《等比数列的前n项和》习题
【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第二章《等比数列前n项和的示解》练习题(含答案)
第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解A 级 基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）43．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1934．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .B级能力提升1．在等比数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2 B.13(2n－1)2C．4n－1 D.13(4n－1)2．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．3．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和T n.第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解（参考答案）一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16， 所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127. 答案：C2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）4解析：因为a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6（1－9n ）1－9＝3（9n －1）4.答案：D3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15解析：由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n >0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 解析：因为a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，所以q 2＝2，所以a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.答案：2407．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．解析：法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.答案：158．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1 121 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，故S 1＝1，S n2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ，所以S n ＝n2n －1，综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ， 所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n 。
等比数列的前n项和公式专题练习(解析版)
等比数列的前n 项和公式一、单选题 1．（2021·内蒙古宁城·高三月考（文））已知{}n a 是等比数列，若12a =，528a a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 为（ ） A ．22n - B ．121n +- C ．122n +- D ．21n -【答案】C 【分析】设公比为q ，根据528a a =求得公比，再利用等比数列前n 项和的公式即可得出答案. 【详解】 解：设公比为q ，因为528a a =，所以3528a q a ==，所以2q ，所以()12122212nn n S +⨯-==--.故选：C.2．（2021·河北·高三月考）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S =，810S =，则{}n a 的公比为( ) A．1 B C ．2 D ．4【答案】B 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】因为42S =，810S =，{}n a 为正项等比数列，所以4845678412344S S a a a a q S a a a a -+++===+++，解得q 故选：B ．3．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =，378S =，则公比q = （ ） A ．12-B ．12C ．2D ．12或2【答案】D 【分析】根据等比数列的性质可得2132116a a a ==，再由378S =，可得1358a a +=，分别求出13,a a ，即可得出答案. 【详解】解：在等比数列{}n a 中，若214a =，则2132116a a a ==，312378S a a a =++=，所以1358a a +=， 由13116a a =，1358a a +=，解得131218a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或131812a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当131218a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，2112a a q ==， 当131812a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，212a q a ==， 所以q =12或2.故选：D.4．