高中数学选修21 全部
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-1-1空间向量的线性运算
3.1.1空间向量的线性运算一、选择题1．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则D 1B →等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a ＋b ＋cC ．a －b －cD ．－a ＋b ＋c [答案] C[解析] D 1B →＝D 1A 1→＋A 1A →＋AB →＝－b ＋(－c )＋a ＝a －b －c .故选C2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→、AD ′→、BD →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．是等长的向量 C ．是共面向量D ．是不共面向量[答案] C[解析] ∵AB 1→－AD 1→＝D 1B 1→＝BD →，∴共面．故选C.3．如图所示在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的共有( )(1)(AB →＋BC →)＋CC 1→ (2)(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→ (3)(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→ (4)(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[答案] D[解析] 代入检验知选D.4．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有以下等式，其中不正确的是( ) A.D 1B →＝D 1D →＋D 1A 1→＋D 1C 1→ B.D 1B →＝D 1C 1→＋B 1B →＋CB → C.D 1B →＝D 1A 1→＋A 1B →＋A 1A →D.D 1B →＝D 1C 1→＋C 1D →＋DB → [答案] C[解析] D 1A 1→＋A 1B →＋A 1A →＝D 1B →＋A 1A →≠D 1B →. 故选C.5．如图所示的空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A.32DB →B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG →[答案] B[解析] MG →－AB →＋AD →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.6．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 中，O 为BD 1与AC 1的交点，下列说法正确的是( ) A.AO →＝12AB →＋AD →＋AA 1→)B.AO →＝13AC 1→C.BO →＝12(BA →＋BC →＋BD →1)D.BO →＝14AC 1→＋BD 1→)[答案] A[解析] AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋AA 1→＝AC 1→. 故选A.7．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c, 点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23 a ＋12b ＋12cC.12a ＋12 b －23cD.23a ＋23b －12c [答案] B[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12×(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .∴应选B. 8．已知G 是正方形ABCD 的中心，点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，则PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝( )A ．4PG →B ．3PG →C ．2PG →D.PG →[答案] A[解析] PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝PG →＋GA →＋PG →＋GB →＋PG →＋GC →＋PG →＋GD →＝4PG →＋(GA →＋GC →)＋(GB →＋GD →)，∵ABCD 是正方形，G 是它的中心， ∴GA →＋GC →＝GB →＋GD →＝0，故原式＝4PG →.9．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形[答案] B[解析] 画图利用空间向量的运算法则首尾相接 AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， ∴AB →＝DC →.故选B.10．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12，则AF →等于( )A.AA ′→＋12AB →＋12AD →B.12AA ′→＋12AB →＋12AD →C.12AA ′→＋16AB →＋16AD →D.13AA ′→＋16AB →＋16AD → [答案] D[解析] AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →)＝13AA ′→＋13×12A ′C ′→ ＝13AA ′→＋16(A ′B ′→＋A ′D ′→) ＝13AA ′→＋16A ′B ′→＋16A ′D ′→. 故选D. 二、填空题11．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________. [答案] AD →[解析] AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →。
高中数学选修2-1主要内容
对(2) 分析：
题设中没有具体给出动点所满足的几何条件， 但可以通过分析图形的几何性质而得出， 即圆
心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：
设弦的中点为 M(x ， y) ，连结 OM ，
则 OM ⊥AM ．
∵k OM · kAM =-1 ，
其轨迹是以 OA 为直径的圆在圆 O 内的一段弧 ( 不含端点 )． 2．定义法 利用所学过的圆的定义、 椭圆的定义、 双曲线的定义、 抛物线的定义直接写出所求的动点的 轨迹方程， 这种方法叫做定义法． 这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或
q 也是 p 的充要条件 . 概括地说 , 如果 p q, 那么 p 与 q 互为充要条件 .
一般地， 若p 若p 若p
q, 但 q q，但 q q，且 q
p，则称 p 是 q 的充分但不必要条件； p，则称 p 是 q 的必要但不充分条件； p，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
1.3 简单的逻辑连接词
(以下由学生完成 )
根据它们的对称性， 这两个点的横坐标应相等， 因此方
由弦长公式得：
即 a2b2=4b 2-a2．
2.2 椭圆
把平面内与两个定点 F1， F2 的距离之和等于常数（大于 F1 F2 ）的点的轨迹叫做椭圆
（ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点， 两定点间的距离叫做椭圆的焦距． 即当动点
且有 BP∶ PA=1 ∶2，当 B 点在抛物线上变动时，求点 P 的轨迹方程．
分析：
P 点运动的原因是 B 点在抛物线上运动，因此 B 可作为相关点，应先找出点 系．
P 与点 B 的联
解：设点 P(x ， y) ，且设点 B(x 0， y 0)
人教版高中数学选修2-1知识点汇总
人教版高中数学必修2-1知识点第一章常用逻辑用语1.命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2.“若p ，则q ”：p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3.若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆命题为“若q ，则p ”.4.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5.若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6.四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7.p 是q 的充要条件：p q⇔p 是q 的充分不必要条件：q p ⇒，p q ≠>p 是q 的必要不充分条件：p q q p ⇒≠>,p 是q 的既不充分不必要条件：,q p ≠>pq ≠>8.逻辑联结词：(1)用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．全真则真，有假则假。
(2)用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．全假则假，有真则真。
(3)对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．真假性相反9.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10.全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．第二章圆锥曲线与方程1.椭圆定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2.椭圆的几何性质：3.平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于12F F )的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．4.双曲线的几何性质：5.实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．6.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．7.过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．8.焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02pF x P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02pF x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02pF y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02pF y P =-+．9.抛物线的几何性质：解题注意点：1.“回归定义”是一种重要的解题策略。
人教版高中数学选修2-1 教案目录
