高中数学 2.1.2求曲线的方程课件 新人教版选修2-1
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人教版高中数学选修2-1曲线与方程(共17张PPT)教育课件
即以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为r，它一定在以(a,b)
为圆心、r为半径的圆上.
思考？你能得到什么结论？ (1)曲线C上点的坐标都是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解.
（2）以方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解为坐标的点都在曲线C上.
概念形成
在直角坐标系中，如果如果某曲线C（看作点的集合或适合某
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解
高二数学选修2-1 抛物线及其标准方程 ppt
2
1 1 .5 2 x
，
学习小结:
1.抛物线的定义:
2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:
每一对焦点和准线对应一种形式.
3.p的几何意义是:
焦点到准线的距离
4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．
选做作业: 1.抛物线 y (A) (4, 0 )
16 x
2
的焦点坐标是( D )
L
H
M
几何画板观察
F
问题探究： 当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？
探 究 ？
M
H
·
C
·
F
l e=1
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等. 点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
一、抛物线的定义:
（2000.全国）过抛物线 y
2
a x ( a 0 ) 的焦点F
作一条直线
Q 交抛物线于 P ， 两点，若线段 P F 与 F Q 的长分别为p , q ， 1 1 则 等于（ C ）
p q
1 2a
2
A. 2 a
B.
C. 4 a
D.
4 a
2
分析：抛物线 y a x ( a 0 )的标准方程为 x 焦点为
y 1 -1 0 x 1 y 1 -2 -1 0 1 2 x y 1 -2 -1 0 1 2 x
图3
例3、如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解， 那么（ D） A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。 B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。 C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。 D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。
2014年人教A版选修2-1课件 2.1 曲线与方程
第二章
圆锥曲线 与方程
本章内容
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第二章 小结
2.1.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
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1. 什么是曲线的方程和方程的曲线? 曲线 的方程应满足什么条件?
2. 怎样确定坐标平面上的某点在不在给定的 曲线上?
问题1. 图中直线 l1 的方程是不是 y=|x|? 方程 x+y=1 (x>0) 是不是直线 l2 的方程? (1) l1 的方程不是 y=|x|. 因为方程的解有些不在 直线 l1 上, 如: 点 (-1, 1), (-2, 2), …. (2) 方程 x+y=1 (x>0) 表示
y
l 1 -1 o -1
C
1
x
(2) 圆 C 上任一点的坐标 都是方程 (x-1)2+y2=1 的解, 反之, 方程 (x-1)2+y2=1 的任一解为坐标的点都在
圆 C 上. 所以方程 (x-1)2+y2=1 表示的曲线是圆 C.
一般地, 在直角坐标系中, 如果某曲线 C (看作 点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个 二元方程 f(x, y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么, 这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程 的曲线.
练习(补充)
1. 证明圆心在坐标原点, 半径等于 5 的圆的方 程是 x2+y2=25, 并判断点 M1(3, -4)、M2( - 2 5 , 2) 是 否在这个圆上.
2. 求方程 y=ax2+bx+c 的曲线经过原点的充要条 件.
圆锥曲线 与方程
本章内容
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第二章 小结
2.1.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
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1. 什么是曲线的方程和方程的曲线? 曲线 的方程应满足什么条件?
2. 怎样确定坐标平面上的某点在不在给定的 曲线上?
问题1. 图中直线 l1 的方程是不是 y=|x|? 方程 x+y=1 (x>0) 是不是直线 l2 的方程? (1) l1 的方程不是 y=|x|. 因为方程的解有些不在 直线 l1 上, 如: 点 (-1, 1), (-2, 2), …. (2) 方程 x+y=1 (x>0) 表示
y
l 1 -1 o -1
C
1
x
(2) 圆 C 上任一点的坐标 都是方程 (x-1)2+y2=1 的解, 反之, 方程 (x-1)2+y2=1 的任一解为坐标的点都在
圆 C 上. 所以方程 (x-1)2+y2=1 表示的曲线是圆 C.
一般地, 在直角坐标系中, 如果某曲线 C (看作 点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个 二元方程 f(x, y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么, 这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程 的曲线.
练习(补充)
1. 证明圆心在坐标原点, 半径等于 5 的圆的方 程是 x2+y2=25, 并判断点 M1(3, -4)、M2( - 2 5 , 2) 是 否在这个圆上.
