1.1《平面直角坐标系》 课件(人教A版选修4-4)
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人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程
【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参 数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．
高中数学人教A版选修4-4课件：平面直角坐标系 (共31张PPT)
例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应 x 2 x 的图形经过伸缩变换: 后的图形。
y 3 y
x 2 x x 解：(1)由伸缩变换 y 3 y 得到 ； y
x (2)将 y 1 x 2 代入x2+y2=1， 1 y 3
例1 说出下 图中各点的极坐标 标出(2, π/6), (4, 3π/4),
2
5 6
C E D O B A
4
4 3
X
(3.5, 5π/3)
F
G
所在位置。
5 3
练习: 在图中标出点
5 H ( 3, ), P (4, ), Q(6, ) 6 2 3
2
5 6
P
C E D B A
四、课堂练习
4 1.已知极坐标 M (5, 3 ),下列所给出的
不能表示点M的坐标的是( C )
10 2 A、 (5, ) B、 ( 5, ) C、 (5, ) 3 3 3
8 D(5, ) 3
3 2.已知三点的极坐标为 A( 2, ), B( 2 , ), 2 4 O(0,0) ,则 ABO 为( D )
3 y tan , 4 x
。
即y x( y 0)
4 把极坐标方程 =sin+2cos 化为直角坐标方程。
解：因给定的不恒等于零, 得 ＝ sin 2 cos
2
化成直角坐标方程为 x2 y2 y 2x
1 2 5 即( x 1) ( y ) 2 4
例2：下图是某校园的平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当 的极坐标系,写出各点的极坐标。
人教A版高中数学选修4-4课件 极坐标系的概念(人教A 版)
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个.
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
人民教育出版社 高中/选修4-4
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
O°
x
° O
x•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”.
2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
- 人民教育出版社 高中/选修4-4
A( 4,0)
4
B(3, 56)
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
在极坐标系中解题。
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数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标：
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
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对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
O°
x
° O
x•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”.
2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
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A( 4,0)
4
B(3, 56)
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
在极坐标系中解题。
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数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标：
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：第一讲《坐标系》小结
在△OMB 中，同理 → |MB|＝ ρ2＋36－12ρcosθ. → → 由|MA|· |MB|＝36，得 (ρ2＋36)2－(12ρcosθ)2＝362. 即 ρ4＋72ρ2－144ρ2cos2θ＝0. 即 ρ2＝72(2cos2θ－1)＝72cos2θ. 所以，点 M 的轨迹的极坐标方程为 ρ2＝72cos2θ.
3．柱坐标系与球坐标系 (1)柱坐标系
一般地，如图，建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意 一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示 点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标， 这时点 P 的位置可用有序数组(ρ， θ， z)(z∈R)表示，这样我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间 的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有 序数组(ρ，θ，z)，叫做 P 的柱坐标，空间点 P 的直角坐标与柱坐 x＝ρcosθ， 标之间的变换公式为y＝ρsinθ， z＝z.
2ac (2)当 a≠c 时，方程可化为 x ＋y － x＝0，其轨迹是以 a－c
2 2
ac ac 2ac ( ，0)为圆心， 为半径的圆，但不包括点(0,0)和( ， a－c |a－c| a－c 0)．
【例 2】
x′＝2x， 在同一坐标系中， 经过伸缩变换 y′＝2y
后，
曲线 C 变为曲线(x－5)2＋(y＋6)2＝1，求曲线 C 的方程，并判 断是什么曲线．
高 考 真 题 【例 8】 在极坐标系中， 圆 ρ＝2cosθ 的垂直于极轴的两条切 线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和 ρcosθ＝2 π B．θ＝2(ρ∈R)和 ρcosθ＝2 π C．θ＝2(ρ∈R)和 ρcosθ＝ D．θ＝0(ρ∈R)和 ρcosθ＝1
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-1第一讲-坐标系
【分析】
解决这一问题的关键，在于确定遗址 W 与地下管
线 m 的位置关系， 即求出 W 到直线 m 的距离 d 与 100 米进行比较．