学科人教版高中数学选修2-1编写组责任人序号知识模块教案标题编写人1人教版 选修2-1第一章 常用逻辑语 同步复习教案1（ 基础）小榄校区（关潮辉）2人教版 选修2-1第一章 常用逻辑语 同步复习教案1（ 提高）小榄校区（关潮辉）7人教版 选修2-1第一章 常用逻辑语 同步复习教案2（ 基础）小榄校区（温艺铭）8人教版 选修2-1第一章 常用逻辑语 同步复习教案2（ 提高）小榄校区（温艺铭）9人教版 选修2-1第一章单元复习教案（基础）小榄校区（泰龙、马俊）10人教版 选修2-1第一章单元复习教案（提高）小榄校区（泰龙、马俊）11第一章单元测试卷（基础）小榄校区（泰龙、马俊）12第一章单元测试卷（提高）小榄校区（泰龙、马俊）13人教版 选修2-1 第二章 2.1曲线与方程 同步教案（基础）石岐（基础）贺丽春起湾（提高）郑狄苗14人教版 选修2-1 第二章 2.1曲线与方程同步教案（提高）石岐（基础）贺丽春起湾（提高）郑狄苗15人教版 选修2-1 第二章 2.1椭圆同步教案（基础）石岐（基础）何善庆起湾（提高）郑狄苗16人教版 选修2-1 第二章 2.1椭圆同步教案（提高）石岐（基础）何善庆起湾（提高）郑狄苗17人教版 选修2-1 第二章 2.2双曲线同步教案（基础）石岐（基础）刘冬有起湾（提高）郑狄苗18人教版 选修2-1 第二章 2.2双曲线同步教案（提高）石岐（基础）刘冬有起湾（提高）郑狄苗19人教版 选修2-1 第二章 2.3抛物线同步教案（基础）石岐（基础）肖爱 起湾（提高）郑狄苗20人教版 选修2-1 第二章 2.3抛物线同步教案（提高）石岐（基础）肖爱 起湾（提高）郑狄苗星火教育高中标准教案目录第一章常用逻辑用语单元复习单元测试卷第二章圆锥曲线与方程刘冬有。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：1-3-1推出与充分条件、必要条件
1.3.1推出与充分条件、必要条件一、选择题1．(2009·北京)“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 考查任意角的三角函数值． “α＝π6＋2k π(k ∈Z )”⇒“cos2α＝12，“cos2α＝12”“α＝π6＋2k π”(k ∈Z )因为α还可以等于2k π－π6(k ∈Z )，∴选A.2．(2009·湖南)对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 考查平面向量平行的条件． ∵a ＋b ＝0，∴a ＝－b .∴a ∥b .反之，a ＝3b 时也有a ∥b ，但a ＋b ≠0.故选A.3．(2009·福建，7)设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2[答案] B[解析] 本小题主要考查线面平行、面面平行、充要条件等基础知识．易知选项A 、C 、D 推不出α∥β，只有B 可推出α∥β，且α∥β不一定推出B ， B 项为α∥β的一个充分而不必要条件，选B.4．(2009·浙江，2)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 本小题主要考查不等式的性质及充要条件． 当a >0且b >0时， a ＋b >0且ab >0； 当ab >0时，a ，b 同号，又a ＋b >0， ∴a >0，且b >0.故选C.5．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }，则( ) A ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分条件但不是必要条件 B ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件但不是充分条件 C ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充要条件D ．“x ∈P ”既不是“x ∈Q ”的充分条件也不是“x ∈Q ”的必要条件 [答案] A[解析] P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， x ∈P ⇒x ∈Q .但x ∈Qx ∈p ，∴x ∈P 是x ∈Q 的充分不必要条件．故选A.6．.(2010·福建文，8)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 本题主要考查充分必要条件问题． 当x ＝4时，|a |＝42＋32＝5 当|a |＝x 2＋9＝5时，解得x ＝±4.所以“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件．7．(2010·广东理，5)“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( )A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件[答案] A[解析] 一元二次方程式x 2＋x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝1－4m ≥0，∴m ≤14，故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0”有实数解的充分不必要条件．8．a <0是方程ax 2＋1＝0有一个负数根的( )B ．充分必要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] ①∵a <0，ax 2＋1＝0⇒x 2＝－1a >0.∴ax 2＋1＝0有一个负根． ∴充分性成立．②若ax 2＋1＝0有一个负根， 那么x 2＝－1a >0，可是a <0.∴必要性成立．故选B.9．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 充分性：当a ＝1时，直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0垂直；必要性：若直线x ＋y ＝0和x －ay ＝0垂直，由－1·1a＝－1，∴a ＝1，故选C.10．(2009·山东)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要条件解题的能力． 由已知m ⊂α，若α⊥β则有m ⊥β，或m ∥β或m 与β相交；反之，若m ⊥β， ∵m ⊂α，∴由面面垂直的判定定理知α⊥β. ∴α⊥β是l ⊥β的必要不充分条件．故选B. 二、填空题11．条件甲：“a >1”是条件乙：“a >a ”的__________条件．[答案] 充要[解析] a >1⇒a >a 成立反之：a >a 时即a 2－a >0解得a >1.12．“lg x >lg y ”是“x >y ”的______________条件． [答案] 充分不必要[解析] 由lgx >lgy ⇒x >y >0⇒x >y 充分条件成立．又由x >y 成立，当y ＝0时，lgx >lgy 不成立，必要条件不成立．13．不等式ax 2＋ax ＋a ＋3>0对一切实数x 恒成立的充要条件是________． [答案] a ≥0[解析] ①当a ＝0时，原不等式为3>0，恒成立； ②当a ≠0时，用数形结合的方法则有⎩⎨⎧a >0Δ＝a 2－4a (a ＋3)<0⇒a >0. ∴由①②得a ≥0.14．函数y ＝x 2＋bx ＋c ，x ∈[0，＋∞)是单调函数的充要条件为________． [答案] b ≥0[解析] 对称轴为x ＝－b2，要使y ＝x 2＋bx ＋c 在x ∈[0，＋∞)上单调， 只需满足－b2≤0，即b ≥0.三、解答题15．是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．[解析] x 2－x －2>0的解是x >2或x <－1，由4x ＋p <0得x <－p4.要想使x <－p 4时x >2或x <－1成立，必须有－p 4≤－1，即p ≥4，所以当p ≥4时，－p4≤－1⇒x <－1⇒x 2－x －2>0.所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．16．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．[解析] 解不等式x 2－8x －20>0，得p ：A ＝{x |x >10或x <－2}． 解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0得 q ：B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}依题意：p ⇒q ，但是q 不能推出p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧a >01＋a ≤101－a ≥－2(说明“1＋a ≤10”与“1－a ≥－2”中等号不能同时取到)解得0<a ≤3.∴正实数a 的取值范围是0<a ≤3.17．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.[解析] 充分性：∵∠A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2，于是方程x 2＋2ax ＋b 2＝0可化为x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0， 即x 2＋2ax ＋(a ＋c )(a －c )＝0， ∴[x ＋(a ＋c )][x ＋(a －c )]＝0，∴该方程有两个根x 1＝－(a ＋c )，x 2＝－(a －c )， 同样，另一方程x 2＋2cx －b 2＝0也可化为 x 2＋2cx －(a 2－c 2)＝0， 即x 2＋2cx －(a －c )(a ＋c )＝0， ∴[x ＋(c ＋a )][x ＋(c －a )]＝0，∴该方程有两个根x 3＝－(a ＋c )，x 4＝－(c －a )， 可以发现x 1＝x 3， ∴这两个方程有公共根．必要性：设β是两方程的公共根，则⎩⎪⎨⎪⎧β2＋2aβ＋b 2＝0 ①β2＋2cβ－b 2＝0 ②， 由①＋②得：β＝－(a ＋c )或β＝0(舍去)， 将β＝－(a ＋c )代入①并整理可得：a 2＝b 2＋c 2， ∴∠A ＝90°.18．求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．[解析] 由于二次项系数是字母，因此，首先要对方程ax 2＋2x ＋1＝0判定是一元一次方程还是一元二次方程．(1)当a ＝0时，为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合要求；(2)当a ≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0即4－4a ≥0从而a ≤1；又设方程ax 2＋2x ＋1＝0的根为x 1·x 2，则x 1＋x 2＝－2a x 1·x 2＝1a.①因而方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个正根、一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤11a <0⇒a <0；②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1－2a1a >0⇒0<a ≤1，综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a ≤1.。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-2-3直线与平面的夹角