（2021·全国·高二单元测试）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()112322n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.记n T 为数列1nn a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，若对任意*n ∈N ，n T m <，则m 的最小值为（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．12【答案】B 【分析】 由已知得()111112242n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭.再求得13a =，从而有数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，14为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得n a ，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得n S ，从而求得n T 得答案. 【详解】解：由()112322n n n a a n ---=⋅≥，得()111322424n n n n a a n --=⋅+≥，∴()111112242n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭. 又由()112322n n n a a n ---=⋅≥，得2126a a -=，又1232a a =，∴13a =.所以111122a -=，∴数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，14为公比的等比数列，则12111112242n n n na --⎛⎫⎛⎫-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()12122122n n n nn a --=+=+，∴()()231111212112122222221221212nn n n n n n S --⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=+=⋅- ⎪-⎝⎭-，∴111112222232n n n n nn n a S --==+++⋅-⋅.∴+12111111111122113222332312n n n n T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+=⨯=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. ∵对任意*n ∈N ，n T m <，∴m 的最小值为13.故选：B.5．（2021·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知等比数列{a n }的首项为1，公比为2，则a 12+a 22+⋯+a n 2＝（ ） A ．（2n ﹣1）2 B ．()1213n- C ．4n ﹣1 D ．()1413n- 【答案】D 【分析】根据等比数列定义，求出214n n n b a -==，可证明{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，可得解 【详解】由等比数列的定义，11122n n n a --=⋅=故222124n n n n b a --=== 由于112144,104n n n n b b b ---===≠ 故{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列 a 12+a 22+⋯+a n 2＝1(14)41143n n ⋅--=- 故选：D6．（2021·河南郑州·高二期中（理））设n A ，n B 分别为等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项和．若23n n n n A aB b+=+（a ，b 为常数），则74a b =（ ）A ．12881B ．12780C ．3227D ．2726【答案】C 【分析】设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+，项和转换776a A A =-，443b B B =-求解即可【详解】由题意，23n n n n A a B b+=+ 设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+则76776[(2)(2)]64a A A a a m m =-=+-+=()()434433354b B B b b m m ⎡⎤=-=+-+=⎣⎦7464325427a mb m ∴== 故选：C7．（2021·河南郑州·高二期中（理））设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和()2*51N n n S n n =+-∈，则d q -=（ ）A ．3-B ．1-C ．2D ．4【答案】A 【分析】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，然后利用分求出,n n A B ，再利用n n n S A B =+列方程，由对应项的系数相等可求出结果 【详解】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，则 ()()1211111,222111n n n n b q n n db d d q A a n a n n B q q q --⎛⎫=+=-+==-⎪---⎝⎭（1q ≠）， 若1q =，则1n B nb =，则2211()5122n nn n d d S A n B a n n nb =+==+++--，显然没有出现5n ，所以1q ≠，所以21121221511n n b n b q d d a n n q q ⎛⎫-++-+= ⎪--⎝-⎭， 由两边的对应项相等可得110,1,5,1221b d da q q-====--， 解得111,2,5,4a d q b ====， 所以3d q -=-.8．（2021·福建·泉州科技中学高三月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列233464510105，，，，，，，，，，，则此数列的前35项和为（ ）A ．994B ．995C ．1003D ．1004【答案】B 【分析】没有去掉“1”之前，可得每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，可求出其前n 项和为21n n S =-，每一行的个数构成一个首项为1，公差为1的等差数列，从而可求出前n 项总个数为(1)2n n n T +=，由此可计算出第10行去掉“1”后的最后一个数为第36个数，从而可求出前35项和。
