山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题

山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若命题：:p x R ∃∈，3210x x -+≥，则p ⌝为（ ） A ．不存在x ∈R ， 3210x x -+< B ．x R ∃∈ ，3210x x -+< C ．x R ∀∈，3210x x -+< D ．x R ∀∈，3210x x -+≥2．设命题p ：若tan 1α=，则4πα=；命题q ：0(0,2)x ∃∈，0013x x +>，则下列命题中假命题的是（ ） A ．p q ∨B ．()p q ⌝∧C ．()p q ⌝∨D ．()p q ∧⌝3．有下列四个命题：①若平面α外一条直线l 与平面α内一条直线平行，则l 平行于平面α； ②“全等三角形的面积相等”的逆命题； ③“若αβ=，则sin sin αβ=”的否命题；④已知,x y 为实数，“若,x y 中至少有一个不为0，则x y +≠220”的逆否命题.所有真命题序号为（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④4．已知空间四边形ABCD 中，AB α=，BC b =，AD c =，则CD =（ ） A ．a b c +-B ．c a b --C ．c a b +-D ．a b c ++5．在空间直角坐标系中，(1,2,3)M ，(1,3,0)N -，向量(4,,)p x y =-，若//MN p ，则x y +=（ ） A ．4B ．2C ．-4D ．-26．已知F 为抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线上的一个动点，点A 的坐标为(5,3)，则||||PA PF +的最小值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．已知双曲线过点(1,2)，渐近线方程为y =，则双曲线的标准方程是（ ）A ．2212x y -=B ．2212y x -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=8．设椭圆22152x y +=和双曲线2212x y -=的公共焦点为12,F F ，P 为这两条曲线的一个交点，则12•PF PF 的值为（ ） A ．3B．C． D．9．已知点P 在曲线212y x =上移动，则点(1,0)A -与点P 的中点的轨迹方程是（ ） A ．212y x =B ．218y x =C ．21148y x =+ D ．21148y x =- 10．二面角l αβ--的大小为060，,A B 是棱上的两点，,AC BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，2AB =，1AC =，3BD =，则CD 的长度为（ ） A．BCD．11．已知,(0,)x y ∈+∞，则“0x y ->”是“ln ln x y y x ->-”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点(3,0)A 的直线与抛物线交于,M N 两点，直线,FM FN 分别与抛物线交于点,P Q ，设直线PQ 与MN 的斜率分别为12,k k ，则12k k =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题13．已知向量(0,1,1)a =-，(3,2,0)b =，若11a b λ+=，则λ=__________．14．若命题：“2000,10x R ax ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围是__________．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 在圆222x y b +=外，过F 作圆的切线FM 交y 轴于点P ，切点为M ，若2OM OF OP =+，则椭圆的离心率为__________．16．长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12AA =，1AD =，,E F 分别是11,AA BB 的中点，G 是DB 上的点，2DG GB =，若平面1EB C 与平面11A ADD 的交线为l ，则l 与GF 所成角的余弦值为__________．三、解答题17．平面直角坐标系中，动点M 在y 轴右侧，且M 到F(1,0)的距离比到y 轴的距离大1. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）若过点F 且倾斜角为π4的直线与曲线C 相交于P,Q 两点，求线段PQ 的长. 18．设P ：实数m 满足22430m am a -+≤，其中a R ∈；q ：实数m 使得方程22121x y m m +=++表示双曲线. （1）当1a =-时，若“p q ∨”为真命题，求m 的取值范围； （2）若p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.19．如图，正方形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直，且2EM MD =，2BN NA =.（1）求证：//MN 平面BEC ；（2）若2AE AB =，0120EAB ∠=，求直线MN 与平面CDE 所成的角的正弦值.20．如图，在多面体ABCDMN 中，四边形ABCD 为直角梯形， //AB CD ， AB =BC DC ⊥， BC DC AM DM ====BDMN 为矩形.（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCD ；（2）线段MN 上是否存在点H ，使得二面角H AD M --的大小为4π？若存在，确定点H的位置并加以证明.21．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左顶点为A，上顶点为B，坐标原点O到直线AB，（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右顶点为D，若平行于BD的直线l与椭圆C相交于顶点的,M N两点，探究直线AM，BN的倾斜角之和是否为定值？若是，求出定值；若否，说明理由.22．