高中数学北师大版必修五达标练习：第3章 §1-1.1 不等关系 1.2 不等关系与不等式含解析

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高中数学北师大版必修5课时作业第3章不等式 19 Word版含答案

§不等关系时间：分钟满分：分班级姓名分数一、选择题：(每小题分，共×＝分)．已知＋>，<，那么，，－，－的大小顺序是( )．>>－>－．>－>－>．>－>>－．>>－>－．若＝＋，＝－，则，的大小关系是( ). ≤ . ≥. <或> . >．若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是( ). －π<α－β< . －π<α－β<π. －<α－β< . <α－β<π．某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对生产的某种型号的彩电降价销售，现有种降价方案：()先降价，再降价；()先降价，再降价；()先降价；再降；()一次性降价(＋)，其中＞，＞，≠，上述方案中，降价幅度最小的是( )．方案() ．方案()．方案() ．方案()．如果，，满足＜＜，且＜，那么下列选项中不一定成立的是( )．＞．(－)＞．＜．(－)＜．若<<<，则( )．> ．>．()>－．()<－二、填空题：(每小题分，共×＝分)．下列四个不等式：①＜＜；②＜＜；③＜＜；④＜＜；⑤＜且＞；⑥＜且＜，其中能使＜成立的是．．若≤≤，－≤≤，则－的取值范围为．．用“＞、＜、≥、≤”符号填空()(＋)(－)(－)(＋)＋；()＋(－－)．三、解答题：(共分，其中第小题分，第、小题各分)．已知>>，<<，<.求证：>.。

高中数学 3.1 不等关系练习北师大版必修5

第三章 §1一、选择题1．(2014·四川理，4)若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A ．a c >b dB ．a c b cD ．a d 0，而ad －bc 的符号不能确定，所以选项A 、B 不一定成立.a d －b c ＝ac －bd dc ，dc>0，由不等式的性质可知ac<bd ，所以选项D 成立．2．如果a ∈R ，且a2＋a<0，那么a ，a2，－a ，－a2的大小关系为( )A ．a2>a>－a2>－aB ．－a>a2>－a2>aC ．－a>a2>a>－a2D ．a2>－a>a>－a2[答案] B[解析] 因为a2＋a<0，所以a2<－a ，a<－a2，又由于a≠0，∴－a2<a2，即a<－a2<a2<－A ．故选B ．3．设a ，b ∈R ，若a －|b|>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a>0B ．a3＋b3<0C ．a2－b2<0D ．b ＋a>0[答案] D[解析] 利用赋值法：令a ＝1，b ＝0排除A ，B ，C ，选D ．4．若a>b>c ，a ＋2b ＋3c ＝0，则( )A ．ab>acB ．ac>bcC ．ab>bcD ．a|b|>c|b|[答案] A[解析] ∵a>b>c 且a ＋2b ＋3c ＝0，∴a>0，c<0.又∵b>c 且a>0，∴ab>aC ．选A ．5．若－1<α<β<1，则下面各式中恒成立的是( )A ．－2<α－β<0B ．－2<α－β<－1C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1[答案] A[解析] 由题意得－1<α<1，－1<－β<1，α－β<0，故－2<α－β<2且α－β<0，故－2<α－β<0，因此选A ．6．如果a ＞0，且a≠1，M ＝loga(a3＋1)，N ＝loga(a2＋1)，那么( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．M 、N 的大小无法确定[答案] A[解析] 当a ＞1时a3＋1＞a2＋1，y ＝logax 单增，∴loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)．当0＜a ＜1时a3＋1＜a2＋1，y ＝logax 单减．∴loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)，或对a 取值检验．选A ．二、填空题7．如果a>b ，那么下列不等式：①a3>b3；②1a <1b ；③3a>3b ；④lga>lgB ．其中恒成立的是________．[答案] ①③[解析] ①a3－b3＝(a －b)(a2＋b2＋ab)＝(a －b)[(a ＋b 2)2＋34b2]>0；③∵y ＝3x 是增函数，a>b ，∴3a>3b当a>0，b<0时，②④不成立．8．设m ＝2a2＋2a ＋1，n ＝(a ＋1)2，则m 、n 的大小关系是________．[答案] m≥n[解析] m －n ＝2a2＋2a ＋1－(a ＋1)2＝a2≥0.三、解答题9．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：不等关系的不等式．[解析] 设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则⎩⎪⎨⎪⎧ 300x ＋150y≥2 000250 x ＋100 y≥1 500x≥0y≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋3y≥405x ＋2y≥30x≥0y≥0.10．(1)已知a>b ，e>f ，c>0.求证：f －ac<e －bC ．(2)若bc －ad≥0，bd>0.求证：a ＋b b ≤c ＋d d .[证明] (1)∵a>b ，c>0，∴ac>bc ，∴－ac<－bc ，∵f<e ，∴f －ac<e －bC ．(2)∵bc －ad≥0，∴ad≤bc ，又∵bd>0，∴a b ≤c d ，∴a b ＋1≤c d ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋d d .一、选择题1．下列不等式：①x2＋3>2x(x ∈R)；②a3＋b3≥a2b ＋ab2(a ，b ∈R)；③a2＋b2≥2(a －b －1)中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 对于①，x2＋3－2x ＝(x －1)2＋2>0恒成立，对于②，a3＋b3－a2b －ab2＝a2(a －b)＋b2(b －a)＝(a －b)(a2－b2)＝(a －b)2(a ＋b)，∵a 、b ∈R ，∴(a －b)2≥0，而a ＋b>0，或a ＋b ＝0，或a ＋b<0，故②不正确，对于③，a2＋b2－2a ＋2b ＋2＝a2－2a ＋1＋b2＋2b ＋1＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴③正确，故选C ．2．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：( ) ①若ab ＜0，bc －ad ＞0，则c a －d b ＞0；②若ab ＞0，c a －d b ＞0，则bc －ad ＞0； ③若bc －ad ＞0，c a －d b ＞0，则ab ＞0.其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] ①∵ab ＜0，∴1ab ＜0，又∵bc －ab ＞0， ∴1ab ·(bc －ad)＜0即c a －d b ＜0，∴①错；②∵ab ＞0，c a －d b ＞0，∴ab(c a －d b )＞0，即：bc －ab ＞0，∴②正确；③∵c a －d b ＞0，∴bc －ad ab ＞0，又∵bc －ad ＞0，∴ab ＞0，∴③正确．选C ．3．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( )A ．lg(x2＋1)≥lg2xB ．x2＋1>2xC ．1x2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥2[答案] C[解析] A 中x>0；B 中x ＝1时，x2＋1＝2x ；C 中任意x ，x2＋1≥1，故1x2＋1≤1；D 中当x<0时，x ＋1x ≤0.4．若a>b ，c>d ，则下列不等式中成立的一个是( )A ．a ＋d>b ＋cB ．ac>bdC ．a c >b dD ．d －a<c －b [答案] D[解析] ∵a>b ⇒－a<－bc>d ⇒d<c ⇒d －a<c －B ．∴选D ．二、填空题5．若1<a<3，－4<b<2，则a －|b|的取值范围是________．[答案] (－3,3)[解析] ∵0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又1<a<3，∴－3<a －|b|<3.6．已知1≤a ＋b≤4，－1≤a －b≤2，则4a －2b 的取值范围是________．[答案] [－2,10][解析] 令4a －2b ＝x(a ＋b)＋y(a －b)，∴4a －2b ＝(x ＋y)a ＋(x －y)B ．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤a ＋b≤4，－3≤3a －b ≤6.∴－2≤4a －2b≤10.三、解答题7．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数．(2)车队每天至少要运360 t 矿石．(3)甲型车不能超过4辆，乙型车不能超过7辆．要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≤910×6x ＋6×8y≥3600≤x≤40≤y≤7，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≤95x ＋4y≥300≤x≤40≤y≤7.8．已知0<a ＋b<π2，－π2<a －b<π3，求2a 和3a －b 3的取值范围． [解析] ∵⎩⎨⎧ 0<a ＋b<π2－π2<a －b<π3，两式相加得－π2<2a<5π6.设3a －b3＝m(a ＋b)＋n(a －b)＝a(m ＋n)＋b(m －n)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3m －n ＝－13，解得m ＝43，n ＝53.∴3a －b 3＝43(a ＋b)＋53(a －b)． ∴⎩⎨⎧0<43a ＋b <2π3－5π6<53a －b <5π9，两式相加，得－5π6<3a －b 3<11π9.故2a ∈(－π2，5π6)，3a －b 3∈(－5π6，11π9)．。

