2019-2020学年高中数学 第三章 函数的极值与导数 学案 新人教A版选修1-1.doc
高二数学3.3.2函数的极值与导数学案新人教A版选修1-1
?基础梳理
1．极值的概念．
如果函数 y ＝ f ( x) 在点 x＝ a 的函数值 f ( a) 比它在点 x＝ a 附近其他点的函数值 都小，f ′ ( a)
＝0，而且在点 x＝ a 附近的左侧 f ′（x ) ＜ 0，右侧 f ′（x) ＞ 0，则把点 a 叫做 y ＝ f ( x) 的极小值
a 的取值范围是 ________ ．
解析： f ′（x) ＝ x2＋ 2x＋ a，∵ f ( x ) 在 R 上没有极值点，∴Δ＝ 4－ 4a≤0，∴ a≥ 1.
答案： a≥１ 4．求函数 f ( x) ＝－ x( x －2) 2 的极值．
解析： 函数 f ( x ) 的定义域为 R. f ( x) ＝－ x( x2－ 4x ＋ 4) ＝－ x3＋ 4x2－ 4x， ∴ f ′ ( x) ＝－ 3x2＋ 8x － 4＝－ ( x － 2)(3 x－ 2) ，
1
a＝－ ，
解得
2
b＝－ 2. 即 f ′（x ) ＝ 3x2－ x－ 2＝ (3 x ＋ 2)( x － 1) ．函数 f ′ ( x) ，f ( x) 的变化情况见下表：
2
2
所以函数 f ( x ) 的递增区间是 －∞，－ 3 与 (1 ，＋∞ ) ，递减区间是 － 3， 1 .
1． f ′（x 0) ＝ 0 是函数 y ＝f ( x) 在 x ＝ x0 处有极值点的 ( C) A．充分不必要条件 B ．充要条件
点， f ( a) 叫做函数 y ＝ f ( x) 的极小值；如果函数 y＝ f ( x ) 在点 x＝ b 的函数值 f ( b) 比它在点 x ＝ b
附近其他点的函数值都大， f ′( b) ＝ 0，而且在点 x＝ b 附近的左侧 f ′（x) ＞ 0，右侧 f ′（x ) ＜ 0，
2019-2020学年人教A版选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数 学案 (2)
1.3.2函数的极值与导数学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一函数的极值点和极值思考1观察y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．答极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)，极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)．思考2导数为0的点一定是极值点吗？答不一定，如f(x)＝x3，尽管f′(x)＝3x2＝0，得出x＝0，但f(x)在R上是递增的，不满足在x＝0的左、右两侧符号相反，故x＝0，不是f(x)＝x3的极值点．(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．知识点二函数的极值的求法思考1极大值一定比极小值大吗？答极大值与极小值之间无确定的大小关系．在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，如图所示．f (a )为极大值，f (d )为极小值，但f (a )<f (d )． 思考2 函数的极值与单调性有什么联系？答 极值点两则单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函数的单调性． 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值.类型一 求函数的极值点和极值例1 求下列函数的极值，并画出函数的草图： (1)f (x )＝(x 2－1)3＋1；(2)f (x )＝ln x x. 解 (1)y ′＝6x (x 2－1)2＝6x (x ＋1)2(x －1)2. 令y ′＝0，解得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：∴当x ＝0时，y 有极小值且y 极小值＝0. 函数的草图如图所示．(2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln x x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此，x ＝e 是函数的极大值点，极大值为f (e)＝1e ，没有极小值．函数的草图如图所示．反思与感悟 1.讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则． 2．求可导函数f (x )的极值的步骤如下： (1)求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)观察f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个方程根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个方程根处取得极小值．注意：f ′(x )无意义的点也要讨论，可先求出f ′(x )＝0的根和f ′(x )无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断．跟踪训练1 (1)设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分如图所示，则( )A ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)(2)函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值与极小值之和为( )A ．8 B.263 C ．10 D ．12答案 (1)D (2)A解析 (1)当x <－3时，y ＝xf ′(x )>0，即f ′(x )<0； 当－3<x <3时，f ′(x )≥0；当x >3时，f ′(x )<0. ∴f (x )的极大值是f (3)，f (x )的极小值是f (－3)． (2)令f ′(x )＝x 2－4＝0，得x ＝±2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗∴f (x )极大值＝283，f (x )极小值＝－43.则函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值与极小值之和为283－43＝8.类型二 已知函数极值求参数例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＝________，b ＝________.(2)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，则a 的取值范围为________．答案 (1)2 9 (2)(－∞，1)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，且函数f (x )在x ＝－1处有极值0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数． 故f (x )在x ＝－1时取得极小值，∴a ＝2，b ＝9.(2)f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a >0，解得a <1.反思与感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．跟踪训练2 (1)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且与直线y ＝0在原点处相切，函数的极小值为－4.