新华师大版数学九年级上册学案：22.3实践与探索第2课时
华师大版九年级数学上册-22.3实践与探索 学案
22.3实践与探索【学习目标】（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关：数字问题、面积问题、增长率问题、储蓄问题、经营问题等．（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，以及学生近似数运算的能力。
培养用数学的意识．【知识归纳】列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即1．审题；2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；3．找等量关系列方程；4．解方程；5．判断根是否符合题意；6．作出正确的答案．【基础知识】列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决，要正确地列出方程，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量与未知量之间的等量关系，进而达到求解的目的．列一元二次方程解应用题，这类问题主要有：数字问题、面积问题、增长率问题、储蓄问题、经营问题等．【例题精讲】例1：一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数．剖析：设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5－x)，原来的两位数就是：10(5－x)＋x．新的两位数个位上的数字为(5－x)，十位上的数字为x，新的两位数就是：10x＋(5－x)．于是根据题意可列出方程：［10（5－x）＋x］［10x＋(5－x)］＝736．解：设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5－x)．根据题意，得［10（5－x）＋x］［10x＋(5－x)］＝736．整理，得x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3．当x＝2时，5－x＝5－2＝3；当x＝3时，5－x＝5－3＝2．答：原来的两位数是32或23．说明：解决这类问题，关键是写出表示这个数的代数式，若一个两位数为ab，则这个两位数可表示为10a＋b；若一个三位数为abc，则这个三位数可表示为100a＋10b＋C．例2：（1）据2001年中国环境状况公报，我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方千米．其中风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多达26万平方千米．问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各多少平方千米？（2）某省重视治理水土流失问题，2001年治理了水土流失400平方千米，该省逐年加大治理力度，计划以后两年每年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2003年底，使这三年治理的水土流失面积达到1324平方千米．求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数．剖析：此题主要考查运用一元二次方程解有关增长率的问题，设这两年平均每年增长的百分数为x，那么2002年治理水土流失面积为400(1＋x)平方千米，2003年治理水土流失面积为400(1＋x)2平方千米．解：（1）设水蚀造成的水土流失面积为x万平方千米，则风蚀造成的水土流失面积为(x＋26)万平方千米，则x＋(x＋26)＝356，解之，得x＝165．答：水蚀与风蚀造成的水土流失面积分别为165万平方千米和191万平方千米．(2)设这两年治理水土流失面积每年增长的百分数为x，则400＋400(1＋x)＋400(1＋x) 2＝1324整理，得100x2＋300x－31＝0．解之，得x1＝0．1，x2＝－3．1．x＝－3．1不合题意，所以只能取x＝0．1＝10％．答：平均每年的增长的百分数为10说明：有关增长率的问题，往往要用到公式：M＝a(1＋x)n，这里a表示增长的基数，x表示每次的增长率，n表示增长的次数，M表示增长n次后的量；这个公式也同样适用于降低率的问题，只不过这时的增长率为负，即M＝a(1－x)n，其中x为降低率．例3:如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽?剖析：设路宽为x米，那么两条纵路所占的面积为2·x·20＝40x（米2），一条横路所占的面积为32x(米2)．纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形ABCD、EFGH的面积，所以三条路所占耕地面积应当是(40x＋32x－2x2)米2，根据题意可列出方程32×20－（40x＋32x－2x2）＝570．解：设道路宽为x 米，根据题意，得32×20－（40x ＋32x －2x 2）＝570．整理，得x 2－36x ＋35＝0．解这个方程，得x 1＝1，x 2＝35．x 2＝35不合题意，所以只能取x 1＝1．答：道路宽为1米．说明：本题的分析中，若把所求三条路平移到矩形耕地边上(如图12—2)，就更易发现等量关系列出方程．如前所设，知矩形MNPQ 的长MN ＝(32－2x )米，宽NP ＝(20－x )米，则矩形MNPQ 的面积为：(32－2x )(20－x )．而由题意可知矩形MNPQ 的面积为570平方米．进而列出方程(32－2x )(20－x )＝570，思路清晰，简单明了．例4:从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？剖析：第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．若设每次倒出x 升，则第一次倒出纯酒精x 升，第二次倒出纯酒精（20x ·x ）升．根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数． 解：设第一次倒出的纯酒精为x 升，第二次倒出的混合液中含纯酒精20x ·x 升，则20－x －2020x ·x ＝5． 整理，得x 2－40x ＋300＝0，解之，得x 1＝10，x 2＝30，x ＝30不合题意，舍去．