2022-2021学年高二数学北师大版必修5练习：3.1.1-1.2 不等关系不等关系与不等式

第三章不等式 1.1 不等关系1.2 不等关系与不等式课时目标 1.初步学会作差法比较两实数的大小.2.把握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a ，b 的大小 (1)文字叙述假如a －b 是正数，那么a ____b ；假如a －b 等于____，那么a ＝b ；假如a －b 是负数，那么a ____b ，反之也成立． (2)符号表示a －b >0⇔a ____b ； a －b ＝0⇔a ____b ； a －b <0⇔a ____b .2．常用的不等式的基本性质 (1)a >b ⇔b ____a (对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a ____c (传递性)； (3)a >b ⇒a ＋c ____b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac ____bc ；a >b ，c <0⇒ac ____bc ； (5)a >b ，c >d ⇒a ＋c ____b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0⇒ac ____bd ；(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒a n ____b n ； (8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒n a ____nb .一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2 C.ac 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c | 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a 0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0 6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为___________________________． 8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．力气提升13．若0<a 1<a 2,00⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；其次步：变形，常接受配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定作差的结果是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分状况争辩) 最终得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不行想当然．1．1 不等关系1．2 不等关系与不等式答案学问梳理1．(1)> 0 < (2)> ＝ < 2.(1)< (2)> (3)> (4)> < (5)> (6)> (7)> (8)> 作业设计1．C [对A ，若a>0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a|c|＝b|c|，∴D 不成立．]2．D [取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab 2>a.]3．C [对于A ，当a<0，b<0时，a 20时，a 2b>0，ab 2<0，a 2b<ab 2不成立；对于C ，∵a0，∴1ab 2<1a 2b；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1.]4．C [∵1e <x<1，∴－1<ln x<0.令t ＝ln x ，则－1<t<0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t>0，∴a>b. c －a ＝t 3－t ＝t(t 2－1)＝t(t ＋1)(t －1)，又∵－1<t<0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1， ∴c －a>0，∴c>a.∴c>a>b.]5．D [由a>|b|得－a<b<a ，∴a ＋b>0，且a －b>0.∴b －a<0，A 错，D 对．a 3＋b 3＝(a ＋b)(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b)[(a －b 2)2＋34b 2]∴a 3＋b 3>0，B 错．而a 2－b 2＝(a －b)(a ＋b)>0，∴C 错．]6．A [由a>b>c 及a ＋b ＋c ＝0知a>0，c<0，又∵a>0，b>c ，∴ab>ac.] 7．[－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6. 8．f(x)>g(x)解析 ∵f(x)－g(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．9.x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，∴x 1＋x 2≤12.10．A>B 解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n.∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A>B.11．解方法一作差法a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝(a ＋b )(a 2－b 2)－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2)(a ＋b )＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2) ∵a>b>0，∴a ＋b>0，a －b>0,2ab>0.∴2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b.方法二作商法∵a>b>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b >0.∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2aba 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．解 f(x)－g(x)＝1＋log x 3－2log x 2＝log x3x 4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f(x)＜g(x)；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f(x)＝g(x)；③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x 4＞1，即0＜x＜1，或x＞43时，log x3x4＞0，即f(x)＞g(x)．综上所述，当1＜x＜43时，f(x)＜g(x)；当x＝43时，f(x)＝g(x)；当0＜x＜1，或x＞43时，f(x)＞g(x)．13．A[特殊值法．令a1＝14，a2＝34，b1＝14，b2＝34，则a1b1＋a2b2＝1016＝58，a1a2＋b1b2＝616＝38，a1b2＋a2b1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.]14．解∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝12且z＝1时取到等号．。