①求a ，b ，c 的值； ②求函数的递减区间．解 ①∵函数图象过原点，∴c ＝0， 即f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 又∵函数f (x )的图象与直线y ＝0在原点处相切， ∴f ′(0)＝0，解得b ＝0， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＝x (3x ＋2a )． 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－2a 3. 由题意可知x ＝－2a3时，函数取得极小值－4.∴(－23a )3＋a (－23a )2＝－4，解得a ＝－3.∴a ＝－3，b ＝c ＝0.②由(1)知f (x )＝x 3－3x 2且f ′(x )＝3x (x －2)， 由f ′(x )<0得3x (x －2)<0，∴0<x <2， ∴函数f (x )的递减区间是(0,2)．(2)已知函数f (x )＝1＋ln x x ，若函数在区间(a ，a ＋12)(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围．解 因为f (x )＝1＋ln xx ，x >0，则f ′(x )＝－ln xx2，当0<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极大值．因为函数f (x )在区间(a ，a ＋12)(其中a >0)上存在极值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ＋12>1，解得12<a <1.(3)已知函数f (x )＝13x 3＋12(a －1)x 2＋ax (a ∈R )在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a 的取值范围．解 f ′(x )＝x 2＋(a －1)x ＋a ， 因为f (x )在(0,1)内有极大值和极小值， 所以f ′(x )＝0在(0,1)内有两不等实根，对称轴x ＝－a －12，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<－a －12<1，f ′(0)>0，f ′(1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(a －1)2－4a >0，－1<a <1，a >0，1＋a －1＋a >0，所以0<a <3－2 2.类型三 函数极值的综合应用例3 (1)函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－43，283)解析 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗∴当x ＝－ 2时，函数取得极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上递增，在(－2,2)上递减，在(2，＋∞)上递增． 根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象知：－43<a <283.(2)已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围． 解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ， 则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点， ∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， ∴令g ′(x )＝0得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：则函数g (x )的极大值为g (23)＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .∴由y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同交点，得⎩⎪⎨⎪⎧g (23)＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0，解得－16<m <6827.反思与感悟 1.解答本例(1)的关键是求出函数f (x )的极值，画出函数的图象，解答本题(2)的突破口是把两函数图象的交点问题转化一个新函数的图象与x 轴的交点问题．2．利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．跟踪训练3 若2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．解 令g (x )＝2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ，则g ′(x )＝2x ＋2－2x －1＝－2x (x ＋52)x ＋2(x >－2)．g (x )与g ′(x )在(－2，＋∞)的变化情况如下表：↗↘由上表可知函数在x ＝0取得极大值，极大值为2ln 2＋b .结合图象(图略)可知，要使f (x )＋b ＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≤0，g (0)>0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，2ln 2＋b >0，2ln 3－2＋b ≤0，所以－2ln 2<b ≤2－2ln 3.故实数b 的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3].1．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 答案 C解析 f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值，f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．2．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－1或a >2D ．a <－3或a >6答案D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.3．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．答案(－∞，－1)解析y′＝e x＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)．由题意知ln(－a)>0，∴a<－1.4．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．答案－2<a<2解析f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0可以得到x＝1或x＝－1，∵f(1)＝－2，f(－1)＝2，∴－2<a<2.1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．一、选择题1．函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案A解析当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．2．