【解】 依题意，以 A 点为原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴和 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．如下图．
则 A(0,0)，B(－1 000,0)，由|AW|＝400，得
∴水面与抛物线拱顶相距 3 5 3 |y|＋ ＝ ＋ ＝2(m)． 4 4 4 即水面上涨到与抛物线形拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航．
【例 2】 用解析法证明：任意四边形两组对边中点连线及两 对角线中点连线三线共点，且互相平分．
【证明】 如下图所示，建立直角坐标系．设四边形各点的坐 标分别为 A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，(d，e)．
2 2 2 2 2
1 1 ∴λ＝3，μ＝2. 1 x′＝3x， ∴ y′＝1y， 2 1 即将椭圆 4x ＋9y ＝36 上的所有点的横坐标变为原来的 ，纵 3
2 2
1 坐标变为原来的 ，即可得到圆 x′2＋y′2＝1. 2
规律技巧
求满足图象变换的伸缩变换， 实际上是让我们求出
变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数 可得．
2．坐标法的应用 (1)坐标法的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建 立平面上的点和坐标之间的一一对应，从而建立曲线的方程，并通 过方程研究曲线的性质． (2)坐标法解决几何问题的“五步骤”： ①建立适当的平面直角坐标系，设动点 M(x，y)； ②根据题设条件，找出动点 M 满足的等量关系式；
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
第一讲 一 平面直角坐标系
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＝3x2＋3y2－ 3ay＋54a2＝3x2＋3y－ 63a2＋a2≥a2， 当且仅当 x＝0，y＝ 63a 时，等号成立． ∴所求的最小值为 a2，此时 P 点的坐标为 P0， 63a，即为正三角形 ABC 的中心．
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∴xy′′＝＝23yx，， 即将圆 x2＋y2＝1 上所有点横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标变为原来的 2 倍，可得椭圆x′9 2＋y′4 2＝1.
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探究四 平面直角坐标系下的轨迹问题
已知
的顶点 A 是定点,边 BC 在定直线 l 上滑动,
,BC
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合理建立坐标系的作用 合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立的合理，可以简 化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，反之，将会带来 计算的烦琐，结果也不明确．
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2.如图所示，某村庄 P 处有一堆肥料，今要把此堆肥料沿道路 PA 或 PB 送到呈矩形的一块田地 ABCD 中去，已知 PA＝100 m，PB＝150 m， BC＝60 m．∠APB＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一 侧的点沿道路 PA 送肥料较近，而另一侧的点沿 PB 送肥料较近？如 果能，请说明这条界线是什么曲线，并求出它的方程．
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[自主梳理]
1．平面直角坐标系 正方向
(1)数轴一：一规对定应了原点，
和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)
法一：由△ABC 是直角三角形可知|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，即 (2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得 x2＋y2＝a2.依题意可知， x≠± a. 故所求直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2＝a2(x≠± a)． 法二：由△ABC 是直角三角形可知 AC⊥BC，所以 kAC·BC k y y ＝－1，则 · ＝－1(x≠± a)，化简得直角顶点 C 的轨迹方 x＋a x－a 程为 x2＋y2＝a2(x≠± a)． 法三：由△ABC 是直角三角形可知|OC|＝|OB|，且点 C 与点 B 不重合，所以 x2＋y2＝a(x≠± a)，化简得直角顶点 C 的轨迹方 程为 x2＋y2＝a2(x≠± a)．
[悟一法]
求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过 “坐标”转化成代数关系，得到对应的方程． (1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→ 检验．
(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要
检验轨迹的纯粹性和完备性． (3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同， 解题时要善于从多角度思考问题．
解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．
2．平中的任意一点，在变换
x′＝λ· x，λ＞0， φ： y′＝μ· y，μ＞0
的作用下， P(x， 点 y)对应到点 P′(x′，
y′)， φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 称 简称伸缩变换．
变换后得到双曲线
x′2－y′2＝1，求曲线 C 的方程．
解：设曲线 C 上任意一点 P(x，y)，通过伸缩变换后的对应点 1 3x′＝x x′＝3x， 为 P′(x′，y′)，由 得 2y′＝y y′＝1y. 2 x y 代入 x′2－y′2＝1 得(3)2－(2)2＝1， x2 y2 即 9 － 4 ＝1 为所求．
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周期为( (A)
2
)
(B)π
(C)2π
（D）3π
1 x = x， 【解析】选B.由 2 得 y=3y.
x=2x, 代入曲线y=sinx，得 1 y= 3 y.
y′=3sin2x′，即y=3sin2x，故周期为π.