2019-2020学年度北师大版高中数学必修五学案：第三章 1.2 不等关系与不等式(一)

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版高中数学必修五学案：第三章 1．2不等关系与不等式（一）______年______月______日____________________部门学习目标 1.实数比较大小的方法.2.通过解决具体问题，培养严谨的思维习惯．知识点一作差法比较两个实数大小的原理思考2x与x2＋1谁大谁小容易确定吗？x2＋1－2x与0的大小关系呢？梳理一般地，可以通过比较a－b与0的大小来比较a与b的大小，其原理是：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0.知识点二比较两个实数大小的依据思考有同学借助一个中间量：x－1<x<x＋1来比较x－1与x＋1的大小，这种方法对吗？依据是什么？梳理一般地，比较两个实数的大小，常需要对两个实数变形．为不改变它们的大小关系，需遵循不等式的性质进行变形．常用的依据有：(1)如果a>b，那么a＋c>b＋c.加法性质(2)如果a>b，c>0，那么ac>bc.(3)如果a>b，c<0，那么ac<bc.乘法性质类型一比较大小命题角度1 作差法比较大小例1 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．反思与感悟比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练1 已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．命题角度2 作商法比较大小例 2 若0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小关系．反思与感悟作商法的依据：若b＞0，则＞1⇔a＞b.跟踪训练2 若a＞b＞0，比较aabb与abba的大小．类型二作差法在数学中的应用例3 利用作差法证明下列问题．(1)函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．(2)若a1>0,0<q<1，则等比数列{an}是递减数列．反思与感悟作差法判断函数的增减性在数学中有着广泛的应用．跟踪训练3 设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( )A．d<0 B．d>0C．a1d<0 D．a1d>0类型三作差法在实际问题中的应用例4 一般的人，下半身长与全身长的比值在0.57～0.60之间，当这个比值越接近黄金分割值0.618时，人的身材就越好．设某人下半身长为b(cm)，全身长为a(cm)，请问这个人穿上m(cm)的高跟鞋后，下半身长与全身长的比值会增加吗？反思与感悟用数学方法解决实际问题，通常要先把条件目标用式子表示出来，把问题抽象成数学模型，再予以解决．跟踪训练4 甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为t1和t2，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，且m≠n.(1)令路程为1，请用m，n表示出t1和t2；(2)判断谁先到达B地．1．若a>b且c>d，则a＋c与b＋d的大小关系是________________．2．已知M＝2(a2＋b2)，N＝2a－4b＋2ab－7，且a，b∈R，则M，N的大小关系为________________．3．已知a≠1，试比较与1＋a的大小．1．比较大小：(1)步骤：作差→变形→判断符号→下结论．(2)关键点：“变形”是作差比较大小的关键，“变形”的目的在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少．“变形”的常用方法有通分、配方、因式分解等．2．应用：应用比较大小的知识来解决实际生活中的问题，要先把条件目标用式子表示出来，并注意实际问题对式子范围的影响．答案精析问题导学知识点一思考因为2x与x2＋1两个式子都在变化，谁大谁小不容易确定．而x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，大小关系容易确定．知识点二思考这种方法对．其依据是不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c.题型探究例1 解∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.跟踪训练1 解∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)[(x－)2＋]，∵(x－)2＋＞0，x－1＜0，∴(x－1)[(x－)2＋]＜0，∴x3－1＜2x2－2x.例2 解1－x|,|loga1＋x|)＝1－x,loga1＋x)))＝1＋x1－x))，∵0＜x＜1，∴1－x))＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)，∵1－x2＝(1＋x)(1－x)＜1，且1－x＞0，∴1＋x＜，∴log(1＋x)＞1，即1－x|,|loga1＋x|)＞1，∴|loga(1＋x)|＜|loga(1－x)|.跟踪训练2 解＝aa－bbb－a＝()a－b，∵a＞b＞0，∴＞1，a－b＞0，∴()a－b＞1，即＞1，又∵a＞b＞0，∴aabb＞abba.例3 证明(1)对于任意的x2>x1>0，有y1－y2＝x－x＝(x1－x2)(x1＋x2)．∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋x2>0，∴(x1－x2)(x1＋x2)<0，即y1－y2<0，∴函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．(2)∵a1>0,0<q<1，∴an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)<0(n∈N＋)，故等比数列{an}是递减数列．跟踪训练3 C [设bn＝2a1an，则bn＋1＝2a1an＋1，由于{2a1an}是递减数列，则bn>bn＋1，即2a1an>2a1an＋1.∵y＝2x是单调增函数，∴a1an>a1an＋1，∴a1an－a1(an＋d)>0，∴a1(an－an－d)>0，即a1(－d)>0，∴a1d<0.]例4 解没穿高跟鞋前下半身与全身长之比为，穿高跟鞋后下半身与全身长之比为，已知a，b，m都是正数，且a>b，则b＋m－＝b＋ma－a＋mb,a＋ma)a＋m＝a＋ma)＝a－b,a＋ma).∵a，b，m都是正整数，且a>b，∴m>0，m＋a>0，a>0，a－b>0，∴－>0，故>，即穿上高跟鞋后，下半身长与全身长的比值会增加．跟踪训练4 解(1)t1×m＋t1×n＝1⇒t1＝，t2＝＋＝.(2)t1－t2＝－m＋n2mn＝m＋n2,2mnm＋n)＝－m－n2,2mnm＋n)<0，故t1<t2，即甲先到达B地．当堂训练1．a＋c>b＋d 2.M>N3．解－(1＋a)＝.①当a＝0时，＝0，∴＝1＋a.②当a<1且a≠0时，>0，∴>1＋a.③当a>1时，<0，∴<1＋a.综上所述，当a＝0时，＝1＋a；当a<1且a≠0时，>1＋a；当a>1时，<1＋a.。