等差等比数列前n项和公式的应用习题
寻找等差等比数列的“亲兄难弟”---------等差等比数列前n 项和公式的应用1．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列 {a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．1302.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n )3.在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________4.设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则1236＋＋＋…＋a a a a b b b b ＝________.5.在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________6.数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，n ∈N *，其前n 项和为S n ，则S 2 016＝________.7.数列{a n }的通项公式a n ＝c os n π2，n ∈N *，其前n 项和为S n ，则S 20＝________.8.已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2S 3＝36. ①求d 及S n ；②求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.2n微习题答案：1.C2.C3. 104. 27－25.2n －126.1 0087.8.解：①由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)． ②由①得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.()104145-。
等比数列的前n项和练习含答案
课 时 作 业 1 1 等 比 数 列 的 前 n 项 和课堂训练10项和为 ( )B ．2－29C ．2－210答案】2．已知数列 {a n }的前 n 项和 S n ＝2n －1，则此数列奇数项的前 n项和为 ( )（2n ＋1－1）（22n －1）答案】 C解析】 由 S n ＝2n －1 知{a n }是首项 a 1＝1，公比 q ＝2 的等比 数列．所以奇数项构成的数列是首项为 1，公比为 4 的等比数列． 所以此数列奇数项的前 n 项和为 31(22n －1)．3．等比数列 {a n }中， a 1＝ 1， a n ＝－ 512，S n ＝－ 341，则时间：45 分钟 满分： 100分1．在等比数列 { a n }( n ∈ N ＋)中，若 a 1＝1， a 4＝ 18，则该数列的前 A ． 2－28D ．2－211解析】 由 a 4＝ a 1q 3＝ q 3＝ 1＝ 2，所以110 21 0＝ 1＝ 2－291－ 1－（2n ＋1－2）（22n －2）公比qn＝【答案】－ 2 10 a1－a n q 1＋512q【解析】由S n＝得＝－341?q＝－2，1－q 1－q再由a n＝a1·q n－1?n＝10.4．已知｛ a n｝是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9 成等比数列．(1)求数列｛a n｝的通项；(2)求数列｛2 a n｝的前n项和S n.【解析】本题考查等差与等比数列的基本性质，第一问只需设出公差d，从而得到关于 d 的方程式求解，第二问直接利用等比数列前n 项和公式即可求得．1＋2d 解：(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9 成等比数列得11＋8d＝，解得d＝1，d＝0(舍去)，故｛ a n｝的通项a n＝1＋(n－1)×1 1＋2d＝n.(2)由(1)知2a n＝2n，由等比数列前n 项和公式得n S n＝2＋22＋23＋⋯＋2n＝＝2n2 1－2＋1－2.1－2课后作业一、选择题(每小题 5 分，共40分)1．已知等比数列的公比为2，且前 5 项和为1，那么前10 项和2．设 f(n)＝2＋24＋27＋210＋⋯＋23n ＋1(n ∈N ＋)，则 f(n)等于( ) (8n － 1) (8n ＋1－1)(8n ＋3－ 1)(8n ＋4－1)答案】 B解析】 依题意， f(n)是首项为 2，公比为 8 的等比数列的前 n ＋1 项和，根据等比数列的求和公式可得．3．已知等比数列的前 n 项和 S n ＝4n ＋a ，则 a 的值等于 ( )A ．－4B ．－1C ．0D ．1【答案】 B【解析】 ∵S n ＝4n ＋ a ，∴a n ＝S n －S n －1(n ≥2)＝4n ＋a －(4n －1＋a)等于 ( )A ．31 C ．35【答案】 B B ．33 D ．37解析】S5＝a 1 1－q 5 ＝a 1 1－25 ＝1 1－ q 1－2a 11. 31.a 1∴S 10＝ 1－q 101－q1 31 1－210 1－2＝33，故选 B.＝3C ．S n ＝4－3a n【答案】 D D ．S n ＝3－2a n＝3·4n －1(n ≥2)．当 n ＝1 时， a 1＝S 1＝4＋a ， 又∵{ a n }为等比数列，∴3×41－1＝4＋a ，解得 a ＝－1.4．设 S n 为等比数列 {a n }的前 n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S S 5＝( ) A ．11 C ．－ 8【答案】 DB ．5 D ．