随机变量及其分布章末检测答案详解
高中数学 第二章 随机变量及其分布章末检测试卷 新人教A版选修23
第二章 随机变量及其分布章末检测试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设由“0”“1”组成的三位数组中，若用A 表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B 表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P (A |B )等于( ) A.25 B.34 C.12 D.18 考点 条件概率题点 直接利用公式求条件概率 答案 C解析 ∵P (B )＝1×2×22×2×2＝12，P (AB )＝1×1×22×2×2＝14，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝12. 2．10张奖券中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为( ) A.310 B.112 C.12 D.1112 考点 排列与组合的应用 题点 排列、组合在概率中的应用 答案 D解析 设事件A 为“无人中奖”，即P (A )＝C 57C 510＝112，则至少有1个人中奖的概率P ＝1－P (A )＝1－112＝1112.3．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是( ) A ．0.80 B ．0.75 C ．0.60 D ．0.48 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 B解析 设事件A i (i ＝1,2)表示“做对第i 道题”，A 1，A 2相互独立， 由已知得：P (A 1)＝0.8，P (A 1A 2)＝0.6，由P (A 1A 2)＝P (A 1)·P (A 2)＝0.8×P (A 2)＝0.6， 解得P (A 2)＝0.60.8＝0.75.4．设随机变量X 等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y ＝2X －1，则P (Y <6)的值为( ) A ．0.3 B ．0.5 C ．0.1 D ．0.2 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 由Y ＝2X －1<6，得X <3.5，∴P (Y <6)＝P (X <3.5)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.3. 5．设随机变量X ～N (μ，σ2)且P (X <1)＝12，P (X >2)＝p ，则P (0<X <1)的值为( )A.12p B ．1－p C ．1－2pD.12－p 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 D解析 由正态曲线的对称性知P (X <1)＝12，故μ＝1，即正态曲线关于直线x ＝1对称，于是P (X <0)＝P (X >2)，所以P (0<X <1)＝P (X <1)－P (X <0)＝P (X <1)－P (X >2)＝12－p .6．已知离散型随机变量X 的分布列如下：则均值E (X )与方差D (X )分别为( ) A ．1.4,0.2 B ．0.44,1.4 C ．1.4,0.44D ．0.44,0.2考点 均值、方差的综合应用 题点 求随机变量的均值与方差 答案 C解析 由离散型随机变量的性质知a ＋4a ＋5a ＝1，∴a ＝0.1.∴P (X ＝0)＝0.1，P (X ＝1)＝0.4，P (X ＝2)＝0.5，∴均值E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4；方差D (X )＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.7．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( )A ．P (X ≤1)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 C解析 P (X ＝1)＝C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112.8．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为( )A.16B.13C.12D.635考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 A解析 设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16. 9．设随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )A.56B.45C.2021D.3132 考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布求概率 答案 D解析 ∵函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点， ∴方程x 2＋4x ＋X ＝0存在实数根， ∴Δ＝16－4X ≥0，∴X ≤4，∵随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，∴P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝3132，故选D.10．一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为( )A ．0.93B ．1－(1－0.9)3C ．C 35×0.93×0.12D ．C 35×0.13×0.92考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布求概率 答案 C解析 5头猪中恰有3头被治愈的概率为C 35×0.93×0.12.11．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为23，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )A.49B.1927C.1127D.4081考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 B解析 最后乙队获胜事件含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P ＝13＋23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1927，故选B.12．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的面上的数之积的均值是( ) A.19 B.29 C.13 .D.49 考点 常见的几种均值 题点 相互独立事件的均值 答案 D解析 将小正方体抛掷1次，向上的面上可能出现的数有0,1,2，概率分别为12，13，16，将这个小正方体抛掷2次，可以表示为下表：令ξ为小正方体抛掷2次后向上的面上的数之积，则积为0的概率P (ξ＝0)＝12×12＋12×13＋12×16＋12×13＋12×16＝34.积为1的概率P (ξ＝1)＝13×13＝19.积为2的概率P (ξ＝2)＝13×16＋13×16＝19.积为4的概率P (ξ＝4)＝16×16＝136，所以向上的面上的数之积的均值E (ξ)＝0×34＋1×19＋2×19＋4×136＝49.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知随机变量ξ～B (n ，p )，若E (ξ)＝4，η＝2ξ＋3，D (η)＝3.2，则P (ξ＝2)＝________.考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布的分布列求概率 答案32625解析 由已知np ＝4,4np (1－p )＝3.2，∴n ＝5，p ＝0.8，∴P (ξ＝2)＝C 25p 2(1－p )3＝32625.14．某处有水龙头5个，调查表示每个水龙头被打开的可能性均为110，则3个水龙头同时被打开的概率为________． 考点 独立重复试验的计算题点 用独立重复试验的概率公式求概率 答案 0.008 1解析 对5个水龙头的处理可视为做5次独立重复试验，每次试验有2种可能结果：打开或不打开，相应的概率为0.1或0.9，根据题意得3个水龙头同时被打开的概率为C 35×0.13×0.92＝0.008 1.15．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，向量a ＝(1,2)与向量b ＝(ξ，－1)的夹角为锐角的概率是12，则μ＝______.考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 2解析 由向量a ＝(1,2)与向量b ＝(ξ，－1)的夹角是锐角，得a ·b >0，即ξ－2>0，解得ξ>2，则P (ξ>2)＝12.根据正态分布密度曲线的对称性，可知μ＝2.16．一射手对靶射击，直到第一次中靶或用光子弹为止．若他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗子弹，则射击结束后剩余子弹的数目X 的均值E (X )＝________. 考点 常见的几种均值 题点 相互独立事件的均值 答案 1.89解析 由题意知，X 的可能取值是0,1,2，对应的概率分别为P (X ＝2)＝0.9，P (X ＝1)＝0.1×0.9＝0.09，P (X ＝0)＝0.13＋0.12×0.9＝0.01， 由此可得均值E (X )＝2×0.9＋1×0.09＋0×0.01＝1.89. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分，100分，200分，答错得0分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响． (1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率． 考点 互斥、对立、独立重复试验的综合应用 题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题解 记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P 1＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228. (2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.18．(12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间． (1)求ξ的分布列； (2)求ξ的均值．考点 均值与方差的综合应用题点 离散型随机变量的分布列及均值 解 (1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6.P (ξ＝1)＝13， P (ξ＝3)＝13×12＝16， P (ξ＝4)＝13×12＝16，P (ξ＝6)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×12×1＝13，ξ的分布列为(2)E (ξ)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72.19．(12分)从1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数． (1)求这3个数恰有1个偶数的概率；(2)记X 为3个数中两数相邻的组数，例如取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时X 的值为2，求随机变量X 的分布列及均值E (X )． 考点 均值与方差的综合应用 题点 离散型随机变量的分布列及均值解 (1)设Y 表示“任取的3个数中偶数的个数”， 则Y 服从N ＝9，M ＝4，n ＝3的超几何分布， ∴P (Y ＝1)＝C 14C 25C 39＝1021.(2)X 的取值为0,1,2，P (X ＝1)＝2×6＋6×5C 39＝12， P (X ＝2)＝7C 39＝112，P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝512.∴X 的分布列为∴E(X)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.20．(12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的分布列如下表：(1)求a的值和ξ的均值；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．考点互斥、对立、独立重复试验的概率问题题点互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题解(1)由分布列的性质得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得a＝0.2，∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月均被投诉1次”．则由事件的独立性得P(A1)＝C12P(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝0.32＝0.09.∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.21．(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值．考点 均值与方差的应用题点 离散型随机变量的分布列及均值解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A . P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610＝35.故X 的分布列为E (X )＝200×110＋300×310＋400×35＝350.22．(12分)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有(n ＋m )道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类型试题的数量． (1)求X ＝n ＋2的概率；(2)设m ＝n ，求X 的分布列和均值．解 以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i ＝1,2. (1)P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝nm ＋n ·n ＋1m ＋n ＋2＝n (n ＋1)(m ＋n )(m ＋n ＋2).(2)X 的可能取值为n ，n ＋1，n ＋2.P (X ＝n )＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n n ＋n ＝14，P (X ＝n ＋1)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝nn ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＋n n ＋n ·n n ＋n ＝12，P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＝14.从而X 的分布列为所以E (X )＝n ×14＋(n ＋1)×12＋(n ＋2)×14＝n ＋1.。
第七章 随机变量及其分布 单元检测(中等生)(解析版)
第七章 随机变量及其分布 章末检测2（中）第I 卷（选择题）一、 单选题（每小题5分，共40分）1．抛掷一枚均匀的骰子，观察掷出的点数，若掷出的点数不超过3，则掷出的点数是奇数的概率为（ ） A ．13B ．23C ．12D ．14【答案】B 【解析】 【分析】设事件A ：“抛出的点数不超过3”，事件B ；“抛出的点数是奇数”，求得(),()P A P AB ，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】设事件A ：“抛出的点数不超过3”，事件B ；“抛出的点数是奇数”，可得11(),()23P A P AB ==，则()2(|)()3P AB P B A P A ==， 所以掷出的点数不超过3，则掷出的点数是奇数的概率为23. 故选：B.2．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A 、人工餐厅B ，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.7；如果第一天去B 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A 餐厅用餐的概率为（ ） A ．0.75 B ．0.7 C ．0.56 D ．0.38【答案】A 【解析】 【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A 餐厅”和“第1天去B 餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 【详解】设1A =“第1天去A 餐厅用餐”，1B =“第1天去B 餐厅用餐”， 2A =“第2天去A 餐厅用餐”，则11A B Ω=⋃，且1A 与1B 互斥，根据题意得：()()110.5P A P B ==，()210.7P A A =，()210.8P A B =，则()()()()()21211210.50.70.50.80.75P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=. 故选：A.3．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{}3ξ=表示（ ） A ．甲赢三局 B ．甲赢一局输两局 C ．甲、乙平局三次D ．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D 【解析】 【分析】列举出ξ=3的所有可能的情况，由此可得出合适的选项. 【详解】解：甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 所以{}3ξ=有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次． 故选：D ． 4．若数据123,,,,n x x x x 的方差为8，则数据12311115,5,5,,52222n x x x x ++++的方差为（ ） A ．1 B ．2 C ．13 D ．32【答案】B 【解析】 【分析】根据()()2D aX B a D X +=计算即可得解.【详解】解：因为数据123,,,,n x x x x 的方差为28s =，所以数据12311115,5,5,,52222n x x x x ++++的方差为2124s =. 故选：B.5．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是（ ） A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400元 D ．2 600元【答案】B 【解析】 【分析】根据期望的计算方法，即可求解. 【详解】由题意，出海的期望效益()50000.6(2000)(10.6)30008002200E X =⨯+-⨯-=-=（元）. 故选：B.6．根据历史数据，某山区在某个季节中每天出现雾凇的概率均为p ，且在该季节的连续4天中，都不出现雾凇的概率为81256．据此估计，该地在该季节接下来的连续三天中，恰有一天出现雾凇的概率为（ ）． A ．2764B ．964 C ．49D ．29【答案】A 【解析】 【分析】 由题可得()4811256p -=，再利用独立重复概率公式即得. 