2018年高一数学北师大版必修五达标练习：第3章 §1-1.1 不等关系 1.2 不等关系与不等式 Word版含解析

[A 基础达标]1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( )A ．A ≤BB ．A ≥BC ．A BD ．A >B解析：选B.因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝⎛⎭⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B .2．已知a 1bB ．ab <1 C.a b >1 D ．a 2>b 2 解析：选D.由a b 2，故选D.3．如果log a 3>log b 3，且a ＋b ＝1，那么( )A ．0<a 0，所以0<a <1，0log b 3，所以lg 3lg a >lg 3lg b. 所以lg a <lg b ．所以0<a a 2D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D.由1a <1b<0，得b <a <0.所以A ，B ，C 均正确，但|a ＋b |＝|a |＋|b |，故选D. 6．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，每种邮票至少买两套，则用不等式表示上述不等关系为________．解析：设买票面8角的x 套，买票面2元的y 套，由题意列不等式组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，0.8×5x ＋2×4y ≤50.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N＋，2x ＋4y ≤25.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，2x ＋4y ≤257．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M ，N 的大小关系是________．解析：因为0<a <1b，所以1＋a >0，1＋b >0，1－ab >0，所以M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab （1＋a ）（1＋b ）>0，即M >N . 答案：M >N8．若m >2，则m m 与2m 的大小关系是________．解析：因为m m 2m ＝⎝⎛⎭⎫m 2m，又m >2，所以m 2>1，所以⎝⎛⎭⎫m 2m >1，又2m >0，故m m >2m . 答案：m m >2m9．(1)已知a b ，1a <1b，求证：ab >0. 证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab＝（b ＋a ）（b －a ）ab，因为a 0，ab >0，所以（b ＋a ）（b －a ）ab<0，故b a <a b. (2)因为1a <1b ，所以1a －1b<0，即b －a ab<0，而a >b ，所以b －a <0，所以ab >0.10．某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8 000元，学生用机每台3 500元；高级机房教师用机每台11 500元，学生用机每台7 000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？解：设该校拟建的初级机房有x 台计算机、高级机房有y 台计算机，则⎩⎪⎨⎪⎧0.8＋0.35（x －1）＝1.15＋0.7（y －1），20≤0.8＋0.35（x －1）≤21，20≤1.15＋0.7（y －1）≤21，x ，y ∈N ＋，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，5567≤x ≤5857，271314≤y ≤29514，x ，y ∈N ＋. 因为x 、y 为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝56，y ＝28或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝58，y ＝29. 即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56、28或58、29台计算机．[B 能力提升]11．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c b >a >cB ．b >c >d >aC ．d >b >c >aD ．c >a >d >b解析：选A.因为a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，所以a ＋d ＋(a ＋b )>b ＋c ＋(c ＋d )，即a >c .所以b <d .又a ＋c b >a >c .12．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b 的大小关系为________．(a ，b ∈R ，且a ≠b )解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b ＝[a ·a －(－b )·b ]－[a ·b －(－a )·b ]＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2>0(因为a ≠b )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a >⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b . 答案：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a >⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b 13．甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮1 000 kg ，乙每次购粮用去1 000元钱，谁的购粮方式更合算？解：设两次粮食的价格分别为a 元/kg 与b 元/kg ，且a ≠b .则甲采购员两次购粮的平均单价为1 000（a ＋b ）2×1 000＝a ＋b 2元/kg ，乙采购员两次购粮的平均单价为2×1 0001 000a ＋1 000b＝2ab a ＋b 元/kg. 因为a ＋b 2－2ab a ＋b ＝（a ＋b ）2－4ab 2（a ＋b ）＝（a －b ）22（a ＋b ），又a ＋b ＞0，a ≠b ，(a －b )2＞0，所以（a －b ）22（a ＋b ）＞0，即a ＋b 2＞2ab a ＋b. 所以乙采购员的购粮方式更合算．14．(选做题)设f (x )＝ax 2＋bx ，1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解：法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1，所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故f (－2)的取值范围是[5，10]．法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －bf （1）＝a ＋b，得⎩⎨⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]b ＝12[f （1）－f （－1）]，所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故f (－2)的取值范围是[5，10]．。