2. 求方程 y=ax2+bx+c 的曲线经过原点的充要条 件.
选修2-1课件2.1.1曲线与方程
R
M
O Q
x
图2.5 3
证明 1 如图 2 . 5 3 , 设 M x0 , y0 是轨迹上的任意一点.因为点 M 与 x 轴的距离为 | y0 |, 与y轴的距离为 | x0 |, 所以 | x0 | | y0 | k .
即x0 , y0 是方程 xy 的解.
2 设点M 1的坐标 x1 , y1
又如, 以a, b 为圆心、r 为半径的圆的方程是
y
x a 2 y b2 r 2
x a y b r 2 .这 就是说, 如果M x0 , y0 是
2 2
Mx 0 , y0
x
圆上的点, 那么它到圆心 O 的距离一定等于半径, 即
积为常数 k k 0 的点的轨迹方程 .
2 2 2 2
y
x a 2 y b2 r 2
r 的解, 即 x0 a
Mx 0 , y0
x
y0 b 2 r 2 , 也就是 x0 a 2 y0 b 2
O
图2.5 2
r , 即以这个解为坐标的点到点 a, b 的 距离为r , 它一定在以a, b 为圆心r为半径 的圆上 圆 2.5 2 .
2 2
图2.5 2
x0 a y0 b r , 2 2 也就是 x0 a y0 b r 2 , 这说明它的坐 2 2 2 标 x0 , y0 是方程 x a y b r 的解 ;
反过来, 如果 x0 , y0 是 方程 x a y b
2 .1. 1 曲线与方程
前面我们研究了直线、圆、圆锥 曲线的方程 , 讨论了这些曲线( 包 括直线)和相应的方程的关系下面 . 进一步研究一般曲线( 包括直线 ) 和方程的关系.
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1.2.1
合作探究 课堂互动
由方程确定椭圆的性质
•
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36.
• (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离心率；
• (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
[思路点拨] (1) 化为标准方程 → 求出a，b，c → 焦点位置 → 得其几何性质
(2) 将方程变形 → 列表 → 描点 → 得出图形
__ay_22＋__bx_22＝__1_(a_>_b_>_0_) ____
图形
范围 ___－__a_≤__x_≤__a_，__－__b_≤__y_≤__b____ －__b_≤__x≤__b_，__－_a_≤__y≤__a_
顶点
___(_±__a_,0_)_，__(0_，__±__b_)___
____(_0_，__±__a_)，__(_±__b_,_0_) __
焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短
轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
• (2)本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画 图过程，保证图形的准确性．
1．已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23，求 m
的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
(2)将方程变形为 y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)． 由 y＝23 9－x2，在 0≤x≤3 的范围内计算出一些点的坐标(x， y)，列表如下：
x0123 y 2 1.9 1.5 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的部分图象，再利用椭圆 的对称性画出整个椭圆．
•
(1)求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚
人教版数学选修2-1：曲线方程课件求曲线方程的四种常用方法(共19张PPT)
二、参数法求曲线方程
例5 过点 P( 2 ,4) 作两条相互垂直的直线 l1, l2 ，若 l1 交 x 轴于点A，l2
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析：设点M (x, y) 。
① 当直线 l1 的斜率垂直且不为0时，可设其方程为：y 4 k(x 2)
因为
l1 l2
建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
解析：如图：取直线 l 为轴，过点F且垂直于 直线 l 的直线为y轴，建立坐标系 xOy. 设点 M (x, y) 是曲线上任意一点，作MB x 轴
垂足为B，则M属于集合
P M || MF | | MB| 2 x2 (y 2)2 y 2 x2 (y 2)2 (y 2)2
③（四川卷）已知两定点 A(2,0), B(1,0) ,若动点P满足|PA|=2|PB|， 则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）
A B 4 C 8 D 9
二、直接法求曲线方程
例3 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
二、相关点法求曲线方程
例4 在圆 x2 y2 4 上任取一点P，过点P作 x 轴的垂线段PD，D为垂
足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设 M (x, y), P(x0, y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以 x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x 带入上式得：x2 4 y2 4.
所以点M的轨迹方程是 x2 4y2 4. 。
相关点法—知识总结与练习
高中数学人教B版选修2-1课件 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.1
质．曲线 C 用集合的特征性质可描述为 C ＝{M(x ，y)|F(x ，y) ＝
0}．
方程x2＋xy＝x表示的曲线是( A．一个点
)
B．一条直线
C．两条直线
[答案] C [解析]
D．一个点和一条直线
x2＋xy＝x因式分解得x(x＋y)＝x，即x(x＋y－1)＝
0，即x＝0或x＋y－1＝0.