设函数f(x)＝x e x，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝－1为f(x)的极大值点C．x＝1为f(x)的极小值点D．x＝－1为f(x)的极小值点答案D解析f′(x)＝e x＋x e x＝(1＋x)e x.令f′(x)＝0得x＝－1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0.故x＝－1为f(x)的极小值点．3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是() A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)答案B解析∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)．由f′(x)>0得x<2或x>3.4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案D解析当x<－2时，y＝(1－x)f′(x)>0，得f′(x)>0；当－2<x<1时，y＝(1－x)f′(x)<0，得f′(x)<0；当1<x<2时，y＝(1－x)f′(x)>0，得f′(x)<0；当x>2时，y＝(1－x)f′(x)<0，得f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)．5．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，则函数f (x )的( )A ．极大值为427，极小值为0 B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值为0 答案 A解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2px －q ，∴f ′(1)＝3－2p －q ＝0.①又f (1)＝1－p －q ＝0，②由①②解得p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令3x 2－4x ＋1＝0，解得x 1＝13，x 2＝1. 当x ＝13时，f (x )有极大值为427；当x ＝1时，f (x )有极小值为0. 6．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，且f (x )在x ＝x 0与x ＝2处取得极值，则f (1)＋f (－1)的值一定( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．小于或等于0答案 B解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .令f ′(x )＝0，则x 0和2是该方程的根．∴x 0＋2＝－2b 3a <0，即b a>0. 由图知，f ′(x )<0的解为(x 0,2)，∴3a >0，则b >0，∵f (1)＋f (－1)＝2b ，∴f (1)＋f (－1)>0.7．若函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )A ．0<b <1B ．b <1C ．b >0D ．b <12答案 A解析 f ′(x )＝3x 2－3b ， ∵b ≤0时，f ′(x )≥0，此时在(0,1)内单调递增．令f ′(x )＝0，即3x 2－3b ＝0，得x ＝±b .∵x ∈(－b ，b )时，f ′(x )<0；x ∈(b ，＋∞)时，f ′(x )>0.∴x ＝b 是f (x )的极小值点，则0<b <1，∴0<b <1.二、填空题8．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________．答案 y ＝－1e解析 令y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ＝0，得x ＝－1，∴y ＝－1e， ∴在极值点处的切线方程为y ＝－1e. 9．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：(1)函数y ＝f (x )在区间(－3，－12)内单调递增； (2)函数y ＝f (x )在区间(－12，3)内单调递减； (3)函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增；(4)当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；(5)当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值． 则上述判断中正确的是________．答案 (3)解析 由导函数的图象知：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．在x ＝－2时，f (x )取极小值；在x ＝2时，f (x )取极大值；在x ＝4时，f (x )取极小值．所以只有(3)正确．10．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则f (－1)＝________.答案 30解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3. 经检验知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )≥0，不合题意． ∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，则f (－1)＝30.11．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 恰有两个零点，则c ＝________.答案 ±2解析 y ＝x 3－3x ＋c 有两个零点，即方程x 3－3x ＋c ＝0有两个根，可转化为y ＝x 3－3x 与y ＝－c 两图象有两个交点．对y ＝x 3－3x ，令y ′＝3x 2－3＝0得x ＝±1.由图象(图略)可知－c ＝y 极大值＝(－1)3－3×(－1)＝2或－c ＝y 极小值＝13－3×1＝－2. ∴c ＝±2.三、解答题12．已知函数f (x )＝(x 2＋ax ＋a )e x (a ≤2，x ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． 解 (1)f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x ，f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x ＋1)e x ＝(x 2＋3x ＋2)e x ，当f ′(x )>0时，解得x <－2或x >－1，当f ′(x )<0时，解得－2<x <－1，所以函数的单调增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)；单调减区间为(－2，－1)．(2)令f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋a )e x ＝[x 2＋(2＋a )x ＋2a ]e x ＝(x ＋a )(x ＋2)e x ＝0， 得x ＝－a 或x ＝－2，因为a ≤2，所以－a ≥－2.列表如下： ↗ ↘ ↗由表可知，f (x )极大值＝f (－2)＝(4－2a ＋a )e －2＝3，解得a ＝4－3e 2≤2，所以存在实数a ≤2，使f (x )的极大值为3，此时a ＝4－3e 2.13．