北师大版高中数学必修五同步练测：3.1不等关系(含答案解析).docx

高中数学学习材料唐玲出品§1 不等关系（数学北京师大版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分） 1.如果c ＜b ＜a ,且ac ＜0，那么下列不等式中不一定成立的是（）A.ab ＞acB.c (b -a )＞0C. ＜D.ac (a -c )＜02.若1a <1b<0，则下列不等式：①a +b <ab ； ②|a |>|b |；③a b ，则下列不等式成立的是（）A. 1a <1bB.a 2>b 2C. 21a c +>21b c + D.a |c |>b |c |4. 已知1，2∈(0，1)，记M ＝12，N12-1，则M 与N 的大小关系是( )A .M ＜NB .M ＞NC .M =ND .不确定二、填空题(每小题5分，共20分)5.若1＜α＜3，＜β＜2，则α |β|的取值范围是_____________.6．已知a >b >0，c <d <0，则b ac -与a b d-的大7．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc ad >0，则c a db>0； ②若ab >0，c a db>0，则bc ad >0； ③若bc ad >0，c a db>0，则ab >0.其中正确命题的个数是 .8.设命题p ：若a ＞b ，则1＜ 1，q ：若1＜0，则ab ＜0.给出以下三个复合命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧q .其中真命题有 ____________ (填序号). 三、解答题(共60分) 9．（12分）已知f （x ），若1≤f （1）≤2，2≤f （2）≤3，求f （3）的范围.10．（12分）已知实数,,满足，，试比较,,的大小.11.（12分）已知a，b，c是不全相等的正数，求证：12．(12分) 已知，，.求证：，，不能都大于14.13.（12分）若二次函数y=f（x）的图像关于y轴对称，且1≤f（1）≤2，3≤f（2）≤4，求f（3）的范围.§1 不等关系（数学北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6． 7． 8．三、解答题9.10.11.12.13.§1 不等关系（数学北京师大版必修5）参考答案一、选择题1 .C 解析：∵ c ＜b ＜a ，ac ＜0，∴ c ＜0，a ＞0.∴ b ＞c ⇒ab ＞ac ，∴ A 正确. ∵ b -a ＜0，∴ c (b -a )＞0，∴ B 正确. ∵ a ＞c ，∴2＜2；又当b =0时22，∴ C 不一定成立.∵ ac ＜0，a -c ＞0，∴ ac (a -c )＜0.2.B 解析：∵ 1a <1b<0，∴ b <a <0，∴ a +b <0<ab ，|b |>|a |，∴ a 2b ，c 2+1>0，∴ 21a c +>21bc +.4. B 解析：M N121211121 ，∵1，2∈(0，1)，∴1121)＞0，∴ M ＞N .二、填空题5.-3＜α-|β|＜3 解析：∵ -4＜β＜2，∴ 0≤|β|＜4.∴ -4＜-|β|≤0.∴ -3＜α-|β|＜3.6.b ac - a b d- 解析：由题意知 a >b >0， c > d >0， ∴ a c b d 0，∴ 0 1a c - 1b d -.∵ a b 0，∴ b a c - ab d-.7. 3 解析：由bc ad 0得bc ad ，又ab 0，∴ bc ab ad ab ，即c a d b，∴0，故①正确；由，，得ab( ) 0，即bc-ad 0，故②正确；由 >0，得bc ad ab->0，∵ ，∴ ，故③正确.8. ② 解析：∵ p 为假命题，q 为真命题，∴ p ∨q 为真命题.三、解答题9. 解法1：整体代换令f （3）=9a +b = ，则49,1,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得5,38.3m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即.因为1≤a +b ≤2，2≤4a +b ≤3，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193]. 解法2:巧妙换元令a +b =x ，4a +b =y ，则a =y x -，b =4x y-，1≤x ≤2，2≤y ≤3.因为f （3）=9a +b =853y x-，6≤8y 5x ≤19，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193].解法3：增元换元令2,01,34,01,a b t t a b s s =++≤≤⎧⎨=++≤≤⎩解得1,3453t s a t s b -+⎧=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩.因为0≤t ≤1，0≤s ≤1，且f （3）=9a +b =58143t s -+，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193].10.解：4 42= 2 2≥0，∴ c ≥b .又6 4 3 2，①4 4 2，②由①-②得2 2 22，即12.∵ 12= 12 234 ＞0，∴ 12＞a ，∴ b ＞a ，∴ c ≥b a .11．证明：∵ （b-c ）2≥0，∴ b 2+c 2-2bc ≥0，即b 2+c 2≥2bc.又a >0，∴ a （b 2+c 2）≥2abc .同理b （c 2+a 2）≥2abc ，c （a 2+b 2）≥2abc .∵ a ，b ，c 不全相等，∴ 以上三个式子中至少有一个式子取不到等号. 故12. 证明：假设（1-a ）b14，（1-b ）c 14，（1-c ）a 14，由（1a - b ）2≥0，展开得(1)2a b -+≥(1)a b ->12. 同理可得(1)2b c -+>12，(1)2c a -+>12.∴ (1)2a b -++(1)2b c -++(1)2c a -+>32，即32>32，矛盾. ∴ 原结论成立.13. 解：设f （x ）=ax 2+c （a ≠0），又∵ f （3）=9a +c ，故设λ1f （1）+λ2f （2）=f （3），则有121249,1,λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得125,38,3λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ f （3）=8(2)5(1)3f f -.∵ 1≤f （1）≤2，3≤f （2）≤4， ∴ 5≤5f （1）≤10，24≤8f （2）≤32. ∴ 14≤8f （2） 5f （1）≤27. ∴143≤8(2)5(1)3f f -≤9，即143≤f （3）≤9.。

