Kalman滤波
卡尔曼滤波 参数
卡尔曼滤波参数卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种利用系统的动态模型、观测数据和概率统计方法进行状态估计的算法。
它由美国科学家Rudolf E. Kálmán于1960年提出，被广泛应用于航天、航空、导航、机器人等领域。
卡尔曼滤波是一种最优的线性滤波器，它通过考虑系统模型和测量数据的不确定性来估计系统的最优状态。
卡尔曼滤波的基本思想是利用历史数据和本次观测数据，并结合系统模型进行状态估计，并通过不确定性的协方差矩阵来表示估计值的精确度。
卡尔曼滤波的基本公式如下：1. 预测阶段：状态预测：$\hat{x}_{k|k-1} = F\hat{x}_{k-1|k-1} + Bu_{k-1}$协方差预测：$P_{k|k-1} = FP_{k-1|k-1}F^T + Q$2. 更新阶段：测量残差：$y_k = z_k - H\hat{x}_{k|k-1}$协方差残差：$S_k = HP_{k|k-1}H^T + R$卡尔曼增益：$K_k = P_{k|k-1}H^TS_k^{-1}$状态修正：$\hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_ky_k$协方差修正：$P_{k|k} = (I - K_kH)P_{k|k-1}$其中，$F$为状态转移矩阵，描述系统状态从上一个时刻到当前时刻的演变关系；$\hat{x}_{k|k-1}$为对状态的先验估计；$B$为控制输入矩阵，描述外部控制对状态的影响；$u_{k-1}$为上一个时刻的控制输入；$P_{k|k-1}$为对状态估计的先验协方差矩阵；$Q$为过程噪声的协方差矩阵，描述系统模型的不确定性；$H$为观测矩阵，描述观测数据和状态之间的关系；$z_k$为当前时刻的观测数据；$R$为观测噪声的协方差矩阵，描述观测数据的不确定性；$S_k$为协方差残差；$K_k$为卡尔曼增益；$y_k$为测量残差，表示观测数据和状态估计之间的差异；$\hat{x}_{k|k}$为对状态的后验估计，是基于观测数据进行修正后的状态估计；$P_{k|k}$为对状态估计的后验协方差矩阵。
卡尔曼滤波_卡尔曼算法
卡尔曼滤波_卡尔曼算法1.引言1.1 概述卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的技术，通过融合传感器测量值和系统模型的预测值，提供对系统状态的最优估计。
它的应用十分广泛，特别在导航、图像处理、机器人技术等领域中发挥着重要作用。
在现实世界中，我们往往面临着各种噪声和不确定性，这些因素会影响我们对系统状态的准确估计。
卡尔曼滤波通过动态调整系统状态的估计值，可以有效地抑制这些干扰，提供更加精确的系统状态估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统模型的预测和传感器测量值之间的线性组合，来计算系统状态的最优估计。
通过动态地更新状态估计值，卡尔曼滤波可以在对系统状态的准确估计和对传感器测量值的实时响应之间进行平衡。
卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：预测和更新。
在预测步骤中，通过系统模型和上一时刻的状态估计值，预测当前时刻的系统状态。
在更新步骤中，将传感器测量值与预测值进行比较，然后根据测量误差和系统不确定性的权重，计算系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波具有很多优点，例如它对传感器噪声和系统模型误差具有鲁棒性，可以提供较为稳定的估计结果。
此外，卡尔曼滤波还可以有效地处理缺失数据和不完全的测量信息，具有较高的自适应性和实时性。
尽管卡尔曼滤波在理论上具有较好的性能，但实际应用中还需考虑诸如系统模型的准确性、测量噪声的特性等因素。
因此，在具体应用中需要根据实际情况进行算法参数的调整和优化，以提高估计的准确性和可靠性。
通过深入理解卡尔曼滤波的原理和应用，我们可以更好地应对复杂环境下的估计问题，从而在实际工程中取得更好的效果。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和算法步骤，以及其在不同领域的应用案例。
希望通过本文的阅读，读者们可以对卡尔曼滤波有一个全面的了解，并能够在实际工程中灵活运用。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将围绕卡尔曼滤波和卡尔曼算法展开论述。
首先，我们会在引言部分对卡尔曼滤波和卡尔曼算法进行简要概述，介绍其基本原理和应用领域。
卡尔曼滤波
式中，N 1向量 (n)表示观测数据y(n)的新的信息，简称新息。
3.2、新息过程
新息 (n)具有以下性质： 性质1 n时刻的新息 (n)与所有过去的观测数据y(1), ...，y(n-
1)正交，即：
E{(n)yH (k)} 0,1 k n 1.......(7)
二.估计原理和卡尔曼滤波
1. 状态估计原理 2. 为什么要用状态估计理论 3. 经典控制理论与现代控制理论 3. 什么是卡尔曼滤波 5.卡尔曼滤波器的应用