3.2.3直线与平面的夹角一、选择题1．已知平面α内的角∠APB ＝60°，射线PC 与PA 、PB 所成角均为135°，则PC 与平面α所成角的余弦值是( )A ．－63B.63C.33D ．－33[答案] B[解析] 由三余弦公式知cos45°＝cos α·cos30°， ∴cos α＝63. 2．三棱锥P —ABC 的底面是以AC 为斜边的直角三角形，顶点P 在底面的射影恰好是△ABC 的外心，P A ＝AB ＝1，BC ＝2，则PB 与底面ABC 所成角为( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．90°[答案] B[解析] 由AB ＝1，BC ＝2，知AC ＝3，∴OA ＝32， 又∵PA ＝1，PQ ⊥AC ，∴PO ＝12，∵OB ＝OA ＝32，∴tan θ＝33.∴应选B. 3．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值是( ) A.24 B.23 C.63D.32[答案] C[解析] 由计算得sin θ＝23.故选C. 4．在三棱锥P —ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216B.833 C.21060D.21030[答案] D[解析] 以O 为原点，射线OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图，设AB ＝a ，则OP ＝72a ，OD →＝(－24a,0，144a )，可求得平面PBC 的法向量为n ＝(－1，－1，17)， ∴cos(OD →，n )＝OD →·n |OD →||n |＝21030，设OD →与面PBC 的角为θ，则sin θ＝21030，故选D.5．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，2π3 B.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 C.⎣⎡π2，2π3D.⎣⎡π3，π2[答案] D6．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为( )A.13B.223C.22D.23[答案] A7．如图，正方体AC 1中，BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是( ) A ．∠C 1BB 1 B ．∠C 1BD C ．∠C 1BD 1 D ．∠C 1BO [答案] D[解析] 由三垂线定理得，OB 为BC 1在平面BB 1D 1D 上的射影．故选D.8．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，则直线A 1B 与平面BDE 所成的角为( )A.π6B.π3C.π2D.56π [答案] B[解析] 以D 为原点建立空间直角坐标系，平面BDE 的法向量n ＝(1，－1,2)， 而BA 1→＝(0，－1,1)，∴cos θ＝1＋223＝32，∴θ＝30°.∴直线A 1B 与平面BDE 成60°角．9．正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 折起，使点D 在面ABCD 外 ，这时DB 与平面ABC 所成角一定不等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] D[解析] 当沿对角线AC 折起时，BD 在面ABC 上的射影始终在原对角线上，若BD ⊥面ABC ，则此时B 、D 重合为一点，这是不成立的，故选D.10．已知等腰直角△ABC 的一条直角边BC 平行于平面α，点A ∈α，斜边AB ＝2，AB 与平面α所成的角为30°，则AC 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] B[解析] 过B 、C 作BB ′⊥α于B ′，CC ′⊥α于C ′， 则BB ′＝CC ′＝1，∴sin θ＝22，∴θ＝45°.故选B. 二、填空题11．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角的余弦值为________．[答案]104[解析] 设三棱柱的棱长为1，以B 为原点，建立坐标系如图，则C 1(0,1,1)，A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，AC 1→＝⎝⎛⎭⎫－32，12，1，又平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)， 设AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角为θ. sin θ＝|cos 〈n ，AC 1→〉|＝|AC 1→·n ||AC 1→||n |＝64，∴cos θ＝1－sin 2θ＝104. 12．正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点S 在底面内的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．[答案] 30°13．AB ∥α，AA ′⊥α， A ′是垂足，BB ′是α的一条斜线段，B ′为斜足，若AA ′＝9，BB ′＝63，则直线BB ′与平面α所成角的大小为________．[答案] 60°14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、A 1D 1的中点，则EF 与面A 1C 1所成的角为________．[答案] 45° 三、解答题15．如图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12SC 与平面ABCD 所成的角．[解析] 解法1：如图所示，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，A ∈α，则AB 与平面α所成的角为π2－arccos |AB →·n ||AB →|·n ；AS →是平面ABCD 的法向量，设CS →与AS →的夹角为φ. ∵CS →＝CB →＋BA →＋AS →，∴AS →·CS →＝AS →·(CB →＋BA →＋AS →)＝AS →·AS →＝1. |AS →|＝1，|CS →|＝(CB ―→＋BA ―→＋AS ―→)2 ＝|CB ―→|2＋|BA ―→|2＋|AS ―→|2＝3， ∴cos φ＝AS →·CS →|AS →|·|CS →|＝33.∴φ＝arccos33. 从而CS 与平面ABCD 所成的角为π2－arccos 33.解法2：连结AC ，显然∠SCA 即为SC 与平面ABCD 所成的角．计算得：AC ＝2，∴tan ∠SCA ＝22，故SC 与平面ABCD 所成角为arctan22. 16．如图，在直三棱柱ABO —A ′B ′O ′中，OO ′＝4，OB ＝3，∠AOB ＝90°.D 是线段A ′B ′的中点，P 是侧棱BB ′上的一点．若OP ⊥BD ，试求：(1)OP 与底面AOB 所成的角的大小； (2)BD 与侧面AOO ′A ′所成的角的大小．[解析] 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，由题意，有B (3,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫32，2，4，设P (3,0，z )，则BD →＝⎝⎛⎭⎫－32，2，4，OP →＝(3,0，z )．∵BD ⊥OP ，∴BD →·OP →＝－92＋4z ＝0，z ＝98.∴P ⎝⎛⎭⎫3，0，98.(1)∵BB ′⊥平面AOB ，∴∠POB 是OP 与底面AOB 所成的角． ∵tan ∠POB ＝983＝38，∴∠POB ＝arctan 38.故OP 与底面AOB 所成角的大小是arctan 38.(2)∵OB →＝(3,0,0)，且OB →⊥平面AOO ′A ′， ∴平面AOO ′A ′的法向量为OB →＝(3,0,0)． 又DB →＝(3,0,0)－⎝⎛⎭⎫32，2，4＝⎝⎛⎭⎫32，－2，－4， ∴OB →·DB { ＝3×32＋(－2)×0＋(－4)×0＝92.又|OB →|＝3， |DB →|＝⎝⎛⎭⎫322＋(－2)2＋(－4)2＝892， ∴cos 〈OB →，DB →〉＝OB →·DB →|OB →|·|DB →|＝923×892＝389 .∴BD 与侧面AOO ′A ′所成的角的大小为π2－〈OB →，DB →〉＝π2－arccos 389(或写成arcsin389)．17．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，求BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值．[解析] 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B (2,2,0)，B 1(2,2,2)，E (0,2,1)，BD →＝(－2，－2,0)，BB 1→＝(0,0,2)，BE →＝(－2,0,1)．设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵n ⊥BD ，n ⊥BB 1∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝－2x －2y ＝0n ·BB 1→＝2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y z ＝0， 令y ＝1时，则n ＝(－1,1,0)， cos<n ，BE →>＝n ·BE →|n ||BE →|＝105.即BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为105.18．(2009·北京)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面P AC 所成的角的大小； [解析] 考查线面垂直，直线与平面所成角，以及二面角等内容，可以用直接法实现，也可用向量法．解法一：(1)∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC .又由(1)知，BC ⊥平面P AC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形， ∴AD ＝12AB .在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∴BC ＝12.∴在Rt △ADE 中，sin ∠DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小为arcsin24. 解法二：(1)如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz .设PA ＝a ，由已知可得A (0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12a ，32a ，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32a ，0，P (0,0，a )． (1)∵AP →＝(0,0，a )，BC →＝⎝⎛⎭⎫12a ，0，0，∴BC →·AP →＝0， ∴BC ⊥AP .又∵∠BCA ＝90°， ∴BC ⊥AC . ∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴D ⎝⎛⎭⎫－14a ，34a ，12，E ⎝⎛⎭⎫0，34a ，12a .又由(1)知，BC ⊥平面P AC . ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角． ∵AD →＝⎝⎛⎭⎫－14a ，34a ，12a ，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，34a ，12a ，∴cos ∠DAE ＝AD →·AE →|AD →||AE →|＝144.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小为arccos144.。
新课标高中数学人教A版选修2-1全套教案