所以只取x ＝10．答:每次倒出的升数为10升．说明：上述解法中是以“纯量”列方程求解，还可以从以下角度列方程求解，即第一次倒出纯酒精x 升，倒出的纯酒精占容器内纯酒精的20x ，第二次用水加满后再次倒出x 升溶液中的纯酒精占容器中纯酒精的20x ，余下的纯酒精仍是容器内纯酒精的1－20x ．故此时的纯酒精为20（1－20x ）2，则20(1－20x )2＝5． 例5：王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共63元，求第一次存款时的年利率．解：设第一次存款时的年利率为x ，根据题意，得［100（1＋x ）－50］（1＋21x ）＝63．整理，得50x 2＋125x －13＝0．解得x 1＝101，x 2＝－513． ∵x 2＝－513不合题意，∴只有取x ＝101＝10％． 答：第一次存款时的年利率为10％．说明：存款问题是近年中考题中的常见题型，解决这类问题首先要理解“本金”“利息”“利率”“本息和”等有关的概念，再找清问题之间的相等关系．【同步达标练习】1．选择题(1)某面粉厂一月份生产面粉500吨，三月份生产面粉720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x ，则有( )A ．500（1＋x 2）＝720B ．500（1＋x ）2＝720C ．500（1＋2x ）＝720D ．720（1＋x ）2＝500(2)某商品原价为100元，现有下列四种调价方案，其中0＜n ＜m ＜100，则调价后该商品价格最高的方案是( )A ．先涨价m ％，再降价n ％B ．先涨价n ％，再降价m ％C ．先涨价2n m +％，再降价2n m +％ D ．先涨价mn ％，再降价mn ％ (3)某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，其中一台盈利20％，另一台亏本20％，则本次出售中商场( )A ．不赔不赚B ．赚160元C ．赔80元D ．赚80元(4)两个连续奇数的积是63，则这两个数是( )A ．7，9B ．－9，－7C ．7，9或－9，－7D ．－7，9或－9，7(5)市政府计划两年内将市区人均住房面积由现在的10平方米提高到14．4平方米，设平均每年人均住房面积的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）A ．10(1＋x )＝14.4B ．10(1＋2x )＝14.4C ．10(1＋x )2＝14.4D ．10＋10(1＋x )＋10(1＋x )2＝14.4(6)某商品连续两次降价10％后的价格为a 元，则该商品的原价为（ ）A ．21.1a 元B ．1.21a 元C ．81.0a 元 D ．0.81a 元 (7)用篱笆围成一个长方形的花坛，其中一面靠墙，且在与墙平行的一边开了一个一米宽的门，如果墙长15米，现有能围成32米长的篱笆，花坛的面积需要130平方米，求花坛的长和宽．如果设垂直于墙的边长为x 千米，可列出的方程为（ ）A ．x (32＋1－2x )＝130B ．x ·2132x -+＝130C ．x ·2132x -+＝130D ．x (32－1－2x )＝130(8)某工厂计划在长24米、宽20米的空地中间划出一块32平方米的长方形建一住房，并且使四周剩余的地一样宽．那么这个宽度应该是（ ）A ．14米B ．8米C ．14米或8米D ．以上答案都不对2．填空题（1）若两个数的和是8，平方的和等于34，则这两个数分别为_______．（2）某种股票连续两次涨价10％后的价格为22元，则该种股票的原来价格为_______元（精确到0．1元）．（3）某商业集团1月份的利润是2500万元，3月份的利润达到3000万元，则这两个月的利润平均增长的百分率是_______．（4）某制药厂生产一种药品，由于连续两次降低成本，使成本比原来降低了36％，则平均每次降低成本的百分率是_______．（5）以大约与水平线成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s（单位：米）与标枪出手的v （单位：米/秒）之间大致有如下关系：s ＝8.92v ＋2．若抛出52米，则标枪出手的速度约为_______．（精确到0．1米/秒，其中10＝3．162）(6)直角三角形两直角边的比是8：15，而斜边的长等于6.8 cm ，则这个直角三角形的面积等于_______cm 2．3．某种产品现在每件成本100元，计划经过两年把每件成本降为49元，求每年平均降低的百分数．4．某钢铁厂一月份某种钢产量为5000吨，第一季度共产钢18200吨，求平均每月增长的百分率是多少?5．将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少?这时应进货多少个?6．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元购物，剩下的1000元及应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后得本金及利息共1320元．求这种存款方式的年利率．7．在容积为25升的容器里盛满纯酒精，从中倒出若干升后，加水注满容器，再倒出同样的升数，然后又用水注满，这时容器里溶液所含酒精是16升．求每次倒出的溶液的升数．8．一个分数的分子加13，分母减13，得到的分数恰为原分数的倒数．若原分数的分子、分母都加了13的结果与原数之积为196，求原分数．(只列方程) 9．三个连续整数两两相乘后相加得431，求这三个数．10．两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm ，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32 cm 2，求大小两个正方形的边长．11．某工厂今年元月生产桌椅1000套，二月份因春节放假，减产10％，三月份、四月份产量逐月上升，四月份产量达到1296套．求三、四月份的平均增长率．12．某公司向银行贷款500万元生产一种产品，签定的合同上的约定两年到期后一次性还本付息，利息为本金的8％，该产品投放市场后，由于适销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余180万元，若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，求这个百分数．13．