－11解析】 设数列的公比为 q ，则 8a 1q ＋a 1q 4＝0，解得 q ＝－2， a 1 1－q 5S 5＝ 1－qS2 a 1 1－q 21－q52＝－ 11，故选D. 1－q 21－q25．(2013 ·新课标Ⅰ文 )设首项为 1，公比为 3的等比数列 {a n }的前n 项和为 S n ，则 ( )A ． S n ＝ 2a n －1B ．S n ＝3a n －2 解析】 由题意得，an＝2 2 21－n1－n－12 n－11－3 1－ 3 3(3)n－1，S n＝21－3＝3－ 2a n ，选 D.6．在等比数列 {a n } 中， a 9＋a 10＝a(a ≠0)，a 19＋ a 20＝b ，则 a 99＋ a 100 等于 ( )B ．(b a )9 D ．(b a )10【答案】 A【解析】 由等比数列的性质知a 9＋a 10，a 19＋ a 20， ⋯，a 99＋a 100 成等比数列．且首项为 a(a ≠0)，公比为 a b .a7．某商品零售价 2008年比 2006年上涨 25%，欲控制 2009年比 2006年上涨 10%，则 2009年应比 2008年降价( )A ．15%B ．12%C ． 10%D ．5%【答案】 B【解析】 设 2006年售价为 a 元．则 2008年售价为 a(1＋25%)元， 2009 年售价为 a(1＋10%)元．则 2009 年应比 2008 年降价：a 1＋25% －a 1＋ 10%a 1＋ 25%∴a 99＋a 100＝a(ba )10－1b 9＝a 8.∴应降低12%，选 B.8．等比数列 {a n }共有 2n ＋1 项，奇数项之积为 100，偶数项之积 为 120，则 a n ＋1＝ ( )C ． 20D ．110【答案】 B【解析】 设公比为 q ，由题知： S 奇＝a 1·a 3·⋯·a 2n ＋1＝100，S 偶 ＝ a 2·a 4·⋯·a 2n ＝ 120，二、填空题 (每小题 10分，共 20 分)9．设等比数列 { a n }的公比 q ＝1 2 32，前 n 项和为 S n ，则a S4＝_________________________________________________________【答案】 15解析】 因为数列 { a n }是公比为 q 的等比数列，且 S 4＝a 1＋a 2a 4 a 4 a 4S 4 1 1 1＋a 3＋a 4＝q 34＋q 24＋q 4＋a 4，所以a44＝q 3＋q 2＋q ＋1＝15.110．在等比数列 { a n }中， a 1＝14，在前 2n 项中，奇数项的和为，偶数项的和为时， n 的值为 ____ ．【答案】 5S 奇 a 3·a 5·a 7·⋯ ·a 2n ＋ 1 S 偶 a 2·a 4·a 6·⋯·a 2n5＝n∴a 1q56， 5即 a n ＋1＝ 6，故选 B.解析】 S 偶由 q ＝S 奇，得 q ＝2.当 q ≠1 时，由通项公式及前 n 项和公式得规律方法】 解决此类问题，要抓住两个方面，一是注意对公 比 q 的取值进行分类讨论； 二是要准确利用相关公式把已知条件转化 为关于 a 1 与 q 的方程或方程组求解．12．(2013 ·湖南文，19)设 S n 为数列{a n }的前 n 项和，已知 a 1≠0,2a n －a 1＝ S 1·S n ，n ∈N ＋.(1)求 a 1，a 2，并求数列 {a n } 的通项公式； (2)求数列{ na n }的前 n 项和．1n1－4n 4 1－ 4341又 S ＝ ＝ ，∴n ＝ 5.＝4，三、解答题 (每小题 20 分，共 40 分．解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤 )3911．在等比数列 { a n }中，已知 a 3＝2，S 3＝2，求 a 1与分析】 先检验 q ＝1 是否满足；然后列出关于 a 1，q 的方程 组进行求解．解析】 ∵a 3＝32，S 3＝92，当 q ＝1 时，a 1＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝3×32 9 9∴适合题意；＝2，a 1q 2＝32， a 1 1－q 3 91－q＝2，a 1＝6，1 q ＝－2.综上知 a 1＝32，q ＝1或 a 1＝6，q ＝－ 2.【分析】(1)用赋值法求出a1、a2，再用a n＝S n－S n－1(n≥2)，求出a n；(2)用错位相减法可求出{ na n}的前n 项和．【解析】(1)令n＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a12，因为a1≠ 0，所以a1＝1，令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2 时，由2a n－1＝S n,2a n－1－1＝S n－1 两式相减得2a n－2a n －1＝a n，即a n＝2a n－1，于是数列{ a n}是首项为1，公比为 2 的等比数列，因此，a n＝2n－1.所以数列{a n} 的通项公式为a n＝2n－1.(2)由(1)知，na n＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n 项和为B n，于是B n＝1＋2×2＋3×22＋⋯＋n×2n－1，① 2B n＝1×2＋2×22＋3×23＋⋯＋n×2n.②①－②得－B n＝1＋2＋22＋⋯＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.从而B n＝1＋(n－1) 2·n.【规律方法】本题主要考查了由递推公式求通项式，由a n＝S n －S n－1(n≥2)，求通项及错位相减法．在运用a n＝S n－S n－1(n≥2)时，一定别忘记“ n≥2”这一条件．在用错位相减法时别忘记把S n 的系数化为 1.。
等比数列的前n项和 (1)
第四课时
例1(A)已知数列n a
范例讲解
的通项公式
an 3 2n 为
，这个数列是等比数列吗？
分析：用定义法证明
等比数列的例题
例2 已知 a n , bn 是项数相同的等比数列， 证明:设数列 an 首项为a1,公比为q1 n 首项为b1,公比为q 2 ;b 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
课堂小结
a1 (1 q n ) (q 1) Sn 1 q 或S n na (q 1) 1
减)并能应用.