【详解】由题意得，()4811256p -=，解得14p =，故在该地该季节的连续三天中，恰有一天出现雾凇的概率为21313274464C ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：A ．7．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是( ) A ．3742B ．1742C ．1021D ．1721【答案】C 【解析】 【分析】由超几何分布概率公式可直接求得结果. 【详解】设取出红球的个数为X ，则()9,5,3X H ，()21543910221C C P X C ∴===. 故选：C.8．郫都区高2019级理科学生参加“成都一诊”考试的数学成绩X 服从正态分布()295,N σ，下列结论中不正确的是（ ）（附：()0.68P X μσμσ-<<+≈，()220.95P X μσμσ-<<+≈，()330.99P X μσμσ-<<+≈） A ．σ越大，学生数学成绩在()90,100的概率就越大 B ．当20σ=时，()751350.815P X <<≈C ．无论σ为何值，学生数学成绩大于95的概率为0.5D ．无论σ为何值，学生数学成绩在小于75与大于115的概率相等 【答案】A 【解析】 【分析】利用σ对总体的影响可判断A 选项；利用3σ原则可判断B 选项；利用正态曲线的对称性可判断CD 选项. 【详解】对于A 选项，σ越大，峰值低，正态曲线越“矮胖”，随机变量X 的分布比较分散， 则学生数学成绩在()90,100的概率就越小，A 错； 对于B 选项，当20σ=时，75μσ=-，1352μσ=+， 则()()()10.680.9575135220.81522P X P X P X μσμσμσμσ+⎡⎤<<=-<<++-<<+≈=⎣⎦ 故B 对；对于C 选项，无论σ为何值，学生数学成绩大于95的概率()0.5P X μ>=，C 对； 对于D 选项，因为75115952+=，由正态曲线的对称性可得()()75115P X P X <=>，D 对. 故选：A.二、 多选题（每小题5分，共20分）9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（ ） A ．()1511P BA =∣B ．2()5P B =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．1A ，2A ，3A 两两互斥【答案】AD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断D ，再根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算即可判断； 【详解】解：因为事件1A ，2A 和3A 任意两个都不能同时发生，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确； 因为()151102P A ==，()221105P A ==，()3310P A =，()()()111155211|1112P BA P B A P A ⨯===，故A 正确； 22224()41011(|)2()1110P BA P B A P A ⨯===，33334()41011(|)3()1110P BA P B A P A ⨯===， ()()()123()P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233|||P A P B A P A P B A P A P B A =++1514349211511101122=⨯+⨯+⨯=，因为15()22P A B =，1599()()102244P A P B =⨯=，所以()()()11P A B P A P B ≠，所以B 与1A 不是相互独立事件，故B ，C 不正确．故选：AD ．10．某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为23，游览B ，C ，D 的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览景点的个数，下列说法正确的是（ ）A ．该游客至多游览一个景点的概率为14B ．()328P X ==C ．()1424P X ==D ．()136E X =【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设确定随机变量X 的可能取值，结合各选项的描述，结合对立、互斥事件概率及独立事件乘法公式求出对应()P X ，即可判断A 、B 、C ，最后应用随机变量期望公式求()E X 判断D. 【详解】由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，A ：游客至多游览一个景点，即游览0个或1个景点，即X 0=或1，()32110113224P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1P X ==32132121151113232224C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，游客至多游览1个景点概率为()()1510124244P X P X =+==+=，正确； B ：()221233211212C 11C 32232P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13128⎛⎫-= ⎪⎝⎭，正确；C ：()321143212P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，错误；D ：()2323332112173C 11C 3223224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()1537113012342424824126E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，正确． 故选：ABD ．11．已知随机变量1~(4,)4X B ，则下列命题正确的有（ ）A ．()2E X =B ．3()4D X =C ．若甲投篮命中率为14，则X 可以表示甲连续投篮4次的命中次数D ．若一个不透明盒子装有大小相同，质地均匀的10个绿球和30个红球，则X 可以表示从该盒子中不放回地随机抽取4个球后抽到的绿球个数 【答案】BC【解析】 【分析】利用二项分布的期望、方差公式计算判断B ，C ；利用独立重复试验的意义判断C ； 求出从盒子中不放回地随机抽取4个球后抽到的绿球个数X 的概率判断D 作答. 【详解】因随机变量1~(4,)4X B ，则1()414E X =⨯=，113()4(1)444D X =⨯⨯-=，A 不正确，B 正确；甲连续投篮4次相当于4次独立重复投篮一次的试验，而单次投篮命中率为14，则命中次数1~(4,)4X B ，C正确；对于D ，依题意，41030440C C ()(0,1,2,3,4)C k kP X k k -===，即X k =时的概率随k 值的变化而变化，X不服从1(4,)4B ，D 不正确. 故选：BC12．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率2~(0.9372,0.0139)X N ，则下列说法正确的是（ ）A ．(0.9)0.5P X ≤<B ．(0.4)( 1.5)P X P X <>>C ．(0.9789)0.00135P X ≥≈D ．假设生产状态正常，记Y 表示一天内抽取的50只医用口罩中过滤率大于等于2μσ+的数量，则(1)03124P Y ≥≈． 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合正态分布的对称性、3σ原则、独立重复试验概率计算公式，对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意可知，0.9372μ=，0.0139σ=.对于A ，因为0.9μ<，所以，()()0.90.5P X P X μ≤<≤=，故A 正确；对于B ，因为0.4 1.5μμ-<-，0.4 1.5μ<<，所以根据正态密度曲线的特点可知()()0.4 1.5P X P X <>>，故B 正确；对于C ，因为()()0.97893P X P X μσ≥=≥+，且()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈， 所以()10.99730.97890.001352P X -≥≈=，故C 正确； 对于D ，一只医用口罩过滤率小于2μσ+的概率约为10.95450.95450.977252-+=， 所以()()5011010.977250.68361P Y P Y ≥=-=≈-≈，故D 错误.故选：ABC第II 卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）13．橘生淮南则为橘，生于准北则为枳，出自《屡子使楚》.意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是积树，现在常用来比喻一且环境改变，事物的性质也可能随之改变.某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的质量ξ（单位：g ）近似服从正态分布()290,N σ，且(8690)0.2P ξ<≤=，在有1000个的一批橘果中，估计单个果品质量不低于94g 的橘果个数为___________. 【答案】300 【解析】 【分析】先按照正态分布计算出不低于94g 的概率，再计算出个数即可. 【详解】结合正态分布特征，(8690)(9094)0.2P P ξξ<≤=<≤=，120.2(94)0.32P ξ-⨯≥==，所以估计单个果品质量不低于94g 的橘果个数为0.31000300⨯=. 故答案为：300.14．甲乙两队进行篮球决赛，采取五局三胜制，假设每一局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，如果甲队先赢一局，则甲赢下比赛的概率为___________. 【答案】89【解析】【分析】因为甲已经取胜一局，所以只需要考虑剩下的情况，分为前三局全胜，前四局胜三局，打完五局胜三局，进而求得答案. 【详解】因为甲已经取胜一局，所以只需要考虑剩下的情况， 若前三局甲胜，甲获胜的概率为22439⎛⎫= ⎪⎝⎭，若打完四局后甲获胜，第四局甲必须获胜，甲获胜的概率为12221833327C ⋅⋅⋅=，若打完五局后甲获胜，第五局甲必须获胜，甲获胜的概率为213221433327C ⎛⎫⋅⋅⋅=⎪⎝⎭， 所以甲获胜的概率是48424892727279++==. 故答案为：89.15．袋中装有编号为1,2,,10⋅⋅⋅的10个球，先从袋中一次性任取两个球，在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，2号球被取出的概率为_______________.【答案】15##0.2【解析】 【分析】根据条件概率公式计算可得结果. 【详解】记事件A 为“取出的两个球编号之和为偶数”，事件B 为“2号球被取出”，则()2255210204459C C P A C +===，()14210445C P AB C ==，()()()4145459P AB P B A P A ∴===， 即在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，2号球被取出的概率为15.故答案为：15.16．盒中有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个蓝球，从盒中随机取球，每次取1个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为ξ，则ξ的方差()D ξ=___________．【答案】59【解析】 【分析】分析可知随机变量ξ的可能取值有2、3、4，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可得出随机变量ξ的分布列，利用方差的定义可求得()D ξ的值. 【详解】由题意可知，随机变量ξ的可能取值有2、3、4，()2224126A P A ξ===，()11122234133C C C P A ξ===，()132344142C A P A ξ===， 所以，随机变量ξ的分布列如下表所示：所以，()111102346323E ξ=⨯+⨯+⨯=，因此，()22210110110152343633329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：59.三、 解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．某省的一次公务员面试中一共设置了5道题目，其中2道是论述题，3道是简答题，要求每人不放回地抽取2道题，问：(1)第一次和第二次都抽到简答题的概率；(2)在第一次抽到简答题的条件下，第二次抽到简答题的概率． 【答案】(1)310(2)12 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率求解；（2）利用条件概率求解. (1)解：第一次和第二次都抽到简答题的概率为3235410⨯=．(2)设第一次抽到简答题为事件A ，第二次抽到简答题为事件B ， 则()35P A =，()310P AB =， 所以()()()3110325P AB P B A P A ===， 即在第一次抽到简答题的条件下，第二次抽到简答题的概率为12．18．某商场出售的灯泡来自甲、乙、丙三个工厂，甲厂产品占80%，合格率为90%；乙厂产品占10%，合格率为95%；丙厂产品占10%，合格率为80%．某顾客购买了一个灯泡，求它是合格品的概率． 【答案】0.895 【解析】 【分析】将产品合格表示为A ，用()1,2,3i B i = 表示该产品来自于那个工厂，利用条件概率即可算出. 【详解】设任取一件产品是合格的为事件A ，1B 表示来自于甲工厂，2B 表示来自于乙工厂，3B 表示来自于丙工厂；由题意：()10.8P B = ，()1/0.9P A B = ， ()20.1P B = ，()2/0.95P A B = ， ()30.1P B = ，()3/0.8P A B = ；由全概率公式得：()()()()()()()()()()123112233///P A P AB P AB P AB P B P A B P B P A B P B P A B =++=++ =0.895； 故答案为：0.895.19．甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们每一局获胜的概率均为12，且每局比赛互补影响，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求： (1)乙取胜的概率；(2)设比赛局数为X ，求X 的分布列． 【答案】(1)316(2)分布列见解析 【解析】 【分析】（1）当甲先胜了前两局时，乙取胜的性质有两种：第一种是乙连胜三局，第二种是在第三局到第六局，乙胜了三局，第七局乙胜，求出两种情况的概率和可得答案； （2）求出X 的可能取值和对应的概率可得答案. (1)当甲先胜了前两局时，乙取胜的性质有两种：第一种是乙连胜三局，第二种是在第三局到第六局，乙胜了三局，第七局乙胜，第一种情况下乙取胜的概率为：411216⎛⎫= ⎪⎝⎭，第二种情况下乙取值的概率为：33411112228⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ，∴甲先赢了前两局，乙取胜的概率为 11316816P =+=． (2)由已知得X 的可能取值为4，5，6，7，111(4)224P X ==⨯=，111(5)224P X ==⨯=，121111(6)2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P X C ，44134411111(7)22224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭P X C C ，X ∴的分布列为：20．为庆祝元旦，班委会决定组织游戏，主持人准备好甲､乙两个袋子.甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.参加游戏的同学每抽出1个白球须做3个俯卧撑，每抽出1个黑球，须做6个俯卧撑方案①：参加游戏的同学从甲､乙两个袋子中各随机抽出1个球；方案②：主持人随机将甲袋中的2个球放入乙袋，然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出1个球；方案③：主持人随机将乙袋中的2个球放入甲袋，然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出1个球.(1)若同学小北选择方案①，求小北做6个俯卧撑的概率；(2)若同学小北选择方案，设小北做俯卧撑的个数为X，求X的分布列；(3)如果你可以选择按方案②或方案③参加游戏，且希望少做俯卧撑，那么你应该选择方案②还是方案③，还是两个方案都一样？（直接写出结论）【答案】(1)3 10；(2)分布列见解析；(3)方案③.【解析】【分析】(1)根据条件结合独立事件的乘法公式求出小北每个袋各抽一个白球的概率即可.(2)先求出从甲袋分别取2白球、1白1黑、2黑球的事件的概率，再求出X的可能值，并求出对应的概率即可作答.(3)同(2)的方法，求出做3个俯卧撑的概率，再比对即可作答.(1)按方案①，小北做6个俯卧撑的事件是从甲、乙两袋中各抽出1个白球的事件，而每个袋中抽球是相互独立的，所以小北做6个俯卧撑的概率3435810 P=⨯=.(2)从甲袋中任取2个球有三种情况，当选的2个球为白球时的概率为：2325C3C10=，当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为：113225C C 3C 5=，当选的2个球为黑球时的概率为：2225C 1C 10=， 而X 的可能值为3，6， 36351413(3)1010510101025P X ==⨯+⨯+⨯=，34351612(6)1010510101025P X ==⨯+⨯+⨯=， 所以X 的分布列为：(3)从乙袋中任取2个球有三种情况，当选的2个球为白球时的概率为：2428C 3C 14=， 当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为：114428C C 4C 7=，当选的2个球为黑球时的概率为：2428C 3C 14=， 小北抽出白球的概率为：13544334147771477P =⨯+⨯+⨯=，显然134257<， 所以应该方案③.21．2022年将在成都举行“第31届世界大学生夏季运动会”，为迎接大运会，郫都区举行了“爱成都迎大运”系列活动.同时为了了解郫都区人民对体育运动的热情和对运动相关知识的掌握情况，郫都区总工会在各社区开展了有奖知识竞赛，参赛人员所得分数的分组区间为(]50,60，(]60,70，(]70,80，(]80,90，(]90,100，由此得到总体的频率统计表，再利用分层抽样的方式随机抽取20名居民进行进一步调研.(1)若打算从这20名参赛居民中依次抽取3名进行调查分析，求在第一次抽出1名居民分数在区间(]70,80内的条件下，后两次抽出的2名居民分数大于80的概率；(2)若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，用X 表示得分高于90分的人数，求X 的分布列及期望. 【答案】(1)557(2)分布列见解析，23【解析】 【分析】(1)由频率之和等于1求得a ，算出相应区间内的人数，由条件概率可得； (2)由超几何分布求概率，然后可解. (1)由题意得0.120.40.21a a ++++=，所以0.1a =.