广州第六中学2018-2019学年高一下学期数学期中考试

广州第六中学2018-2019学年高一下学期数学期中考试一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合21{0},{0}1x A xB x x x x +=<=-≤-,则A B ⋂=（ ） .{11}.{01}.{01}.{01}A x x B x xC x xD x x -≤≤≤≤≤≤≤< 2.设,a b R ∈，若0a b ->，则下列不等式正确的是（ ）3322.0.0.0.0Ab a B b a C a b D a b ->+>+<-<3.如右图，设A,B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50cm ，45,105ACB CAB ∠=︒∠=︒后，可以计算出A,B 两点的距离为（ ）.2A mB.52C.53D 4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1BD 的中点，则PAC 在该正方体各个面上的正投影（实线部分）可能是（ ）A.（1）（4）B.（1）（2）C.（2）（3）D.（2）（4） 5.下列各函数中，最小值为2的是（ ）211..sin ,0,..sin 2A y y x x C y y x x x π⎛⎫==+∈==+ ⎪⎝⎭6.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm 。

假若点B有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是（ ）A.6B.C.47.《九章算术》“竹九节”问题，现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共为32升，下面3节的容积共92升，则第4节的容积为（ ）升 1.2A 2.3B 5.6C .1D8.已知ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，)(),cos ,,cos m c C n a A →→=-=若m n →→，则cos A 的值为（ ）A B C .D 9.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1592588,6a a a b b b π=-++=，则4637sin1b b a a +-的值是（ ）1.2A 1.2B -C .D 10. 设数列{}n a 满足1122,11n n a a a +==-+。

记数列{}n a 的前n 项之积为n T ，则2018T = （ ）.1A .2B 1.3C 2.3D11.数列121231231,,,,,,...,,,,...,,...22333nn n n n 的前25项和为（ ）207.14A 209.14B 211.14C 106.7D12.已知定义域为R 的函数满足()()42f x f x =+，当[)0,2x ∈时，()[)[)2321,0,11,1,22{x x x x x f x --++∈⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=，设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为()*n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，若n S k <对任意的正整数n 均成立，则实数k 的取值范围为（ ）5544.,.,.,.,3333A B C D ⎛⎫⎡⎫⎛⎫⎡⎫+∞+∞+∞+∞ ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎢⎝⎭⎣⎭⎝⎭⎣⎭二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.若1,2,a b c a b →→→→→===+，且c a →→⊥，则a →与b →的夹角大小为（ ） 14.已知数列{}n a 的前n 项和为,31n n n S S =-，则数列{}n a 的通项公式为（ ） 15.在ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，则下列四个论断中正确论断的序号是（ ）（把你认为是正确的序号都写上）（1）若sin cos A B a b =，则4B π= （2）若,2,4B b a π===（3）若,,a b c 成等差数列，sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，则ABC 为正三角形 （4）若5,2,a c ABC ==的面积4ABCS=，则3cos 5B =16.已知数列{}n a 满足()*111,212,n n a a a n n N -==+≥∈，则数列()*29{}1n n n N a -∈+的最大值为（ ）三、解答题（本大题共6小题，满分70分。

解答题必须写出文字说明，证明过程和演算步骤）17.（本小题满分10分）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c,其中32,cos 5a B ==（1）若4b =，求sin A 的值 （2）若ABC 的面积4ABCS=，求,b c 的值18.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足341612,32a a a a +==且公比1q > （1）求{}n a 的通项公式（2）若n nnb a =，求{}n b 的前n 项和n T 19.（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。

该建筑物每年的能源消耗费用为C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()()01035kC x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。

设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（1）求K 的值及()f x 的表达式（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值 20.（本小题满分12分）已知函数()()s i n ,fx A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图像如图所示（1）求函数()f x 的解析式及其对称方程（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并求此时12x x +的值21.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*232n n S a n n n N =-+-∈（1）求证：数列{2}n a n +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式 （2）设()2lo g 22n n c a n =+-，数列{}n d 满足：()()()()341122n c n n n d c c n n ++=+++，数列{}n d 的前n 项和为n T，求使不等式1221009n n T ≥-成立的最小正整数n 22.（本小题满分12分）已知幂函数()()23122233p p f x p p x --=-+满足()()24f f <（1）求函数()f x 的解析式（2）若函数()()()[]2,1,9g x f x mf x x =+∈，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由（3）若函数()()3h x n f x =-+，是否存在(),a b a b <，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由。

