2.1《曲线与方程》课件(方彦明)
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曲线与方程 课件
(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②
设 AB 的中点为 P(x，y)，则在①②中分别有
x＝x1＋2 x2＝1－1 k2，
③
y＝y1＋2 y2＝1－k k2，
④
又对②应满足：
kΔ2＝－41k≠2－0 4×－2k2×k2－1>0
y1＋y2＝1－2kk2>0
，
y1·y2＝12－k2k2>0
解得 22<k<1.结合③④，则有 x>2，y> 2. 所以所求轨迹方程是 x2－y2－x＝0(x>2，y> 2)．
又因为 x21＋(y1－3)2＝9， 所以 4x2＋4(y－32)2＝9，
即 x2＋(y－32)2＝94(去掉原点)．
『规律总结』 1.求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量 取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上； 求曲线的方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所 求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．
2．判断点P是否在曲线C上，只需将点P的坐标代入C的方程，若成立，则P在C上，否则P不在C 上．
曲线方程与其他数学知识的交汇问题
(1)曲线的方程探求中，在给出的条件中刻画条件关系时，常用其他部分的知识来表达．如数列、 集合、函数、平面向量等．
(2)平面向量既有数的特点又有形的特点，因而它与解析几何的联系尤为密切．如平行关系可用向 量共线关系来表示，垂直关系可用向量垂直的关系来表示．
[思路分析] 从“曲线的方程”和“方程的曲线”两方面判断．
[规范解答] 直接法：原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线l上的点，则M点的坐标适合方 程F(x，y)＝0”，其逆否命题即“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线l上”， 故选C．
曲线与方程 课件
(3)由(x－2)2＋ y2－4＝0，得
x－2＝0， y2－4＝0，
∴yx＝＝22，
或xy＝ ＝2－，2.
因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).
1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配 方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性 质作出准确判定.
在 Rt△ABC 中，斜边长是定长 2a(a＞0)，求直角顶点 C 的轨迹方 程.
【精彩点拨】 (1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3) 化简出的方程是否为所求轨迹方程？
【自主解答】 取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点， 过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系， 则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y). 由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 所以( x＋a2＋y2)2＋( x－a2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2. 由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a. 所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).
1.求曲线方程的一般步骤 (1)建系设点； (2)写几何点集； (3)翻译列式； (4)化简方程； (5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如 有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列 出曲线方程.
(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方 程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距 离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋ y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线 上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
课件5：2.1.1 曲线与方程
答案:y=-x+2(0≤x≤2)
解析:线段 AB 所在直线方程易求为 y=-x+2.
当表示线段时,0≤x≤2,
∴图示中对应的曲线方程为 y=-x+2(0≤x≤2).
.
2.1.1
曲线与方程
目标导航
预习引导
一
二
课前预习导学
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
2.1.1
曲线与方程
2.1.1
曲线与方程
目标导航
学习目标
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
预习引导
1.能记住曲线与方程的概念.了解曲线与方程的对应关系.
2.会分析曲线和方程的关系.
重点难点
课前预习导学
重点:曲线与方程的概念.
难点:曲线与方程的关系.