（一）教学目标选修 2—1 教案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“ 若 p，则q” 的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假（三）教学过程1.复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？2.思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线 a 与直线b 没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．3.讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。
其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。
教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。
4.抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5.练习、深化判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数 a 是素数，则是 a 奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）＝－２．( 2)2（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。
高中数学选修2-1第二章圆锥曲线
2
2
y x + 2 =1 (a > b > 0) 2 a b
2
2
x2 y2 − 2 =1 (a > 0,b > 0) 2 a b
抛物线的标准方程： 抛物线的标准方程：
y2 x2 − 2 =1 (a > 0,b > 0) 2 a b
y2 = ±2px ( p > 0)
动 M 一 定 F的 离 它 一 定 线的 离 比 点 与 个 点 距 和 到 条 直 l 距 的 是 数e， 常 l d .M
l
d
.M .
F
l
d.M
.
.
e >1
F
F
0 <e <1
e =1
定点是焦点，定直线叫做准线，常数e是离心率 .
椭圆的标准方程： 椭圆的标准方程：
x y + 2 =1 (a > b > 0) 2 a b
3．双曲线的几何性质：以 ．双曲线的几何性质： x2/a2-y2/b2=1(a、b＞0)表示的双曲线为例，其几 表示的双曲线为例， ＞ 表示的双曲线为例 何性质如下： 何性质如下： (1)范围：x≤-a，或x≥a 范围： 范围 ， (2)关于 轴、y轴、原点对称， 关于x轴 轴 原点对称， 关于 (3)两顶点是 ±a,0)(4)离心率 两顶点是(± 两顶点是 离心率 e=c/a∈(1,+∞).c=√a2+b2(5)渐近线方程为 ∈ 渐近线方程为 y=±bx/a，准线方程是 ±a2/c ± ，准线方程是x=±
椭圆 圆 锥 曲 线
定义 标准方程
双曲线
几何性质
抛物线
直线与圆锥曲线 的位置关系
高中数学必修二 选修2-1 知识点归纳
必修二 知识点归纳： 第一章 空间几何体1. 棱柱 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。
（正棱柱: 底面为正多边形的直棱柱。
）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。
（平行六面体：底面为平行四边形的斜棱柱。
） 棱锥 正棱锥：底面为正多边形，顶点在底面的投影为底面的中心的棱锥。
斜棱锥：以上条件之一不满足的棱锥。
棱台 正棱台：由平行于底面的平面截正棱锥得到的棱台。
斜棱台：由平行于底面的平面截斜棱锥得到的棱台。
四面体：三棱锥正四面体：六条棱均相等的三棱锥。
空间四边形ABCD ：三棱锥，其中有四条边：AB 、BC 、CD 、DA ；两条对角线：AC 、BD 。
2. 三视图（会识别，会画图）3. 斜二测画法画直观图：见《名师面对面》P10：3题；P12：6、7题4. S 圆柱侧=2πrl S 圆柱表=2πrl+2πr 2S 圆锥侧=πrl S 圆锥表=πrl+πr 2S 圆台侧=π(r +r ′)l S 圆台表=π(r +r ′)l +πr 2+πr′2 其中r 为底面半径，l 为母线长 5. V 柱体=Sh V 锥体=13Sh V 台体=13(S+√SS′+S’)h 其中S ，S’为底面积，h 为高 6. S 球表=4πR 2 V 球=43πR 37. 球内接正方体棱长a 与球半径R 关系：2R=√3a 注意：将《名师面对面》P12-21重做一遍。
第二章：点、直线、平面之间的位置关系１．平面的概念，画法，与点的属于关系，与直线的包含关系。
２．三个公理：（１）如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（２）不共线三点确定一个平面。
推论：①一条直线与直线外一点确定一个平面。
②两条平行直线确定一个平面。
③两条相交直线确定一个平面。
（３）如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。
注意：将《名师面对面》P22-24重做一遍。
３．空间两直线的位置关系：＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿。
(新教材)高中数学苏教版选修2-1全册同步练习(含解析)
课时分层作业(十四)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．以q 为公比的等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 3”是“q >1”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [等比数列{a n }中，若a 1>0，则a 1<a 3，可得q 2>1，即q >1或q <－1；若q >1，则有q 2>1，所以a 1q 2>a 1，即a 1<a 3，所以“a 1<a 3”是“q >1”的必要不充分条件．]2．已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p 綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．故选A.]3．函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，－2x ＋a ，x ≤0，有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．0＜a ＜12 C.12＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞1 A [因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇒ 函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇒ 函数y ＝2x 的图象(x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合可知a ≤0或a ＞1，根据集合之间的关系{a |a ＜0}{a |a ≤0或a ＞1}，可知选A.]二、填空题4．已知α，β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的________条件．[解析]α∥β⇒a，b无公共点，反之不成立．故p是q的必要不充分条件．[答案]必要不充分5．给出下列三个命题：①“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件；②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；③“a＞b”是“2a＞2b”的充分不必要条件．其中正确命题的序号为________．[解析]对于①，当a＝0时，f(x)＝x3＋ax2＝x3为奇函数．即“a＝0”⇒“f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数．”若f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数，则任意x∈R，都有f(－x)＝(－x)3＋a(－x)2＝－f(x)＝－x3－ax2成立，即2ax2＝0对任意x∈R都必成立，所以a＝0.故“f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”⇒“a＝0”．综上所述，可知“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件，是正确的；对于②，因为“α＞β”是“cos α＜cos β”的既不充分又不必要条件，故②错误；对于③，因为指数函数y＝2x是R上的单调增函数，所以“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件，故③错误．[答案]①6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________(填序号)．①b≥0；②b＞0；③b＜0；④b≤0.[解析]∵函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，∴根据二次函数＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的的性质得出：－b2≤0，b≥0，∴函数y＝x2充要条件是b≥0，故填①.[答案] ①7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的________条件．[解析] 充分性：“x ≠y ”不一定能推出“cos x ≠cos y ”，如x ＝0，y ＝2π，此时cos x ＝cos y ．必要性：“cos x ≠cos y ”一定能推出“x ≠y ”，所以“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分8．若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．[解析] 由题意可知p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a .p 是q 的充分不必要条件，所以a ≥2.[答案] [2，＋∞)三、解答题9．若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，求其中一根大于3，一根小于3的充要条件．[解] 方程x 2－mx ＋2m ＝0对应的二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，则方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3，一根小于3的充要条件是f (3)<0，即32－3m ＋2m <0，解得m >9.故其中一根大于3，一根小于3的充要条件是(9，＋∞)．10．已知p ：x 2－4x －5≤0，q ：|x －3|<a (a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 解不等式x 2－4x －5≤0，得－1≤x ≤5，解不等式|x －3|<a (a >0)，得－a ＋3<x <a ＋3，设A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |－a ＋3<x <a ＋3}，因为p 是q 的充分不必要条件，从而有A B .故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3<－1，a ＋3>5，解得a >4.所以实数a 的取值范围是(4，＋∞)．