高中数学北师大必修五课件：第3章§1-1.1不等关系1.2不等关系与不等式

不等式第三章不等式§1不等关系1. 1不等关系1. 2不等关系与不等式研读•思考•尝试脅新匍提炼'1.不等式的有关概念(1)用数学符号〉、V、M、W、H连接两个数或代数式，形成不等关系的式子叫作不等式.(2)2 •实数的运算性质与大小顺序之间的关系a>0oa > b；a—b=Ooa = b；a—b<0^>a b<^b <a.⑵传递性：a>b9 b>cna > c・⑶可加性：a>方Oa+c > b+c・⑷可乘性：a>b9 c>0wc > be a>b9 cV0=>ac V be.⑸加法法则：a>b9 c>d=^a^c > b+d.⑺乘方法则：a>b>O=^a n> b,l(n^^.(8)开方法贝!h a>〃>0=/〈仏 > 第(//EN+)・旳自我尝试,判断(正确的打“ J ”，错误的打“X”)⑴实数a不大于一2,用不等式表示为X)(2)不等式x^2的含义是指x不小于2.( J ) ⑶若或a=b之中有一个正确，则aWb正确.(' )(4)若a>b,则ac>bc —定成立.(X )(5)若a+c>b+d,则a>b, c>d.(X )某工厂在招标会上，购得甲材料兀吨，乙材料丿吨，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120吨，则小J应满足的不等关系是（）A. x+j>120 C・X+J^120答案：C B・ x+j<120 D・兀+yW120»=&+训，Q=\Ja+b,则P与0的大小关设a，b>0, f 系是() A. P^Q c・P>QB. PWQD. P<Q解析：选C.P2=(yJa^\[b)2=a+b^2\[ab9 Q2 = (y[a+b)2 =a + 仅因为a, b>0,所以P>°2•所以p>°.Q已知a>b>c9且a+方+c=0,则b2-4ac的值的符号为解析:为a+b+c=O,所以b = -(a-\-c)9所以b2=a2-\-c2+2ac.所以b1—4ac=a1+c1—2ac = (a—c^. 因为a>c,所以(a—c)2>0.所以b2—4ac>0f即b2-4ac的符号为正.答案：正1.对利用不等式的性质证明不等式的说明⑴不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数b 有a—b>Ona>b； a—b=O=>a=b； a_b<Qna<b・这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.(2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱.条件和结论之间的相互联系・2.运用不等式的性质判断不等式是否成立时要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，更不要想当然地运用一些不存在的性质.探究案▲讲练互动 -解惑「探究：突破探究点1用不等式（组）表示不等关系■1 配制A, B 两种药剂，需要甲，乙两种原料.已知配一剂A 种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B 种药需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克，乙料25克，若4, B 两种药至少各配一剂，设儿B 两种药分别配小J 剂（小JGN ）,请写出X, Qi, jeN.y 所满足的不等关系. 3x+5j^20,【解】根据题意可得S 5x+4yW25,x^l, x^N,QUEUES!（1）将不等关系表示成不等式（组）的思路①读懂题意，找准不等关系所联系的量;②用适当的不等号连接;③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示. （2）用不等式（组）表示不等关系时应注意的问题在用不等式（组）表示不等关系时，应注意, 可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个（或几个）量之间不能用不等式（组）来表示•1 •雷电的温度大约是28 000 °C,比太阳表面温度的4・5倍还要高.设太阳表面温度为t °C,那么/应满"跟踪训练足的关系式是.解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5 f<28 000.答案：4.5/<28 000.探究点2作差（商）法比较两数（式）的大小（1）当兀W1时，比较3/与3X 2-X +1的大小•⑵当兀，J, ZWR 时，比较5X 2+J 2+Z 2与2初+4X +2Z —2的大小.比较下列各式的大小:・I +X —H E W H E M ^ 6W (I —X )(I +H E )1O ■I w x 氷E (I—X)+(HE—H H +—H(2)因为5X2+J2+Z2—(2xy+4x+2z—2)=4x2—4x+l+x2—2xy +j2+z2—2z+l = (2x—l)2+(x—j)2+(z—1)2^0,所以5x2 + j2 +z22xy+4x+2z—2,当且仅当x=j=|Kz=l时取到等号.(1)作差法的一般步骤①作差；②变形：常采用配方、因式分解等变形手段，将“差” 化成积；③定号：就是确定作差的结果是大于0,等于0,还是小于0；④得出结论，其中"定号”是目的，“变形”是关键.(2)作商法的一般步骤比较两代数式的大小时，若两式均为积的形式且同号，可釆用作商法比较，其步骤为作商一变形一判断(与1比较大小).y跟踪训练2•已知a >〃 >0,试比较a a b b与a b b a的大小.解：因为需=严・厂=［卽一0, 因为a>方>0,所以a—b>09 |>1, 所以^~b>lf 故泅>/胪・探究点3不等式的基本性质働3⑴以下结论一定能推出a<b的是() A. (a—b)a2<0B・a2<b21 1C.市D. ac<bc(2)若bc—ad^O, bd>0.求证：年岂W号£【解】⑴选A.对于A项，显然a2>0,必有ad；对于B项，a2<b2^\a\<\b\f当a, b均为负值时,有a>b；对于C项,若a>0, b<0,有〉#，但不能推出aS 对于D项，若c<0,显然有(2)证明：因为bc—adMQ,所以adWbc, 因为加>0,所以彳奇，所以舒1奇+1,所以字W字(1)运用不等式的性质判断真假的技巧①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质；②解决有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注简单，便于验证计算・(2)利用不等式的性质证明不等式的注意事项①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则."跟踪训练3.(1)已知a+b>0, b<0,那么a, b,—b的大小关系是()A・a>b>——b>——a B. a>——b>——a>b C・a>——b>b>——a D・a>b>——a>——b (2)已知a>b>09 c<J<0, e<0,求证：土為解：⑴选c・法一：因为A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，所以可用特殊值法.令a=29 b = — l9则有2>-(-1)>-1>-2,艮卩a>——b>b>——a.法二：因为b<09所以a>—b>09—a<b<09所以a>—b>O>b>—a9艮卩a>——b>b>——a.(2)证明：因为c<d<0.所以一c>—d>09又因为a>b>09所以« + (—c)>b+(—d)>0,即a—c>b—d>09所以又因为e<0,所以土>青・探究点4 利用不等式的性质求代数式的取值范围已知12<a<60, 15V方V36,求a~b和彳的取值范围. 【解】因为15VX36, 所以一36 V—b<—15.因为12<tz<60,所以12—36Va—bV60—15.所以一24 Va—b<45 ・占,所以喙鈴所以扌V#V4.1 d所以一24Va—方V45, 3＜方＜4・本例条件不变，试求3a_2b的取值范解：因为12<tz<60, 15VDV36，所以36<3tz<180, -72V-2bV-30・所以一36V3a-2〃V150・利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范4・(1)若1 VoV3，-4</?<2,则a+\p\的取A. (-3, 5)B. (-3, 7)值范围是（)C. (1, 7)D. (1, 5)r2r3⑵设小丿为实数，满足4W；W9,贝欣的最大值是解析：（1）因为一4</?<2,所以0W〃V4, Xl<a<3,所以1 <a+\p\<l.故选C・(2)由4得16W》W81.又3^XJ2^8,所以診古所以2W$W27.所以孑的最大值是27.答案：(1)C (2)27♦ ♦素I 團團因 ♦典例已知a, Q0,试比较与仞芦的大小. a — b b —a=a 2 b 2思想方法分类讨论思想在比较两代数式大小中的应用【解】 a a b b(ab) a —b①若a=b＞0,贝|||=1, a—b=09/、所以彳—=1＞所以Q*=(ab)罟;②若a"＞0,则彳＞1, a—b＞o,由指数函数的性质, 可知囱呼＞1,所以曲＞(血)字；③若0<a<b9则0<|<1, a—b<09由指数函数的性质，/、可知切呼>4所以胪>3)进综上所述，a"bG(ab)进比较两代数式的大小时不论是作差法还是作商法比较大小，在对变形后的式子进行判断时，由于式中含有字母取值不同会导致结果不同的应进行分类讨论，分类时应做到不重不漏.♦ ♦当堂检测♦♦ 1-■■■■■■I1.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩班单位：分）不低于95,文化课总分y （单位:分）高于380,体育成绩z （单位: 分）超过45,用不等式组表示为（）x^95B. \y>380、&45 貯95D ・ \y>380 2>45皆95 A, &380 2>45 (x>95 C.y>380lz>45解析：选D•“不低于”即“高于”即“〉”“超过”兀$95,即“>”，所以丁>380,Z>45・2・若加工2且兀工一19则M=m2^rn2—4/n+2n的值与一5的大小关系为（A・M>—5)B・M<-5C. M=-5D.不确定解析：选A.因为加工2, n^ — l9所以M=(/w—2)2 + (// + 1)2—5>—5・3.已知">b>c,则七+匕+匕的值为_________________________ (填“正数”“非正数” “非负数”)・解析：因为a>b>c9所以a—b>09 b—c>09 a—c>b—c>0.所以b-严a—c'b—c，1 11>0, —c^a-b+b~c~a所以乙+1c+：为正数.—a答案：正数4.已知1 <a<29 3<b<49求下列各式的取值范(1)2伉+加(2)a-b； (3)|. 解：⑴因为1 <a<2,所以2<2a<4・又3Cv4,所以5<2a+b<&⑵因为3<b<4,所以一4v—b<—3・又\<a<l.所以一3<a—b<—1.⑶因为3C V4,所以押弓.又l<a<2, 所以摇岭本部分内容讲解结束。