如图12—3，要建一个面积为2m 300的长方形鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠墙，墙长为a m ，另外三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为50 m ．（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中的墙长a m 对题目的解起怎样的作用？14．某开发区为改善居民的住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加（人均住房面积＝该区人口总数该区住房总面积，单位： 平方米/人）．该开发区1997年至1999年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图12—4，请根据两图中所提供的信息解答下面的问题：（1）该区1998年和1999年两年中，哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少万平方米?答：_______年比上一年增加的住房面积多，多增加__________万平方米．（2）由于经济的发展，预计到2001年底，该区人口总数将比1999年年底增加2万，为使到2001年年底该区人均住房面积达到11平方米/人，试求2000年和2001年两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几？15.如图，ABC △中，90B ∠=︒，AB=6厘米，BC=8厘米，点P 从点A 开始，在AB 边上以1厘米/秒的速度向B 移动，点Q 从点B 开始，在BC 边上以2厘米/秒的速度向点C 移动.如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，经几秒钟，使PBQ △的面积等于28cm ？拓展：如果把BC 边的长度改为7cm ，对本题的结果有何影响？6cm7．设每次倒出x 升溶液，则25－x －2525x -x ＝16 ∴x ＝5．答：每次倒出5升溶液．8．设原分数为yx ，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙++=-+19613131313y x y x x y y x 9．设这三个连续整数为x －1，x ，x ＋1，则（x －1）x ＋x （x ＋1）＋（x ＋1）（x －1）＝431，∴这三个数为11，12，13或－11，－12，－13．10．16 cm ，12 cm ．11．设三、四月份平均月增长率为x ，则1000（1－10％）（1＋x ）2＝1296，解之，得x ＝0．2(x ＝－2．2不合题意，舍去)12．设这个百分数为x ，则500（1＋x ）2－(500＋500×8％)＝180，解之，得x ＝0．2(x ＝－2．2不合题意舍去)13．（1）30m ，10m 或20m ，15m(2)当a ＜20时，此题无解；当20≤a＜30时，此题有一解，即可建一个长为20 m、宽为15 m的鸡场；当a≥30时，此题有两解，即长、宽分别为20 m，15 m或30 m，10 m 14．(1)1999，7．4(2)10％。
22.3实践与探索教学设计2023-2024学年华师大版数学九年级上册
（一）教学特色创新
1. 实践环节设计：在实践与探索的教学中，增加更多贴近学生生活的实际案例，让学生能够更直观地感受到实践与探索的重要性，提高学生的学习兴趣。
2. 合作交流机会：鼓励学生在小组讨论中积极发表自己的观点，培养学生的合作精神和团队意识，使学生在交流中共同进步。
（二）存在主要问题
4. 学生小组讨论（10分钟）
目标： 培养学生的合作能力和解决问题的能力。
过程：
将学生分成若干小组，每组选择一个与实践与探索相关的主题进行深入讨论。
小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。
每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。
5. 课堂展示与点评（15分钟）
目标： 锻炼学生的表达能力，同时加深全班对实践与探索的认识和理解。
目标： 通过具体案例，让学生深入了解实践与探索的特性和重要性。
过程：
选择几个典型的实践与探索案例进行分析。
详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解实践与探索的多样性或复杂性。
引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用实践与探索解决实际问题。
小组讨论：让学生分组讨论实践与探索的未来发展或改进方向，并提出创新性的想法或建议。
重点难点及解决办法
重点：
1. 掌握实践与探索中的基本概念和原理。
2. 能够将实际问题抽象为数学模型，并运用所学知识解决。
难点：
1. 对实际问题进行正确的抽象和建模。
2. 运用所学生态观念解决复杂的实际问题。
解决办法：
1. 通过具体的案例和实例，引导学生理解并掌握基本概念和原理。
2. 提供丰富的练习题，让学生在实践中应用所学知识，加强对概念和原理的理解。
华师大版数学九年级上册22.3《实践与探索(2)》导学案2
22.3 实践与探索第2课时学习目标1、继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理，进一步培养分析问题和解决问题的能力。
2、会运用方程模型解决增长率问题，3、了解增设辅助未知数的方法，明确辅助未知数的作用。
重点：运用一元二次方程知识解决增长率的问题。
难点：设辅助未知数。
导学流程课前热身（1）某磷肥厂今年一月份的磷肥产量为4万吨，若二月份的产量增长率为x,则二月份产量为（）,若三月份的产量的增长率是二月份的两倍，则三月份的产量为（）。
（2）某林场现有的木材蓄积量为a立方米，预计在今后两年内木材蓄积量的年平均增长率为p0,那么两年后该临场木材蓄积量为（）立方米。
探究新知例1：（第18页，问题2）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.设这两年的年平均增长率为x，则今年年底的图书数是__________万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的_______倍，即_________________________________万册.可列得方程____________________＝7.2请同学们自己整理出做题步骤，注意检验结果的合理性。