[能力提升练]1．设p：x2－x－20＞0，q：1－x2|x|－2＜0，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[不等式x2－x－20＞0的解集A＝{x|x＜－4或x＞5}，不等式1－x2|x|－2＜0的解集B＝{x|x＞2或x＜－2或－1＜x＜1}，由于A B，所以p⇒q且q p，所以p是q的充分不必要条件．故选A.]2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．[解析]若函数f(x)在[0,1]上是增函数，则根据f(x)是偶函数可知f(x)在[－1,0]上是减函数，结合f(x)的周期为2可知f(x)在[3,4]上是减函数．反过来，若函数f(x)为[3,4]上的减函数，则根据f(x)的周期为2，可知f(x)为[－1,0]上的减函数．因此“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．[答案]充要3．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的________条件．[解析]①当k>4，b<5时，一次函数y＝(k－4)x＋b－5的大致图象如图．②若一次函数y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，当x＝0时，y＝b－5<0，∴b<5.当y＝0时，x＝5－bk－4>0.∵b<5，∴k>4.故“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件．[答案]充要4．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.[证明]必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0，故a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 课时分层作业(十五)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题中为全称命题的是()A．过直线外一点有一条直线和已知直线平行B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．0没有倒数B[命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.]2．下列命题中为存在性命题的是()A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形C[A，B，D为全称命题，而C含有存在量词“有些”，故为存在性命题．] 3．下列命题中，是全称命题且是真命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∀x∈R，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数D[A中的命题是全称命题，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但x2＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D.]二、填空题4．命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是________．[解析]因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是“∃x＞0，x2＋x≤0”．[答案]∃x＞0，x2＋x≤05．已知命题p：∃x∈N，x2＜4，则非p为________．[解析]因为存在性命题的否定是全称命题，所以非p为∀x∈N，x2≥4.[答案]∀x∈N，x2≥46．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]因为x>3时，x>a恒成立，所以a≤3.[答案](－∞，3]7．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．[解析]由条件知，“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，即(a－1)2－4<0，解得－1<a<3.[答案](－1,3)8．对下列命题的否定说法错误的是________．①p：能被2整除的数是偶数，非p：存在一个能被2整除的数不是偶数；②p：有些矩形是正方形，非p：所有的矩形都不是正方形；③p：有的三角形为正三角形，非p：所有的三角形不都是正三角形；④p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0，非p：∀x∈R，x2＋x＋2>0.[解析]根据含有一个量词的命题的否定知③错误．[答案]③三、解答题9．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(2)p：每一个非负数的平方都是正数；(3)p：存在一个三角形，它的内角和不等于180°；(4)p：有的四边形没有外接圆；(5)p：某些梯形的对角线互相平分．[解](1)非p：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．(2)非p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题．(3)非p：任意三角形的内角和都等于180°，真命题．(4)非p：所有的四边形都有外接圆，假命题．(5)非p：所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a ＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．[解]法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax ＋2－a，则只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0或4＋4a＋2－a＞0.整理得a＞－3或a＞－2，即a ＞－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．法二：非p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ＞0无解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎨⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3. 故命题p 中，a ＞－3.即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．[能力提升练]1．有四个关于三角函数的命题：p 1：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀x ∈[0，π]，1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2. 其中的假命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 3A [∵∀x ∈R ，均有sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，而不是12，故p 1为假命题．当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z)时，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立，故p 2是真命题．∵cos2x ＝1－2sin 2x ，∴1－cos 2x 2＝1－1＋2sin 2x 2＝sin 2x .又x ∈[0，π]时，sin x ≥0，∴∀x ∈[0，π]，均有1－cos 2x 2＝sin x ，故p 3是真命题．当sin x ＝cos y ，即sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y 时，x ＝2k π＋π2－y 或x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y ＝(2k ＋1)π，即x ＋y ＝2k π＋π2或x －y ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故p 4为假命题．故选A.] 2．下列命题中，是假命题的是 ( )A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a ＞0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数D [∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，∴f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故A 中的命题为真命题；∵y ＝(ln x )2＋ln x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，∴∀a ＞0，方程(ln x )2＋ln x －a ＝0有解，即函数f (x )有零点，故B 中的命题为真命题；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 中的命题为真命题；当φ＝π2时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 为偶函数，故D 中的命题为假命题．]3．若命题“∀x ≥1，x 2≥a ”的否定为真命题，则实数a 的取值范围为________．[解析] 命题“∀x ≥1，x 2≥a ”的否定为“∃x ≥1，x 2＜a ”为真命题，所以a ∈(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)4．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ∶∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p 和q ”都是真命题，求实数a 的取值范围．[解] ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0.∴a ≤－2或a ≥1.又p 和q 为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1， ∴a ≤－2或a ＝1. 课时分层作业(十六)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知点M 到两个定点A (－1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹是( )A 一个椭圆B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线ABB [定值2等于|AB |，故点M 只能在线段AB 上．]2．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [当方程表示双曲线时，一定有ab <0，反之，当ab <0时，若c ＝0， 则方程不表示双曲线．]3．已知F 1(－5,0)，F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3或5时，点P 的轨迹分别是( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线D [依题意得|F 1F 2|＝10，当a ＝3时，2a ＝6<|F 1F 2|，故点P 的轨迹为双曲线的一支；当a ＝5时，2a ＝10＝|F 1F 2|，故点P 的轨迹为一条射线．