【小初高学习]2018年高考数学一轮复习 专题38 空间几何体的表面积和体积教学案 文

专题38 空间几何体的表面积和体积1.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．1.柱、锥、台和球的表面积和体积高频考点一求空间几何体的表面积例1、(1)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A．1＋ 3 B．1＋2 2C．2＋ 3 D．2 2(2)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8(3)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 答案 (1)C (2)B (3)12＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.(3)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1， ∴斜高h ′＝12＋32＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.【感悟提升】空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．【变式探究】(2016·全国Ⅲ卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A.18＋365B.54＋18 5C.90D.81答案 B高频考点二 求空间几何体的体积例2、(1)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D.1＋26π (2)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A.3B.32C.1D.32所以VA －B 1DC 1＝13×3×3＝1.答案 (1)C (2)C【变式探究】(2015·课标全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15答案 D 解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A-A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15.选D.高频考点三 求简单几何体的体积例3、在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3C.5π3D ．2π答案C该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝1111111111111111A AB D A A B D BCD ABCDA B C D ABCD A A B D V V V V V -----=-5π3，故选C. 【变式探究】(1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的体积等于( )A.4π3B.32π3 C ．36πD.256π3(2)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23B.33C.43D.32答案 (1)B (2)A解析 (1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12，如图所示，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BCH ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A.【感悟提升】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．高频考点四 与球有关的切、接问题例4、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210 C.132 D ．310答案 C解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，【感悟提升】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．【变式探究】如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( )A.22B ．1 C. 2 D. 3答案 C∴(x2)2＋(x2)2＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1， ∴S 矩形ABB 1A 1＝2×1＝ 2.1. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和 2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ． 2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C3.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16 B.13 C.12D. 【答案】A【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC -，其体积111111326V =⋅⋅⋅⋅=，故选A.4.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）18+（B）54+（C）90 （D）81【答案】B5.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A）1233+π（B ）133+π（C ）136+π（D ）16+π【答案】C6.【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是.正视图33【解析】由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为，底面边长为2,2，所以，该三棱锥的体积为1122132V =⨯⨯⨯=. 7.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.【答案】72 32【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72⨯⨯+⨯⨯-⨯=1.【2015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+【答案】D2.【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r =2，故选B.3.【2015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 、13π+B 、23π+ C 、 123π+ D 、223π+【答案】A【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A .4.【2015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）俯视图侧(左)视图A．2+．4+ C．2+．5 【答案】C5.【2015高考安徽，理7】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A）1（B）2 （C）1+（D）【答案】B6.【2015高考新课标2，理9】已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．7.【2015高考山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A ）23π （B ）43π （C ）53π（D ）2π 【答案】C8.【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ） A.38cm B. 312cm C.3323cmD. 3403cm【答案】C.【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，如下图所示，∴体积3322231223=⨯⨯+=V ，故选C.1．（2014·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图1­2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )图1­2A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B2．（2014·全国卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4【答案】A【解析】如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE ＝12AC ＝ 2.设球心为O ，球的半径为R ，则OE ＝4－R ，OA ＝R ，又知△AOE 为直角三角形，根据勾股定理可得，OA 2＝OE 2＋AE 2，即R 2＝(4－R )2＋2，解得R ＝94，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝81π4.3．（2014·陕西卷）已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.32π3 B ．4π C ．2π D.4π3【答案】D4．(2013年高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5603 B.5803C ．200D ．240 解析：由三视图可得该几何体是上、下底面均为矩形，左、右侧面均为等腰梯形的多面体，如图所示，故体积V ＝12×(2＋8)×4×10＝200.答案：C5.(2013年高考广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4 B.143C.163 D ．6解析：由四棱台的三视图可知，台体上底面积S 1＝1×1＝1，下底面积S 2＝2×2＝4，高h ＝2，代入台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143.答案：B6.(2013年高考全国新课标卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π答案：A7.(2013年高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为半径r ＝1的半球体，表面积为底面圆面积加上半球面的面积，所以S ＝πr 2＋2πr 2＝3π. 答案：3π1.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则主视图中的x 的值是( )A.2B.92C.32D.3 解析 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S 底＝12(1＋2)×2＝3.∴V ＝13x ·3＝3，解得x ＝3.答案 D2.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1＋ 3B.2＋ 3C.1＋2 2D.2 2解析 四面体的直观图如图所示.3.答案 B3.如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB ＝2PN ，则三棱锥N －PAC 与三棱锥D－PAC 的体积比为( )A.1∶2B.1∶8C.1∶6D.1∶3＝13S △ABC ·(PP ′－NN ′)＝13S △ABC ·13PP ′ ＝19S △ABC ·PP ′，V 三棱锥D －PAC ＝V 三棱锥P －ACD ＝13S △ACD ·PP ′， 又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴S △ABC ＝S △ACD ，∴V 三棱锥N －PAC V 三棱锥D －PAC ＝13.故选D. 答案 D4.若某一几何体的主视图与左视图均为边长是1的正方形，且其体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )解析 若俯视图为A ，则该几何体为正方体，其体积为1，不满足条件.若俯视图为B ，则该几何体为圆柱，其体积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫122×1＝π4，不满足条件.若俯视图为C ，则该几何体为三棱柱，其体积为12×1×1×1＝12，满足条件.若俯视图为D ，则该几何体为圆柱的14，体积为14π×1＝π4，不满足条件.答案 C5.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.解析 设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.答案 77.已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________.答案 43π 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.解析 由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱和底面半径为1，高为1的半圆锥拼成的组合体.∴体积V ＝π×12×2＋12×13π×12×1＝136π. 答案 136π 7.圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示，若r ＝1，则该几何体的体积为________.解析 根据三视图中的主视图和俯视图知，该几何体是由一个半径r ＝1的半球，一个底面半径r ＝1、高2r ＝2的14圆锥组成的，则其体积为V ＝43πr 3×12＋13πr 2×2r ×14＝5π6. 答案 5π68.四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形.∴FG ∥EH .同理，EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形.又∵AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形.9.已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在主视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长.所以S表＝2πa2＋4πa2＋πa2＝(2＋5)πa2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图.则PQ＝AP2＋AQ2＝a2＋（πa）2＝a1＋π2，所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a1＋π2.。