则得分位于(]70,80的共有8人，得分位于(]80,100的有6人， 记事件:A 第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内，记事件:B 后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,100内，则()82205P A ==，()1286320257C A P AB A ==，由条件概率公式可得()()()25557257P AB P B A P A ==⨯= （或：若第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内，则还剩下19人，其中得分位于(]80,100的有6人，则()26219557C P B A C ==）(2)得分位于80分以上的共有6人，其中得分位于(]90,100的有2人， 所以X 的可能取值有0、1、2，()204226205C C P X C ===，()1142268115C C P X C ===，()0242261215C C P X C ===， 所以X 的分布列为：所以()2812012515153E X =⨯+⨯+⨯=.22．某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分．现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，分别为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97．(1)已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差；(2)已知全市学生学习成绩分布服从正态分布()2,N μσ，某校实验班学生30人．①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在()94,100的学生人数（结果四舍五入取整数）； ②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在()94,100的学生参加预选赛，若每个学生通过预选赛的概率为23，用随机变量X 表示通过预选赛的人数，求X 的分布列和数学期望．（正态分布参考数据：()0.6828P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=） 【答案】(1)中位数为86.5，方差为36； (2)①4；②分布列见解析，数学期望为83.【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求中位数，应用方差公式求成绩的方差.（2）①应用正态分布特殊区间的概率求法求成绩在()94,100的概率，再求实验班学生30人中成绩在()94,100中的人数；②由题设知0,1,2,3,4X =且服从24,3B ⎛⎫⎪⎝⎭分布，应用二项分布的概率公式求分布列，进而求期望. (1)这10个数据依次为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97， 所以中位数为868786.52+=，平均数为88x =， 所以方差()()()()()()222222222221107422145893610S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-++++=⎣⎦. (2)①由（1）知：88μ=，6σ=，(22)()(94100)(2)2P X P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+-+<<+<<=+<<+=0.95440.68280.13582-==，该班学生成绩在()94,100的人数为300.1358 4.0744⨯=≈.②随机变量0,1,2,3,4X =，显然X 服从二项分布24,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其分布列为()4422133k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,1,2,3,4k=，所以，()28 433E X=⨯=.。
无锡市选修三第二单元《随机变量及其分布》检测(答案解析)
一、选择题1．在一个箱子中装有大小形状完全相同的有4个白球和3个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数Y ，则（ ） A ．()()()(),E X E Y D X D Y >> B ．()()()(),E X E Y D X D Y => C ．()()()(),E X E Y D X D Y >= D ．()()()(),E X E Y D X D Y ==2．已知随机变量X 的分布列则对于任意01a b c <<<<，()E X 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭3．将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数都不相同”，B =“至少出现一个5点”，则概率()P A B =（ ） A ．1011B ．511C ．518D ．5364．随机变量X 的概率分布为()()()1,2,31aP X n n n n ===+，其中a 是常数，则()E aX =（ ）A ．3881B ．139C ．152243D ．52275．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于3”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P （B /A ）的值等于（ ） A ．118B ．19C ．16D ．136．已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则E ξ=（ ） A ．145B ．135C ．73D ．837．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)XN σ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1≥x ”是“12xx+≥”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．48．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其密度函数2222()x f x e-μ-σ=π⋅σ（）x ∈R （）曲线如图所示，正态变量X 在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%，则成绩X 位于区间(52,68]的人数大约是（ ）A ．997B ．954C ．683D ．3419．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） A ．8225B ．12C ．34D ．3810．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.8,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（ ） A ．0.8B ．0.9C ．58D ．8911．若随机变量X 的分布列为（ ）X0 12P13ab且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ） A ．13B ．0C ．1D ．2312．已知2~(1,)X N σ，(03)0.7P X <≤=，(02)0.6P X <≤=，则(3)≤=P X （ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.9二、填空题13．已知随机变量X 的概率分布为()()2,1,2,3aP X n a R n n n==∈=+，则()D X =______.14．一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a ，得2分概率为b ，不得分概率为c ，(),,0,1a b c ∈.若他投篮一次得分的期望为1，则12a b+的最小值为______.15．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是________.16．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的条件下，第2次也抽到理科题的概率为_____. 17．随机变量ξ的取值为0，1，2，若()104P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=______. 18．袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸得红球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则概率P(B|A)＝________.三、解答题19．某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为34，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为p ，()q p q >，且不同种产品是否受欢迎相互独立，记ξ为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为：（2）求p ，q 的值； （3）求数学期望()E ξ.20．疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65，其中5个低分成绩分别是30、33、35、38、38；而产生的10个高分成绩分别是90、91、91、92、92、93、95、98、100、100．（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布()2,N μσ（μ和2σ分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为210，请判断该校的疫情防控是否有14.5≈）规定：若()220.9544P X μσμσ-<<+>，()330.9974P X μσμσ-<<+>，则称变量X “近似满足正态分布()2,N μσ的概率分布”．（2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得50元奖金的概率是34，获得100元的概率是14．现在从这10个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为Y ，求Y 的分布列和数学期望．21．足球训练中：现有甲､乙､丙､丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙､丙､丁中的任何一个人，依此类推.通过三次传球后，球经过乙的次数为ξ，求ξ的分布列和期望.22．已知一个袋中装有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同.（1）每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望()E ξ；（2）每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的分布列、数学期望()E η和方差()D η.23．根据国家《环境空气质量》规定:居民区中的PM 2.5(PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM 2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM 2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下:(2)求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM 2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由；(3)将频率视为概率，监测去年的某2天，记这2天中该居民区PM 2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及均值E (ξ)和方差D (ξ).24．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有()|P A C 0.95=，()|0.95P A C =.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即()0.005P C =，试求()|P C A .25．甲､乙两人按如下规则进行射击比赛，双方对同一目标轮流射击，若一方未击中，另一方可继续射击，甲先射，直到有人击中目标或两人总射击次数达4次为止.若甲击中目标的概率为23，乙击中目标的概率为12.（1）求甲在他第二次射击时击中目标的概率；（2）求比赛停止时，甲､乙两人射击总次数X 的分布列和期望.26．某单位有车牌尾号为2的汽车A 和尾号为6的汽车B ，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A 车日出车频率0.6，B 车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：. （1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（2）设X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X 的分布列及其数学期望()E X .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】有放回地摸出一个球，它是白球的概率是47，它是黑球的概率是37，因此4(5,)7XB ，3(5,)7YB ，由二项分布的均值与方差公式计算后可得结论．【详解】 有放回地摸出一个球，它是白球的概率是47，它是黑球的概率是37，因此4(5,)7XB ，3(5,)7YB ，∴420()577E X =⨯=，315()577E Y =⨯=， 4360()57749D X =⨯⨯=，3460()57749D Y =⨯⨯=．故选：C 【点睛】结论点睛：本题考查二项分布，掌握二项分布的概念是解题关键．变量(,)XB n p ，则()E X np =，()(1)D X np p =-．2．B解析：B 【分析】由题易得222()E X a b c =++，结合题中条件再由基本不等式可得2222()133a b c a b c ++++>=，即1()3E X >；再由2222()2()12()1a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=++-++=-++<，即()1E X <，最后得出()E X 的取值范围. 【详解】由随机变量的期望定义可得出222()E X a b c =++， 因为01a b c <<<<，且1a b c ++=，所以222222222a b aba c acbc bc ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，三式相加并化简可得222a b c ab bc ac ++>++，故2222222222()2222()3()a b c a b c ac bc ab a b c ac bc ab a b c ++=+++++=+++++<++，即2222()133a b c a b c ++++>=，所以2()1()33a b c E X ++>=，又因为2()()2()12()1E X a b c ab bc ca ab bc ca =++-++=-++<，所以1()13E X <<. 故选：B . 【点睛】本题考查随机变量的期望，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.3．A解析：A 【分析】根据条件概率的含义，(A |B)P 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少出现一个5点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，分别求得“至少出现一个5点”与“两个点数都不相同”的情况数目，进而相比可得答案． 【详解】根据条件概率的含义，(A |B)P 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率， 即在“至少出现一个5点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率， “至少出现一个5点”的情况数目为665511⨯-⨯=， “两个点数都不相同”则只有一个5点，共12510C ⨯=种， 故10(|)11P A B =． 故选：A ． 【点睛】本题考查条件概率，注意此类概率计算与其他的不同，(A |B)P 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率．4．D解析：D 【分析】根据裂项相消法以及概率的性质求出a ，再得出()E X ，最后由()()E aX aE X =得出答案. 【详解】()()11a a aP X n n n n n ===-++(1)(2)(3)1P X P X P X =+=+== 122334a a a a a a ∴-+-+-=，解得43a =则221(1),(2),(3)2369129a a a P X P X P X ========= 62113()1239999E X ∴=⨯+⨯+⨯=452()()392137E aX aE X ∴==⨯=故选：D 【点睛】本题主要考查了随机变量分布列的性质以及均值的性质，属于中档题.5．C解析：C 【分析】利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式()P B A =()()P AB P A 可计算出结果． 【详解】事件:AB 甲的骰子的点数大于3，且甲、乙两骰子的点数之和等于7，则事件AB 包含的基本事件为()4,3、()5,2、()6,1，由古典概型的概率公式可得()316612==⨯P AB ， 由古典概型的概率公式可得()3162P A ==， 由条件概率公式得()()()112126P AB P B A P A ==⨯=，故选C. 【点睛】本题考查条件概率的计算，解题时需弄清楚各事件的基本关系，并计算出相应事件的概率， 解题的关键在于条件概率公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．6．A解析：A 【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122i i E p p p ξξξξ=++++可求得数学期望. 【详解】ξ的可能取值为2,3,4.2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故()33925525P ξ==⨯=.3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故()3223123555525P ξ==⨯+⨯=.4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故()22445525P ξ==⨯=.所以9124142342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=.故选A. 【点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布(),B n p ，也可以直接利用公式E np ξ=求期望.7．C解析：C 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．8．C解析：C 【解析】分析：先由图得,μσ，再根据成绩X 位于区间(52,68]的概率确定人数. 详解：由图得8μσ=== 因为60852,60868-=+=，所以成绩X 位于区间(52,68]的概率是68.3%， 对应人数为68.3%1000683⨯=， 选C.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.9．D解析：D 【解析】分析：根据条件概率求结果.详解：因为在下雨天里，刮风的概率为既刮风又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮风的概率为13104815=， 选D.