,1--C ．()()1,2,1,2--D ．()()2,1,2,1--【变式5-1】（23-24高二上·全国·专题练习）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,1【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）对任意实数m ，圆2236920x y mx my m +--+-=恒过定点，则定点坐标为．【变式5-3】（23-24高二上·河南信阳·期中）圆2220x y mx y m ++--=恒过的定点是.考点六：与圆有关的实际问题例6.（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（）A B C ．米D ．【变式6-1】（23-24高二上·广东佛山·期中）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度20AB =米，拱高4OP =米，建适时每间隔4米需要用一根支柱支撑，则支柱22A P 的高度为米．（精确到0.01米，参考数据：33 5.744≈）【变式6-2】（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16m ，拱高为4m ，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；(2)若该景区游船宽10m ，水面以上高3m ，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.(3 1.732)≈一、单选题1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）圆222440x y x y +-+-=的圆心和半径分别为（）A ．()1,2,3B ．()1,2,3-C ．()1,2,2-D ．()1,2,3-2．（23-24高二上·四川成都·月考）过三点()()()4,2,1,1,14A B C --,的圆的一般方程为（）A ．227320x y x y ++-+=B ．227320x y x y ++++=C ．227320x y x y +-++=D ．227320x y x y +--+=3．（2024·河北沧州·二模）若点()2,1A 在圆222250x y mx y +--+=（m 为常数）外，则实数m 的取值范围为（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()2,-+∞4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）“4k >”是“方程22(2)50x y kx k y +++-+=表示圆的方程”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆22224590x y ax ay a +-++-=上所有点都在第二象限，则a 的取值范围（）A ．(),3-∞-B ．(],3-∞-C ．33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A ，B ，则所有满足PA PBλ=（0λ>，且1λ≠）的点P 的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点(1,0)P ，(1,0)Q -，动点M 满足MP =，记M 的轨迹为C ，则轨迹C 围成图形的面积是（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π二、多选题7．（23-24高二上·重庆万州·期中）若()2,1，()4,2，()3,4，()1,m 四点共圆，则m 的值为（）A ．2B C ．12+D ．38．（23-24高二上·河北邢台·222:240C ax ay x a y +-+=，下列结论正确的是（）A ．当0a =时，曲线C 是一条直线B ．当0a ≠时，曲线C 是一个圆C ．当曲线C 是圆时，它的面积的最小值为2πD ．当曲线C 是面积为5π的圆时，1=a 三、填空题9．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=，则两圆心之间的距离为.10．（23-24高二上·四川泸州·期末）若圆22:220C x y mx y ++-=被直线210x y ++=平分，则圆C 的半径为．11．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点()0,5A ，()1,2B -，()3,4C --，()2,D a 四点共圆，则=a .四、解答题12．（23-24高二上·全国·专题练习）已知曲线C ：()()2211480a x a y x ay +++-+=．(1)当a 取何值时，方程表示圆？(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．13．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线12:20,:0l x y l x y ++=+=，直线l 过点()10,4-且与1l 垂直.(1)求直线l 的方程；(2)设l 分别与12,l l 交于点A ，B ，O 为坐标原点，求过三点A ，B ，O 的圆的方程.。
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(x-a)2 +(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey+F=0
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+ F=0
考虑直线方程的一般形式：Ax+By+c=0
直线方程是一次曲线,我们可把它化成一 个二元一次方程,那同学们想一想圆是二 次曲线,那它是否也可以用一个n元n次的 方程来表示呢?比如说用二元二次呢?
书P79 1，2
延伸
二元二次方程的一般形式：
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+ F=0 …….③
把①与③式做比较，发现
⑴ x2与y2的系数相同，不等与0 即A=C≠ 0
⑵ 没有xy项 即B=0
可见: ③式表示成圆的必要条件,但不是充要条件.
那其充要条件又是什么呢? A=C≠0 且 D2+E2-4AF／4A>0
研究标准方程
圆的标准方程：(x-a)2 +(y-b)2=r2 (r>0)
展开,得 x2-2ax+a2+y2-2by+b2=r2 → x2 +y2 -2ax -2by +a2 +b2 - r2 = 0
与我们的猜测一致，化成了
一 个二元二次方程。
可见：任何一个圆的方程都可以化成下面的形式
x2+y2+Dx+Ey+F=0
再思考？
Байду номын сангаас若给你x2+y2+Dx+Ey+F=0 ……①这个式子，是否一定表圆呢？
对①进行配方得 ：
(x+D／2)2+(y+E／2)2=(D2+E2-4F)／4 ……② 分情况讨论：
⑴ 当D2+E2-4F> 0时 ②式表示成圆，此时我们称②式为 圆的一般方程。 圆心（a,b)
⑵当D2+E2-4F= 0时 ②式(x+D／2)2+(y+E／2)2=0 表示成一点 坐标（ - D／2， - E／2）
⑶ 当D2+E2-4F<0时 方程②没实数解，因不表任何图形 小结： ①式并不是在任何情况下 都表示成圆，由上⑴ ⑵ ⑶ 分析我们可得出下面的结论 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示成圆的 充要条件是D2+E2-4F> 0
课堂小练
例1 x2+y2+(a-1)x+2ay+a=0表圆, 则a的取值范围a>1或a<1／5
B=0
总结：两个充要条件
⑴x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示成圆的
充要条件是D2+E2-4F> 0
⑵ Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+ F=0表示成圆的 充要条件 A=C≠0 且 D2+E2-4AF／4A>0
B=0