第1章(新)

目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 s.t.
的缩写，含义为“最大化”； “ s.t.”是“ subject to ”的缩写， 表示 “受限制于、满足于…… ” 。 因此，上述模型的含义是：在给定 条件限制下，求使目标函数z达到最大 的x1 ,x2 的取值。
x1 + 2x2 ≤ 8
B是由A中m个线性无关列向量 pj 构成 的矩阵。
a11，a12，‥，a1m B= ……………… am1，am2，‥，amm = ( p1 ，p2 ，‥，pm )
基 设A为m×n的矩阵，n>m，秩为m。若B是A中 m×m的一个非奇异子矩阵（ B ≠0），则称B为 线性规划的一个基。
基向量 pj 组成B 的向量，共m个。 非基向量 A中除B 之外的向量，共n-m个。 基变量 与基向量 pj 对应的变量,共m个。 非基变量 与非基向量对应的变量，共n-m个
4
例3 Max z = 2x1 + 3 x2
x1 + 2x2 ≤ 8 4x1
当约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≥ bi 可以在不等式左端减去一个新的非负剩 余变量xn+1 ，使它等于约束右边与左边之 差。 xn+1 = (ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn) – bi 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn – xn+1 = bi
5
1.4 线性规划解的概念
Max f = 3x1 – 5x2’ + 5x2” – 8x3 + 7x4
2x1 – 3x2’ +3x2” + 5x3+ 6x4+x5 4x1 + 2x2’ - 2x2” + 3x3 - 9x4 -6x2’ + 6x2” - 2x3 - 3x4 -x6 = 28 = 39
第一章 线性规划及单纯形
(Linear Programming LP )
本章重点
线性规划模型与解的主要概念 单纯形法求解线性规划的方法与步骤 线性规划应用——建模
§1 线性规划问题及其数学模型
1.1 问题的提出 例1 工厂生产 Ⅰ、Ⅱ 两种产品，根
这是一个典型的利润最大化的生产计划问 题。设 x1 , x2 分别为Ⅰ、Ⅱ 两种产品的产 量， Z 为利润
s.t.
x1
≥1
小结 1）用一组决策变量x1 ， x2 ，… ， xn 表示 某一方案，一般变量为非负。 2）存在一定的约束条件，用一组线 性等式或不等式表示。 3）有一个要达到的目标（最大或最 小），用决策变量的线性函数表 示。
0.8x1 + x2 ≥ 1.6
x1
≤2
x2 ≤ 1.4 x1 ，x2 ≥0
工厂1
处理污水成本 1000元／万m3 ，每天排污 2 万m3 ，到工厂2时有 20％自然净化。 工厂2 处理污水成本 800元／万m3 ，每天排污 1.4 万m3 。 要求河水中污水含量 ≤ 0.2％ 。
根据排污量
x1 ≤ 2 ， x2 ≤ 1.4
目标函数 Min Z = 1000 x1 + 800 x2
据现有资源，如何安排生产获利最大？ Ⅰ 设备（台时） 原料 A(kg) 原料 B(kg) 利 润 1 4 0 2 Ⅱ 2 0 4 3 资源限制 8 16 12
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 Z = 2 x1 + 3 x2
其中，“Max”是英文单词“Maximize”
例 将以下线性规划问题转化为标准形式
Min z = - 3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 ≤ 28 4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4 ≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4 ≤ - 58 x1 , x3 , x4 ≥ 0 , x2 无非负限制
基(本)解
非零分量的个数不大于m
m n
基本解依靠上述算法就可求得 基本解的总数 ≤ C
分 量 的 数 值
基(本)可行解
各分量满足非负条件的基本解
6
可行解
基本可行解 最优解 基本解
§2. LP的几何意义 2.1 基本概念 凸集 设k 是n维欧氏空间的一个点集，若任意两 点 x(1)∈k,x(2)∈k 的连线上的一切点 αx(1) + (1-α) x(2) ∈k （ 0 ≤α≤1）； 则称k 为凸集。
例如 一段直线，凸多边形，实心球体等。 但是，环形、有孔的实体、有凹的实体都不是 凸集
可行基 对应于基本可行解的基 退化的基本解 非零分量的个数小于m
2.约束条件不是等式的问题：
设约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以在不等式左端加入一个新的非负松 弛变量xn+1，使它等于约束右边与左边之差 xn+1 =bi – (ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+ xn+1 = bi