2019-2020高中北师版数学必修5第3章 §1 1.1 不等关系 1.2 不等关系与不等式课件PPT

3x＋5y≤20， 5x＋4y≤25， x≥1，x∈N＋， y≥1，y∈N＋.
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(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等关系所联系的量； ②用适当的不等号连接； ③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示． (2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．
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[解] (1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－ 1)＝(3x2＋1)(x－1)．
因为 x≤1，所以 x－1≤0，而 3x2＋1>0.所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以 3x3≤3x2－x＋1.
(2)因为 5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋ y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以 5x2＋y2＋z2≥2xy ＋4x＋2z－2，当且仅当 x＝y＝12且 z＝1 时取到等号．
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(2)不等式的性质 ①对称性：若 a＞b，则 b＜a；若 b＜a，则 a＞b. ②传递性：若 a＞b，b＞c，则 a＞c. ③同向可加性：若 a＞b，c＞d，则 a＋c＞b＋d. ④同向的可乘性：若 a＞b＞0，c＞d＞0，则 ac＞bd. ⑤乘方法则：若 a＞b＞0，则 an＞bn(n∈N＋，且 n≥2)．
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1．如果 a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是( )
A．1a＜1b
B．－a＜ b
C．a2＜b2
D．|a|＞|b|
A [A 正确，B、C、D 可举反例排除，如对 B、C，设 a＝－9，