故选D.]二、填空题4．已知双曲线的焦点为F 1，F 2，双曲线上一点P 满足|PF 1－PF 2|＝2.若点M 也在双曲线上，且MF 1＝4，则MF 2＝________.[解析] 由双曲线的定义可知，|MF 1－MF 2|＝2.又MF 1＝4，所以|4－MF 2|＝2，解得MF 2＝2或6.[答案] 2或65．已知点A (－1,0)，B (1,0)．曲线C 上任意一点P 满足PA →2－PB →2＝4(|PA →|－|PB →|)≠0.则动点P 的轨迹是________．[解析] 由条件可化简为PA ＋PB ＝4，因为4>2＝AB ， 所以曲线C 是椭圆． [答案] 椭圆6．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为______．(填“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”)[解析] 由题意P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹为一条抛物线．[答案] 抛物线7．已知平面上定点F 1，F 2及动点M ，命题甲：|MF 1－MF 2|＝2a (a 为常数)，命题乙：点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．[解析] 根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲D 乙，只有当0<2a <|F 1F 2|时，其轨迹才是双曲线．故甲是乙的必要不充分条件．[答案] 必要不充分8．△ABC 的顶点A (0，－4)，B (0,4)，且4(sin B －sin A )＝3sin C ，则顶点C 的轨迹是________．[解析] 运用正弦定理，将4(sin B －sin A )＝3sin C 转化为边的关系，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫b2R －a 2R ＝3×c 2R ，则AC －BC ＝34AB ＝6<AB .显然，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3)．[答案] 以A ，B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3) 三、解答题9．已知动点M 的坐标(x ，y )满足方程2(x －1)2＋2(y －1)2＝(x ＋y ＋6)2，试确定动点M 的轨迹．[解] 方程可变形为(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y ＋6|2＝1，∵(x －1)2＋(y －1)2表示点M 到点(1,1)的距离，|x ＋y ＋6|2表示点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离． 又由(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y ＋6|2＝1知点M 到定点(1,1)的距离等于点M 到直线x ＋y＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M 的轨迹是抛物线．10．一炮弹在某处爆炸，在F 1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5 000,0)处晚30017s ，已知坐标轴的单位长度为1 m ，声速为340 m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？[解] 由声速为340 m/s ，可知F 1，F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6 000(m)，且小于F 1F 2＝10 000(m)，因此爆炸点在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，又因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的双曲线一支上．[能力提升练]1．已知点P (x ，y )的坐标满足(x －1)2＋(y －1)2－(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝±4，则动点P 的轨迹是________．[解析] 方程表示点到(1,1)和(－3，－3)两点的距离差，∵4<(1＋3)2＋(1＋3)2，∴点P 的轨迹是双曲线．[答案] 双曲线2．已知椭圆上一点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为20，则PF 1·PF 2的最大值为________．[解析] 由条件知PF 1＋PF 2＝20，∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 22 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫202 2＝100.当且仅当PF 1＝PF 2时取得等号．[答案] 1003．如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________．[解析] 连接FP (图略)，∵M ，F 关于直线CD 对称， ∴PF ＝PM ，∴PF ＋PO ＝OP ＋PM ＝OM (定值)． ∵OM >OF ，∴点P 的轨迹是以F ，O 为焦点的椭圆． [答案] 以F ，O 为焦点的椭圆4．在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且sin B ，sin A ，sin C 成等差数列． (1)顶点A 的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．[解] (1)由sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得AB ＋AC ＝2BC .又因为BC ＝10，所以AB ＋AC ＝20，且20>BC ， 所以点A 的轨迹是椭圆(除去直线BC 与椭圆的交点)． (2)椭圆的焦点为B ，C ，焦距为10.课时分层作业(十七)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．7C ．5D ．8 D [将椭圆的方程转化成标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1.由题意知m －2＞10－m ＞0，即6＜m ＜10.由(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8，满足题意．]2．已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．8B ．2 2C ．10D ．42 A [由椭圆的定义得， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝8(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)．3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．22B [因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.]二、填空题4．若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是________．[解析] ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m ＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1. [答案] (0,1)5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，点P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形(填“直角”“锐角”或“钝角”)[解析] 不妨设PF 1>PF 2，由条件知PF 1－PF 2＝2，又PF 1＋PF 2＝2a ＝8，解得PF 1＝5，PF 2＝3.又∵F 1F 2＝2c ＝216－12＝4，∴F 1F 22＋PF 22＝PF 21， 故△PF 1F 2是直角三角形． [答案] 直角6．设F 1，F 2是椭圆4x 249＋y 26＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．[解析] 根据椭圆定义有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，|PF 1|＋|PF 2|＝7，因此|PF 1|＝4，|PF 2|＝3.又因为|F 1F 2|＝5，因此△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12×3×4＝6.[答案] 67．过点(3，－ 5 )且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．[解析] 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x24＝1.[答案] y 220＋x 24＝18．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．[解析] 设椭圆的另一焦点为F 2，由条件可知PF 2∥OM ，∴PF 2⊥x 轴．设P 点纵坐标为y ，则由x 212＋y 23＝1，得y ＝±32，∴点M 的纵坐标为±34. [答案] ±34三、解答题9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，求b 的值．[解] 如图所示，PF 1⊥PF 2，F 1F 2＝2c ， 根据椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝2a ，在Rt △F 1PF 2中，PF 21＋PF 22＝4c 2. 又S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝9，即PF 1·PF 2＝18.∴(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4c 2＋36＝4a 2， ∴4a 2－4c 2＝36，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，∴b ＝3.10．求符合下列条件的参数的值或取值范围．(1)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，求k 的取值范围； (2)若椭圆8k 2x 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，7)，求k 的值． [解] (1)原方程可化为x 22＋y 22k ＝1.∵其表示焦点在x 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >0，2k <2，解得k >1.故k 的取值范围是(1，＋∞)．(2)原方程可化为x 21k 2＋y 28－k＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－8k >0，－8k >1k 2，－8k －1k 2＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k <－18，k ＝－1或k ＝－17.