例2：（第41页，问题4）某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？精讲点拨①产值翻一番，意味着产值增长到原产值的两倍。
②产值和平均年增长率都是未知数，其中产值是一个辅助未知数，列出方程后，辅助未知数自动消去。
加深探究请写出上面的完整步骤并完成课本“探索” 部分的问题，（关键在于找出不同增长率之间的关系，要求同学分别列出方程即可。
）牛刀小试1、（教材第39页问题2）某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元。
已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。
2、哈尔滨市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加440，这两年平均每年面积的增长率是（）。
九年级数学上册 22.3 实践与探索(2)导学案 华东师大版
实践与探索一、学习目标1、继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理，进一步培养分析问题和解决问题的能力。
2、会运用方程模型解决增长率问题，二、学习重点重点：运用一元二次方程知识解决增长率的问题。
难点：设辅助未知数。
三、自主预习1.某磷肥厂今年一月份的磷肥产量为4万吨，若二月份的产量增长率为x,则二月份产量为 ,若三月份的产量的增长率是二月份的两倍，则三月份的产量为。
2.某林场现有的木材蓄积量为a立方米，预计在今后两年内木材蓄积量的年平均增长率为p00,那么两年后该临场木材蓄积量为立方米。
3.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，则今年年底的图书数是________万册；同样，明年年底的图书数是万册，则可列得方程：____________ ________＝7.2四、合作探究1.某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元。
已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。
五、巩固反馈1.某工厂一月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？2.某商店二月份营业额为50万元，春节过后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5个百分点（即增加了5%），营业额达到48.3万元.求四、五两个月平均增长的百分率。
3.市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率。
4.为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%）。
【华东师大版九年级数学上册教案】22.3实践与探索第2课时
22.3实践与研究第2课时教课目标1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些详尽问题．2．会解有关“增添率”及“销售”方面的实质问题．教课重难点【教课要点】用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些详尽问题.【教课难点】解有关“增添率”及“销售”方面的实质问题.课前准备无教课过程一、情境导入月季花每盆的盈余与每盆的株数有必定的关系．每盆植 3 株时，均匀每株盈余 4 元；若每盆增添 1 株，均匀每株盈余减少 0.5 元．要使每盆的盈余达到 15 元，每盆应多植多少株？二、合作研究研究点：用一元二次方程解决增添率问题【种类一】增添率问题某工厂一种产品 2013 年的产量是 100 万件，计划 2015 年产量达到 121 万件．假设 2013 年到2015 年这类产品产量的年增添率同样．(1)求 2013 年到 2015 年这类产品产量的年增添率；(2)2014年这类产品的产量应达到多少万件？分析： (1) 经过增添率公式列出一元二次方程即可求出增添率；2014 年产量的表达式即可解决．解：(1) 设这类产品产量的年增添率为x，依据题意列方程得x2＝－2.1(舍去)．(2) 依照求得的增添率，代入2100(1 ＋x) ＝ 121，解得x1＝0.1 ，答：这类产品产量的年增添率为10%.(2)100 × (1 ＋ 10%)＝110( 万件 ) ．答： 2014 年这类产品的产量应达到110 万件．方法总结：增添率问题中可以设基数为a，均匀增添率为x，增添的次数为n，则增添后的结果为 a(1＋ x)n；而增添率为负数时，则降低后的结果为a(1－ x)n.某工厂使用旧设备生产，每个月生产收入是90 万元，每个月另需支付设备保护费从今年 1 月份起使用新设备，生产收入提升且无设备保护费，使用当月生产收入达5 万元；100 万元，1 至 3 月份生产收入以同样的百分率逐月增添，累计达364 万元， 3 月份后，每个月生产收入稳固在 3 月份的水平．(1)求使用新设备后， 2 月、 3 月生产收入的月增添率；(2)购进新设备需一次性支付 640 万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？ ( 累计利润是指累计生产收入减去旧设备保护费或新设备购进费)分析： (1) 设 2 月， 3 月生产收入的月增添率为x，依据题意建立等量关系，即3个月之和为364 万元，解方程时要对结果进行合理弃取；(2) 依据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋今后几个月的收入减去一次性支付640 万元大于或等于旧设备几个月的生产收入－每个月的保护费，而后解不等式．解： (1) 设 2 月， 3 月生产收入的月增添率为x，依据题意有100＋100(1＋ x)＋100(1＋ x)2＝364，即 25x2＋75x－ 16＝ 0，解得，x1＝－ 3.2( 舍 ) ，x2＝0.2 ，因此 2 月， 3 月生产收入的月增添率为 20%.(2) 设m个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，依据题意有364＋100(1 ＋ 20%)2( m－ 3) － 640≥ 90m－ 5m，解得，m≥12. 