已知函数f (x )＝ln(x ＋a )－x 2－x 在x ＝0处取得极值．(1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＝－52x ＋b 在区间[0,2]上有两个不同的实根，求实数b 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝1x ＋a－2x －1， 由f ′(0)＝1a－1＝0，得a ＝1. (2)令g (x )＝f (x )－(－52x ＋b ) ＝ln(x ＋1)－x 2－x ＋52x －b ＝ln(x ＋1)－x 2＋32x －b ， 所以g ′(x )＝1x ＋1－2x ＋32＝－4x 2－x ＋52(x ＋1)＝－(4x ＋5)(x －1)2(x ＋1)， 令g ′(x )＝0，解得x 1＝－54，x 2＝1， x ＝1在区间[0,2]上，0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，1<x <2时，g ′(x )<0，g (x )为减函数．因为g (1)＝ln 2＋12－b 为极大值， 由题意只需g (1)>0，且g (0)≤0，g (2)≤0，由g (1)>0得b <ln 2＋12， g (0)＝－b ≤0，所以b ≥0，g (2)＝ln 3－4＋3×22－b ＝ln 3－1－b ≤0， 所以b >ln 3－1，所以ln 3－1<b ≤ln 2＋12.。
高中数学 第三章《函数的极值与导数》教案 新人教A版选修1-1
§3.3.2函数的极值与导数教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 创设情景观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t a =附近函数()h t 的图像，如图3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 新课讲授一、 导入新课观察下图中P 点附近图像从左到右的变化趋势、P 点的函数值以及点P 位置的特点3.3-83.3-9o ax 1x 3b xyP (x 1,f (x 1))y=f (x ) Q (x 2,f (x 2))o a x 1 x 2 x 3 x 4 b x y)(1x f)(4x f函数图像在P 点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P 点附近，P 点的位置最高，函数值最大 二、学生活动学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义. 三、数学建构极值点的定义:观察右图可以看出，函数在x =0的函数值比它附近所有 各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值；函数在x =2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f (2)是函数的一个极小值。
高中数学新人教版A版精品教案《1.3.2 函数的极值与导数》
1.3.2 函数的极值与导数（第一课时）一、教学目标1、知识与技能1 结合函数图像，了解可导函数在某点取得极值的条件；2 理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 ；3 掌握求可导函数的极值的步骤 2、过程与方法经历函数极值点的探究过程，总结用导数研究函数极值的方法 3、情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识，进一步体验导数的作用。
二、教学重点、难点重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及利用导数求可导函数的极值的步骤 难点：对极大、极小值概念的理解三、教学过程设计 （一）课前准备 合作预习1．通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？ 函数()y f x =在某个区间为可导函数，若()0,()f x f x '>⇒函数在这个区间上是增函数； 若()0,()f x f x '<⇒函数在这个区间上是减函数 2．用“导数法”求单调区间的步骤： ①求函数定义域；②求出函数的导函数()f x '；③解不等式()0>'x f ，求得其解集，再根据解集写出函数()x f 单调递增区间； 解不等式()0<'x f ，求得其解集，再根据解集写出函数()x f 单调递减区间注：单调区间不能以并集出现设计意图：回忆函数的单调性与导数的关系，同时也为本节课的学习做好铺垫3如图表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()105.69.42++-=t t t h 的图像,a t =时，高台跳水运动员距水面的高度最大问题1 函数()t h 在a t =处的导数是多少？问题 2 函数()t h 在此点附近的图像有什么特点？导数符号有什么变化规律？问题3 函数()t h 在点a 处的函数值与点a 附近的函数值有什么关系 设计意图：用高台跳水的例子，与上节课形成呼应，引导学生提出和思考新的问题，发展学生的数学应用意识（二）预习反馈 （三）合作探究新知探究一：极值的定义 1、观察函数()x f y =的图像 问题：（1）函数 ()x f y =在点b x a x ==,的处函数值与它们附近所以各点处的函数值有什么关系（2）函数()x f y =在点b x a x ==,的导数值是多少（3）在点b x a x ==,附近, ()x f y =的导数的符号有什么规律 形成定义：函数()y f x =在点a x =的函数值()f a 在比它在点a x =附近其他点的函数值都小，()0f a '=，且在点a x =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值函数()y f x =在点b x =的函数值()f b 在比它在点b x =附近其他点的函数值都大，()0f b '=，且在点b x =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，把点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值yxa ob()y f x =(图一))(>'x f 0)(<'x f 0)(<'x f 0)(='a f 0)(='b f探究二、极值概念的理解 2、观察图二，回答以下问题： 问题1：找出图中的极值点，并说明哪些点为极大值点，哪些是极小值点？ 问题2：极大值一定大于极小值吗？问题3：函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗？问题4：区间的端点能成为极值点吗？【关于极值概念的几点说明】1极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况; 2极值点是自变量的值,极值指的是函数值;3函数的极大小值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值; 4函数的极值点一定在区间的内部,区间的端点不能成为极值点设计意图：通过对图二的观察使学生经历感知，观察发现、归纳类比的思维过程，理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法。
高二数学(人教A版)《3.3.2函数的极值与导数》导学案
3.3.2函数的极值与导数[自学目标]:1.理解函数的极大值、极小值、极值点的意义；2.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.[重点]: 极大、极小值的概念和判别方法。