设椭圆222:1(1)xC y aa+=>的右焦点为F，右顶点为A，已知11eOF OA FA+=，其中O为坐标原点，e为椭圆的离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点,M N时，能在直线53y=上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM NQ=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.参考答案1．C 【解析】因为,x q ∃ 的否定为,x q ∀⌝所以p ⌝为x R ∀∈，3210x x -+<,选C 2．D 【解析】若tan 1α=，则4πα=()k k Z π+∈ ,所以命题p 为假()010,23x ∃=∈，013x x +>,所以命题q 为真 所以()p q ∧⌝为假,选D 3．D 【解析】若平面α外一条直线l 与平面α内一条直线平行，则l 平行于平面α；(线面平行判定定理) “全等三角形的面积相等”的逆命题为:面积相等的三角形全等,为假“若αβ=，则sin sin αβ=”的否命题为: “若αβ≠，则sin sin αβ≠”,为假 已知,x y 为实数，“若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”的逆否命题为“若220x y +=，则,x y 中全为0”,为真选D 4．B 【解析】因为0AB BC CD DA +++=，所以CD c a b =-- ,选B 5．C 【解析】MN =(2,1,3)-- ,所以42,6+y=-4213x yx y x -==∴==-∴-- ,选C 6．B 【解析】:1l x =- ,PA PF +5(1)6A l d -≥=--= ,选B7．B 【解析】设双曲线的标准方程2222242212y y x x λλ-=∴=-=∴-= ,选B点睛：1.已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3，双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点. 8．A 【解析】1212PF PF PF PF +=-=±22121212()()34PF PF PF PF PF PF +--∴⋅==,选A9．C 【解析】设AP 中点为21111111(,),(,)21,22M x y P x y x x y y y x ∴=-==22114(21),(21)28y x y x ∴=+=+ 选C点睛：涉及中点弦问题往往利用点差法.即得到中点坐标与弦斜率之间一个关系式，通过这个关系式可得根据中点坐标求弦所在直线斜率，也可利用这个关系式得弦中点轨迹或解有关范围问题. 10．B 【解析】CD === 选B 11．A【解析】令1()ln ()10f x x x f x x'=+∴=+> ()()ln ln ln ln x y f x f y x x y y x y y x ∴>⇔>⇔+>+⇔->-选A点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 12．C 【解析】设11223344(,),(,),(,),(,)M x y N x y P x y Q x y所以331113221313004111144y y y yy y y y x x --=⇒=⇒=----- 同理424y y =-,因为1212122212120012333344y y y y y y y y x x --=⇒=⇒=----- 2212434311212121222342431212432144344444y y y y y y k x x y y y y y y y y k x x y y y y y y y y ----++∴=⋅=⋅====-----+-+-,选C 13．1 【解析】a b λ+2(3,2,)210,1λλλλλ=-+==-+==14．[]4,0- 【解析】由题意得2004040a a a a a <⎧=∴-≤≤⎨∆=+≤⎩或15．3【解析】由于2OM OF OP =+，且OM PF ⊥，故三角形OPF 为等腰直角三角形，故直线PF 的斜率为1-，即直线PF 的方程为y x c =-+，0x y c +-=，根据圆心到直线的距离等于b ，,c b b ==，代入222a b c =+得2232a c =，故离心率为3c a==.【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和圆的位置关系，考查向量加法的几何意义.本题突破口在于2OM OF OP =+，根据向量加法的几何意义可以知道M 是PF 的中点，再结合直线和圆相切，可以判断出三角形为等腰直角三角形，这样直线方程就可以求出来了，再利用点到直线距离公式建立方程，来求离心率.16【解析】以D 为坐标原点,DA,DC,DD 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，设AD 中点为M,则l =EM.所以7113(,0,1),(,,1)cos ,235EM GF EM GF -=--=∴==因此l 与GF 所成角的余弦值为76565点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 17．(1)y 2=4x (x >0)(2)8 【解析】试题分析：（1）设点M (x,y )，根据两点间距离公式列等量关系，平方化简得轨迹C 的方程（2）根据抛物线定义得线段PQ 的长为x 1+x 2+2，再将直线点斜式方程代入抛物线方程，根据韦达定理得x 1+x 2=6，即得线段PQ 的长.试题解析：（1）设动点M (x,y )(x >0)，点M 到y 轴的距离为d ， 由题意|MF|−d =1. 将点M (x,y )的坐标代入上式，得，整理得y 2=4x (x >0). (2) 直线PQ 的方程为 y =x −1， 联立，得x 2−6x +1=0，设P(x 1,y 1), Q(x 2,y 2)，则x 1+x 2=6，x 1x 2=1， 所以.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p >0)上一点，由定义易得|PF|=x 0+p2；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则弦长为|AB|=x 1+x 2+p,x 1+x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 18．(1)[]3,1--(2)12a 3a ≤-≥-或 【解析】试题分析：（1）先解一元二次不等式得P ，再根据双曲线方程特点得q ，最后求并集得结果（2）根据a 讨论P ，再根据p 是q ⌝真子集得实数a 的取值范围. 试题解析：（1）当1a =-时，由2430m m ++≤，解得31m -≤≤-, 由 ()()120m m ++<，解得21m -<<-. 