因此，使用新设备12 个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．方法总结：依据实质问题中的数目关系或是题目中给出的数目关系获取方程，经过解方程解决实质问题，当方程的解不仅一个时，要依据题意及实质问题确立出吻合题意的解．【种类二】利润问题一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：假如购买树苗不超出60 棵，每棵售价为120 元；假如购买树苗超出60 棵，每增添 1 棵，所销售的这批树苗每棵售价均降低0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于100 元．该校最后向园林公司支付树苗款8800 元．请问该校共购买了多少棵树苗？分析：依据条件设该校共购买了x 棵树苗，依据“售价＝数目×单价”即可求解．解：∵ 60 棵树苗售价为120 元× 60＝ 7200 元 <8800 元，∴该校购买树苗超出60 棵．设该校共购买了 x 棵树苗，由题意得 x[120－0.5( x－60)]＝8800，解得 x1＝220，x2＝80.当 x1＝220时，120－ 0.5(220 － 60) ＝40＜ 100，∴x1＝ 220 不合题意，舍去；当x2＝ 80 时，120－0.5(80－60) ＝ 110＞ 100，∴x2＝ 80，∴x＝ 80.答：该校共购买了80 棵树苗．方法总结：依据实质问题中的数目关系或题目中给出的数目关系获取方程，当求出的方程的解不仅一个时，要依据题意及实质问题确立出吻合题意的解．【种类三】方案设计问题菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克 5 元的价格对外批发销售．因为部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售．(1)求均匀每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数目多，李伟决定再恩赐两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200 元．试问小华选择哪一种方案更优惠？请说明原由．分析：第 (1) 小题设均匀每次下调的百分率为x，列一元二次方程求出x，舍去不合题意的解；第(2) 小题经过计算进行比较即可求解．解： (1) 设均匀每次下调的百分率为x，由题意，得2125(1 －x) ＝ 3.2，解得 x ＝0.2＝ 20%，x＝1.8( 舍去 ) ．∴均匀每次下调的百分率为20%；(2) 小华选择方案一购买更优惠，原由以下：方案一所需花费为： 3.2 × 0.9× 5000 ＝14400( 元 ) ；方案二所需花费为： 3.2 × 5000－ 200× 5＝ 15000( 元 ) ，∵ 14400＜ 15000，∴小华选择方案一购买更优惠．三、板书设计四、教课反思教课过程中，重申解决有关增添率及利润问题时，应试虑实质，对方程的根进行弃取.。
华师版数学九年级上册 22.3实践与探索
问题3：一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b， 则这个两位数是 10a + b .
问题4：一个三位数，百位 x，十位 y，个位 z，表 示为 100x + 10y + z .
华师版数学九年级上册
第22章 一元二次方程
22.3 实践与探索
第 1 课时 利用一元二次方程解决图形、数字问题
观察与思考
问题1 解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 问题2 解方程：
(80－2x)(60－2x)＝1500
(80－2x)(60－2x)＝1500 解：(1) 先把方程化为一元二次方程的一般形式
2.地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一 方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同， 求捐款的增长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位 能收到多少捐款？
解：(1)设捐款增长率为 x，则依题意列方程 10 000(1＋x)2＝12 100，解方程，得 x1＝－2.1(不合题意，舍去)，x2＝0.1＝10％． 答：捐款的增长率为 10％； (2)12 100×(1＋10％)＝13 310(元)． 答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收 到捐款 13 310元．
典例精析
例 两个连续奇数的积为 63，求这两个数.
解：设两个奇数为 x 和 x + 2， x(x + 2) = 63
华师大版-数学-九年级上册-22.3 实践与探索(第2课时)导学案
22.3实践与探索学习目标1、继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理，进一步培养分析问题和解决问题的能力。
2、会运用方程模型解决增长率问题，3、了解增设辅助未知数的方法，明确辅助未知数的作用。
重点：运用一元二次方程知识解决增长率的问题。
难点：设辅助未知数。
导学流程修改批注课前热身1.某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产个,增长率是。
2.康佳生产彩电,第一个月生产了5000台,第二个月增产了50%,则:第二个月比第一个月增加了 _______ 台,第二个月生产了______ 台;3（1）某磷肥厂今年一月份的磷肥产量为4万吨，若二月份的产量增长率为x,则二月份产量为 ,若三月份的产量的增长率是二月份的两倍，则三月份的产量为。
（2）某林场现有的木材蓄积量为a立方米，预计在今后两年内木材蓄积量的年平均增长率为p00,那么两年后该临场木材蓄积量为立方米。