2.1状态估计原理
状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。 一般来说，根据观测数据对随机量进行定 量推断就是估计问题，特别是对动态行为 的状态估计，它能实现实时运行状态的估 计和预测功能。比如对汽车状态估计。
在kalman滤波中，并不直接估计观测数据向量的进一步预测 ，而
是先计算状态向量的一步预测
def
x1 (n) x(n y(1),... y(n 1))........ (11)
然后再用到下式得到
y 1
(n)：
y (n) C(n) x1(n)...........(12)
1
3.2、新息过程
将上式代入新息过程的定义式（6），可得到：
卡尔曼滤波控制系统结构图
由于系统的状态x是不确定的，卡尔曼滤波器 的任务就是在有随机干扰w和噪声v的情况下给出系
统状态x的最优估算值xˆ ，它在统计意义下最接近 状态的真值x，从而实现最优控制u( xˆ )的目的。
2.4什么是卡尔曼滤波：
卡尔曼滤波是美国工程师Kalman 在线 性最小方差估计的基础上，提出的在数学结 构上比较简单的而且是最优线性递推滤波方 法，具有计算量小、存储量低，实时性高的 优点。特别是对经历了初始滤波后的过渡状 态，滤波效果非常好。
Kalman滤波及其应用(含仿真代码)
新息过程
考虑一步预测问题：给定观测值 y(1),..., y(n 1) ，求观测向量最小 def ˆ ˆ (n | y(1),..., y(n 1)) ，利用新息方法，很容易求解。 二乘估计 y1 (n) y
y (n) 的新息过程（innovation process）定义为：
ˆ 1 (n), n 1, 2,... (n) y(n) y
R(n)是新息过程的相关矩阵。
Riccati方程
为了最后完成Kalman自适应滤波，还需要推导 K (n, n 1) 的递推公式。
考查状态向量的预测误差
ˆ 1 (n 1) e (n 1, n) x (n 1) x ˆ 1 ( n) G ( n) ( n)} {F (n 1, n) x (n) v1 (n)} {F ( n 1, n) x [ F (n 1, n) G (n)C (n)]e(n, n 1) G (n)v2 (n) v1 ( n)
n 1
ˆ 1 ( n) F (n 1, n) E{ x (n) H (k )}R-1 (k ) (k ) F (n 1, n) x
k 1
n 1
定义：G(n) E{x(n 1) H (n)}R-1 (n) ，那么状态误差向量的一步预测为：
ˆ 1 (n 1) F (n 1, n) x ˆ 1 (n) G(n) (n) x
{ y(1),..., y(n)} { (1),..., (n)}
新息过程（cont.）
ˆ 1 ( n) ， 在Kalman滤波中，并不直接估计观测数据向量的一步预测 y 而是先计算状态向量的一步预测 ˆ 1 (n) x(n | y(1),..., y(n 1)) x
第三章卡尔曼(Kalman)滤波
引入
在讨论维纳滤波时，提出一个基本概念： 任何具有有理功率谱密度的随机信号都可看作 是白色噪声通过一个线性网络所形成。 由此得到维纳滤波器的信号模型
w(n)
s(n)
A(z)
v(n)
w(n)
s(n)
x(n)
A(z)
w(n)
B(z)
x(n)
为了得到卡尔曼过滤的信号模型，必须 首先讨论状态方程和量测方程。
当已知初始状态x(0)、激励e j以及A与B矩阵，
即可求得x(k )。。
如果用k0表示起始点的k值从x(k )开始递推，从而有
k 1
x(k) k,k0x(k0 ) k, j1Be( j) j k0
k0 0：表示从初始状态x(0)开始递推。
k ,k 0：代表从k0状态到k 状态的转移矩阵。
在卡尔曼滤波中： 希望得到xk的估计值xˆk与xk间 最小均方误差。有了xˆk也就得到了sˆk。
提问：sk 和xk的关系？
来估计信号的当前值 以均方误差最小条件下求解 系统的传递函数H(z)或单位冲激响应h(
只根据前一个估计值 xˆk -1 和最近一个观察数据 yk 来估计信号的当前值 它是用状态空间法描述系统， 即由状态方程和量测方程组成。
解是以估计值(是状态变量的估计值)的形式给出的
第三章 卡尔曼(Kalman)滤波
第一节 引言
卡尔曼生平
卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈 牙利数学家，1930年出生于匈牙利 首都布达佩斯。1953，1954年于麻 省理工学院分别获得电机工程学士 及硕士学位。1957年于哥伦比亚大 学获得博士学位。我们在现代控制 理论中要学习的卡尔曼滤波器，正 是源于他的博士论文和1960年发表 的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》 （线性滤波与预测问题的新方法）。
Kalman滤波原理及算法