6.将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标
8.平面直角坐标系中，在伸缩变换φ : 下仍是其本身的点为_______.
x=x ( 0, 1)
y=y ( 0, 1)
作用
【解析】设P（x,y）在伸缩变换φ： x=x ( 0) 作用下得到 y=y ( 0)
P′(λx,μy)，依题意得 x=x , 其中λ＞0,μ＞0,λ≠1，
缩短到原来的 1 ,得到的曲线方程为(
3
)
(A)F（ x ,3y）=0
2
(B)F(2x, y )=0
3
(C)F(3x, y )=0
2
(D)每小题8分，共24分） 7.点A(2,-3),B(-1,1)之间的距离为_______. 【解析】由两点间的距离公式得|AB| = [2-(-1)]2 +(-3-1) 2 =5. 答案：5
2.动点P到直线x+y-4=0的距离等于它到点M（2，2）的距离， 则点P的轨迹是( )
（A）直线
（C）双曲线
（B）椭圆
（D）抛物线
【解析】选A.由于点M（2，2）在直线x+y-4=0上，而|PM|等 于P到直线x+y-4=0的距离，所以动点P的轨迹为过点M垂直于 直线x+y-4=0的直线.
点在曲线 y= k 上,则k=(
x
) （D）-2 010
（A）1
（B）-1
（C）2 010
【解析】选B.∵P(-2 009,2 010)，
-2 009 x = 2 010 代入 y= k 得k=x′y′=-1. ∴ ， x y= 2 010 2 009
1 x = x 5.将正弦曲线y=sinx按伸缩变换 2 后得到曲线的方程的 y=3y
标系，则B(40,0)，以点B为圆
心，30为半径的圆的方程为 (x-40)2+y2=302,台风中心移动 到圆B内时，城市B处于危险区， 台风中心移动的轨迹为直线y=x，与圆B相交于点M、N,点B到
直线y=x的距离 d= 40 =20 2, 求得|MN|= 2 302 -d 2 =20 (km),
2
器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称
轴，M（0，64 ）为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D
7
（8，0），观测点A（4，0），B（6，0）同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天 器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.已知△ABC中,A(4,-3),B(5,-2),重
心G(2,-1),则点C的坐标为( （A）(-3,2) )
（B）(3,-2)
（C）(2,-3)
（D）(-2,3)
2 2
【解析】选A.设点C(x,y),线段AB的中点 D( 9 ,- 5 ) , 依题意得 GC=2DG ,
y=y
μ≠1,
∴x=y=0,即P(0,0)为所求.
答案：（0，0）
9.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风 中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则 城市B处于危险区内的时间为_______.
【解析】以A为坐标原点，AB所 在直线为x轴，建立平面直角坐
∴ |MN| =1，所以城市B处于危险区的时间为1 h .
20
答案：1 h
三、解答题（共40分） 10.（12分）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=2sin3x?
【解析】设P(x,y)为正弦曲线y=sinx上任意一点,保持横坐标
x不变,将纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线y=2sinx,在此基 础上将横坐标缩小到原来的 1 ,得到曲线y=2sin3x.
【解析】（1）设曲线方程为 y=ax 2 +
7
64 , 7
因点D（8，0）在抛物线上，∴ a=- 1 , ∴曲线方程为 y=- 1 x 2 + 64 .
7 7
3.在同一平面直角坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线 y=sinx的伸缩变换是( )
x=3x 1 =sin3x，令 【解析】选C.由曲线y=2sin3x，得 y 1 ， 2 y= 2 y
得y′=sinx′，即y=sinx.
1 x = x 4.若点P(-2 009,2 010)经过伸缩变换 2 010 后所得的 y= 1 y 2 009
3
11.（14分）已知△ABC的两个顶点B（-2，0），C（2，0），
顶点A在抛物线y=x2+1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程.
【解析】
12.（14分）学校科技小组在计算机上 模拟航天器变轨返回试验.设计方案如 图，航天器运行（按顺时针方向）的
x 2 y 2 ,变轨（即航天 轨迹方程为 + =1 100 25