二、两条曲线的交点 求两条曲线 C1： F(x， y)＝0 与 C2： G(x， y)＝0 的交点坐标，
第二章 2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程的概念
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业ຫໍສະໝຸດ 课前自主预习我国著名的数学家华罗庚先生对数形结合思想非常重视， 他曾经说过：数缺形来少直观，形缺数则难入微．可见，数形 结合是中学数学非常重要的数学思想．在必修 2 解析几何初步 中我们已经学过了直线和圆的方程，对数形结合思想有了初步 的了解，本节内容我们将进一步学习曲线与方程的概念，了解 曲线与方程的关系，进一步体会数形结合思想的应用.
2．从不同角度理解曲线与方程的概念
(1)从集合角度来看，设A是曲线C上所有点构成的集合，B 是所有以方程 F(x，y)＝0的实数解为坐标的点组成的点集，则 由关系(1) 知 A⊆B，由关系 (2) 知B⊆A，同时具备关系 (1) 与(2) ， 则有A＝B，于是建立了曲线与方程之间的等价关系．
(2)从充要条件的角度来看，由关系(1)可知，曲线C上点的
注意：对于联立的直线方程和曲线方程消元后所得到的一 元二次方程，首先要对二次项系数是否为零进行判断．当二次 项系数为零时，得到唯一解．此时是直线与曲线相交的情况， 而不是相切．当直线与曲线相交时，可借助根与系数的关系求 弦长．“设而不求”是简化运算的常用技巧之一．
【数学】2.1.1《曲线与方程》课件(新人教A版选修2-1)
例子：(2)画出函数 y
y 8
= 2x
2
(-1≤x≤2) 的图象C.
y
y = 2x 2
y = 2x 2
(-1≤x≤2)
8
-1
O
2
x
-1
O
2
x
符合条件①不符合条件②
符合条件②不符合条件 ①
例子：(2)画出函数 的图象C.
y 8
y = 2x
2
(-1≤x≤2)
y = 2x 2
(-1≤x≤2)
-1
O
2
x
y 1 -1 0 x 1 y 1 -2 -1 0 1 2 x y 1 -2 -1 0 1 2 x
图3
例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2 +y2 = 25,并判断点M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在这个圆 上.
证明：(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点 的距离等于5，所以 x 0 2 + y 0 2 = 5 , 也就是xo2 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解.
即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够 一一对应
集合的 观点
3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点 P( x0 , y0 ) 在曲线C上的充要条件 是 f ( x0 , y0 ) = 0
学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由 对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 错（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 例2证明：圆心为坐标原点，半径为5的圆的方程是 y x2 + y2 = 25 5 M 1 (3,−4)、M（ − 2 5， 是否在圆上 2） 并判断 2 变式训练： 变式训练：写出下列半圆的方程
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类型 一 直接法求曲线方程
【典型例题】
1.已知动点M到A(2,0)的距离等于它到直线x=-1的距离的2倍,
则点M的轨迹方程为
.
2.(2013·珠海高二检测)已知点A(-2,0),B(2,0),直线AP与
直线BP相交于点P,它们的斜率之积为- ,求点P的轨迹方程.
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【解题探究】1.从题1中的条件来看是否需要建立平面直角坐 标系? 2.在什么情况下可用直接法求曲线的方程? 探究提示: 1.因题1中已知A(2,0),故不需要建立平面直角坐标系. 2.一般地,当动点满足的条件非常明显,可以很容易地建立条件 等式,这时一般可采用直接法求曲线的方程.
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类型 二 代入法求曲线的方程
【典型例题】
1.设圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,则所作弦的中点
的轨迹方程是
.
2.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作
平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.
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【解题探究】1.若已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则线段P1P2中点P 的坐标是什么?
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二、求曲线方程的一般步骤
有序实数对(x,y)
{M|p(M)}
坐标 最简
曲线上
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判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在求曲线方程时,如果点有了坐标或曲线有了方程,则说明已 经建立了平面直角坐标系.( ) (2)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形.( ) (3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.( )
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【知识点拨】 1.平面直角坐标系的选取原则 (1)以已知定点为原点. (2)以已知定直线为坐标轴(x轴或y轴). (3)以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴),以已知线段的中 点为原点. (4)以已知互相垂直的两定直线为坐标轴.
