高中数学必修二 第一章 立体几何初步章末知识整合 [苏教版]

【金版学案】-高中数学 第一章 立体几何初步章末知识整合 苏教版
必修2 一、函数与方程思想的应用
如图，已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其中有一个高为x 的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？
解析：(1)设圆柱的底面半径为r ，则它的侧面积为S ＝2πrx ，
由r R ＝H －x H ，解得：r ＝R －R H
x ， 所以：S ＝2πRx －2πR H x 2.
(2)由(1)知：
S ＝2πRx －2πR H x 2＝－2πR H ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －H 22＋12
πRH . ∴当x ＝H 2
时，圆柱的侧面积最大．
规律总结：1.函数、方程历来都是高考考查的重点内容，它可以与高中教学的多个知识点有机结合，已成为高考永恒的热点．
2．最值问题转化成二次函数是立体几何与代数相结合的典范，应体会此方法的应用技巧．
►变式训练
1．一个圆台的上、下两底面面积分别是π和49π，一个平行于底面的截面的面积为25π，则这个截面与上、下两底面的距离之比是________．
解析：圆台上、下两底面半径比为1∶7，截面与底面的半径比为 5∶7，圆台扩展为圆锥，轴截面如右图，
所以h 2＋h 3＝6h 1，h 2＝4h 1.
所以h3＝2h1.
这个截面与上、下底面的距离之比为2∶1.
答案：2∶1
2．圆锥的底面半径为2 cm，高为4 cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值．
分析：画出轴截面图，在平面中解决．
解析：如右图，为圆柱和圆锥的轴截面，设所求圆柱的底面半径为r，母线长为l，S 圆柱侧＝2π·lr.
∵r
2
＝
4－l
4
，∴l＝4－2r.
∴S圆柱侧＝2π·lr＝2π·r·(4－2r)
＝－4π(r－1)2＋4π≤4π.
∴当r＝1时，圆柱的侧面积最大且S max＝4π cm2.
二、转化与化归思想的应用
如下图，已知AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B 的任一点．求证：平面PAC⊥平面PBC.
分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可．
证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC.
又∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴PA⊥BC.
∵PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.又BC⊂面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC.
规律总结：1.证明面面平行或垂直，通常采用如下两种方法：①利用判定定理；②利用性质定理．无论用哪种方法证明，都是利用转化的思想方法，将面面关系转化为线线关系来证明，将空间问题转化为平面问题处理，体现了转化思想的实质——从高维到低维、从复杂到简单．
2．运用转化与化归的思想寻求解题思路时，常用如下几种策略：
(1)已知与未知的转化．由已知想可知，由未知想需知，通过联想，寻找解题途径；
(2)正面与反面的转化．在处理某一问题，按照习惯思维方式从正面思考而遇到困难，甚至不可能时，用逆向思维的方法去解决，往往能达到事半功倍的效果；
(3)数与形的转化．数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求；
(4)一般与特殊的转化，特殊问题的解决往往是比较容易的，可以利用特殊中内含的本质联系，通过归纳演绎，得出一般结论，从而使问题得以解决；
(5)复杂与简单的转化．把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则．
►变式训练
3．已知圆柱的高为5π，底面半径为23，轴截面为矩形A 1ABB 1，在母线AA 1上有一点P ，且PA ＝π，在母线BB 1上取一点Q ，使B 1Q ＝2π，则圆柱侧面上P 、Q 两点间的最短距离为________．
解析：如图甲，沿圆柱的母线AA 1剪开得矩形(如图乙)，过点P 作PE ∥AB 交BB 1于点E ，令PA ＝a ，B 1Q ＝b ，
则PE ＝AB ＝12
·2πR ＝πR ＝23π，QE ＝h －a －b ＝2π. ∴PQ ＝PE 2＋QE 2＝（πR ）2＋（h －a －b ）2＝4π.
答案：4π
4．如右下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.
证明：方法一过点M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足(如下图)，连接PQ.
∵MP∥AB，NQ∥AB，
∴MP∥NQ.又NQ＝
2
2
BN＝
2
2
CM＝MP.
∴MPQN是平行四边形．
∴MN∥PQ.又PQ⊂平面BCE，
而MN⊄平面BCE，∴MN∥平面BCE.
方法二过点M作MG∥BC，交AB于点G(如右图)，连接NG，∵MG∥BC，BC⊂平面BCE，MG⊄平面BCE，
∴MG∥平面BCE.
又BG
GA
＝
CM
MA
＝
BN
NF
，
∴GN∥AF∥BE.同样可证明GN∥平面BCE.
又MG∩NG＝G.
∴平面MNG∥平面BCE.
又MN⊂平面MNG，∴MN∥平面BCE.
三、整体思想的应用
一个长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长．解析：要求长方体对角线长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可．
设此长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，对角线长为l ，则由题意得：
⎩
⎪⎨⎪⎧2（xy ＋yz ＋zx ）＝11，4（x ＋y ＋z ）＝24. 由4(x ＋y ＋z )＝24得x ＋y ＋z ＝6，从而由长方体对角线性质得：
l ＝x 2＋y 2＋z 2＝（x ＋y ＋z ）2－2（xy ＋yz ＋zx ）
＝62－11＝5.
规律总结：1.整体性思维就是在探究数学问题时，应研究问题的整体形式、整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征作出整体性处理．整体思维的含义很广，根据问题的具体要求，需对代数式作整体变换，或整体代入，也可以对图形作整体处理．
2．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何证明等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形(体)等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．
►变式训练
5．如右下图，长方体三个面的对角线长分别是a 、b 、c ，求长方体对角线AC ′的长．
解析：设长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，由题意得：
对角线AC ′＝x 2＋y 2＋z 2，而⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2， ①x 2＋z 2＝b 2， ②y 2＋z 2＝a 2. ③
由①、②、③得：x 2＋y 2＋z 2＝
a 2＋
b 2＋
c 22，
所以对角线： AC ′＝x 2＋y 2＋z 2＝
12
2（a 2＋b 2＋c 2）. 6．如右下图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩余部分的体积为多少？
解析：将此几何体补上一个与其完全相同的几何体(如下图)，就成了母线长为a ＋b ，底面半径为r 的圆柱，要求的几何体的体积就是此圆柱体积的一半，所以，要求几何体的体积为：
V ＝12
πr 2(a ＋b )．。