由
a1 an q (q 1) 1 q . na (q 1) 1
.理解等比数列的推导过程(错位相
Sn .an ,q , a1 , n 知三而可 求二 .
公式应用：
例1：求等比数列
1 1 1 , , , 的前8项的和。 2 4 8
1 1 1 1 解:由 a1 , q , n 8 ,得 2 4 2 2
1 1 8 [1 ( ) ] 2 2 255 Sn 1 256 1 2
公式应用：
例2 已知等比数列 an ,
课堂总结
1．等比数列的前 n 项和公式分两类，一类是当 公比 q＝1 时，其公式为 Sn＝na1；另一类是当 q≠1 a11－qn a1－anq 时，Sn＝ ＝ 1－q 1－q
复习:
等差数列 等比数列
定义
通项公式
an1 an d
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
错解：Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(a2＋a4＋…＋a2n)－(a＋a2＋…＋an) a21－a2n a1－an ＝ . 2 － 1－a 1－a
高中数学《3、2等比数列的前n项和》知识点+教案课件+习题
知识点：1求和公式，如果q=1，那么S n=na1备注：针对等比数列，无论题目中给出何种条件的等式，最终均可以根据公式化成只有a1跟q两个未知量，从而进行求解。
2等比中项如果2m=p+q，则a2m=a p·a q备注：题目中如果给出三项的积，通常都可求出中间项为多少。
例如已知等比数列a1·a2·a3=8，即可知a2=2，因为a2是a1跟a3的中间项；再如已知等差数列a1·a5·a9=64，即可知a5=4，因为a5是a1跟a9的中间项推论：如果m+n=p+q，那么一定有a m·a n=a p·a q3等比性质1.如果{a n}是等比数列，S n是数列{a n}前n项和，那么S n，S2n-S n，S3n-S2n，……也是成比差数列例题：已知等比数列{a n}，S n是它的前n项和，S6/S3=3，求S12/S3=？解析：根据上面性质可知，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9也是成等比数列，令S3=m，则S6=3m，则这个新的等比数列的首项是m(S3)，第二项是2m(S6-S3)，所以公比d=2m/m=2，即可算出第三项S9-S6=4m，又S6=3m，所以S9=7m，同理可算出S12=15m，则S15/S3=15变式：等比数列{a n}中，若a1+a2=324，a3+a4=36，则a5+a6=?2.如果{a n}是等比数列，公比为q，每隔k项之后( a m, a m+k, a m+2k, a m+3k……)也是等比数列，公差为q k视频教学：练习：课本温习1. 设S n是等比数列{a n}的前n项和，若a1＝1，a6＝32，则S3＝()A. 5B. 6C. 7D. 82. 若{a n}为等比数列，且a2＝6，S3＝26，则{a n}的通项公式a n＝()A. 2×3n－1B. 2×33－nC. 2×3n－1或2×33－nD. 以上都不对3. 已知{a n}是由正数组成的等比数列，S n表示{a n}的前n项和．若a1＝3，a2a4＝144，则S10的值是()A. 2 019B. 1 023C. 2 046D. 3 0694. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于()A. －19B. 19C. 16D. 135. 已知数列{a n}满足3a n＋1＋a n＝0，a2＝－43，则{a n}的前10项和等于()A. －6(1－3－10)B. 19(1－3－10)C. 3(1－3－10)D. 3(1＋3－10)固基强能6. 已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，则前10项和为()A. 33B. 36C. 39D. 657. (多选)已知正项等比数列满足，，若设其公比为，前项和为，则（）A． B． C． D．8. (多选)已知等比数列中，满足，则（）A．数列是等比数列 B．数列是递增数列C．数列是等差数列 D．数列中，仍成等比数列9. 记S n为等比数列{a n}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6.则{a n}的通项公式为；S n= ．10. 已知等比数列{a n}中，a1＝13，公比q＝13.(1) S n为数列{a n}的前n项和，求证：S n＝1－an2；(2) 设b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n，求数列{b n}的通项公式．课件：教案：【教学目标】1. 理解并掌握等比数列前n项和公式，并会应用公式解决简单的问题．2.逐步熟练等比数列通项公式与前n项和公式的综合应用，培养学生的运算能力．3. 通过公式的探索、发现，培养学生观察、猜想、归纳、分析、综合推理的能力，渗透类比与转化的思想．【教学重点】等比数列前n项和公式的应用．【教学难点】等比数列前n项和公式的推导和灵活运用．【教学方法】本节课在公式推导中宜采用类比教学法和自主探究教学法．师生共同参与整个教学活动，教师是活动的主导，学生是活动的主体，教师在引导的同时，让学生在等差数列的基础上用类比的方法自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．环节教学内容师生互动设计意图导印度一国王与国际象棋发明家的故事：发明者要国王教师讲故事，并提出问题．利用学生好奇心理，让学。
等比数列的前n项和典型例题含解答
＝7×(1＋3)＝28.
