2016年秋季新苏教版选修1-2：第1章 常用逻辑用语 1.3.1 量词课件

何一个有理数的平方能等于 3，
所以命题“∃x∈Q，x2＝3”为假命题. (2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0； 解 因为x>0，y>0，所以x2＋y2>0， 所以“∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0”为假命题.
解析答案
(3)∃x∈R，tan x＝1；
π π 解 当 x＝4时，tan 4＝1， 所以“∃x∈R，tan x＝1”为真命题.
(4)∃x∈R，lg x＝0.
解 当x＝1时，lg 1＝0，所以“∃x∈R，lg x＝0”为真命题.
解析答案
题型三
全称命题、存在性命题的应用
例3 (1)若命题p：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，求实数a的取值范围；
解析答案
跟踪训练3
(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
答案
知识点二
存在量词和存在性命题
(1)存在量词： “有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词 在逻辑中称为存在量词 ，并用符号“ ∃ ”表示. (2)存在性命题：含有存在量词的命题称为 存在性命题 .存在性命题“存 在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为 ∃x∈M，p(x) ，读作 “存在M中的元素x，使p(x)成立”.
求实数a的取值范围； 解 关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
7 7 解得 a≥4，∴实数 a 的取值范围为[4，＋∞).
解析答案
(2)若命题 p： 1－sin 2x＝sin x－cos x 是真命题，求实数 x 的取值范围.
解析答案
所以“每个指数函数都是单调函数”是真命题.
题型二
存在量词与存在性命题
例2 判断下列存在性命题的真假：
(1)∃x∈Z，x3<1； 解 ∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， ∴“∃x∈Z，x3<1”是真命题. (2)存在一个四边形不是平行四边形； 解 真命题，如梯形. (3)有一个实数α，tan α无意义； π 解 真命题，当 α＝2时，tan α 无意义.
解
由 1－sin 2x＝sin x－cos x，
得 sin2x＋cos2x－2sin xcos x＝sin x－cos x，
∴ sin x－cos x2＝sin x－cos x，
即|sin x－cos x|＝sin x－cos x， ∴sin x≥cos x.
π 5π 结合三角函数图象得，2kπ＋4≤x≤2kπ＋ 4 (k∈Z)，此即为所求 x 的取值 范围.
解析答案
π (4)∃x∈R，cos x＝2. π 解 ∵当 x∈R 时，cos x∈[ －1,1] ，而2>1， π ∴不存在 x∈R，使 cos x＝2， π ∴“∃x∈R，cos x＝2”是假命题.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2
试判断下列存在性命题的真假：
(1)∃x∈Q，x2＝3；
解 由于使 x2＝3 成立的数只有± 3，而它们都不是有理数，因此没有任
Hale Waihona Puke 跟踪训练1 解试判断下列全称命题的真假：
(1)∀x∈R，x2＋1≥2；
由于∀x∈R，都有x2≥0， 因而有x2＋1≥1，所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题.
(2)任何一条直线都有斜率； π 解 当直线的倾斜角为2时，斜率不存在， 所以“任何一条直线都有斜率”是假命题.
(3)每个指数函数都是单调函数. 解 无论底数a＞1或是0<a<1，指数函数都是单调函数，
重点突破
自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
全称量词和全称命题
(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在 逻辑中称为 全称量词 ，并用符号“ ∀ ”表示. (2)全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对M中任意 一个x，有p(x)成立”可用符号简记为 ∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M， 有p(x)成立”.
答案
思考 答案
(1)在全称命题和存在性命题中，量词是否可以省略？ 在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量
词可以省略. (2)全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？
答案
元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何
图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的
π 5π 即 p：∀x∈[2kπ＋4，2kπ＋ 4 ](k∈Z)，有 1－sin 2x＝sin x－cos x 是真命题.
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2 1.下列命题是全称命题的个数为________. ①任意一个自然数都是正整数； ②有的等差数列也是等比数列； ③三角形的内角和是180°. 解析 ①③是全称命题.
所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为
“∀x∈N，x≥0”.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 全称量词与全称命题 例1 试判断下列全称命题的真假：
(1)∀x∈R，x2＋2>0； 解 由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，
所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题.
(2)∀x∈N，x4≥1； 解 由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，
所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.
解析答案
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 解 由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立.
所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题.
反思与感悟
解析答案
解析答案
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④ 2.下列命题中，不是全称命题的是________.
①任何一个实数乘以0都等于0；
②自然数都是正整数；
③每一个向量都有大小；
④一定存在没有最大值的二次函数. 解析 ④是存在性命题.
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② 3.下列存在性命题是假命题的是________. ①存在x∈Q，使2x－x3＝0； ②存在x∈R，使x2＋x＋1＝0； ③有的素数是偶数； ④有的有理数没有倒数.
第1章
1.3 全称量词与存在量词
1.3.1 量 词
学习 目标
1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义， 熟悉常见的全称量词和存在量词.
2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符
号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.
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