探究新知例：某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨,3月上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少?解：设平均每月增长的百分率为X，则2月份比1月份增产吨，2月份的产量是吨，分析3月份比2月份增产吨，3月份的产量是吨，列方程：，整理，得，解这个方程，得、，经检验：答：练习一：某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，三月份产值为72亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少？平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百分率．（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a）市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.4.某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。
九年级数学上册22.3实践与探索(第2课时)学案华东师大版
22。
3实践与探索第二课时课前知识管理（从教材出发,向宝藏纵深）1、一元二次方程的应用主要有以下几种题型：（1）平均增长率方面的问题:如果原产量的基础数为a ，平均增长率为x ，那么对于时间n 的总产值b ，有公式()nx b +=1，类似地还有降低率问题. （2）几何图形方面的问题：这类问题的数量关系往往隐藏在图形中，可以通过布列一元二次方程求解，图形主要是三角形、四边形,数量关系主要有面积计算、体积计算、勾股定理等。
(3）行程问题中的匀速变速运动问题：匀变速运动问题在现实世界中有许多原型,它是物理运动学的基础，利用“路程=平均速度×时间"可列方程.（4）营销问题：解决此类问题首先要弄清楚几个名称的意义，如成本价、售价、标价、折价、利润、利润率等以及它们之间的等量关系.2、列一元二次方程的一般步骤是：①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的）；②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；③找出相等关系，并用它列出方程；④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．这里关键性的步骤是②和③,审题是解题的基础,列方程是解题的关键，在列方程时，要注意列出的方程必须满足以下三个条件：（1）方程两边表示同类量;(2）方程两边的同类量的单位一样；（3）方程两边的数值相等。
注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展,解题的方法是相同的,但因一元二次方程有两解,要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．名师导学互动(切磋琢磨，方法是制胜的法宝）典例精析类型一:平均增长率问题例1、某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元,求3月份到5月份的营业额的平均月增长率．【解题思路】3月份到5月份月增长是经过2次增长,平均月增长率是每次增长的百分数相同．设平均月增长率为x ，则六月份的营业额是：3月份的营业额2(1)x ⨯+，因此,应先求3月份的营业额．显然，3月份的营业额是2月份的营业额(110)400(110)440⨯+=+=％％。
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22.3实践与探索第二课时课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）1、一元二次方程的应用主要有以下几种题型：（1）平均增长率方面的问题：如果原产量的基础数为a ，平均增长率为x ，那么对于时间n 的总产值b ，有公式()nx b +=1，类似地还有降低率问题. （2）几何图形方面的问题：这类问题的数量关系往往隐藏在图形中，可以通过布列一元二次方程求解，图形主要是三角形、四边形，数量关系主要有面积计算、体积计算、勾股定理等.（3）行程问题中的匀速变速运动问题：匀变速运动问题在现实世界中有许多原型，它是物理运动学的基础，利用“路程=平均速度×时间”可列方程.（4）营销问题：解决此类问题首先要弄清楚几个名称的意义，如成本价、售价、标价、折价、利润、利润率等以及它们之间的等量关系.2、列一元二次方程的一般步骤是：①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；③找出相等关系，并用它列出方程；④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．这里关键性的步骤是②和③，审题是解题的基础，列方程是解题的关键，在列方程时，要注意列出的方程必须满足以下三个条件：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边的同类量的单位一样；（3）方程两边的数值相等.注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）典例精析类型一：平均增长率问题例1、某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率．【解题思路】3月份到5月份月增长是经过2次增长，平均月增长率是每次增长的百分数相同．设平均月增长率为x ，则六月份的营业额是：3月份的营业额2(1)x ⨯+，因此，应先求3月份的营业额．显然，3月份的营业额是2月份的营业额(110)400(110)440⨯+=+=％％.【解】设平均月增长率为x ，依题意，得2440(1)633.6x +=，2(1) 1.44x +=，两边直接开平方，得1 1.2x +=±，所以120.220 2.2x x ===-％，（不合题意，舍去）．类型二：几何图形问题例2、如图，正方形ABCD 的边长为12，划分成12×12个小正方形格.将边为n （2≤n ≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张n ×n 的纸片正好盖住正方形ABCD 左上角的为n ×n 个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n－1）×(n －1)的正方形.如此摆放下去，最后直到纸片被盖住的面积（重合部分只计一次）为S 1，未被盖住的面积为S 2.是否存在使得S 1＝S 2的n 值，若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）把S 1与S 2分别用含n 的代数式表示出来.根据S 1＝S 2或S 1＝21221⨯列出方程，答案是否存在，要看所列方程有没有整数解.