[难点]: 严格套用求极值的步骤[教材助读]一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有________我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值＝f (x 0)；如果对x 0附近的所有的点，都有________，我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)．利用导数判别函数的极大（小）值：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，判别f (x 0)是极大（小）值的方法是：⑴如果在x 0附近的左侧f '(x )＞0，右侧f '(x )＜0，那么，f (x 0)是________⑵如果在x 0附近的左侧f '(x )＜0，右侧f '(x )＞0，那么，f (x 0)是________注意：导数为0的点不一定是极值点．[预习自测]1．函数y =f (x )的导数y /与函数值和极值之间的关系为( )A 、导数y /由负变正,则函数y 由减变为增,且有极大值B 、导数y /由负变正,则函数y 由增变为减,且有极大值C 、导数y /由正变负,则函数y 由增变为减,且有极小值D 、导数y /由正变负,则函数y 由增变为减,且有极大值2．求函数x e x y -=2的极值。
上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]探究一：极值点两侧导数正负符号有何规律?1．求()31443f x x x =-+的极值 填写下表并求极值探究二：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？2．求y =(x 2－1)3+1的极值[当堂检测]1．求下列函数的极值:（1）2()62f x x x =-- （2）3()27f x x x =-（3）3()612f x x x =+- （4）3()3f x x x =-2．已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1，(1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．[拓展提升]1．函数2()ln 3f x a x bx x =++的极值点为11x =，22x =，则a = ，b = ．★2．已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =处有极小值1-，试求,a b 的值，并求出()f x 的单调区间．★★3.已知某工厂生产x 件产品的成本为212500020040C x x =++（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？。
(统编版)2020学年高中数学第三章.2函数的极值与导数学案含解析新人教A版选修3
3．3.2 函数的极值与导数[提出问题]如图是函数y＝f(x)的图象．问题1：y＝f(x)在x＝a处的导数f′(a)等于多少？提示：f′(a)＝0.问题2：当x＝a时，f(x)取最大值吗？提示：不是，但f(a)比x＝a附近的函数值都大．问题3：在x＝a附近两侧导数f′(x)的符号有什么特点？提示：在x＝a附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.问题4：当x＝d时，请回答以上问题．提示：①f′(d)＝0；②不是，但f(d)比x＝d附近的函数值都小；③在x＝d附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.[导入新知]1．极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为函数的极值．2．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．[化解疑难]1．对极值概念的理解(1)函数的极值是一个局部概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或是最小的．(2)在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一，也可能极值不存在，并且极大值与极小值之间无确定的大小关系．2．极值与极值点辨析(1)函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标，而不是点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应点的纵坐标．(2)极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点．利用导数求函数的极值[例1] (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝ln xx .[解] (1)f ′(x )＝x 2－2x －3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增143单调递减－6单调递增故当x ＝－1时，函数取得极大值，且极大值为f (－1)＝3；当x ＝3时，函数取得极小值，且极小值为f (3)＝－6.(2)函数f (x )＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx2.令f ′(x )＝0，得x ＝e. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，e) e (e ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增1e单调递减故当x ＝e 时，函数取得极大值，且极大值为f (e)＝1e .无极小值．[类题通法](1)求函数极值的步骤：①求方程f ′(x )＝0在函数定义域内的所有根； ②用f ′(x )＝0的根将定义域分成若干小区间，列表；③由f ′(x )在各个小区间内的符号，判断f ′(x )＝0的根处的极值情况．(2)表格给出了当x 变化时y ′，y 的变化情况，表格直观清楚，容易看出具体的变化情况，并且能判断出是极大值还是极小值，最后得出函数的极大值、极小值．[活学活用] 求下列函数的极值： (1)f (x )＝－x 3＋12x ＋6； (2)f (x )＝2xx 2＋1－2. 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋12＝－3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )单调递减－10单调递增22单调递减当x ＝－2时，f (x )有极小值，并且极小值为f (－2)＝－10； 当x ＝2时，f (x )有极大值，并且极大值为f (2)＝22. (2)函数f (x )的定义域为R. f ′(x )＝2x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1x 2＋12.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )单调递减－3单调递增－1单调递减1.已知函数极值求参数[例2] 1，试确定a ，b 的值，并求f (x )的单调区间．[解] 由已知f ′(x )＝3x 2－6ax ＋2b ， ∴f ′(1)＝3－6a ＋2b ＝0.① 又∵f (1)＝1－3a ＋2b ＝－1，② 由①②解得a ＝13，b ＝－12，∴f (x )＝x 3－x 2－x .