∴S4＝28.
-
法二：∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4 也为等比数列， 即 7，S4－7,91－S4 成等比数列， ∴(S4－7)2＝7(91－S4)．解得 S4＝28 或－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)＞S2， ∴S4＝28.
-
变式训练 21：等比数列{an}中，若 S2＝7，S6＝91，求 S4.
解：法一：∵S2＝7，S6＝91，易知 q≠1，
由SS26＝ ＝791
a11＋q＝7， 知a111－－qq6＝91，
∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91，
∴q4＋q2－12＝0，
∴q2＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2)
(2)在使用等比数列的前 n 项和公式时，要注意公比 q＝1 和 q≠1 两种情况的区别．
-
变式训练 11：数列{an}为等比数列，各项均大于 0，它的前 n 项和为 80，其中数值最大 的项为 54，前 2n 项的和为 6560，试求此数列的首项 a1 和公比 q.
解：∵S2n＞2Sn，∴q≠1.
第 1 年旅游业收入为 400 万元，第 2 年旅游业收入为 400×(1＋41)万元，…，第 n 年旅 游业收入为 400×(1＋14)n－1 万元．所以，n 年内的总收入 Tn＝400＋400×(1＋14)＋…＋400×(1 ＋14)n－1＝1600×[(45)n－1]．
(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，因此 Tn－Sn＞0，即 1600×[(54)n－1]－4000×[1－(45)n]＞0，化简得 5×(45)n＋2×(54)n－7＞0， 即(45)n＜25，(45)n>7(舍去)． 因为 n∈N*，所以 n≥5，可得 n＝5. 所以，第 5 年旅游业的总收入才能首次超过总投入．
等比数列的前n项和
a1q
n1
n 2
a1 q(a1 a1q a1q
a1 q (S a qn1 ) n 1
n
a1q
)
(1 q)Sn a1 a1q n a ( 1 q ) n 1 q 1 a1 (1 q ) Sn 1 q 当q≠1时， S n 1 q na q 1 当q＝1时， Sn na1 1
qSn
n1 n a1 q a1q 2 a1q n2 a1q a1q
(1 - q)Sn a1 a1q
n
a1 (1 q n ) 当q≠1时， S n 1 q 当q＝1时， Sn na1
a1 (1 q n ) 1 q Sn na 1
等比数列的前n项和
Sn a1 a2 a3 an1 an
即
=?
n1
Sn a1 a1q a1q a1q
2
n 2
a1q
=?