故k 的值为－1或－17.[能力提升练]1．以圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为椭圆的右焦点，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的椭圆的标准方程为( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.4x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋4y 29＝1 B [由已知c ＝1，且焦点在x 轴上， 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入求得a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]2．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与x 轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________．[解析] 由题意知椭圆焦点在x 轴上，设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12. 故所求方程为x 216＋y 212＝1.[答案] x 216＋y 212＝13．“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的________条件． [解析] 由方程mx 2＋ny 2＝1，得x 21m ＋y 21n＝1，所以要使 方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧1m >0，1n >0，m ≠n ，即m >0，n >0且m ≠n .所以“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分4．已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，焦距为6，求实数m 的值．[解] ①当椭圆焦点在x 轴上时， 由2c ＝6，得c ＝3.由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝25，b 2＝m 2， 所以m 2＝25－9＝16. 因为m >0，所以m ＝4.②当椭圆焦点在y 轴上时，由2c ＝6，得c ＝3. 由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝m 2，b 2＝25， 所以m 2＝25＋9＝34. 因为m >0，所以m ＝34.综上所述，实数m 的值为4或34.课时分层作业(十八)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9B [由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.]2．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为 ( )A ．9B ．1C ．1或9D ．以上都不对C[⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝45，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝1.] 3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1 A [由题意，得4m 2＋n 2＞2，所以m 2＋n 2＜4，则－2＜m ＜2，－2<n <2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．故选A.]二、填空题4．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．[解析] 由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1. [答案] x 236＋y 29＝15．椭圆x 2m ＋y 24＝1的离心率为12，则实数m 的值为________．[解析] 当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，且m ＞4，则e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－4m ＝14，∴m ＝163； 当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，且0＜m ＜4， 则e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－m 4＝14，∴m ＝3. [答案] 3或1636．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (－a ，0)，B (0，b )的直线的距离等于b7，则椭圆的离心率为________． [解析] 由题意知直线AB 的方程为x －a ＋yb ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.左焦点为F (－c,0)，则|－cb ＋ab |a 2＋b 2＝b 7. ∴7(a －c )＝a 2＋b 2，∴7(a －c )2＝a 2＋b 2＝a 2＋a 2－c 2＝2a 2－c 2，即5a 2－14ac ＋8c 2＝0， ∴8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54.又∵0<e <1，∴e ＝12.[答案]127．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至 1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．[解析] 可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得 2a ＝1 700＋2×1 800＋200，∴a ＝2 750. 又a ＋c ＝1 700＋1 800，∴c ＝750. ∴e ＝c a ＝7502 750＝311.[答案]3118．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A ，B 两点，则弦长AB ＝________.[解析] 椭圆左焦点为(－2，0)， ∴直线方程为y ＝33(x ＋2)， 由⎩⎨⎧y ＝33(x ＋2)，x 2＋2y 2＝4得5x 2＋42x －8＝0，∴x 1＋x 2＝－425，x 1x 2＝－85，∴弦长AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4252－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－85＝165. [答案] 165三、解答题9．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．[解] 令x ＝－c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a . 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5， ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 25＝1.10．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．(1)求实数b 的取值范围； (2)当b ＝1时，求|AB |.[解] (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0， 解得－3＜b ＜ 3.所以b 的取值范围为(－3，3)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43.所以y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝423. [能力提升练]1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．32B ．26C ．27D ．42C [设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n >0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1x ＋3y ＋4＝0，消去x ，得(3m ＋n )y 2＋83m m y ＋16m －1＝0，Δ＝192m 2－4(16m －1)(3m ＋n )＝0，整理得3m ＋n ＝16mn ，即3n ＋1m ＝16 ①.又由焦点F 1(－2,0)，F 2(2,0)在x 轴上，得1m －1n ＝4②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17n ＝13，故椭圆的方程为x 27＋y 23＝1，所以长轴长为27.故选C.]2．若A 为椭圆x 2＋4y 2＝4的右顶点，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为________．[解析] 由题意得，该三角形的两直角边关于x 轴对称，且其中一边在过点A (2,0)，斜率为1的直线上，且此直线的方程为y ＝x －2，代入x 2＋4y 2＝4，得5x 2－16x ＋12＝0，解得x 1＝2，x 2＝65.把x ＝65代入椭圆方程，得y ＝±45，所以三角形的面积S ＝12×85×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－65＝1625.[答案]16253．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是________．[解析] 因为13 <k <12，所以点B 在第一象限．由题意可知点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .因为点A 的坐标为(－a ，0)， 所以k ＝b 2a －0c ＋a，所以13<b 2a －0c ＋a <12.又因为b 2＝a 2－c 2，所以b 2a －0c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2a 2＋ac＝a －c a ＝1－e ，所以13 <1－e <12，解得12<e <23，故椭圆离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，234.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (3,1)在椭圆上，△PF 1F 2的面积为2 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点Q 在椭圆C 上，且∠F 1QF 2＝π3，求QF 1·QF 2的值；(3)设直线y ＝x ＋k 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．[解] (1)∵椭圆过点P (3,1)， ∴9a 2＋1b2＝1. 又S △PF 1F 2＝12×2c ×1＝22，解得c ＝2 2.又a 2＝b 2＋c 2解得a 2＝12，b 2＝4，∴椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)当∠F 1QF 2＝π3时，有⎩⎨⎧QF 1＋QF 2＝2a ＝43，QF 21＋QF 22－2QF 1·QF 2cos π3＝(2c )2＝32，∴QF 1·QF 2＝163.