由此得f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＞0，得x ＜－13或x ＞1；令f ′(x )＜0，得－13＜x ＜1，∴f (x )在x ＝1的左侧f ′(x )＜0， 右侧f ′(x )＞0，即f (x )在x ＝1处取得极小值， 故a ＝13，b ＝－12，且f (x )＝x 3－x 2－x .它的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)；单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.[类题通法] 已知函数极值，确定函数的解析式中的参数时，注意以下两点： (1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．[活学活用]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且当x ＝－1时取得极大值7，当x ＝3时取得极小值，试求函数f (x )的极小值，并求a ，b ，c 的值．解：f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∵x ＝－1时函数取得极大值，x ＝3时函数取得极小值，∴－1,3是方程f ′(x )＝0的根，即为方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根．故⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－2a 3，－1×3＝b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.∴f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c . ∵x ＝－1时取得极大值7， ∴(－1)3－3(－1)2－9(－1)＋c ＝7. ∴c ＝2.∴函数f (x )的极小值为f (3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.函数极值的综合应用[例3] 已知(1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？ [解] (1)由f (x )＝－x 3＋3x ＋a ， 得f ′(x )＝－3x 2＋3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝a －2； 极大值为f (1)＝a ＋2.由单调性、极值可画出函数f (x )的大致图象，如图所示．(2)结合图象，当极大值a ＋2＝0时，有极小值小于0， 此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点， 即方程f (x )＝0恰有两个实数根，所以a ＝－2满足条件；当极小值a －2＝0时，有极大值大于0， 此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点， 即方程f (x )＝0恰好有两个实数根， 所以a ＝2满足条件．综上，当a ＝±2时，方程恰有两个实数根． [类题通法]用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数．[活学活用]a 为何值时，方程x 3－3x 2－a ＝0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根？有没有可能无实根？解：令f (x )＝x 3－3x 2，则f (x )的定义域为R ， 由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0， 得x ＝0或x ＝2，所以当x ＜0或x ＞2时，f ′(x )＞0； 当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0.函数f (x )在x ＝0处有极大值0，在x ＝2处有极小值－4. 如图所示，故当a ＞0或a ＜－4时，原方程有一个根； 当a ＝0或a ＝－4时，原方程有两个不等实根； 当－4＜a ＜0时，原方程有三个不等实根； 由图象可知，原方程不可能无实根.5.求含参数的函数的极值[典例] (12分)若a ≠0，试求函数f (x )＝－23ax 3－x 2＋a 2x 2＋2ax 的单调区间与极值．[解题流程][活学活用]设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0，求函数的单调区间与极值．解：f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1. 令f′(x)＝0，得到x＝1－m或x＝1＋m.因为m >0， 所以1＋m >1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，1－m )1－m (1－m,1＋m )1＋m (1＋m ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )单调递减极小值单调递增极大值单调递减m,1＋m )．函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13；函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.[随堂即时演练]1．下列四个函数中，能在x ＝0处取得极值的是( ) ①y ＝x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos x －1；④y ＝2xA ．①②B ．②③C ．③④D ．①③解析：选B ①④为单调函数，不存在极值．2．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )上的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )上的极大值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由函数极值的定义和导函数的图象可知，f ′(x )在(a ，b )上与x 轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x ＝0不是函数f (x )的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．3．函数y ＝3x 3－9x ＋5的极大值为________． 解析：y ′＝9x 2－9.令y ′＝0，得x ＝±1. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增答案：114．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， 由题意知－3是3x 2＋2ax ＋3＝0的根， 解3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0， 得a ＝5，经检验a ＝5时符合题意． 答案：55．求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝sin x ＋12x ，x ∈(0,2π)．解：(1)函数的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增当x ＝2时，函数有极小值f (2)＝－16. (2)f ′(x )＝cos x ＋12，令f ′(x )＝cos x ＋12＝0，得cos x ＝－12.