2.1.1
曲线与方程
目标导航
课前预习导学
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
预习引导
曲线的方程,方程的曲线
如果曲线 C 上点的坐标(x,y)都是方程 f(x,y)=0 的解,且以方程
f(x,y)=0 的解(x,y)为坐标的点都在曲线 C 上,那么,方程 f(x,y)=0 叫做曲
预习引导
一
二
课前预习导学
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
三
三、已知方程画曲线
活动与探究
如图,图形的方程与图中曲线的方程对应不正确的是
曲线与方程(第1课时)教学课件
第30页
（二）作图探究 生成概念 • “结构化”
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
第31页
（二）作图探究 生成概念
（三）正反实例 应用概念
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
那么曲线 C 是方程 F 的曲线．
第32页
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
第33页
（三）正反实例 应用概念
（三）正反实例 应用概念
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
数形结合 思想
应用概念
转化与化归
难点及突破策略
01 内容和内容解析 具体体现在：
02 目标和目标解析 03 教学问题诊断
（1）用蕴含数学文化的广告创设情境，并将 “章头图”、“章导言”融入其中， 产生认知冲突，感悟学习曲线与方程的必要性；
04 教学支持条件 05 教学过程设计
（2）让学生经历“作图—存异—质疑—寻因”的探究过程，感知方程的变化带来 曲线的变化，曲线的差异导致方程的差异，再通过“独立书写—交流讨论— 互动修正”生成概念；
第26页
（二）作图探究 生成概念 • 归纳概括
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
（二）作图探究 生成概念 • “结构化”
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
第31页
（二）作图探究 生成概念
（三）正反实例 应用概念
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
那么曲线 C 是方程 F 的曲线．
第32页
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
第33页
（三）正反实例 应用概念
（三）正反实例 应用概念
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
数形结合 思想
应用概念
转化与化归
难点及突破策略
01 内容和内容解析 具体体现在：
02 目标和目标解析 03 教学问题诊断
（1）用蕴含数学文化的广告创设情境，并将 “章头图”、“章导言”融入其中， 产生认知冲突，感悟学习曲线与方程的必要性；
04 教学支持条件 05 教学过程设计
（2）让学生经历“作图—存异—质疑—寻因”的探究过程，感知方程的变化带来 曲线的变化，曲线的差异导致方程的差异，再通过“独立书写—交流讨论— 互动修正”生成概念；
第26页
（二）作图探究 生成概念 • 归纳概括
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
曲线与方程 课件
[解] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方
程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点 A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行 于y轴的直线的方程．
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程 xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积 一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程 不是xy＝5.
()
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
解析：设 P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得 x＋22＋y2＝2 x－12＋y2， 整理得 x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.所以点 P 的轨迹是以(2,0) 为圆心，2 为半径的圆，则其面积是 22·π＝4π. 答案：B
3．若点 P(2，－3)在曲线 x2－ky2＝1 上，则实数 k＝________. 解析：将点 P(2，－3)代入曲线方程得 4－9k＝1，∴k＝13. 答案：13
曲线与方程
曲线与方程
[提出问题] 在平面直角坐标系中： 问题 1：直线 x＝5 上的点到 y 轴的距离都等于 5，对吗？
提示：对．
问题 2：到 y 轴的距离都等于 5 的点都在直线 x＝5 上，对吗？
提示：不对，还可能在直线 x＝－5 上． 问题 3：到 y 轴的距离都等于 5 的点的轨迹是什么？
曲线的方程与方程的曲线的概念
[例 1] 分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线与方程|x|＝2 之间的关系； (2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程 xy＝5 之间的关系； (3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程 x＋y＝0 之间 的关系．
曲线与方程 课件
正解：该命题为假命题．因为以方程 y＝ 1－x2的解为坐标的 点都在圆上，但圆上的点的坐标不都适合方程，故圆的方程不是 y ＝ 1－x2.