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 24＝1，y ＝x ＋k得4x 2＋6kx ＋3k 2－12＝0，故x 1＋x 2＝－3k2，x 1x 2＝3k 2－124，y 1y 2＝k 2－124.∵以AB 为直径的圆经过坐标原点，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－6＝0，解得k ＝±6， 此时Δ＝120＞0，满足条件，因此k ＝± 6.课时分层作业(十九)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．双曲线x 2a ＋y 2a －1＝1的焦距为( )A ．1B ．2C ．22a －1D ．21－2aB [∵a (a －1)＜0，∴0＜a ＜1，方程化为标准方程为x 2a －y 21－a＝1，∴c 2＝a ＋1－a ＝1，∴焦距2c ＝2.]2．若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是 ( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6 C [由题意知c ＝4＋12＝4，设双曲线的左焦点为F 1(－4,0)，右焦点为F 2(4,0)，且|PF 2|＝8.当P 点在双曲线右支上时，|PF 1|－|PF 2|＝4，解得|PF 1|＝12；当P 点在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝4，解得|PF 1|＝4，所以|PF 1|＝4或12，即P 到它的左焦点的距离为4或12.]3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．42B ．8 3C ．24D ．48 C [由⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，可解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.]二、填空题4．焦点分别是(0，－2)，(0,2)，且经过点P (－3,2)的双曲线的标准方程是________．[解析] 由题意，焦点在y 轴上，且c ＝2，可设双曲线方程为y 2m －x 24－m ＝1(0<m <4)，将P (－3,2)代入，解得m ＝1.因此所求双曲线标准方程为y 2－x 23＝1. [答案]y 2－x 23＝1 5．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．[解析] 不妨设P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝PF 21＋PF 22，又因为|PF 1－PF 2|＝2，所以(PF 1－PF 2)2＝4，可得2PF 1·PF 2＝4，则(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝12，所以PF 1＋PF 2＝2 3.[答案] 236．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．[解析] 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，将x M ＝5代入双曲线可得|y M |＝163，即双曲线上一点M 到右焦点的距离为163，故利用双曲线的定义可求得点M 到左焦点的距离为2a ＋|y M |＝6＋163＝343. [答案]3437．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.[解析] 设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|.由双曲线方程知a 2＝16，b 2＝25， ∴c 2＝a 2＋b 2＝16＋25＝41， 又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.[答案] －18．若圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________．[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －9＝0，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3.∵圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴A (0，－3)，B (0,3)，且a ＝3,2c ＝18， ∴b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822－32＝72，∴双曲线方程为y 29－x 272＝1.[答案] y 29－x 272＝1三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103； (2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x 轴上时， 设所求标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b 2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.10．已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．[解] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[能力提升练]1．已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为 ( )A.x 25－y 2＝1 B.y 25－x 2＝1 C.x 225－y 2＝1 D.x 24－y 22＝1 A [依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，故双曲线标准方程为x 25－y 2＝1.]2．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________________________________________．[解析] 对于椭圆C 1，∵长轴长2a 1＝26，∴a 1＝13， 又离心率e 1＝c 1a 1＝513，∴c 1＝5.由题意知曲线C 2为双曲线，且与椭圆C 1共焦点， ∴c 2＝5.又2a 2＝8，∴a 2＝4，b 2＝c 22－a 22＝3，又焦点在x 轴上，故曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1.[答案] x 216－y 29＝13．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程为________．[解析] 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2. 根据勾股定理得PF 21＋PF 22＝(2c )2，即PF 21＋PF 22＝20.根据双曲线定义，有PF 1－PF 2＝±2a . 两边平方并代入PF 1·PF 2＝2，得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1.故双曲线的标准方程是x24－y2＝1.[答案]x24－y2＝14．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA，PB 送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．[解]矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近．依题意，界线是第三类点的轨迹．设M 为界线上的任一点，则PA ＋MA ＝PB ＋MB ，MA －MB ＝PB －PA ＝50(定值)，所以界线是以A ，B 为焦点的双曲线的右支的一部分．如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为a ＝25,2c ＝|AB | ＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507，所以c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3 750， 故双曲线的标准方程为x 2625－y 23 750＝1.注意到点C 的坐标为(257，60)，故y 的最大值为60，此时x ＝35，故界线的曲线方程为x 2625－y 23 750＝1(25≤x ≤35，y >0)．课时分层作业(二十)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A.5 B ．5 C.2 D ．2 A [由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5.] 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 A [∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，∴a ＝2，又∵e ＝ca ＝5，∴c ＝25，∴b ＝c 2－a 2＝20－4＝4.则双曲线的标准方程x 24－y 216＝1.]3．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为 ( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0A [由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a ， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32.又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2，∴c 21＝a 2－b 2， ∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4，即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22.令x 2a 2－y 2b 2＝0，解得bx ±ay ＝0，∴x ±2y ＝0.] 二、填空题4．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为________．[解析] 由2a ＋2c ＝4b ，得a ＋c ＝2b ＝2c 2－a 2，即a 2＋2ac ＋c 2＝4c 2－4a 2，得5a 2＋2ac －3c 2＝0，(5a －3c )·(a ＋c )＝0，即5a ＝3c ，e ＝c a ＝53.[答案] 535．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是________．[解析] 双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，则双曲线的标准方程是x 29－y 216＝1.[答案] x 29－y 216＝16．当双曲线C ：x 2m 2－y 22m ＋4＝1(－2＜m ＜0)的焦距取得最小值时，双曲线C 的渐近线方程为________．[解析] 由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋4＝(m ＋1)2＋3， ∴当m ＝－1时，焦距2c 取得最小值， 此时双曲线C 的标准方程为x 2－y 22＝1。