又∵x ∈(0,2π)， ∴x ＝2π3或x ＝4π3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递 增单调递 减单调递 增当x ＝4π3时，f (x )取极小值2π3－32.[课时达标检测]一、选择题1．函数f (x )＝2－x 2－x 3的极值情况是( ) A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既无极大值也无极小值 D ．既有极大值又有极小值解析：选D f ′(x )＝－2x －3x 2，令f ′(x )＝0有x ＝0或x ＝－23.当x ＜－23时，f ′(x )＜0；当－23＜x ＜0时，f ′(x )＞0；当x ＞0时，f ′(x )＜0.从而在x ＝0时，f (x )取得极大值，在x ＝－23时，f (x )取得极小值．2．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3 D ．－1，－3 解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3.3．设函数f (x )＝x e x，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析：选D 求导得f′(x)＝e x＋x e x＝e x(x＋1)，令f′(x)＝e x(x＋1)＝0，解得x＝－1.易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．(－1,2)B．(－3,6)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)解析：选D f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有( )A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：选B f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；令f′(x)＝3x2－6x<0，得0<x<2.∴函数f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减．当x＝0和x＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4.故①②错，③④对．二、填空题6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________．解析：由题图可知，当x＜0时，f′(x)＜0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＞0.故x ＝0时函数f (x )取极小值f (0)＝c .答案：c7．函数f (x )＝a ＋ln x x(a ∈R)的极大值为________． 解析：f ′(x )＝1－a ＋ln x x 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝e1－a ， 当x ＜e1－a 时，f ′(x )＞0； 当x ＞e 1－a 时，f ′(x )＜0，所以函数的极大值为f (e1－a )＝1e 1－a ＝e a －1. 答案：e a －18．已知函数f (x )＝x 4＋9x ＋5，则f (x )的图象在(－1,3)内与x 轴的交点的个数为________．解析：因为f ′(x )＝4x 3＋9，当x ∈(－1,3)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1,3)上单调递增．又f (－1)＝－3＜0，f (0)＝5＞0，所以f (x )在(－1,3)内与x 轴只有一个交点．答案：1三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )．当a ＜0时，对x ∈R ，有f ′(x )＞0，∴当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)； 当a ＞0时，由f ′(x )＞0， 解得x ＜－a 或x ＞a ，由f ′(x )＜0, 解得－a ＜x ＜a ，∴当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，单调递减区间为(－a ，a )．(2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，解得a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3.由f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合图象可知m 的取值范围是(－3,1)．10．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解：(1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．。
高中数学新人教版A版精品教案《3.3.2 函数的极值与导数》
3.3.2 函数的极值与导数课前预学案一、预习目标了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系，会利用导数求函数的极值二、自主学习 观察图象回答问题1函数在点x a =的函数值与这点附近的 函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？2()f a '等于多少？在点x a =附近，函数的导数的符号有什么规律？3函数在点x b =处的情况呢通过以上问题的探究，你能得到什么结论？用文字语言描述：函数在图象拐弯处的导数值等于0，且在该处左右两侧的导数值异号时取得极值用图形语言描述：Oyxf 'f '(x )>0'ba极值的定义：（1）极大值点与极大值：函数 f 在=a 的函数值fa 比在点=a 附近其他点的函数值都小，且__________,在点=a 附近的左侧________,右侧______,则a 为函数 = f 的极大值点，函数值fa 为函数的极大值；（2）极小值点与极小值：函数 f 在=b 的函数值fb 比在点=b 附近其他点的函数值都小，且__________,在点=a 附近的左侧________,右侧______,则b 为函数 = f 的极小值点，函数值fb 为函数的极小值；3 极大值和极小值统称为极值，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值 思考1：结合极值定义，你认为判断 = f 的极值的一般方法？思考2：结合教材例4，你认为应如何求函数的极值？思考3：极大值一定大于极小值吗？思考4：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？预学检测＝f 的导函数＝f ′的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间－2,1内f 是增函数； ②在区间1,3内f 是减函数； ③＝2时，f 取到极大值； ④在＝3时，f 取到极小值．其中正确的是__________将你认为正确的序号填在横线上．2．函数=f 的导数/与函数值和极值之间的关系为A 、导数/由负变正,则函数由减变为增,且有极大值 B 、导数/由负变正,则函数由增变为减,且有极大值 C 、导数/由正变负,则函数由增变为减,且有极小值 D 、导数/由正变负,则函数由增变为减,且有极大值3．函数331x x y -+=有 ( ) A ．