Kalman滤波原理及算法kalman滤波器一(什么是卡尔曼滤波器卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯, 我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》(线性滤波与预测问题的新方法)。
二.卡尔曼滤波器算法的介绍以下是卡尔曼滤波器核心的5个式子。
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2)X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) (3)Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) (4)P(k|k)=(I-Kg(k) H)P(k|k-1) (5)下面我们详细介绍卡尔曼滤波的过程。
首先，我们要引入一个离散控制过程的系统。
该系统可用一个线性随机微分方程来描述:X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值:Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。
A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。
Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。
W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。
他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance分别是Q，R(这里我们假设他们不随系统状态变化而变化)。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。
下面我们来用他们结合他们的covariances来估算系统的最优化输出。
首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。
卡尔曼滤波原理及应用
卡尔曼滤波原理及应用
一、卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波（Kalman filter）是一种后验最优估计方法。
它以四个步骤：预测、更新、测量、改善，不断地调整估计量来达到观测的最优估计的目的。
卡尔曼滤波的基本思想，是每次观测到某一位置来更新位置的参数，并用更新结果来预测下一次的位置参数，再由预测时产生的误差来改善当前位置参数。
从而可以达到滤波的效果，提高估计精度。
二、卡尔曼滤波应用
1、导航系统。
卡尔曼滤波可以提供准确的位置信息，把最近获得的各种定位信息和测量信息，如GPS、ISL利用卡尔曼滤波进行定位信息融合，可以提供较准确的空中、地面导航服务。
2、智能机器人跟踪。
在编队技术的应用中，智能机器人往往面临着各种复杂环境，很难提供精确的定位信息，而卡尔曼滤波正是能解决这一问题，将持续不断的测量信息放在卡尔曼滤波器中，使机器人能够在范围内定位，跟踪更新准确可靠。
3、移动机器人自主避障。
对于移动机器人来说，很多时候在前传感器检测不到
人或障碍物的时候，一般将使用卡尔曼滤波来进行自主避障。
卡尔曼滤波的定位精度很高，相对于静止定位而言，移动定位有更多的参数要考虑，所以能提供更准确的定位数据来辅助自主避障，准确的定位信息就可以让我们很好的实现自主避障。
4、安防监控。
与其他传统的安防场景比，安防场景如果需要运动物体位置估计或物体检测，就必须使用卡尔曼滤波技术来实现，这是一种行为检测和行为识别的先进技术。
（注：安防监控可用于感知移动物体的位置，并在设定的范围内监测到超出范围的物体，以达到安全防护的目的。
）。
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器（Kalman Filter）的五个公式如下：
1. 预测状态：
x̂_k = F_k * x̂_k-1 + B_k * u_k
其中，x̂_k为当前时刻k的状态估计值，F_k为状态转移矩阵，x̂_k-1为上一时刻k-1的状态估计值，B_k为外部输入矩阵，u_k为外部输入。
2. 预测误差协方差：
P_k = F_k * P_k-1 * F_k^T + Q_k
其中，P_k为当前时刻k的状态估计误差协方差矩阵，P_k-1为上一时刻k-1的状态估计误差协方差矩阵，Q_k为系统过程噪声的协方差矩阵。
3. 计算卡尔曼增益：
K_k = P_k * H_k^T * (H_k * P_k * H_k^T + R_k)^-1
其中，K_k为当前时刻k的卡尔曼增益矩阵，H_k为观测矩阵，R_k为观测噪声的协方差矩阵。
4. 更新状态估计值：
x̂_k = x̂_k + K_k * (z_k - H_k * x̂_k)
其中，z_k为当前时刻k的观测值。
5. 更新状态估计误差协方差：
P_k = (I - K_k * H_k) * P_k
其中，I为单位矩阵。
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Kalman滤波器