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[A 基础达标]
1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( )
A ．A ≤B
B ．A ≥B
C ．A B
D ．A >B
解析：选B.因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)
＝⎝⎛⎭⎫a －b 22
＋34
b 2≥0，所以A ≥B .
2．已知a 1b
B ．ab <1 C.a b >1 D ．a 2>b 2 解析：选D.由a b 2，故选D.
3．如果log a 3>log b 3，且a ＋b ＝1，那么( )
A ．0<a 0，
所以0<a <1，0log b 3，所以lg 3lg a >lg 3lg b
. 所以lg a <lg b ．所以0<a <b <1.
4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣
⎡⎦⎤0，π2，则2α－β3的范围是( ) A.⎝⎛⎭
⎫0，56π B ．⎝⎛⎭⎫－π6，56π C ．(0，π) D ．⎝⎛⎭
⎫－π6，π 解析：选D.0＜2α＜π，0≤β3≤π6，所以－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6
＜2α－β3
＜π. 5．若1a <1b
<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2a 2
D ．|a |＋|b |>|a ＋b |
解析：选D.由1a <1b
<0，得b <a <0.所以A ，B ，C 均正确，但|a ＋b |＝|a |＋|b |，故选D.
6．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，每种邮票至少买两套，则用不等式表示上述不等关系为________．
解析：设买票面8角的x 套，买票面2元的y 套，
由题意列不等式组，得
⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，0.8×5x ＋2×4y ≤50.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，2x ＋4y ≤25.
答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，2x ＋4y ≤25
7．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b
，则M ，N 的大小关系是________．解析：因为0<a <1b
，所以1＋a >0，1＋b >0，1－ab >0，所以M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab （1＋a ）（1＋b ）
>0，即M >N . 答案：M >N
8．若m >2，则m m 与2m 的大小关系是________．
解析：因为m m 2m ＝⎝⎛⎭⎫m 2m
，又m >2，所以m 2
>1，所以⎝⎛⎭⎫m 2m >1，又2m >0，故m m >2m . 答案：m m >2m
9．(1)已知a b ，1a <1b
，求证：ab >0. 证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab
＝（b ＋a ）（b －a ）ab
，因为a 0，ab >0，
所以（b ＋a ）（b －a ）ab
<0，故b a <a b
. (2)因为1a <1b ，所以1a －1b
<0，
即b －a ab
<0，而a >b ，所以b －a <0，所以ab >0.
10．某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8 000元，学生用机每台3 500元；高级机房教师用机每台11 500元，学生用机每台7 000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？
解：设该校拟建的初级机房有x 台计算机、高级机房有y 台计算机，则
⎩⎪⎨⎪⎧0.8＋0.35（x －1）＝1.15＋0.7（y －1），20≤0.8＋0.35（x －1）≤21，20≤1.15＋0.7（y －1）≤21，x ，y ∈N ＋
，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，
5567≤x ≤5857，271314≤y ≤29514，x ，y ∈N ＋. 因为x 、y 为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝56，y ＝28或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝58，y ＝29. 即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56、28或58、29台计算机．
[B 能力提升]
11．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c b >a >c
B ．b >c >d >a
C ．d >b >c >a
D ．c >a >d >b
解析：选A.因为a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，所以a ＋d ＋(a ＋b )>b ＋c ＋(c ＋d )，即a >c .所以b <d .又a ＋c b >a >c .
12．若规定⎪⎪
⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b 的大小关系为________．(a ，b ∈R ，且a ≠b )
解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a －⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a －a b b ＝[a ·a －(－b )·b ]－[a ·b －(－a )·b ]＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2>0(因为a ≠b )，
所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a >⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a －a b b .
答案：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a >⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a －a b b 13．甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮1 000 kg ，乙每次购粮用去1 000元钱，谁的购粮方式更合算？
解：设两次粮食的价格分别为a 元/kg 与b 元/kg ，且a ≠b .
则甲采购员两次购粮的平均单价为
1 000（a ＋b ）2×1 000
＝a ＋b 2元/kg ，乙采购员两次购粮的平均单价为
2×1 0001 000a ＋1 000b
＝2ab a ＋b 元/kg. 因为a ＋b 2－2ab a ＋b ＝（a ＋b ）2－4ab 2（a ＋b ）＝（a －b ）2
2（a ＋b ）
，又a ＋b ＞0，a ≠b ，(a －b )2＞0，
所以（a －b ）22（a ＋b ）＞0，即a ＋b 2＞2ab a ＋b
. 所以乙采购员的购粮方式更合算．
14．(选做题)设f (x )＝ax 2＋bx ，1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解：法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，
则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，
于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1，所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．
又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，
所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，
故f (－2)的取值范围是[5，10]．
法二：由⎩
⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b f （1）＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]
b ＝12[f （1）－f （－1）]
，所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．
又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，
所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，
故f(－2)的取值范围是[5，10]．。