极小值-1，极大值1 B ．极小值-2，极大值3 C ．极小值-2，极大值2 D ．极小值-1，极大值34．若2=x 是函数233)(x ax x f -=的极值点，则a 为A ．1B ．2C ．D ．33.3.2 函数的极值与导数课内探究案【学习目标】1理解极大值、极小值的概念，理解函数极值与导数的关系；2会判别函数极大值、极小值；3会利用导数求函数的极值；探究1：极值点与极值的概念知识归纳：注意事项：1极值是一个局部概念，反映了函数值在某一个点附近的大小情况；2极值不是唯一，函数的极值可能不止一个；3极大值与极小值之间无确定性大小关系，函数的极大值未必大于极小值；4函数的极值点一定出现在区间中部，区间的端点不能成为极值点；探究2：极值与导数的关系方法总结：求函数=f 的极值的方法：先确定定义域,再解方程()0f x '=当()0f x '=时①如果在0附近的左侧()0f x '>右侧()0f x '<,那么,f 0是极大值; ②如果在0附近的左侧()0f x '<右侧()0f x '>,那么,f 0是极小值探究3：极值点与导数的关系结论：左右侧导数异号f 的极值点 (f '反过来是否成立点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0探究4：求函数的极值求函数3()3ln f x x x=+的极值错误!变式1：设32()f x ax bx cx =++，在1x =和1x =-处有极值，且(1)1f -=-,求a ，b ，c 的值，并1x =±判断分别是极大值点还是极小值点？变式2：设函数32()9f x x ax x =+-的导函数()f x '，且(2)15f '=（1）求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程2求函数()f x 的极值庖丁解牛感受高考）（2021年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数)(x f '在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别当堂检测1函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a =2函数2()ln 3f x a x bx x =++的极值点121,2x x ==，求,a b 的值3已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且知当1-=x 时取得极大值7，当3=x 时取得极小值，试求函数的解析式并。
高中数学新人教版A版精品教案《3.3.2 函数的极值与导数》0
函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，先学习导数，方便学生学习和研究函数
教
学
目
标
1知识与技能目标：
（1）理解极大值、极小值的概念；
（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
（3）掌握求可导函数的极值的步骤
2过程与方法目标：
（1）培养他们的辨析能力；
（2）培养他们的分析问题和解决问题的能力；
3情感、态度与价值观目标：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度
教学重点
极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤
教学难点
布
置
作
业
课本99页第5题
巩固本节课知识
板书设计
3.3.3函数的极值与导数
一．定义学生板书
1极大值和极大值点
2极小值和极小值点
二．求函数极值的基本步骤
三．函数极值的应用
通过实际生活中的几个具体例子，一图片的形式给出与本节课相关的图片，一方面吸引学生的注意力，另一方面让学生对极值有一个直观的认识
依
据
图
形
形
成
概
念
【思考】
（1）端点值处有极值吗？
（2）极值点是一个点吗？
（3）极大值一定比极小值大吗？
（4）“点 是函数 的极值点”是“ ”的什么条件？
1.根据预习情况，完成学案知识梳理部分；
3.3.2函数的极值与导数
新乡市一中 刘秋玲
教
材
分
析
1．导数的地位、作用：
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2019-2020学年高中数学第三章函数的极值与导数学案新人教A版选修1-1
编号：07 时间: 主编:师建慧刘秀萍审核: 班级：姓名：
课题：1.3.2函数的极值与导数
【学习目标】
1.会从几何直观了解函数极值和导数的关系；
2.能利用导数研究函数的极值；
【学习重点】函数极值和导数的关系；
【学习难点】函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
【问题导学】
1.群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点。
同样，各个山谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是附近的最低点。
数学中也有这种现象，例如3.3.1函数的单调性与导数“观察”栏目中的跳水问题。
观察3.3-1（1），我们发现，当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大。
那么函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应的导数的符号有什么变化规律吗？
2.阅读P94的探究至例4前的内容，回答：
①对于一般函数f（x），在某个最低点或最高点的导数是多少？附近其导数符号的变化规律是什么？
②什么叫函数的极小值点、极大值点、极小值、极大值？极值反映了函数的什么性质？
3.阅读教材P94的例4到P96的内容，回答：
①求极值的步骤是什么？
②导数为0的点一定是函数的极值点吗？请结合函数
3
x
y 解释
③极大值与极小值的大小有关系吗？极大值一定比极小值大吗？试举例说明
4.做出函数y=|x|的图像，观察x=0处的导数是0吗？x=0是函数的极值点吗？
5.可导函数有极值点的充分条件是什么？如图，x=a，x=b，x=c是函数f（x）的极值点吗？
【实践演练】
典型例题：
求函数
4431)(3+-=
x x x f 的极值
基础练习： 1.函数
73)(23+-=x x x f 的极大值是 2.函数
13+-=x x y 取极大值时，x= 3.函数
1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是 拓展提升：
4.函数||)(x x f =在x=0处极值的情况是
5.对于可到函数0)('),(0==x f x f y 是0x 为函数)(x f y =的极值点的 条件。
6.已知函数)(x f y =，其导函数)('x f y =的图像如图所示，则)(x f y =（ ）
A.在（-∞，0）上为减函数
B ．在x=0处取得极小值
C ．在（4，+∞）上为减函数
D ．在x=2处取得极大值
7.设
)0)(()(2≠++=a c bx ax x x f 在x=1和x=-1处均有极 值，则b 的值为
8.若函数
b bx x x f 36)(3+-=在（0,1）内有极小值，求实数b 的取值范围。
9.设x=1与x=2是函数
x bx x a x f ++=2ln )(的两个极值点 （1）试确定常数a 和b 的值
（2）试判断x=1，x=2是函数)(x f 的极大值点还是极小值点，说明理由。
10.已知函数cx bx ax x f ++=23)(在0x x =处取得极大值5，其导函数)('x f y =的图像经过点（1,0），
（2,0），如图所示。
求：（1）
0x 的值（2）a 、b 、c 的值。