2017年考研数学一真题及答案解析

1 / 13 2017年考研数学一真题及答案解析 跨考教育 数学教研室 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

（1）若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在0x处连续，则（ ） 

11

()22()02AabBabCabDab

 【答案】A

【解析】0011cos12limlim,()2xxxxfxaxaxaQ在0x处连续11.22baba选A.

（2）设函数()fx可导，且'()()0fxfx，则（ ） ()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)AffBffCffDff



【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0fxfxfxfxQ或()0(2)'()0fxfx，只有C选项满足(1)且满足(2)，所以选C。

（3）函数22(,,)fxyzxyz在点(1,2,0)处沿向量1,2,2u的方向导数为（ ） ()12()6()4()2ABCD

【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,}2.|u|333fugradfxyxzgradfgradfu 选D.

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线1()vvt（单位：/ms），虚线表示乙的速度曲线2()vvt，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位：s），则（ ）

051015202530

()ts

(/)vms1020

0000()10()1520()25()25AtBtCtDt 【答案】B 【解析】从0到0t这段时间内甲乙的位移分别为001200(t),(t),ttvdtvdt则乙要追上甲，则

0210

(t)v(t)10tvdt，当025t时满足，故选C.

（5）设是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（ ） ()()22TTTTAEBECEDE不可逆不可逆

不可逆不可逆

【答案】A 【解析】选项A,由()0TE得()0TEx有非零解，故0TE。即TE

不可逆。选项B,由()1Tr得T的特征值为n-1个0，1.故TE的特征值为n-1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。

（6）设矩阵200210100021,020,020001001002ABC,则（ ） (),,(),,AACBCBACBCCACBCDACBC与相似与相似与相似与不相似

与不相似与相似与不相似与不相似

【答案】B 3 / 13

【解析】由()0EA可知A的特征值为2,2,1 因为3(2)1rEA，∴A可相似对角化，且100~020002A 由0EB可知B特征值为2,2,1. 因为3(2)2rEB，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化， ∴~AC，且B不相似于C

（7）设,AB为随机概率，若0()1,0()1PAPB，则()()PABPAB的充分必要条件是（ ） ()()()()()()()()()()()()APBAPBABPBAPBACPBAPBADPBAPBA

【答案】A 【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。

（8）设12,(2)nXXXn为来自总体(,1)N的简单随机样本，记11niiXXn，则下列结论中不正确的是（ ） 2222

1122221()()2()()()()nininiiAXBXXCXXDnX



服从分布服从分布

服从分布服从分布

【答案】B 【解析】

221222122221(,1),(0,1)()(),(1)()(1)C1~(,),()(0,1),()~(1),()~(0,2),~(1),B2iniiniinXNXNXnAnSXXnXNnXNnXDnXXN



:::::正确

，正确，正确,故错误. 由于找不正确的结论，故B符合题意。 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 已知函数21()1fxx，则(3)(0)f=__________ 【答案】(0)6f 【解析】 222200'''23'''211()()(1)11()()(1)2(21)(22)(0)0nnnnnnnnfxxxxxfxnnnxf









 (10) 微分方程'''230yyy的通解为y_________ 【答案】12(cos2sin2)xyecxcx，（12,cc为任意常数） 【解析】齐次特征方程为21,223012i 故通解为12(cos2sin2)xecxcx

(11) 若曲线积分221Lxdxaydyxy在区域22(,)|1Dxyxy内与路径无关，则 a__________

【答案】1a 【解析】22222222,,(1)(1)PxyQaxyyxyxxy由积分与路径无关知1PQayx

(12) 幂级数111(1)nnnnx在区间(1,1)内的和函数()Sx________ 【答案】21()1sxx 【解析】''1112111(1)(1)1(1)nnnnnnxnxxxx （13）设矩阵101112011A，123,,为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,AAA的秩为5 / 13

_________ 【答案】2 【解析】由123,,线性无关，可知矩阵123,,可逆，故 123123,,,,rAAArArA再由2rA得123,,2rAAA

（14）设随机变量X的分布函数为4()0.5()0.5()2xFxx，其中()x为标准正态分布函数，则EX_________

【答案】2 【解析】0.54()0.5()()22xFxx，故0.540.5()()22xEXxxdxxdx

()0xxdxEX。令42xt，则4()2xxdx=242()814()8ttdtttdt

因此()2EX. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）

设函数(,)fuv具有2阶连续偏导数，(,cos)xyfex，求0xdydx，220xdydx

【答案】2'''111200(1,1),(1,1),xxdydyffdxdx 【解析】

0'''''12121002''2''''''2''111221221222''''111220(,cos)(0)(1,1)sin(1,1)1(1,1)0(1,1)(sin)(sin)sincos(1,1)(1,1)(1,1)xxxxxxxxxxyfexyfdyfefxfffdxdyfefexfexfxfefxdxdyfffdx







 结论： '102''''111220(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)xxdyfdxdyfffdx





 （16）（本题满分10分）求21limln1nnkkknn







【答案】14 【解析】 2111221

02

000

111111limln(1)ln(1)ln(1)(ln(1))2214nnkkkxxxdxxdxxxdxnnx







（17）（本题满分10分） 已知函数()yx由方程333320xyxy确定，求()yx的极值

【答案】极大值为(1)1y，极小值为(1)0y 【解析】 两边求导得：

2233'33'0xyyy

（1）

令'0y得1x 对（1）式两边关于x求导得 2266'3''3''0xyyyyy （2） 将1x代入原题给的等式中，得1110xxoryy， 将1,1xy代入（2）得''(1)10y 将1,0xy代入（2）得''(1)20y 故1x为极大值点，(1)1y；1x为极小值点，(1)0y

（18）（本题满分10分） 设函数()fx在区间[0,1]上具有2阶导数，且0()(1)0,lim0xfxfx，证明：

()方程()0fx在区间(0,1)内至少存在一个实根；

()方程2''()()(())0fxfxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。

【答案】 【解析】

（I）()fx二阶导数，0()(1)0,lim0xfxfx