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(5)如果曲线(或轨迹)有对称中心,通常以对称中心为原点. (6)如果曲线(或轨迹)有对称轴,通常以对称轴为坐标轴(x轴或 y轴). (7)尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上,或者让尽量多的点在 坐标轴上.
x2 化简得: +y2=1y(x≠±y2). 1
x 2 x2 x2 4
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【拓展提升】 1.直接法求点的轨迹方程的两个关键 关键一:建立恰当的平面直角坐标系. 关键二:找到所求动点满足的关系式.
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2.“轨迹方程”与“轨迹”的辨析
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【变式训练】已知点M到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍,求 点M的轨迹方程. 【解析】设动点M的坐标为(x,y),则点M到x轴、y轴的距离分 别为|y|,|x|.由题意知 |y|=2|x|,整理得y=±2x. ∴点M的轨迹方程为y=±2x.
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【解析】1.设M(x,y).由题意,得 x2=22|yx2+1|,
化简得-3x2-12x+y2=0,即y2=3x2+12x.
答案:y2=3x2+12x
2.设点P(x,y),
直线AP的斜率kAP= (x≠-2),
y
直线BP的斜率kBP=x
(x≠2),
2
根据已知,有:
y (x≠±2),
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(3)在化简的过程中,注意运算的合理性与准确性,尽量避免 “失解”或“增解”. (4)第五步的说明可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明. 如某些点虽然其坐标满足方程,但不在曲线上,可以通过限定方 程中x(或y)的取值.对求曲线方程的三点说明 (1)求曲线方程时,由于建系的方法不同,求得的方程也不同. (2)一般地,求哪个点的运动轨迹方程,就设哪个点的坐标是 (x,y),而不设成(x0,y0)或(x1,y1). (3)化简方程时,一般将方程f(x,y)=0化成关于x,y的整式形式, 并且要保证化简过程的恒等性.
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2.对求曲线方程的五个步骤的四点说明 (1)在第一步中,如果原题中没有确定坐标系,首先要建立适当 的坐标系,坐标系建立得当,可使运算过程简单,所得的方程也 较简单. (2)第二步是求方程的重要一环.要仔细分析曲线的特征,注意 揭示隐含条件,抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系,列出 几何等式.此步骤也可以省略,而直接将几何条件用动点的坐标 表示.
(1)曲线研究方程:根据已知条件,求出_______________. 表示曲线的方程
(2)方程研究曲线:通过曲线的方程,研究___________. 思考:用坐标法研究解析几何问题的前提条曲件线是的什性么质?
提示:用坐标法研究解析几何问题时首先要建立适应的平面直
角坐标系,这样,点有了坐标,曲线也就有了方程的形式.
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提示:(1)正确.点有了坐标或曲线有了方程是已经建系的标志. (2)错误.|x|=|y|化简的形式为y=±x. (3)错误.一般情况下,化简前后方程的解集是相同的,但是在求 解、化简过程中极易产生增解或漏解,检验这一步骤是应该有 的,故此说法不正确. 答案:(1)√ (2)× (3)×
2.1.2 求曲线的方程
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1
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2
一、坐标法和解析几何 1.坐标法:坐标法是指借助于_坐__标__系__,通过研究方程的性质 间接地来研究曲线性质的方法. 2.解析几何:解析几何是指数学中用_坐__标__法__研究几何图形 的知识形成的学科.
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3.解析几何研究的主要问题:
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【解析】1.设OQ为过O的一条弦,P(x,y)为其中点, Q(x1,y1),
则又∵ (xy x1-⇒xy122 11 ),2+y12xy=11 1 ,22∴yx(.,2x-1)2+4y2=1(0<x≤1).
答案:(2x-1)2+4y2=1(0<x≤1)
2.题2哪些点的坐标已知,哪些点满足已知曲线的方徎,借助什
么方法可用这些点表示点P的坐标?
探究提示:
1.据中点坐标公式知中点P的坐标为(
).
2.从题目的已知条件可知,点M与点O的x1坐标x2已, y知1,点y2N满足已 知曲线的方程,可借助中点坐标公式,OP的2中点坐2标与MN的
中点坐标相同表示出点P的坐标.