一、Kalman滤波器的信号模型
Kalman滤波是解决以最小均方误差为准则的最佳线性过滤问题。
Kalman滤波不需要全部过去的观察数据，它只根据前一个估计值和最近一个观察数据来估计信号的当前值。
它是用状态方程和递推方法进行估计的，而它的解是以估计值（常常是状态变量的估计值）的形式给出的。
从信号模型的建立来看，Kalman滤波的信号模型是从状态方程和测量方程得到的。
为了得到Kalman滤波的信号模型，必须首先讨论状态方程和测量方程。
1、离散状态方程及其解
离散状态方程的基本形式是：
x(k+1) = Ax(k) + Be(k)
其中，x(k)代表一组状态变量组成的多维状态矢量，A,B都是矩阵，它们是由系统的拓扑结构，元件性质和数值所确定的。
e(k)是激励信号。
接下来，我们可以通过递推法得到：x(k) = A k x(0) +∑=
=
--
1 01
k j
j
k
A Be(j)
可进一步推导出：x(k) = A(k)x(k-1) + w(k-1) （公式1）
2、测量方程
Kalman滤波是根据系统的测量数据（或称观测数据）。
对系统的运动进行估计。
所以除了状态方程以外，还需要测量方程。
测量系统可以是时不变系统，也可以是时变系统。
设测量数据和系统的各状态变量间作线性关系。
如果用y k 表示测量或观察到的信号矢量序列，则它与状态变量x(k)的关系可以写成：
y(k) = C(k)x(k) + v(k) （公式2）
这个y(k)包含信号的真值s(k) = C(k)x(k)和噪声v(k)，其中v(k)是观测或测量时引入的误差，它是一个代表测量误差的随机向量。
v(k)一般可以假定为均值为零的正态白噪声。
显然，y(k)的维数不一定与x(k)的维数相等，因为不一定能测量到所有需要的状态参数。
C(k)称为测量矩阵，它是一个n m ⨯的矩阵（m 为y(k)的维数，n 为x(k)的维数）。
v(k)的维数当然应该和y(k)的维数一致。
二、 Kalman 滤波器的算法 我们所要寻找的状态后验估计x
k
∧
可以构造为先验估计
∧
-
x k
和实际
测量值y k 与估计测量值C
∧
-
x k
之差的加权值得线性组合，即：
x k
∧
=
∧
-
x k
+K k （y k —C
∧
-
x k
）=A x
k ∧-1
+K k （y k —CA x
k ∧-1
）（公式3）
上式中y
k
~
=y k —CA x
k ∧-1
称为测量新息。
y
k
~
隐含了w k 1-与v k 的信息，
或者说
y
k
~
隐含了当前的（最新的）观测值y k 的信息，故称
y
k
~
为新息
（innovation ）。
用P k 表示均方误差阵，则有：
P k
=E[(x k —x
k
∧)(x k —x
k
∧)t
] 我们可以由公式1、2、3，求得均方误差阵P k 最小条件下的K k ，然
后，将此K k 带入公式3，则所得到的x
k
就是对x k 的线性最优估计。
接下来，我们便可以得到一组Kalman 递推公式（具体推导略去）： 1、 时间更新方程
该方程负责获得当前时刻状态的先验估计以及为下一时刻获得误差协方差估计。
即由k -1时刻的状态和协方差估计计算出k 时刻的相应值。
2、测量更新方程
测量更新方程负责反馈，将先验估计和新的测量值结合起来获得校正后的后验估计。
3、算法的流程如下图所示：
三、Kalman滤波器的特点：
1、Kalman滤波器是以最小均方误差为准则的最佳线性估计和滤波。
2、Kalman滤波器只需要前一个状态的估计值和当前的观测值就可以估计当前状态，是一种递推的方法。
3、Kalman增益矩阵K的计算与观测值无关，因此可以事先计算增益矩阵，然后有一个观测值，就可以得到估计值，便于实时计算。
4、模型误差的问题,A,B,C时变、模型非线性的问题。
5、影响实时计算的障碍：状态维数n和增益矩阵的计算。
四、实验仿真
问题：从一系列电压测量值中估计真实值，真实的电压值被方差为0.1v的白噪声污染。
1、Matlab代码：
R=0.01;Q=1e-5; %取均值为0，方差为0.1
N=50; %迭代次数为50
%产生观测值
a=sqrt(R)*randn(1,N);
y=-0.37727+a; % 观测值为真实值+噪声
%初始化均方误差阵和初始状态值
P=zeros(1,N);
x=zeros(1,N);
P(1)=1;
x(1)=0;
%开始迭代
for i=1:N-1
pp=P(i)+Q;
K(i)=pp/(pp+R);
x(i+1)=x(i)+K(i)*(y(i)-x(i));
P(i+1)=(1-K(i))*P(i);
end
%画出结果
t=1:N;
%plot(t,x,t,z,'x',t,P);
a(1,:)=-0.37727;
plot(t,x,t,y,'x',t,a);%画出估计结果plot(t,P); %画出P k的逼近情况2、运行结果
总结：
卡尔曼滤波器部分的知识是很重要是知识，既可以进行插值、滤波、预测，通过这个卡尔曼滤波器的作业，对卡尔曼滤波器的设计和基本原理都有了更深入的了解，从此以后就可以去航天研究所了，给航天器预测轨迹，可见卡尔曼算法的用途广泛，现在的研究就是以后的长处，值得研究。