点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.10．D解析：D 【解析】分析：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．详解：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ， 则P （C ）=1﹣P （A ）P （B ）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9； 则目标是被甲击中的概率为P=0.880.99=. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率和条件概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A =，(|)P B A =()()n AB n A .条件概率一般有“在A 已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生， 发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.11．D解析：D 【解析】分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X .详解：由题得1113,,130213a b a b a b ⎧++=⎪⎪∴==⎨⎪⨯++=⎪⎩ 所以2221112()(01)(11)(21).3333D X =-⋅+-⋅+-⋅= 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋222()x E p ξ-⋅＋…＋2()n n x E p ξ-⋅,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期望．12．D解析：D 【解析】分析：根据随机变量X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得()3P X ≤．详解：由题意230.70.60.1P x =-=，（＜＜） ， ∵随机变量()2~1,X N σ，(02)0.6P X <≤=，(12)0.3P X <≤=∴()130.30.10.4,P X <≤=+=30.40.50.9P X =+=（＜）， 故选D ．点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．二、填空题13．【分析】根据概率之和为1求得a 再分别求得然后再利用期望和方差公式求解【详解】因为所以解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查随机变量的概率分布与期望和方差还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：3881【分析】根据概率之和为1求得a ，再分别求得()()()1,2,3P X P X P X ===，然后再利用期望和方差公式求解. 【详解】因为()()()1231P X P X P X =+=+==， 所以1111122334a ⎛⎫++=⎪⨯⨯⨯⎝⎭， 解得43a =， 所以()213P X ==，()229P X ==，()139P X ==，所以()221131233999E X =⨯+⨯+⨯=，()2221321321313812393999981D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：3881【点睛】本题主要考查随机变量的概率分布与期望和方差，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．；【分析】推导出从而利用基本不等式能求出的最小值【详解】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为得2分概率为不得分概率为他投篮一次得分的期望为1当且仅当时取等号的最小值为故答案为：【点睛】本题考查代数式的解析：7+； 【分析】推导出321a b +=，从而121262()(32)7a b a b a b a b b a+=++=++，利用基本不等式能求出12a b +的最小值． 【详解】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a ，得2分概率为b ， 不得分概率为c ，a ，b ，(0,1)c ∈，他投篮一次得分的期望为1， 321a b ∴+=，∴1212626()(32)7727a b a a b a b a b b a b +=++=+++=+ 当且仅当62a bb a=时取等号，∴12a b+的最小值为7+．故答案为：7+ 【点睛】本题考查代数式的最小值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下基本事件总数n=3这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下这时另一个也是女孩的概率【详解】一个家庭有解析：13【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，基本事件总数n =3，这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m =1，由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率.【详解】一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的， 基本事件有: {男，男}，{男，女}，{女,男}，{女,女}, 已知这个家庭有一个女孩的条件下，基本事件总数n =3 , 这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m =1，∴已知这个家庭有一个女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是13m p n ==， 故答案为：13【点睛】本题主要考查了条件概率，可以列举在某条件发生的情况下，所有事件的个数及所研究事件的个数，利用古典概型求解，属于中档题.16．【分析】由已知中5道题中如果不放回地依次抽取2道题在第一次抽到理科题的条件下剩余4道题中有2道理科题代入古典概型公式得到概率【详解】∵5道题中有3道理科题和2道文科题则第一次抽到理科题的前提下第2次 解析：12【分析】由已知中5道题中如果不放回地依次抽取2道题.在第一次抽到理科题的条件下，剩余4道题中，有2道理科题，代入古典概型公式，得到概率. 【详解】∵5道题中有3道理科题和2道文科题，则第一次抽到理科题的前提下， 第2次抽到理科题的概率P 2142==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查的知识点是条件概率，分析出基本事件总数和满足条件的事件个数是解答的关键，但本题易受到第一次抽到理科题的影响而出错.17．【分析】根据计算得到再计算得到答案【详解】则；故故答案为：【点睛】本题考查了方差的计算意在考查学生的计算能力 解析：12【分析】根据()()3124P P ξξ=+==，()()()1221P E P ξξξ=+===计算得到 ()()111,224P P ξξ====，再计算()D ξ得到答案.【详解】()104P ξ==，则()()3124P P ξξ=+==；()()()1221P E P ξξξ=+===故()()111,224P P ξξ====.()()()()22211111011214242D ξ=-+-+-=故答案为：12【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.18．【解析】由P(A)＝P(AB)＝×＝由条件概率得P(B|A)＝＝解析：14【解析】由P (A )＝，P (AB )＝×＝，由条件概率得P (B |A )＝＝.三、解答题19．（1）1920；（2）23p =，25q =；（3）10960. 【分析】（1）根据对立事件的概率公式计算可得结果； （2）由1(0)20P ξ==与1(3)5P ξ==联立可解得结果； （3）求出,a b 后，根据数学期望公式可求得结果. 【详解】（1）设事件i A 表示“该公司第i 种产品受欢迎”，1i =，2，3.由题意可知()134P A =，()2P A p =，()3P A q =. 由于事件“该公司至少有一种产品受欢迎”与事件“0ξ=”是对立的，所以该公司至少有一种产品受欢迎的概率是()1191012020P ξ-==-=. （2）由题意可知，()()()()12311011420P P A A A p q ξ===--=， 且()()12331345P P A A A pq ξ====， 所以整理得，415pq =，且1615p q +=，结合p q >解得23p =，25q =.（3）由题意可知，()()()()1231231231a P P A A A P A A A P A A A ξ===++()()()()3111111444p q p q p q =--+-+- 313123112435435435=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 1760=， ()()()()21013b P P P P ξξξξ===-=-=-=1171120605=--- 715=， 因此，()()()()00112233E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+⨯=+⨯=1771012360155=+⨯+⨯+⨯ 10960=. 【点睛】关键点点睛：利用独立事件的乘法公式求出,a b 是解题关键.20．（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，87.5. 【分析】（1）计算出()22P X μσμσ-<<+和()33P X μσμσ-<<+，结合已知条件判断可得出结论；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有50、100、150、200，计算出随机变量Y 在不同取值下的概率，可得出随机变量Y 的分布列，进一步可求得随机变量Y 的数学期望值. 【详解】（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：21014.5≈，265214.536μσ∴-=-⨯=，265214.594μσ+=+⨯=，365314.521.5μσ-=-⨯=，365314.5108.5μσ+=+⨯=，得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个，()72210.9650.9544200P X μσμσ∴-<<+=-=>， 学生的得分都在[]30,100间，()3310.9974P X μσμσ∴-<<+=>．∴学生得分近似满足正态分布()65,210N 的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的；（2）设这名同学获得的奖金为Y ，则Y 的可能值为50、100、150、200，()6395010420P Y ==⨯=，()2614331001041048P Y ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭， ()124313*********P Y C ==⨯⨯⨯=，()241120010440P Y ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， 故Y 的分布列为：()5010015020087.52082040E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 21．分布列答案见解析，数学期望：2227. 【分析】由题意分析0,1,2ξ=，利用独立事件同时发生的概率求解概率，再求分布列和数学期望. 【详解】由题意得ξ的取值为0，1，2， P (ξ=0)222833327=⨯⨯=，P (ξ=1)12212211611333333327=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (ξ=2)1111339=⨯⨯=，∴ξ的分布列为：∴E (ξ)1220122727927=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：本题的关键是弄清ξ的取值，以及随机变量的每一个取值对应的事件的过程，正确写出概率.22．（1）分布列见解析；期望为74；（2）分布列见解析；3()2E η=，3()4D η=.【分析】（1）取到一个红球为止，取球次数ξ所有可能1、2、3、4，求对应次数的概率即可列分布列，求()E ξ；（2）取出后放回，每次取到红球的概率相同，相当于做了三次独立重复试验13,2B η⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布概率公式和期望、方差公式即可求解. 【详解】（1）ξ的可能取值为1、2、3、4，31(1)62P ξ===，333(2)6510P ξ==⨯=， 3233(3)65420P ξ==⨯⨯=，32131(4)654320P ξ==⨯⨯⨯=，故ξ的分布列为：17()123421020204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）取出后放回，取球3次，每次取到红球的概率为3162=，可看作3次独立重复试验，所以13,2B η⎛⎫ ⎪⎝⎭， η的可能取值为0、1、2、3，303111(0)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1213113(1)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2123113(2)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，333111(4)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故ξ的分布列为：∴()322E η=⨯=，113()3224Dη=⨯⨯=.【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）23．（1）22.5微克/立方米， 37.5微克/立方米；（2）40.5(微克/立方米), 需要改进,理由见解析；（3）分布列见解析，1.8，0.18.【分析】（1）根据表中数据即可得出；（2）直接计算出平均数即可判断；（3）可得ξ的可能取值为0，1，2，且92,10Bξ⎛⎫⎪⎝⎭，由此的可得出分布列，求出均值和方差.【详解】(1)由表可知众数在第二组，为15+3022.52=微克/立方米，因为前两组的频率之和为0.4，前三组的频率之和为0.6，故中位数在第三组，设为x，则0.1300.24530x-=-，解得37.5x=微克/立方米，所以众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米.(2)去年该居民区PM2.5的年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5(微克/立方米).∵40.5>35，∴去年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.(3)记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P(A)=9 10.随机变量ξ的可能取值为0，1，2，且92,10Bξ⎛⎫⎪⎝⎭.∴2299()11010k kkP k Cξ-⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(k=0，1，2)，即∴()2 1.810E np ξ==⨯=， 91()(1)20.181010D np p ξ=-=⨯⨯=. 【点睛】本题考查样本数据众数、中位数、平均数的求解，考查二项分布的分布列和均值、方差的求解，解题的关键是正确分析数据，得出92,10B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．19218【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果. 【详解】因为()|0.95P A C =，所以()|1P A C =-()|0.05P A C =， 因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，所以由全概率公式可得()()()()()||P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅， 因为()P AC =()|P C A ()P A ()()|P A C P C = 所以()|P C A ()()()|()0.950.005190.950.0050.050.995218|()|()P A C P C P A C P C P A C P C ⨯===⨯+⨯+.【点睛】关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键. 25．（1）19；（2）分布列见解析，()149E X =. 【分析】（1）根据甲在第二次射击时击中目标，说明甲第一次未击中目标，乙第一次也未击中目标，由此利用概率的乘法公式计算出目标事件的概率；（2）先分析X 的可能取值，然后求解出X 的可能取值对应的概率，由此得到X 的分布列并计算出期望值. 【详解】记甲在第i ()1,2i =次射击击中目标为事件i A ，乙在第i ()1,2i =次射击击中目标为事件i B ，（1）记“甲在他第二次射击时击中目标”为事件M ，所以()()()()11211213239P M P A P B P A ==⨯⨯=； （2）由题意可知：X 可取1,2,3,4，()()1213P X P A ===，()()()111112326P X P A P B ===⨯=， ()()()()112112133239P X P A P B P A ===⨯⨯=，()()()()1121111432318P X P A P B P A ===⨯⨯=，所以X 的分布列如下：所以()1141234369189E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解对立事件的概率计算以及概率乘法公式，同时注意分析每次击中目标之前对应的情况. 26．（1）0.5；（2）分布列见解析，1.7. 【分析】（1）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1i =，2，3，4，5，设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ，根据()()1111P C P A B A B =+计算可得结果；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，求出X 的各个取值的概率可得分布列和数学期望. 【详解】（1）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1i =，2，3，4，5由已知可得()0.6i P A =，()0.5i P B = 设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ，因为A ，B 两车是否出车相互独立，且事件11A B ，11A B 互斥， 所以()()()()()()()()111111111111P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+()()0.610.510.60.5=⨯-+-⨯0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. （2）X 的可能取值为0，1，2，3()()()11200.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯=()()()()()211210.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯=()()()()()112220.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯=()()()11230.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯= 所以X 的的分布列为00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】关键点点睛：第二问分析出X 的可能取值，搞清楚X 的每个取值对应的事件是解题关键.。