错位相减法
等比数列 {an },公比为 q ,它的前 n 项和
S n a1a1 q a1q 2 a1q n2 a1q n1
q 1 q 1
分组求和
转 化 思 想
作业
1、书面作业：
必做题：课本P129 练习3（1）习题 3.5 1 选做题: 画一个边长为2cm的正方形, 再将这个 正方形各边的中点相连得到第2个正方 形,依此类推,这样一共画了10个正方形, 求这10个正方形的面积的和
2、研究性作业：查阅“芝诺悖论”
从等比数列求和的角度加以解释 (参考网站:/lygdj/ztwz/shuxue /x2/042.htm)
(1 q)Sn a1 an q
等比数列的前n项和
... an a1 a1 ... a1 na1
? a1 a2
(三)类比探究
（错位相减法）
等比数列的前n项和公式
探究成果：
设等比数列 {an }的前n项和为 S n a1 a2 a3 ... an
则
当q≠1时，
当 q=1 时， S n na1
(六)公式的应用
例3、求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和。 思路1： 从第5项到第10项的和为： 解：
所以S10 210 1 1023, S 4 24 1 15, 即从第5项到第10项的和是1008. 则 S10 S4 1008.
思路2： 由 a1=1,q=2 可得 an= 2
(六)公式的应用 例1 判断正误：
① 1 2 4 8 ... (2)
2 3 n
n 1
1 (1 2 ) ② 1 2 2 2 ... 2 × 1 2 n 1 (1 a ) 2 n 1 ③ 1 a a ... a × 1 a 提示： 用公式前，先弄清楚数列的首项 、公比 q、项数n 反思总结 :
n-1
a1 (1 q n ) 由a1 1, q 2得S n 2n 1. 1 q
a5 a6 a9 a10 S10 S4 .
所以a5 24 16, a10 29 512.
从第5项到第10项共有6项，它们组成一个新等比数列， 它们的和是： a5 a10q 16 512 2
1 (1 2 ) 30 9 2 1 1.07 10 粒 1 2 85600 斤
30
(七)问题解决
启示：这个故事告诉我们： 智慧来源于积极思考！ 不贪图眼前小利，把目光放长远！ 学会理性思考，学好数学！
等比数列的前n项和·例题解析
德州市高中三年级教学质量检测地理试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至6页，第II卷7至9页，共100分，考试时间60分钟。
第I卷（选择题共50分）一. 单项选择题（本题共25小题，每小题2分，共计50分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）图中，实线是地形等高线，虚线是潜水面等高线，等高距均为5（单位：米），甲处为一口水井。
读图回答1-2题。
1. 甲处水井的水面离地面的距离可能为A. 1.5米B. 2.5米C. 7.5米D. 8.5米2. 从图中内容可知，甲地出现的主要环境问题是A. 地下水开采过度B. 地下水污染严重C. 有盐碱化倾向D. 有荒漠化倾向3. 读某地某日人们观测到的太阳运行轨迹图，正午时物体影子朝向正北，该地的纬度可能是4. 下图是某地某日海平面等压线分布图，若图中①地盛行西北风②地盛行西南风，下列叙述正确的是A. 甲地为北半球的气旋，乙地为北半球的反气旋B. a、b两虚线处可能形成锋面的是aC. 图中③、④两地位于阴雨区的是③地D. 图中①、②两地风力较大的是②地下图为城市的风向玫瑰图（全年平均风向频率）和雨量与风向关系图（某风向期间的降雨量），读图后回答5-6题。