广州第六中学2018-2019学年高一下学期数学期中考试答案 一、选择题1-5 DBCAA 6-10 BCDCD 11-12 BB 二、填空题 13.23π14.11,123,2{n n n n a -=∙≥= 15.（1）（3） 16.364三、解答题 17.解：（1）3cos 0,05B B π=><<（1分）（没写0B π<<扣1分）4sin 5B ∴==（2分） 由正弦定理sin sin a b A B =，得2sin 5A =（5分）（2）14sin 4525ABC S ac B c c ===∴=（7分）由余弦定理，2222cos 17b a c ac B b =+-=∴=10分）18.（1）16343232a a a a =∴=且343412,14,8a a q a a +=>∴==31*322,n n n q a a q n N --∴=∴==∈ （6分）（2）由（1）知12n n nb -=0121123...(1)2222n n n T -=++++ 123111231...(2)222222n n n n nT --=+++++（8分）（说明，会用错位相减法，但做错了的，也给2分） （1）-（2）得12311111111221 (212222222212)nn n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+++++-=-=--（10分）1242n n n T -+∴=-（12分）19.（1）设隔热层厚度为xcm,再由()08C =，得40k =（2分） 因此()4035C x x =+ 隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为()()()()1408002020660103535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++（6分） （2）()()8001600661010107035610f x x x x x =+=++-≥=++当且仅当()26101600x +=即5x =时取等号（11分）所以当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元（12分）20.（1）由图知，22,,2A T Tππω====（2分）由2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故2,32k k Z ππϕπ+=+∈ 所以2,6k k Z πϕπ=+∈ 又0,2πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以6πϕ=（3分） 故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4分）令262x k πππ+=+则()62k x k Z ππ=+∈（5分）所以()f x 的对称轴方程为()62k x k Z ππ=+∈（6分）（2）70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（7分）所以方程()23f x a =-有两个不等实根时，()y f x =的图像与直线23y a =-有两个不同的交点5123222a a ≤-<∴≤<（10分）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x =所以122266x x πππ+++=故123x x π+=（12分）21.（1）当1n =时，2112132a a =-+-得10a =，则12120(1)a +⨯=≠（1分）2232n n S a n n =-+-得()()21121312n n S a n n +-=--+--2n ∴≥时，12224n n n a a a n -=--+整理得，()()112241221(2)n n n a n a n a n --+=+-=+-⎡⎤⎣⎦（3分） 由（1）（2）得证数列{2}n a n +为等比数列，首项122a +=，公比为2（没有下结论扣1分）()112222,22n n n n n a n a a n -∴+=+⨯==-（5分）（2）()2log 222n n c a n n =+-=-()()()()2121122n n d n n n n -∴∙++=+++()()22111221212n n n d n n n n --∴=+=-+++++（8分）()()11121111112...2334121211112122222n n n n T n n n n --⎛⎫∴=-+-++-+⎪++-⎝⎭=-+-=-++ 112221009n n n ∴-≥-+得2016n ≥（11分） 所以，使得1221009n n T ≥-成立的最小整数n 的值为2016（12分） 22.（1）()f x 是幂函数2331p p ∴-+=，解得1p =或2p =当1p =时，()1f x x -=，不满足()()24f f < 当2p =时，()12f x x =，满足()()24f f <所以2p =，()12f x x =（3分）（2）令()[],1,9t f x x =∈，则[]1,3t ∈，记()[]2,1,3t t mt t ϕ=+∈ （i ）当12m -≤即2m ≥-时，()()min 110t m ϕϕ==+=，解得1m =-（ii ）当132m <-<即62m -<<-时，()2min 024m m t ϕϕ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得0m =（舍去）（iii ）当32m -≥即6m ≤-时，()()min 3390t m ϕϕ==+=，解得3m =-（舍去）综上所述，存在1m =-使得()g x 的最小值为0（7分） （3）()()3h x n f x n =-+=在定义域内为单调递减函数（8分）若存在实数(),a b a b <，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b 则()()(1)(2){h a n b h b n a == （9分）（1）-（2）()()33a b a b =-=+-+1(3)=（10分）将（3）代入（2），得1n a a =+=+令2190,2,224t a b t n t t ⎡⎫⎛⎤=<∴∈∴=--∈--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦（12分）。