高中数学 第二章 随机变量及其分布章末复习课练习(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题
章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别．“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．2．对独立重复试验要准确理解．(1)独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．(2)独立重复试验概率公式的特点：关于P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚．(2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等．(3)常见事件的表示．已知两个事件A、B，则A，B中至少有一个发生为A∪B；都发生为A·B；都不发生为—A ·—B ；恰有一个发生为(—A ·B)∪(A·—B )；至多有一个发生为(—A ·—B )∪(—A ·B)∪(A·—B )．4．对于条件概率，一定要区分P(AB)与P(B|A)．5．(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E (ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．它们都由ξ的分布列唯一确定．(2)D (ξ)表示随机变量ξ对E (ξ)的平均偏离程度．D (ξ) 越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之D (ξ)越小，ξ的取值越集中．(3)D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，在记忆和使用此结论时，请注意D (aξ＋b )≠aD (ξ)＋b ，D (aξ＋b )≠aD (ξ)．6．对于正态分布，要特别注意N (μ，σ2)由μ和σ唯一确定，解决正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为x ＝μ.专题一 条件概率的求法条件概率是高考的一个热点，常以选择题或填空题的形式出现，也可能是大题中的一个部分，难度中等．[例1] 坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解：设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A ，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B ，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB .(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n (Ω)＝A 27＝42， 根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 14×A 16＝24. 于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝2442＝47.(2)因为n (AB )＝A 24＝12， 所以P (AB )＝n （AB ）n （Ω）＝1242＝27.(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝27÷47＝12. 法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝24， 所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝1224＝12.归纳升华解决概率问题的步骤．第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．第三步，利用条件概率公式求解：(1)条件概率定义：P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.[变式训练] 已知100件产品中有4件次品，无放回地从中抽取2次每次抽取1件，求下列事件的概率：(1)第一次取到次品，第二次取到正品； (2)两次都取到正品．解：设A ＝{第一次取到次品}，B ＝{第二次取到正品}．(1)因为100件产品中有4件次品，即有正品96件，所以第一次取到次品的概率为P (A )＝4100，第二次取到正品的概率为P (B |A )＝9699，所以第一次取到次品，第二次取到正品的概率为P (AB )＝P (A )P (B |A )＝4100×9699＝32825. (2)因为A ＝{第一次取到次品}，且P (A )＝1－P (A )＝96100， P (B |A )＝9599，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝96100×9599＝152165. 专题2 独立事件的概率要正确区分互斥事件与相互独立事件，准确应用相关公式解题，互斥事件是不可能同时发生的事件，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件没有影响．[例2] 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝23，乙的命中率为P 2，在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P 2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率．(2)计划在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值X 围．解析：(1)因为P 1＝23，P 2＝12，根据“先进和谐组”的定义可得，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，所以该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12·12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23⎝ ⎛⎭⎪⎫12·12＝13.(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23()P 2·P 2＝89P 2－49P 22， 又ξ～B (12，P )，所以E (ξ)＝12P ， 由E (ξ)≥5知，⎝ ⎛⎭⎪⎫89P 2－49P 22·12≥5，解得34≤P 2≤1.[变式训练] 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率． (2)2人中恰有1人射中目标的概率． (3)2人中至少有1人射中目标的概率．解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，与B ， A 与B ，与为相互独立事件．(1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人中恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B 发生)．根据题意，知事件A 与B 互斥，所求的概率为P ＝P (A )＋P (B )＝P (A )P ()＋P ()P (B )＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人中至少有1人射中目标”包括“2人都射中”和“2人中有1人射中”2种情况，其概率为P ＝P (AB )＋[P (A )＋P (B )]＝0.72＋0.26＝0.98.专题三 独立重复试验与二项分布二项分布是高考考查的重点，要准确理解、熟练运用其概率公式P n (k )＝C kn ·p k(1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n ，高考以解答题为主，有时也用选择题、填空题形式考查．[例3] 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，X 同学从中任取3道题解答． (1)求X 同学所取的3道题至少有1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设X 同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示X 同学答对题的个数，求X 为1和3的概率．解：(1)设事件A ＝“ X 同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“X 同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (— A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (— A )＝56.(2)P (X ＝1)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·45＝28125； P (X ＝3)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫25·45＝36125. 归纳升华解决二项分布问题必须注意： (1)对于公式P n (k )＝C k n ·p k (1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n 必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．[变式训练] 口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖．每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为()A.80243B.100243C.80729D.100729解析：每次摸球中奖的概率为C 14C 15C 29＝2036＝59，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验， 所以3次摸球恰有1次中奖的概率P ＝C 13×59×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－592＝80243.答案：A专题四 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义，也是高考的热点内容． [例4] (2016·某某卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以，事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 P415715415随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.归纳升华(1)求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：①明确随机变量X 取哪些值；②计算随机变量X 取每一个值时的概率；③将结果用表格形式列出．计算概率时要注意结合排列组合知识．(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 求出均值，然后利用D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 求出方差．[变式训练] 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差．(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件有P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×0.3D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X ＜900|X ≥300)＝P （300≤X ＜900）P （X ≥300）＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.专题五 正态分布及简单应用高考主要以选择题、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，抓住其对称轴是关键． [例5] 某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．解：因为考生成绩X ～N (500，502)，所以μ＝500，σ＝50，所以P (550<X ≤600)＝12[P (500－2×50<X ≤500＋2×50)－P (500－50<X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398(人)． 归纳升华正态分布概率的求法1．注意3σ原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．2．注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．[变式训练] 某镇农民年收入服从μ＝5 000元，σ＝200元的正态分布．则该镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比是________．解析：设X 表示此镇农民的平均收入，则X ～N (5 000，2002)． 由P (5 000－200＜X ≤5 000＋200)＝0.682 6. 得P (5 000＜X ≤5 200)＝0.682 62＝0.341 3.故此镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比为34.13%. 答案：34.13% 专题六 方程思想方程思想是解决概率问题中的重要思想，在求离散型随机变量的分布列，求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想．即根据题设条件列出相关未知数的方程(或方程组)求得结果．[例6] 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 解：记A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件． 由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P （A — B ）＝14，P （B — C ）＝112，P （AC ）＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）[1－P （B ）]＝14， ①P （B ）[1－P （C ）]＝112，②P （A ）P （C ）＝29. ③由①③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0.解得P (C )＝23或P (C )＝119(舍去)．将P (C )＝23分别代入②③可得P (A )＝13，P (B )＝14.故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件．则P (D )＝1－P (— D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.归纳升华(1)在求离散型随机变量的分布列时，常利用分布列的性质：①p 1≥0，i ＝1，2，3，…，n ；②∑i ＝1np i ＝1，列出方程或不等式求出未知数．(2)在求两个或多个概率时，常根据不同类型的概率公式列出方程或方程组求出未知数． [变式训练] 若离散型随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 P9a 2－a3－8a求常数a 解：由离散型随机变量的性质得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝23(舍去)或a ＝13.所以，随机变量的分布列为：ξ 0 1 P2313。
第2章随机变量及其分布习题解答
7．任一个连续型的随机变量 X 的概率密度为 p ( x ) ，则 p ( x ) 必满足(
+∞
A． 0 ≤ p ( x ) ≤ 1 ．ٛ B．单调不减．
C．
−∞
∫ p ( x ) dx = 1 ．
D． lim p ( x) = 1 ．
x →+∞
⎧ c ⎪ 8 ．为使 p ( x) = ⎨ 1 − x 2 ⎪0 ⎩
0 1
∫
+∞
−∞
p( x)dx = ∫ (c + x)dx + ∫ (c − x)dx = 2c − 1 ，得 c = 1
−1
0
（2） P{| X |≤ 0.5} = P{−0.5 ≤ X ≤ 0.5} = （3） X 的分布函数为
∫
0
−0.5
(1 + x)dx + ∫ (1 − x)dx = 0.75
k , k = 1, 2, ⋅⋅⋅,10 ， 则 C
C = ____55_____．
20 ． 设 离 散 型 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 是 F ( x ) = P { X ≤ x} ， 用 F ( x ) 表 示 概 率
P { X = x0 } =
F ( x0 ) − F ( x0 − 0)
第 2 章随机变量及其分布习题解答
一．选择题 1．若定义分布函数 F ( x ) = P { X ≤ x} ，则函数 F ( x ) 是某一随机变量 X 的分布函数的 充要条件是( D )．
A． 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 ． B． 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 ，且 F ( −∞ ) = 0, F ( +∞ ) = 1 ． C． F ( x ) 单调不减，且 F ( −∞ ) = 0, F ( +∞ ) = 1 ． D． F ( x ) 单调不减，函数 F ( x ) 右连续，且 F ( −∞ ) = 0, F ( +∞ ) = 1 ．
高中数学 第二章 随机变量及其分布 章末综合检测(二)(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题