5. 某地风向与雨量的相关情况，正确的是A. 吹西风和东风时，雨量最多B. 吹北风与南风时，雨量最少C. 吹东南风和西南风，雨量最少D. 吹南风与东南风时，雨量最多6. 该城市建火电厂，最佳区位在城市的A. 东北地区B. 西南地区C. 东南地区D. 西北地区7. 下图为某气象站绘制的武夷山12月不同海拔高度的月平均气温垂直变化曲线图，其中a、b分别代表方向不同的坡面，图中a和b曲线分别位于武夷山脉的A. 西北坡和东南坡B. 东南坡和西北坡C. 东北坡和西南坡D. 西南坡和东北坡8. 图中虚线、实线为等值线，其中实线最有可能是A. 7月等温线B. 1月等温线C. 年等降水量线D. 等高线9. 读世界大洋表面蒸发、降水与盐度年平均值的地理分布图，图中三条曲线①、②、③分别表示A. 大气降水量、蒸发量、盐度B. 大气降水量、盐度、蒸发量C. 盐度、蒸发量、大气降水量D. 蒸发量、大气降水量、盐度10. 读某海域等深线和表层年平均海水等温线分布图，乙处洋流最有可能是A. 加那利寒流B. 西澳大利亚寒流C. 加利福尼亚寒流D. 千岛寒流11. 下图所示河流以雨水补给为主，该河流可能出现在A. 大陆东岸B. 大陆西岸C. 大陆东岸D. 大陆内部12. 下图为赤道上六大板块的分布示意图，且①板块主要位于之间，⑤板块是A. 亚欧板块B.太平洋板块C. 南极洲板块D. 美洲板块13. 图中线段ab、ac、bd、cd的比例尺关系为A. cd>ab>ac=bdB. cd=ab>ac=bdC. ac>bd>ab=cdD. ac=bd>cd>ab南、北回归线附近地区的雪线比赤道地区高的原因是A. 南、北回归线附近地区降水量多、蒸发量大B. 赤道地区降水量多，蒸发量比南、北回归线附近地区小C. 南、北回归线附近地区降水量少、蒸发量大D. 赤道地区降水量少、蒸发量大15. 下列各类人口中，当前机械增长率最高的是A. 发达国家城市人口B. 发达国家乡村人口C. 发展中国家城市人口D. 发展中国家乡村人口16. 下图是世界某岛屿图，该图是世界上最大的香草产地，但并不生产香水，其原因是A. 劳动力缺乏B. 消费市场狭小C. 土地面积狭小D. 技术和人才的制约17. 读工业部门产品成本比例示意图，我国西部地区应重点发展的工业类型是A. 甲乙B. 乙丙C. 丙丁D. 甲丁18. 以市场为龙头的商贸业的持续繁荣是浙赣线上的浙江义乌市最明显的特色，义乌中国小商品城已成为全国乃至东南亚最大的小商品市场。
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《等比数列的前n 项和》习题
一、选择题
1.一个等比数列，它的前n 项和n n S ab c =+，其中a 、b 、c 为常数且a ≠0，b ≠0且b ≠
1，则a 、b 、c 必须满足（ ）.
A.a +b =0
B.b +c =0
C.a +c =0
D.a +b +c =0
2.等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 10=10，S 20=30，则S 30等于（ ）.
A.70
B.90
C.100
D.120
3.一个等比数列｛a n ｝的首项为a 1=2，公比q =3，从第m 项到第n 项（m ＜n ）的和为720，则m 的值为（ ）.
A.3
B.4
C.5
D.6
4.计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机价格降低3
1，现在的价格是8100元，则15年后，价格降低为（ ）.
A.2200元
B.900元
C.2400元
D.3600元
5.数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n-1的前n 项和S n 等于（ ）.
A.2n
B.2n -n
C.2n+1-n-2
D.n-2n
6.已知等比数列｛a n｝中，a n=2·3n-1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为（）.
A.3n-1
B.3（3n-1）
C.
41
9-n
D.
4)1
9(3-
n
二、填空题
1.在等比数列｛a n｝中，若S n=93，a n=48，公比q=2，则n=__________.
2.S=1+a+a2+a3+…+a10=__________.
3.等比数列首项为2，公比为3，从前__________项的和开始大于100.
三、简答题
1.求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.
答案
一、选择题
1.C
2.A
3.A
4.C
5.C
6.D
二、填空题
1.5
2.11或a
a --1111
3.5
三、简答题
1.解：由a 1=1，a 2=2，得q=
2.
1521)21(144=--⨯=∴S ， 10232
1)21(11010=--⨯=S . 从第5项到第10项的和为S 10-S 4=1008.。