2．定义中两个条件的理解 (1)“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有 坐标不满足方程的点(纯粹性)． (2)“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合 条件的所有的点都在曲线上毫无遗漏(完备性)． 定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一 条曲线是否为所给定方程的曲线的准则，缺一不可．因此，在证明 f(x，y)＝0 为曲线 C 的方程时，必须证明两个条件同时成立．
2．曲线的方程与方程的曲线的实质是什么？
【答案】定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程 f(x， y)＝0 的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．
要点阐释 1．曲线与方程的概念的理解 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念，在“曲线的方 程”这一概念中，强调的是图形所满足的数量关系；而“方程的曲 线”这一概念中，所强调的是数量关系表示的图形．
错解：真命题．因为以方程的解为坐标的点都在圆上．
பைடு நூலகம்
错因分析：判断曲线和方程的对应关系，必须注意两点：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解 多”；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解 不比点多”．只有曲线上的点和方程的解之间具有一一对应关系时 曲线才是方程的曲线，方程才是曲线的方程．在本例中判断曲线的 方程时，两个条件缺一不可．方程 y＝ 1－x2表示的曲线是以原点 为圆心，半径为 1 的在 x 轴上方(含 x 轴上的两个点)的半圆弧．
自学导引
1．在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的 集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下 的关系：
2．定义中两个条件的理解 (1)“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有 坐标不满足方程的点(纯粹性)． (2)“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合 条件的所有的点都在曲线上毫无遗漏(完备性)． 定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一 条曲线是否为所给定方程的曲线的准则，缺一不可．因此，在证明 f(x，y)＝0 为曲线 C 的方程时，必须证明两个条件同时成立．
2．曲线的方程与方程的曲线的实质是什么？
【答案】定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程 f(x， y)＝0 的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．
要点阐释 1．曲线与方程的概念的理解 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念，在“曲线的方 程”这一概念中，强调的是图形所满足的数量关系；而“方程的曲 线”这一概念中，所强调的是数量关系表示的图形．
错解：真命题．因为以方程的解为坐标的点都在圆上．
பைடு நூலகம்
错因分析：判断曲线和方程的对应关系，必须注意两点：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解 多”；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解 不比点多”．只有曲线上的点和方程的解之间具有一一对应关系时 曲线才是方程的曲线，方程才是曲线的方程．在本例中判断曲线的 方程时，两个条件缺一不可．方程 y＝ 1－x2表示的曲线是以原点 为圆心，半径为 1 的在 x 轴上方(含 x 轴上的两个点)的半圆弧．
自学导引
1．在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的 集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下 的关系：
课件5：2.1.1 曲线与方程的概念
知识梳理
1.点的轨迹方程 一般地，一条曲线可以看成 ____动__点__依__某 又常称为_____满__足__某__种__条__件_______的点的轨迹方程．
2．曲线的方程与方程的曲线的定义 (1)在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0 之间具有如下关系： ①_曲__线__C_上__点__的__坐__标__都__是__方__程__F__(x_，__y_)_＝__0_的__解___； ②_以__方__程__F_(_x_，__y_)＝__0_的__解__为__坐__标__的__点__都__在__曲__线__C__上___. 那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y) ＝0叫做曲线C的方程．
2.1.1 曲线与方程的概念
情境导入 我国著名的数学家华罗庚先生对数形结合思想非常重视， 他曾经说过：数缺形来少直观，形缺数则难入微．可见， 数形结合是中学数学非常重要的数学思想．在必修2解 析几何初步中我们已经学过了直线和圆的方程，对数形 结合思想有了初步的了解，本节内容我们将进一步学习 曲线与方程的概念，了解曲线与方程的关系，进一步体 会数形结合思想的应用.
名师点评 在曲线的方程的定义中，曲线上的点与方程的解之间 的关系①和②缺一不可，而且两者是对曲线上的任意 一点以及方程的任意一个实数解而言的．从集合的角 度来看，设A是曲线C上的所有点组成的点集，B是所有 以方程F(x，y)＝0的实数解为坐标的点组成的点集，则 由关系①可知A⊆B，由关系②可知B⊆A；若同时具有关 系①和②，就有A＝B.
x≤0，
或y≥0， －x＋y＝1
作出图形如图 D.