章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次，若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为( )A.12 B ．23 C.34D ．45解析：选B.法一：记事件A ＝{第一次取到合格的高尔夫球}， 事件B ＝{}第二次取到合格的高尔夫球.由题意可得P (AB )＝3×24×3＝12，P (A )＝3×34×3＝34，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1234＝23.法二：记事件A ＝{}第一次取到合格的高尔夫球，事件B ＝{}第二次取到合格的高尔夫球，由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数n (AB )＝3×2＝6，事件A 发生所包含的基本事件数n (A )＝3×3＝9.所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ） ＝69 ＝23.2．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a (13)i(i ＝1，2，3)，则a 的值为( )A ．1B ．913 C.1113D ．2713解析：选D.因为P (X ＝1)＝a 3，P (X ＝2)＝a 9，P (X ＝3)＝a 27.所以a 3＋a 9＋a 27＝1，所以a ＝2713.3．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )A ．0.95B ．0.6C ．0.05D ．0.4解析：选A.法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故至少有一颗卫星预报准确的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻两颗卫星预报都不准确”，故至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)×(1－0.75)＝0.95.4．已知随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则D (2X ＋1)等于( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．9解析：选A.因为D (2X ＋1)＝D (X )×22＝4D (X )，D (X )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32，所以D (2X ＋1)＝4×32＝6.5.如果随机变量X 表示抛掷一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体向上面的数字，则随机变量X 的均值为( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4解析：选C.P (X ＝k )＝16(k ＝1，2，3，…，6)，所以E (X )＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝16(1＋2＋…＋6)＝16×6×（1＋6）2＝3.5.6．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD ．2π解析：选C.由正态分布密度曲线上的最高点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12知12π·σ＝12，即σ＝2π，所以D (X )＝σ2＝2π.7．已知随机变量ξ的分布列如下：若E (ξ)＝2，则D (ξ)A ．0 B ．2 C ．1D ．12解析：选A.由题意得a ＝1－13＝23，所以E (ξ)＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (ξ)＝13×(m －2)2＋23(n －2)2＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，D (ξ)取最小值为0.8．设随机变量X ～N (μ，σ2)且P (X ＜1)＝12，P (X ＞2)＝p ，则P (0＜X ＜1)的值为( )A ．12pB ．1－pC ．1－2pD ．12－p 解析：选D.由正态曲线的对称性知P (X ＜1)＝12，故μ＝1，即正态曲线关于直线x ＝1对称，于是P (X ＜0)＝P (X ＞2)，所以P (0＜X ＜1)＝P (X ＜1)－P (X ＜0)＝P (X ＜1)－P (X ＞2)＝12－p .9．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为23，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )A ．49B ．827C ．1927D ．4081解析：选C.最后乙队获胜的概率含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P ＝13＋23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×13＝1927，故选C. 10．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如表所示的分布列若进这种鲜花500A ．706元 B ．690元 C ．754元D ．720元解析：选A.因为E (X )＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340， 所以利润的均值为340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706元，故选A. 11.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为( )A ．516B ．532C ．16D ．以上都不对解析：选A.由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.而从出口3出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C 25条路线，故所求的概率为C 2525＝516.12．某商家进行促销活动，促销方案是顾客每消费1 000元，便可以获得奖券1X ，每X 奖券中奖的概率为15，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金1 000元．小王购买一套价格为2 400元的西服，只能得到2X 奖券，于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3X 奖券．设小王这次消费的实际支出为ξ元，则E (ξ)＝( )A ．1 850B ．1 720C ．1 560D ．1 480解析：选A.根据题意知，ξ的可能取值为2 450，1 450，450，－550，且P (ξ＝2 450)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝64125，P (ξ＝1 450)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝48125，P (ξ＝450)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫15·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125，P (ξ＝－550)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝1125，所以E (ξ)＝2 450×64125＋1 450×48125＋450×12125＋(－550)×1125＝1 850.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．邮局工作人员整理，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X ＜10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X ＞30)等于________．解析：根据随机变量的概率分布的性质，可知P (X ＜10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X ＞30)＝1，故P (X ＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3.答案：0.314．一批产品的二等品概率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数， 则D (X )＝________.解析：X ～B (100，0.02)，所以D (X )＝np (1－p )＝100×0.02×0.98＝1.96. 答案：1.9615．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标注数字0，两个面上标注数字1，一个面上标注数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数字之积的数学期望是________．解析：设ξ表示两次向上的数字之积， 则P (ξ＝1)＝13×13＝19，P (ξ＝2)＝C 12×13×16＝19，P (ξ＝4)＝16×16＝136，P (ξ＝0)＝34，所以E (ξ)＝1×19＋2×19＋4×136＝49.答案：4916．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．(用数字作答)解析：由a 4＝2，a 7＝－4可得等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1，2，3，…)．{a n }的前10项分别为8，6，4，2，0，－2，－4，－6，－8，－10.由题意知三次取数相当于三次独立重复试验，在每次试验中取得正数的概率为25，取得负数的概率为12，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫25⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝625. 答案：625三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)某一射手射击所得环数X 的分布列如下：(1)求m (2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．解：(1)由分布列的性质得m ＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28. (2)P (射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.18．(本小题满分12分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1，2，3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P 1＝P (A 1A —2A 3)＋P (A —1A 2A 3)＝P (A 1)P (A —2)P (A 3)＋P (A —1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228. (2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.19．(本小题满分12分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； (ii)设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)(i)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k3C 37(k ＝0，1，2，3)． 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×35＋1×35＋2×35＋3×435＝127.(ii)设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥．由(i)知，P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)，故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67.所以，事件A 发生的概率为67.20．(本小题满分12分)进货商当天以每份1元的进价从报社购进某种报纸，以每份2元的价格售出．若当天卖不完，剩余报纸以每份0.5元的价格被报社回收．根据市场统计，得到这个月的日销售量X (单位：份)的频率分布直方图(如图所示)，将频率视为概率．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)若进货量为n (单位：份)，当n ≥X 时，求利润Y 的表达式； (3)若当天进货量n ＝400，求利润Y 的分布列和数学期望E (Y )．解：(1)由题图可得，100a ＋0.002×100＋0.003×100＋0.003 5×100＝1，解得a ＝0.001 5.(2)因为n ≥X ，所以Y ＝(2－1)X －0.5(n －X )＝1.5X －0.5n .(3)销售量X 的所有可能取值为200，300，400，500，由第二问知对应的Y 分别为100，250，400.由频率分布直方图可得P (Y ＝100)＝P (X ＝200)＝0.20， P (Y ＝250)＝P (X ＝300)＝0.35， P (Y ＝400)＝P (X ≥400)＝0.45.利润Y 的分布列为Y 100 250 400 P0.200.350.45所以E (Y )21．(本小题满分12分)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X 、Y 分别表示这4个人去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．解：(1)依题意，这4人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)，则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i .这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能的取值为0，2，4.由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781，所以ξ的分布列是22.(本小题满分12分)该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买A ，B ，C 商品的概率分别为23，p 1，p 2(p 1<p 2)，至少购买一种的概率为2324，最多购买两种的概率为34.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民分别购买B ，C 两种商品的概率；(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)由题意可知至少购买一种的概率为2324，所以一种都不买的概率为1－2324＝124，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23(1－p 1)(1－p 2)＝124.① 又因为最多购买两种商品的概率为34，所以三种都买的概率为1－34＝14，即23p 1p 2＝14.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝12，p 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝34，p 2＝12.因为p 1<p 2，所以某网民购买B ，C 两种商品的概率分别为p 1＝12，p 2＝34.(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，由题意可得X 的所有可能取值为0，5，10，15.则P (X ＝0)＝124，P (X ＝5)＝23×12×14＋13×12×14＋13×12×34＝14，P (X ＝10)＝23×12×14＋23×12×34＋13×12×34＝1124， P (X ＝15)＝23×12×34＝14.所以X 的分布列为则E (X )＝0×124＋5×14＋10×24＋15×4＝12.。
上海培明中学选修三第二单元《随机变量及其分布》检测(答案解析)
一、选择题1．将3个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为1、2、3、4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（3ξ=表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球），则()E ξ、(21)E ξ+分别等于（ ）A ．2516、258 B ．2516、338 C ．32、3D ．32、4 2．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，设事件A 为下雨，事件B 为刮风，那么()|P A B =（ ）A ．12B ．34C ．25D ．383．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ） A ．23B ．35C ．12D ．254．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．165．抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A 为“两个点数不同”，事件B 为“两个点数中最大点数为4”，则()P B A =（ ） A ．112B ．16C ．15D ．566．设103p <<，随机变量ξ的分布列如下：当p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，下列结论正确的是（ ） A ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小7．某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为（ ）A ．0.495%B ．0.940 5%C ．0.999 5%D ．0.99%8．条件:p 将1，2，3，4四个数字随机填入如图四个方格中，每个方格填一个数字，但数字可以重复使用.记方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；命题1若p ，则()()1122E x E x =，且()()()1212E x x E x E x +=+；命题2若P ，则()()1124D x D x =，且()()()1212D x x D x D x +=+( )A ．命题1是真命题，命题2是假命题B ．命题1和命题2都是假命题C ．命题1是假命题，命题2是真命题D ．命题1和命题2都是真命题9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．事件B 与事件1A 不相互独立 B ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 C ．()35P B =D ．()17|11P B A =10．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） A ．8225B ．12C ．34D ．3811．将两枚骰子各掷一次，设事件A ={两个点数都不相同}，B ={至少出现一个3点}，则(|)P B A =（ ）A ．13B ．518C ．1011D ．1212．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（ ） A ．0.2B ．0.6C ．0.8D ．0.9第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_______．14．一批产品的一等品率为0.9，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的一等品件数，则D()X =__________。
(易错题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(有答案解析)