（2）当小正方形边长为12时，只需1块正方形纸片.当小正方形边长为n （2≤n ≤11，且n 为整数）时，需要（13－n ）块小正方形纸片.（3）S 1等于由（12－n ）个如图所示的图形和一个边长为n 的小正方形的面积之和. 【解】当S 1＝S 2时，即S 1＝21221⨯时，（12－n ）[n 2－(n －1)2]＋n 2＝21221⨯,即－n 2＋25n －84＝0.解这个方程，得n 1＝4,n 2＝21(21>11,舍去).所以这样的n 值是存在的，其值为4.类型三：商品销售问题例3、某商店购进一批服装，进货单价为50元，如果将每件按60元出售，那么只能销售800件.经测算，售价每提高1元，销售量将减少20件.若要求这批服装获利1200元，且进货成本不超过2400元，问这种服装售价定为多少元适宜？此时应购进这种服装多少件？【解题思路】这种服装若按每件60元出售，则只能销售800件，利润最多是800×（60－50）=8000元，要想获得12000元的利润，必须提高售价，为了方便，可以设每件服装提价x 元，这时销售价为（60+x ）元，每件获利（60+x －50）元，销售量为（800－20x ）件，因而根据销售利润12000可以建立等式，需要注意的是，本题还有进货成本不能超过24000元的限制.【解】设这种服装每件提价x 元，根据题意，得：（60+x －50）（800－20x ）=12000，∴10,2021==x x .当x =10时，售价为60+10=70（元），需要购进服装800－20x =600（件），此时进货成本是600×50=30000（元）＞24000元，不合题意，应舍去.当x =20时，售价为60+20=80（元），需要购进服装800－20x =400（件），此时进货成本是400×50=20000（元）＜24000元，符合题意.答：这种服装售价定为80元适宜，此时应购进这种服装400件.类型四：生活热点题例4、某水库水位已超过了警戒线，上游水位以a s m /3的流量流入水库，为防洪打开闸门，每个闸门均以()s m a /332-的流量放水，经测算，若打开一个放水闸，15h 可将水位降至警戒线，若打开两个放水闸，5h 可将水位降到警戒线，求a 的值.【解题思路】该题是以水库开闸放水作为背景，题型新颖，解决这题的关键是紧紧扣住警戒线的高度是不变的，即水库中的水两次开闸所放的水量是相等的，打开一个闸门所放的水量是()[]a a --⨯3152，打开两个水闸所放的水量是()[]a a --⨯3252，因而有()[]a a --⨯3252=()[]a a --⨯3152，a 值可求.【解】由题意，得：()[]a a --⨯3252=()[]a a --⨯3152，化简得：0322=--a a ，解得1,321-==a a （舍去）.故a 值为3.易错警示1、分不清商品经济营销中的概念例5、某商品经过连续两次调价后的价格比原来翻两番，求平均每次调价的百分数.【错解】 设平均每次调价的百分数为x ，原来的价格为1，则()212=+x ，解得21±-=x ，舍去负根，得%4141.021=≈+-=x ，因此平均每次调价的百分数约为41%.【错因分析】造成错解的原因是对“翻两番”这个概念的含义理解不透，“翻一番”后的数量是原来的数量乘以2，“翻两番”后的数量是原来的数量乘以4，也就是说，如果原来是x ，则翻一番后是2x ，翻两番后是4x ，翻n 番后是x n2.【正解】设平均每次调价的百分数为x ，原来的价格为1，则()412=+x ，解得31-=x （舍去）12=x =100%，因此平均每次调价的百分数约为100%.2、在解答实际问题中，对方程的解进行取舍时忽视实际情况造成错解.例6、如图，要在一面靠墙（墙长18米）的地方用30米长的不锈钢修建一个面积为100平方米的矩形花圃的护栏，问矩形护栏的长和宽分别是多少？【错解】设与墙相邻的一边长为x 米，则另一边长为（30－2x ）米，依题意，得x （30－2x ）=100，整理，得050152=+-x x ，解得5,1021==x x .当x =10时，30－2x =10；当x =5时，30－2x =20.因此，矩形花圃的护栏的长和宽分别是10米和10米，或20米和5米.【错因分析】错解忽视了墙长只有18米，也就是说墙的最大利用长度是18米，没有考虑到当x = 5米时，与墙平行的那一边的长为20米，此时需要利用墙长20米，但这是不可能的.【正解】前面的过程与错解中相同，略.当x=10时，30－2x=10；当x=5时，30－2x=20＞18（应舍去）.因此，矩形花圃的护栏的长和宽分别是10米和10米.课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）1、以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s（单位：m）与标枪出手的速度v (单位：m/s)之间大致有如下关系：229.8vs=+.如果抛出40米，则标枪出手速度为（精确到0.1m/s）.2、一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布的面积是桌面的面积的2倍，如果将台布铺在桌面上，各边垂下的长度相同，则这块台布的长和宽分别为 .3、先从括号内①②③④备选项中选出合适的一项，填在横线上，将题目补充完整后再解答. （1）如果a是关于x的方程的根，并且，求________的值.①；②；③；④.（2）已知，且，求________的值.①；②；③；④.4、学校为了美化校园环境，在一块长40米，宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米，宽7米的长方形花圃．（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案；（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．5、一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点（算第一层）、第二层每边有两个点，第三层每边有三个点.依次类推.（1）试写出第n层所对应的点数；（2）试写出n层六边形点阵的总点数；（3）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有几层？课后作业练习一、选择题：1、在一幅长80cm ，宽50c m 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为cm x ，那么x 满足的方程是（ ）Ａ．