【答案】D
方法总结 1.判断方程表示的曲线，要对方程适当变形，变形过 程中要注意与原方程的等价性，常见的变形方法有因 式分解、讨论、配方等方法．另外特别要注意：可以 通过对方程的分析得出曲线的范围、组成、与坐标轴 的交点、单调性、对称性等特征信息，如果可能则做 出它的图形(可以是草图)，结合图形分析．
曲线与方程 课件
思考：(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点”，会出现什么情况？举例说明．
(2)如果曲线 C 的方程是 f(x，y)＝0，那么点 P(x0，y0)在曲线 C 上的充要 条件是什么？
[提示] (1)会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程 y＝ 1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆．
2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．
用直接法(定义法)求曲线方程
[探究问题] 1．求曲线方程为什么要首先“建立适当的坐标系”？如何建系？
提示：只有建立了平面直角坐标系，才能用坐标表示点，才能把曲线看 成满足某种条件的点的集合或轨迹．建立坐标系时，应充分利用图形的几何 性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴 为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．
[解] 设 P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|. 则|8－x|＝2 x－22＋y－02， 化简，得 3x2＋4y2＝48， 故动点 P 的轨迹方程为 3x2＋4y2＝48.
2．(变条件)若本例题改为“已知圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的 任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．”如何求解？
[规律方法]
代入法求轨迹方程的步骤
(1)分析所求动点与已知动点坐标间关系；
(2)用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点；
(3)代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程．
代入法求轨迹方程
例 3、已知圆 C 的方程为 x2＋y2＝4，过圆 C 上的一动点 M 作平行于 x 轴的直
线 m，设 m 与 y 轴的交点为 N，若向量O→Q＝O→M＋O→N，求动点 Q 的轨迹方程．
[解]设点 Q 的坐标为(x，y)，点 M 的坐标为(x0，y0)，则点 N 的坐标为(0，y0)． 因为O→Q＝O→M＋O→N，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)，则 x0＝x，y0＝2y. 又点 M 在圆 C 上，所以 x20＋y20＝4，即 x2＋y42＝4. 所以，动点 Q 的轨迹方程是x42＋1y62 ＝1.
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(2)设点M 1的坐标( x1 , y1 )是方程xy k的解， 即x1 y1 k , 即 x1 y1 k
而 x1 , y1 正是点M 1到纵轴、横轴的距离， 因此点M 1到两条直线的距离的积是常数k , 点M 1是曲线上的点。
由(1),(2)可知，xy k是与两条坐标轴的距离。 的积为常数k (k 0)的点的轨迹方程。
例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.
证明： 如图，设M ( x0 , y0 ) (1) 是轨迹上的任意一点， 因为点M 与x轴的距离为 y0 , 与y轴的距离为 x0 , 所以 x0 y0 k , 即( x0 , y0 ) 是方程xy k的解。
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程
y kx b 为____________
2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的
x-y=0 直线方程是______________
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
( x a) ( y b) r 为_______________________.
f ( x0 , y0 ) 0
x 2 y 2 25
分析特例、归纳定义
定义：给定曲线C与二元方程f（x，y）=0， 若满足 • （1）曲线上的点坐标都是这个方程的解 • （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点 那么这个方程f（x，y）=0叫做这条曲 线C的方程，这条曲线C叫做这个方程的曲 线
曲线和方程
甘肃省卓尼县柳林中学方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程 为____________ 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的 直线方程是______________ 3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程 为_______________________.
2011年11月，我国发射的神州八号飞 船与天宫一号目标飞行器成功实现对接、 分离、再对接这一过程，并且神州八号飞 船成功返回，这标志着我国航天事业飞速 发展，中国成为第三个掌握空间交会对接 技术的国家。身为中国人，我们感到非常 自豪。神州八号飞船与天宫一号目标飞行 器能准确实现对接，这其中的原理和我们 今天要学习的知识有一定的关系。
2 2 2
解决例题、巩固定义 B 例1、（1）点 A （1，-2），（2，-3）， 2 C（3，10）是否在方程 x xy 2 y 1 0 表示的曲线上？为什么？
（2）已知方程为 x y 25 的圆过 点 M ( 7, m) ，求实数 m的值？
2 2
如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点P（x0,y0） 在曲线C上的充要条件是
归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解； 第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.