一、选择题1．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ） A ．23B ．35C ．12D ．252．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ） A ．38B ．1340C ．1345D ．343．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）A ．13B ．25C ．23D ．454．随机变量X 服从正态分布()()()210,12810X N P X m P X n σ->==，，≤≤，则12m n+的最小值为（ ）A ．3+B ．6+C ．3+D ．6+5．一个盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回的取两次，每次取出一件.设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”.则()|P B A =（ ）A ．34B ．13C ．23D ．126．8张卡片上分别写有数字12345678、、、、、、、，从中随机取出2张，记事件A =“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B =“所取2张卡片上的数字之和小于9”，则()|=P B A （ ） A ．16B ．13C ．12D ．237．在由直线1x =，y x =和x 轴围成的三角形内任取一点(,)x y ，记事件A 为3y x >，B为2y x >，则(|)P B A =（ ）A ．16B ．14C ．13D ．238．如图所示,EFGH 是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,事件A 表示“豆子落在正方形EFGH 内”,事件B 表示“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)等于( )A ．18B ．14C ．12D ．389．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>10．从装有大小形状完全相同的3个白球和7个红球的口袋内依次不放回地取出两个球，每次取一个球，在第一次取出的球是白球的条件下，第二次取出的球是红球的概率为（ ） A ．715B ．12C ．710D ．7911．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．112．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.8,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（ ） A ．0.8B ．0.9C ．58D ．89二、填空题13．一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a ，得2分概率为b ，不得分概率为c ，(),,0,1a b c ∈.若他投篮一次得分的期望为1，则12a b +的最小值为______.14．随机变量X 的概率分布为2()(1,2,3)aP X n n n n===+，其中a 是常数，则()D aX =__________．15．如图，EFGH 是圆O 的内接正方形，将一颗豆子随机扔到圆O 内，记事件A ：“豆子落在正方形EFGH 内”，事件B ：“豆子落在扇形OEH （阴影部分）内”，则条件概率(|)P B A =__．16．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则P (X ≥－80)＝________.17．一次英语测验由50道选择题构成,每道题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7,则该生在这次测验中的成绩的期望是__________18．某种袋装大米的质量X （单位：kg ）服从正态分布()50,0.01N ，任意选一袋这种大米，则质量在49.850.1kg ~的概率为__________．（()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=）三、解答题19．“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2021年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至2019年实施以来发挥巨大作用.个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等. 新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：旧个税税率表（税起征点3500元） 新个税税率表（个税起征点5000元） 缴税级数 每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点 税率（%） 每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除 税率（%） 1 不超过1500元部分 3 不超过3000元部分 3 2超过1500元至4500元部分10超过3000元至12000元部分103 超过4500元至9000元的部分20 超过12000元至25000元的部分 204 超过9000元至35000元的部分25 超过25000元至35000元的部分 255 超过35000元至55000元部分30 超过35000元至55000元部分 30……………年的人均月收入24000元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2:1:1:1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT 从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）求该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税的所有可能及其概率.（2）根据新旧个税方案，估计从2021年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过2021年的月收入？20．2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类. 生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如图：（Ⅰ）现从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；（Ⅱ）从2020年6月至12月中任意选取2个月，记X为选取的这2个月中回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份的个数. 求X的分布列及数学期望；(Ⅲ)假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为a吨. 当a为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小.（只需写出结论，不需证明）（注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平均数）21．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶子进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概率是23；向B 靶射击，命中的概率为34．假设甲同学每次射击结果相互独立． （1）求甲同学恰好命中一次的概率；（2）求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望．22．为了解果园某种水果产量情况，随机抽取100个水果测量质量，样本数据分组为[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400（单位：克），其频率分布直方图如图所示：（1）用分层抽样的方法从样本里质量在[)250,300，[)300,350的水果中抽取6个，求质量在[)250,300的水果数量；（2）从（1）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X 为质量在[)300,350的水果数量，求X 的分布列和数学期望；（3）果园现有该种水果越20000个，其等级规则及销售价格如下表所示： 质量m （单位：克） 200m < 200300m ≤<300m ≥等级规格 二等 一等 特等 价格（元/个）471023．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回．试求： （1）顾客买下该箱的概率α；（2）在顾客买下的一箱中，求无残次品的概率β.24．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有()|P A C 0.95=，()|0.95P A C =.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即()0.005P C =，试求()|P C A .25．设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，试按：（1）有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率； （2）不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率.26．出于“健康､养生”的生活理念.某地的M 炊具有限公司的传统手工泥模工艺铸造的平底铁锅一直受到全国各地消费者的青睐.M 炊具有限公司下辖甲､乙两个车间，甲车间利用传统手工泥模工艺铸造T 型双耳平底锅，乙车间利用传统手工泥模工艺铸造L 型双耳平底锅，每一口双耳平底锅按照综合质量指标值(取值范围为[50,100])划分为：综合质量指标值不低于70为合格品，低于70为不合格品.质检部门随机抽取这两种平底锅各100口，对它们的综合质量指标值进行测量，由测量结果得到如下的频率分布直方图：将此样本的频率估计为总体的概率.生产一口T 型双耳平底锅，若是合格品可盈利40元，若是不合格品则亏损10元；生产一口L 型双耳平底锅，若是合格品可盈利50元，若是不合格品则亏损20元.（1）记X 为生产一口T 型双耳平底锅和一口L 型双耳平底锅所得的总利润，求随机变量X 的数学期望；（2）M 炊具有限公司生产的T 和L 型双耳平底锅共计1000口，并且两种型号获得的利润相等，若将两种型号的合格品再按质量综合指标值分成3个等级，其中[70,80)为三级品，[80,90)为二级品，[90,100]为一级品，试判断生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中哪种型号的一级品多？请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题解析：D 【分析】设男生甲被选中为事件A ，女生乙也被选中为事件B ，分别求得1()2P A =，1()5P AB =，再结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件A ，其概率为25361()2C P A C ==，设女生乙也被选中为事件B ，其概率为14361()5C P AB C ==，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为()2(|)1()5215P AB P B A P A ===. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了条件概率的求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.2．B解析：B 【分析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =，分别计算(),()P A B P A 即得解.【详解】 由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中3．A解析：A 【分析】记事件:A 甲获得冠军，事件:B 比赛进行三局，计算出事件AB 的概率和事件A 的概率，然后由条件概率公式可得所求事件的概率为()()()P AB P B A P A =.【详解】记事件:A 甲获得冠军，事件:B 比赛进行三局，事件:AB 甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局， 由独立事件的概率乘法公式得()12313944432P AB C =⋅⋅⋅=， 对于事件A ，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件AB ，()2392743232P A ⎛⎫∴=+=⎪⎝⎭，()()()932132273P AB P B A P A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.4．D解析：D 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出12m n +=，再将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后可利用基本不等式求出12m n+的最小值． 【详解】 由于()210,XN σ，由正态密度曲线的对称性可知，()()128P X P X m >=<=，所以，()()188102P X P X <+≤≤=，即12m n +=，221m n ∴+=，由基本不等式可得()1212422266m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭6=，当且仅当()420,0m n m n n m=>>，即当n =时，等号成立，因此，12m n +的最小值为6+，故选D. 【点睛】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．5．C解析：C 【分析】利用古典概型概率公式计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式可计算出结果． 【详解】事件:AB 前两次取到的都是一等品，由古典概型的概率公式得()232412A P AB A ==，由古典概型的概率公式得()34P A =，由条件概率公式得()()()142233P AB P B A P A ==⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查条件概率公式求概率，解题时要弄清楚各事件之间的关系，关键在于灵活利用条件概率公式计算，考查运算求解能力，属于中等题．6．C解析：C 【分析】利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概率公式()P B A =()()P AB P A 可得出答案． 【详解】事件AB 为“所取2张卡片上的数字之和为小于9的偶数”，以(),a b 为一个基本事件，则事件AB 包含的基本事件有：()1,3、()1,5、()1,7、()2,4、()2,6、()3,5，共6个， 由古典概型的概率公式可得()286314P AB C ==， 事件A 为“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，则所取的两个数全是奇数或全是偶数，由古典概型的概率公式可得()2428237C P A C ==，因此，()()()3711432P AB P B A P A ==⨯=， 故选C ． 【点睛】本题考查条件概率的计算，数量利用条件概率公式，是解本题的关键，同时也考查了古典概型的概率公式，考查运算求解能力，属于中等题．7．D解析：D 【分析】由所求问题可知，本题是求条件概率，因此可以运用公式求解．同时本题又是一个几何概型，这就涉及到求面积，三角形面积可以直接使用三角形面积公式，而对于不规则图形的面积可以采用定积分的方法来求解． 【详解】 图形如下图所示：直线1x =，y x =和x 轴围成的三角形的面积为111122⨯⨯=； 直线1x =，3y x y x =>，和x 轴围成的三角形的面积为1321410111()244x x dx x x -=-=⎰； 直线1x =，2y x y x =>，和x 轴围成的三角形的面积为1221310111()236x x dx x x -=-=⎰； 114()122P A == ,116()132P AB == 1()23()1()32P AB P B A P A ∴===故本题选D. 【点睛】 本题考查了几何概型、条件概率、定积分的应用.8．B解析：B 【分析】由几何概型概率计算公式可得P(A)=2π，再根据条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由几何概型概率计算公式可得P(A)=S 2S π=正圆；事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”, 则P(AB)=2EOH11S12.S π2π圆⨯==由条件概率的计算公式可得P(B|A)=1P(AB)12π2P(A)4π==，故选B. 【点睛】本题主要考查了几何概型及其概率的计算，以及条件概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，合理利用几何概型及其概率的计算公式和条件概率的计算公式，合理、准确求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9．B解析：B 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=, 故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.10．D解析：D 【分析】运用条件概率计算公式即可求出结果 【详解】令事件A 为第一次取出的球是白球，事件B 为第二次取出的球是红球，则根据题目要求得()()()377109|3910P AB P B A P A ⨯===， 故选D 【点睛】本题考查了条件概率，只需运用条件概率的公式分别计算出事件概率即可，较为基础．11．C解析：C 【解析】分析：设A 表示“第一次抛出的是奇数点”，B 表示“第二次抛出的是奇数点”，利用古典概型概率公式求出()(),P A P AB 的值，由条件概率公式可得结果. 详解：设A 表示“第一次抛出的是奇数点”，B 表示“第二次抛出的是奇数点”，()()31111,62224P A P AB ===⨯=， ()()()114|122P AB P B A P A ===，∴在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为12，故选C. 点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的合理运用，同时注意区分独立事件同时发生的概率与条件概率的区别与联系.12．D解析：D 【解析】分析：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．详解：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ， 则P （C ）=1﹣P （A ）P （B ）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9； 则目标是被甲击中的概率为P=0.880.99=. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率和条件概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A =，(|)P B A =()()n AB n A .条件概率一般有“在A 已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生， 发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.二、填空题13．；【分析】推导出从而利用基本不等式能求出的最小值【详解】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为得2分概率为不得分概率为他投篮一次得分的期望为1当且仅当时取等号的最小值为故答案为：【点睛】本题考查代数式的解析：7+； 【分析】推导出321a b +=，从而121262()(32)7a b a b a b a b b a+=++=++，利用基本不等式能求出12a b +的最小值． 