因为“p q ∨”为真，{}|31m m -≤≤-⋃ {}|21m m -<<-.∴实数m 的值取值范围是[]3,1--.（2）p 是q ⌝的充分不必要条件等价于若q 是p ⌝的充分不必要条件，由（1）知，条件q 对应的集合为：{|21}A m m =-<<-.记满足条件p ⌝的实数m 的集合为B = ()(){}30m m a m a --由题意A B .当0a =时，{|0}B m m =≠，满足AB ；当0a >时，{3}B m m a m a =<或，满足A B ；当0a <时，{3}B m m a m a =<或，要使A B ，只需31a ≥-或2a ≤-，所以或2a ≤-.综上实数a 的取值范围为：2a ≤-或.19．(1)见解析 【解析】试题分析：（1）在CE 上取一点F ，使2EF FC =,根据平几知识可得BNMF 为平行四边形，即得//MN BF ，再根据线面平行判定定理得结论（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解平面法向量，根据向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求直线MN 与平面CDE 所成的角的正弦值. 试题解析：（1）在CE 上取一点F ，使2EF FC =,连接,FB MF .由已知,在EDC ∆中，2EM MD =，2EF FC =所以//MF CD 且.又在正方形ABCD 中，3AB AN =，所以且//BN CD .所以//MF BN 且MF BN =.所以，四边形BNMF 为平行四边形.所以//MN BF .又MN ⊄平面BEC ，BF ⊂平面BEC //MN ∴平面BEC .（2）以A 为坐标原点，分别以AB AD 、所在的直线为y 轴、z 轴，以过A 垂直于AB 的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.设1AB =，则()0,1,0B ,()0,1,1C ,0,0,1D （），()310E -，，,,,所以,()311DE =--，，,()010DC =，，. 设平面CDE 的一个法向量(),,n x y z =，则，即，不妨令1x =，得(n =，设直线MN 与平面CDE 所成的角为θ，则.所以直线MN 与平面CDE 所成的角正弦值为.20．（1）见解析（2）点H 为线段MN 的中点【解析】 试题分析：（1）先根据勾股定理得BD AD ⊥，再由矩形性质得BD DM ⊥，由线面垂直判定定理得BD ADM ⊥平面，最后根据面面垂直判定定理得结论 （2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解各平面法向量，根据向量数量积两法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求点H 坐标，即得点H 的位置试题解析：（1）证明：由平面几何的知识，易得2BD =，2AD =，又AB =ABD ∆中，满足222AD BD AB +=，所以ABD ∆为直角三角形，且BD AD ⊥.因为四边形BDMN 为矩形，所以BD DM ⊥.由BD AD ⊥，BD DM ⊥，DM AD D ⋂=，可得 BD ADM ⊥平面.又BD ABD ⊂平面，所以平面ADM ⊥平面ABCD .（2）存在点H ，使得二面角H AD M --为大小为，点H 为线段AB 的中点.事实上，以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0D A B ,()1,0,1M ，设(),,H x y z ,由MH MN DB λλ==，即()()1,,10,2,0x y z λ--=，得()1,2,1H λ.设平面ADH 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则，即，不妨设11y =，取()10,1,2n λ=-.平面ADM 的一个法向量为()20,1,0n =.二面角H AD M --为大小为于是.解得 或（舍去）.所以当点H 为线段MN 的中点时，二面角H AD M --为大小为.21．(1) 2214x y += (2) 倾斜角之和为定值π 【解析】试题分析：（1ab c=,结合离心率得2,1a b ==（2）设()()1122,,,M x y N x y ，则用坐标表示AM BN k k +，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得0AM BN k k +=，即得倾斜角之和为定值π试题解析：（1）由题意知：，2,1a b ∴==. （2）因为()()0,1,2,0B D ，所以， 设直线l ：，代入，得222220x mx m -+-=，由()2224422840m m m ∆=--=->，得m <<设()()1122,,,M x y N x y ，则122x x m +=，21222x x m =-.设直线,AM BN 的倾斜角分别为,αβ，则tan tan AM BN k k αβ+=+将122x x m +=，21222x x m =-代入，得tan tan 0αβ+=.，()(),0,,0,2αβπαβπ∈∴+∈，αβπ+= .即直线,AM BN 的倾斜角之和为定值π.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.22．(1) 2212x y += (2) 不存在满足条件的点P Q ， 【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得11,1ca b c a a c+==- 解得22a =（2）由PM NQ =知PMQN 为平行四边形,即MN 的中点也是PQ 的中点. 设直线l 的方程为2y x t =+,联立直线方程与椭圆方程，利用中点坐标公式以及韦达定理得Q 坐标（用t 表示），最后根据判别式大于零得t 范围，得Q 坐标范围，根据范围不在椭圆范围内，否定存在性 试题解析：（1）由题意知：， aos又因为1b =，222a b c =+，解得22a =故椭圆C 的方程为．（2）椭圆C 上不存在这样的点Q .事实上，设直线l 的方程为2y x t =+,联立，得229280y ty t -+-=, ()2243680t t ∆=-->，得33t -<<.设()()112,2,,M x y N x y ，则，.由PM NQ =知PMQN 为平行四边形,而D 为MN 的中点,也是PQ 的中点.于是设,()44,Q x y ,则,即 ，可得.因为33t -<<,所以. 若()44,Q x y 在椭圆上，则411y -≤≤，矛盾.因此,不存在满足条件的点,P Q．。