1.3 O.R问题的标准型 目标函数 Max ， Min 约束条件 ≤ ，≥ ，＝ 决策变量 一般为非负，也可以取（∞, －∞) 标准型式 Max Z ＝ c1x1 +c2 x2 + ‥ + cn xn
a11 x1 ＋ a12x2 ＋ ‥ ＋ a1n xn ＝ b 1
‥ ‥‥‥‥‥‥‥‥
am1 x1 ＋ am2x2 ＋ ‥ ＋ amn xn ＝ b m
称这个解 x 为一个基(本)解。
⎛a11⎞ ⎛a12 ⎞ ⎛a1m⎞ ⎛b1 ⎞ ⎛a1m1 ⎞ ⎛a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ +⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ M ⎟x1 + ⎜ M ⎟x2 +L ⎜ M ⎟xm = ⎜ M ⎟-⎜ M ⎟xm+1-L⎜ M ⎟xn ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ + ⎝ m1⎠ ⎝ m2⎠ ⎝ mm ⎠ ⎝ m⎠ ⎝ mm1⎠ ⎝ mn⎠
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12
x1 , x2 ≥0
1Leabharlann 例2 求化工厂每天处理污水的费用最小？
工厂1 500万m3 200万m3 ● ● 工厂2
设工厂1每天处理污水量为x1万m3 ， 工厂2每天处理污水量为x2万m3 。 根据0.2％的约束有： （2－x1 ）／500 ≤ 0.2％
［0.8（2－ x1 ）＋ （1.4－ x2）］／700 ≤ 0.2％
A的秩为 m ,n > m ,有无穷多解。移项
令所有非基变量 xm+1 = xm+2 ‥ ‥= xn = 0 可以得到m个关于基变量x1 ，x2 ，…，xm的线性 方程,用高斯消去法解这个线性方程组,可求出 基变量的值，并得到一个x 的解。
x = (x1′，x2′，…，xm′, 0 ,‥ ,0 )T
熟悉下列一些解的概念 可行解、可行域 最优解、最优值 基、基向量、非基向量 基变量、非基变量 基本解、基本可行解
-x7 = 58
x1 , x2’ , x2” , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ≥ 0
Max z = CX （1.4) （1.5) s.t . AX = b X≥0 （1.6) 可行解 — 满足上述约束条件（1.5)和（1.6)的 标准形式 解。 最优解 — 满足（1.4) 式的可行解 。 最优值 — 满足（1.4) 式的z 值。
⎛a11⎞ ⎛a12⎞ ⎛a1m⎞ ⎛a1m1 ⎞ ⎛a1n⎞ ⎛b ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ +⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ L L ⎜M ⎟x +⎜M ⎟x2+ +⎜M ⎟xm+⎜ M ⎟xm+1+ +⎜ M ⎟xn =⎜M ⎟ 1 ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ + 1 ⎝ m1 ⎝ m2 ⎠ ⎠ ⎝ mm ⎝ mm⎠ ⎠ ⎝ mn ⎝ m⎠ ⎠
解：首先，将目标函数转换成极大化： 令 f = -z = 3x1 – 5x2 – 8x3 + 7x4 ； 其次考虑约束，有3个不等式约束，引 进松弛变量（剩余变量）x5 ,x6 ,x7 ≥0 ； 由于x2 无非负限制，可令x2=x2’-x2”, 其中 x2’ ≥ 0，x2” ≥ 0 ； 由于第3个约束右端项系数为-58，于 是把该式两端乘以-1 。 于是，可以得到以下标准形式的线性 规划问题：
Xj≥ 0 规定 bi ≥ 0
3
标准型的几种书写形式 (1) 简写形式
Max z = ∑ cjxj
j =1 n
（2）向量形式
Max z = CX
∑
j =1 n
pjxj = b
∑ aijxj = bi i= 1,2,‥,m
j =1
n
xj ≥ 0 j = 1,2, ‥,n
xj ≥ 0 j = 1,2, ‥,n
(2)有无穷多个最优解，若例1中 Z = 2x1 + 3x2 → Z = 2x1 + 4x2 x1 + 2x2 ≤ 8 平行 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1 , x2 ≥0
Q2
(3)无界解，有可行解，但原问题无最优解
(4)无可行解，若例1中增加一个约束，出现无 可行域的情况，称可行域为空集，则原问题无 可行解，也无最优解。
Max Z = 2x1 + 3x2 -2x1 + 4x2 ≥ 4 增加 x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x 1 , x2 ≥ 0