【详解】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a ，得2分概率为b ， 不得分概率为c ，a ，b ，(0,1)c ∈，他投篮一次得分的期望为1， 321a b ∴+=，∴1212626()(32)7727a b a a b a b a b b a b +=++=+++=+ 当且仅当62a bb a=时取等号， ∴12a b+的最小值为7+．故答案为：7+ 【点睛】本题考查代数式的最小值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．【分析】根据随机变量分布列概率和为1求出求出再由方差性质即可求解【详解】由题意得则∴则∴故答案为:【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质期望方差以及方差的性质考查计算求解能力属于中档题解析：608729【分析】根据随机变量分布列概率和为1求出a ，求出(),()E X D X ，再由方差性质，即可求解. 【详解】 由题意得11111311122334223344a a a a a ⎛⎫++=-+-+-== ⎪⨯⨯⨯⎝⎭，则43a=，∴()213P X==，()229P X==，()139P X==，则24113()3939E X=++=，222132********()12393999981D X⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2608()()729D aX a D X==.故答案为:608729【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质、期望、方差以及方差的性质，考查计算求解能力，属于中档题.15．【分析】利用与面积有关的几何概型公式求出然后代入条件概率公式即可求解【详解】如图设正方形边长为由几何概型的概率公式可得（A）由条件概率公式可得故答案为：【点睛】本题考查与面积有关的几何概型和条件概率解析：14【分析】利用与面积有关的几何概型公式求出()(),P A P AB,然后代入条件概率公式()()()P ABP B AP A=即可求解.【详解】如图,设正方形边长为a，由几何概型的概率公式可得,P（A）2222()aππ==⨯，21122()22()aaP ABaππ⨯==⨯，∴由条件概率公式可得,1()12(|)2()4P ABP B AP Aππ===．故答案为：14【点睛】本题考查与面积有关的几何概型和条件概率的求解;熟练掌握概率公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.16．【分析】首先求某产品两轮检测合格的概率X 的所有可能取值为－320－200－8040160然后根据二项分布求其概率并计算【详解】由题意得该产品能销售的概率为易知X 的所有可能取值为－320－200－80 解析：243256【分析】首先求某产品两轮检测合格的概率113116104⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，X 的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，然后根据二项分布求其概率，并计算()80P X ≥-. 【详解】由题意得该产品能销售的概率为113116104⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,易知X 的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B 34,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()443144k kk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以P (X ＝－80)＝P (ξ＝2)＝2224312744128C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， P (X ＝40)＝P (ξ＝3)＝33431274464C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P (X ＝160)＝P (ξ＝4)＝4044318144256C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故P (X ≥－80)＝P (X ＝－80)＋P (X ＝40)＋P (X ＝160)＝243256. 【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率和二项分布，意在考查分析问题和解决问题的能力，对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.17．105【解析】分析：先判断概率分别为二项分布再根据二项分布期望公式求结果详解：因为所以点睛：解析：105. 【解析】分析：先判断概率分别为二项分布，再根据二项分布期望公式求结果.详解：因为(150,0.7)x B ~，所以1500.7105.Ex =⨯= 点睛：(,),(),()(1).x B n p E X np V X np p ~==-18．08185【解析】分析：先求出再求得从而可得结果详解：因为（单位：）服从正态分布所以根据正态分布的对称性可得故答案为点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用属于中档题有关正态分布的应用题考查知识点解析：0.8185. 【解析】分析：先求出()49.950.10.6826P X <<=，再求得()49.849.90.1359P X <<=，从而可得结果.详解：因为X （单位：kg ）服从正态分布()50,0.01N ， 所以，50,0.1μσ==，根据正态分布的对称性，可得()49.950.10.6826P X <<=，()()149.849.90.95440.68260.13592P X <<=-=， ()49.850.10.68260.13590.8185P X ∴<<=+=，故答案为0.8185.点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.三、解答题19．（1）缴个税的所有可能值为2190，1990，1790，1590,其概率分别为()221905P X ==，()119905P X ==，()117905P X ==，()115905P X ==，（2）12个月 【分析】（1）求出4种人群的每月应缴个税额，根据条件得出求出其概率；（2）由（1）求出在新政策下该收入层级的IT 从业者2021年月缴个税为，计算两种政策下的每月应缴个税额度差即可得出结论． 【详解】（1）既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为240005000100018000--=，月缴个税30000.0390000.160000.22190X =⨯+⨯+⨯=；只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为2400050001000100017000---=，月缴个税30000.0390000.150000.21990X =⨯+⨯+⨯=；只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为2400050001000200016000---=，月缴个税30000.0390000.140000.21790X =⨯+⨯+⨯=；既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000500010001000200015000----=，月缴个税30000.0390000.130000.21590X =⨯+⨯+⨯=； 所以X 的可能值为2190，1990，1790，1590, 依题意，上述四类人群的人数之比是2:1:1:1，所以()221905P X ==，()119905P X ==，()117905P X ==，()115905P X ==.,（2）由（1）可知X 的分布列为所以()219019901790159019505555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.. 因为在旧政策下该收入层级的IT 从业者2021年每月应纳税所得额为24000350020500-=，其月缴个税为15000.0330000.145000.2115000.254120⨯+⨯+⨯+⨯=, 因为在新政策下该收入层级的IT 从业者2021年月缴个税为1950， 所以该收入层级的IT 从业者每月少缴交的个税为412019502170-=., 设经过x 个月，该收入层级的IT 从业者少缴交的个税的总和就超过24000， 则217024000x ≥，因为x ∈N ，所以12x ≥,所以经过12个月，该收入层级的IT 从业者少缴交的个税的总和就超过2021年的月收入. 【点睛】关键点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算，考查样本估计总体的统计思想，解答本题的关键是根据题意求出缴个税的所有可能及其概率，得出分布列以及数学期望，()2111219019901790159019505555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，设经过x 个月，该收入层级的IT 从业者少缴交的个税的总和就超过24000，则217024000x ≥，求出答案，属于中档题． 20．（Ⅰ）17；（Ⅱ）分布列见解析，67；(Ⅲ) 4.4a =. 【分析】（Ⅰ）这是一个古典概型，共有7个月，该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的只有8月份，然后代入公式求解.（Ⅱ）先得到6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月，则X 的所有可能取值为0，1，2，再分别求得相应的概率，列出分布列，再求期望.(Ⅲ)根据添加的新数a 等于原几个数的平均值时，方差最小求解. 【详解】（Ⅰ）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A 由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨 所以1()7P A =. （Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸所以6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月.X 的所有可能取值为0，1，2. 023427(0)62217C P X C C ==== 113427(1)124217C C P X C ⋅==== 203427(2)31217C P X C C ==== 所以X 的分布列为:()0127777E X =⨯+⨯+⨯=；(Ⅲ) 4.4a =当添加的新数a 等于原几个数的平均值时，方差最小. 【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 21．（1）16；（2）分布列见解析；期望为20348． 【分析】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C ，“甲射击命中A 靶”为事件D ，“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，然后利用互斥事件概率的求解方法求解即可.。
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随机变量及其分布章末检测答案详解1．B [E (X )＝10×12＋(－11)×12＝－12.]2．D [由分布列的性质得m ＝1－0.5－0.2＝0.3， 所以E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.] 3．A [D (2X ＋1)＝D (X )×22＝4D (X )，D (X )＝6×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝32， ∴D (2X ＋1)＝4×32＝6.]4．D [由正态曲线的对称性知P (X <1)＝12，故μ＝1，即正态曲线关于直线x ＝1对称，于是P (X <0)＝P (X >2)，所以P (0<X <1)＝P (X <1)－P (X <0) ＝P (X <1)－P (X >2)＝12－p .]5．B [根据f (x )＝1σ2πe －x －μ22σ2，x ∈R ，对比f (x )＝122πe －x －128知σ＝2.]6．C [利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为：45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×710＝47250.] 7．B [节日期间这种鲜花需求量X 的均值为E (X )＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．设利润为Y ，则Y ＝5X ＋1.6(500－X )－500×2.5＝3.4X －450，所以E (Y )＝3.4E (X )－450＝3.4×340－450＝706(元)．]8．B [∵E (X 甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E (X 乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9.∵E (X 甲)>E (X 乙)，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．] 9.A,B,D[抛掷3枚质地均匀的硬币的样本空间(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},事件A 中所含的样本点为(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),因此,事件B 中所含的样本点为(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),因此,事件中所含的样本点为(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),因此,因此,即事件A ､B 相互独立。
故选:A 、B 、D]10.B,C,D[间接法:至少一枚正面朝上的概率.故选B,C,D.]11.A,C[对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A 正确;对于B,用A 、B 、C 分別表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,,,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B 不正确;对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则,故取到同色球的概率为,故C 正确; 对于D,易得,即,即,∴,又,∴,∴,故D 错误]12.A,B,C[A,B, C 三个事件发生的概率分别为0.2, 0.3, 0.5,不能确定它们之间有任何关系,故选项A 、B 、C 均错,而,,D 正确.]13.1335 解析 P (X ≤6)＝P (X ＝4)＋P (X ＝6) ＝C 44＋C 34C 13C 47＝1335.14.23解析 由题意得⎩⎨⎧P A ·B ＝19，PA ·B＝P B ·A，即⎩⎪⎨⎪⎧[1－P A ][1－P B ]＝19，P A [1－P B ]＝[1－P A ]P B ，解得P (A )＝23.15.120.954 4 解析 正态曲线的对称轴为x ＝0， ∴P (X ≤0)＝P (X >0)＝12，P (－2<X ≤2)＝P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.16.65解析 设甲回家途中遇红灯次数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25， E (X )＝3×25＝65.17．解 记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P 1＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6 ＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.18．解 (1)设Y 表示“任取的3个数中偶数的个数”，则Y 服从N ＝9，M ＝4，n ＝3的超几何分布，∴P (Y ＝1)＝C 14C 25C 39＝1021.(2)X 的取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 37C 39＝512，P (X ＝1)＝2×6＋6×5C 39＝12， P (X ＝2)＝7C 39＝112.∴X 的分布列为数学期望E (X )＝0×512＋1×12＋2×12＝3.19．解 (1)方法一 记小球落入B 袋中的概率为P (B )，则P (A )＋P (B ) ＝1. 由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B 袋，∴P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，∴P (A )＝1－14＝34.方法二 由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A 袋， ∴P (A )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝34.(2)由题意，ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，34，所以有P (ξ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫343⎝ ⎛⎭⎪⎫141＝2764，∴E (ξ)＝4×34＝3.20．解 (1)设参赛学生的成绩为X ，因为X ～N (70,100)， 所以μ＝70，σ＝10. 则P (X ≥90)＝P (X ≤50) ＝12[1－P (50<X <90)] ＝12[1－P (μ－2σ<X <μ＋2σ)] ＝12×(1－0.954 4)＝0.022 8，12÷0.022 8≈526(人)．因此，此次参赛学生的总数约为526人． (2)由P (X ≥80)＝P (X ≤60) ＝12[1－P (60<X <80)] ＝12[1－P (μ－σ<X <μ＋σ)] ＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7， 得526×0.158 7≈83.因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．21．解 设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到次品”为事件B . (1)第一次抽到次品的概率P (A )＝520＝14.(2)P (AB )＝C 15C 14C 120C 119＝5×420×19＝119.(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P (B |A )＝119÷14＝419.22．解 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19， P (ξ＝6)＝1×16×6＝136. 所以ξ的分布列为(2)由题意知η所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＝3，D (η)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ， 故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.。