213014000x x +-=Ｂ．2653500x x +-= Ｃ．213014000x x --= Ｄ．2653500x x --=2、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的21．则新品种花生亩产量的增长率为 （ ）A 、20％B 、30%C 、50%D 、120%3、若两个连续整数的积是56,则它们的和是 ( )A 、±15B 、15C 、-15D 、114、以墙为边，再用长为13米的铁丝围另外三边，围成面积为20平方米的长方形，已知长大于宽，则长方形的长、宽分别是（ ）A 、5m 、4m 或9m 、2mB 、9m 、2mC 、10m 、1.5mD 、8m 、2.5m 或5m 、4m5、下列判断，错误的是（ ）A 、两个连续整数的积是30，则这两个数是5和6B 、已知三角形的面积为24 cm 2，某边上的高比该边短2cm ，若设该边长为x cm ，则可列出方程()24221=-x x C 、将15 cm 长的铁丝围成一个面积为10 cm 2的矩形，设长为x cm ，则可列出方程()1021521=-x x D 、某工厂计划用两年时间把产品的成本下降19%，则平均每一年比上一年下降10%.6、李明同学在验算某数的平方时，将这个数的平方误写成它的2倍，使答案少了35，则这个数为（ ）A 、－7B 、－5或7C 、5或－7D 、77、要用一条长为24 cm 的铁丝围成一个斜边长为10 cm 的直角三角形，则两条直角边的长分别为（ ）A 、1 cm 和3 cmB 、6 cm 和8 cmC 、4 cm 和10 cmD 、7 cm 和7 cm二、填空题：8、汽车由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才停下，这段距离称为刹车距离，已知某汽车的刹车距离()s m 与车速()/v km h 之间关系为20.20.01s v v =+，当刹车距离为15m 时，该车车速为 /km h .三、解答题：9、编一道关于增长率的一元二次方程应用题，并解答.编题要求：①题目完整，题意清楚；②题意与方程的解都要符合实际.10、（2010山东聊城）2009年我市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率来实现，并且2011年全市国民生产总值要达到1726亿元．（1）求全市国民生产总值的年平均增长率（精确到1%）；（2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿？（精确到1亿元）11、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？22.3参考答案：1、答案：B2、解析：由规则得，解之得.x 为正数，，故应选B.3、3m /s4、长为8cm ，宽为6cm .5、解析：由一元二次方程根的定义，得：，，即，因此选填③；对于第（2）题，可将恒等变形并分解因式，得，.故应选填②.6、解：（1）学校计划新建的花圃的面积是9763⨯=（平方米），比它多1平方米的长方形面积是64平方米，因此可设计以下方案：方案一：长和宽都是8米；方案二：长为10米，宽为6.4米；方案三：长为20米，宽为3.2米．（2）假设在计划新建的长方形周长不变的情况下长方形花圃的面积能增加2平方米．由于计划新建的长方形的周长是2(97)32⨯+=（米），设面积增加后的长方形的长为x 米，则宽是(322)2(16)x x -÷=-（米），依题意，得(16)65x x -=，整理，得216650x x -+=，因为224(16)46540b ac -=--⨯=-<，此方程没有实数根，所以，在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米．7、解：（1）第n 层上的点数为6（n －1）（n ≥2）.（2）n 层六边形点阵的总点数为＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝1＋2)1)](1(66[--+n n ＝3n (n －1)＋1.（3）令3n (n －1)＋1＝169，得n ＝8.所以，它一共是有8层.课后作业答案：1.答案：B2.答案：A3.答案：A4.答案：D5.答案：A6.答案：B7.答案：B8.答案：309.答案：如：某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，平均每年增产的百分率是多少？解：设平均每年增产的百分率是x ，由题意，得，1.1121.1)1(2±=+=+x x ，，（不合题意，舍去），1.21.021-==∴x x .所以只能取，即平均每年增产的百分率是10%.10.（1）解：设年平均增长率为x ，根据题意，得1376（1+x ）2＝1726，解得 x 1≈0.12，x 2＝-2.12（不合题意，舍去）．（2）1376×（1+0.12）≈1541.12，1726×（1+0.12）≈1933.12，1541.12+1726+1933.12≈5200（亿元）．答：年平均增长率为12%，2010年至2012年全市三年国民生产总值为5200亿元.11.解：延长DA 至M ，使BM ⊥BE .过B 作B G ⊥AM ，G 为垂足.易知四边形BCD G 为正方形，所以BC ＝B G.又∠CBE ＝∠G BM ，∴Rt △BEC ≌Rt △BM G..∴BM ＝BE ，∠ABE ＝∠ABM ＝45°，∴△ABE ≌△ABM ，AM ＝AE ＝10.设CE ＝x ，则A G ＝10－x ,AD ＝12－(10－x )＝2＋x ，DE ＝12－x .在Rt △ADE 中，AE 2＝AD 2＋DE 2，∴100＝（x ＋2）2＋（12－x ）2，即x 2－10x ＋24＝0,解之，得x 1＝4，x 2＝6.故CE 的长为4或6.12.解：设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景区旅游，因为2700025000251000<=⨯，所以员工人数一定超过25人.可得方程[]27000)25(201000=--x x ，解得：30,4521==x x .当451=x 时，700600)25(201000<=--x ，故舍去1x ；当452=x 时，70900)25(201000>=--x ，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.。